Stoffverteilungsplan Elemente der Mathematik 7 Berlin ISBN Alte ISBN:

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1 Stoffverteilungsplan Elemente der Mathematik 7 Berlin ISBN Alte ISBN: Elemente der Mathematik 8 Berlin ISBN Alte ISBN: Die Aufbereitung der mathematischen Themen in Elemente der Mathematik ist so konzipiert, dass mit den inhaltsbezogenen Kompetenzen zu mathematischen Inhalten vielfältige prozessbezogene Kompetenzen verknüpft sind, die sich auf den Lernprozess beziehen und über das Lernen von Mathematik hinausgehen. Eine umfassende mathematische Grundbildung wird durch das Zusammenspiel dieser beiden Typen von Kompetenzen angestrebt. Am Beginn größerer Abschnitte stehen Lernfelder mit verschiedenen offenen und reichhaltigen Lerngelegenheiten: In unterschiedlichen Problemsituationen können die Schülerinnen und Schüler zentrale Inhalte und Verfahren auf eigenen Lernwegen durch Anknüpfen an Alltags- und Vorerfahrungen selbstständig und häufig handlungsorientiert entdecken. Der Aufbau eigener Vorstellungen und die Bearbeitung einer Vielfalt von Lösungsansätzen wird gefördert durch die Anregung, diese Lernfelder in der Regel in Partner- und Gruppenarbeit zu bearbeiten. Der Austausch über das Problem mit dem Partner bzw. in der Gruppe sowie der Bericht über Erfahrungen in der ganzen Klasse fördern insbesondere prozessbezogene Kompetenzen wie Problemlösen sowie Argumentieren und Kommunizieren. Besonderer Wert wurde auf eine reichhaltige Aufgabenkultur gelegt, die vielfältige Schüleraktivitäten zum Erreichen sowohl der prozessbezogenen als auch der inhaltsbezogenen Kompetenzen initiiert.viele Übungsaufgaben regen an zum Erkunden mathematischer Sachverhalte, zum Kommunizieren und Argumentieren über Lösungsansätze und zum Präsentieren der Problemlösungen. Durchgängig werden dazu auch Aufgaben angeboten, die sich insbesondere für die Bearbeitung in Partner- und Teamarbeit eignen. Bei den inhaltsbezogenen Kompetenzen wurde darauf geachtet, dass nach Möglichkeit die Kompetenzen aller Sachgebiete in jedem Kapitel angesprochen werden - zumindest jeweils in Übungen, die eine Vernetzung zu anderen Inhalten und Vorgehensweisen herstellen. An geeigneten Stellen werden unter der Überschrift Auf den Punkt gebracht die für diese Klassenstufe vorgesehenen prozessbezogenen Kompetenzen akzentuiert zusammengefasst. Auch die Abschnitte Im Blickpunkt, Zum Selbstlernen und Projekte fördern die Schulung prozessbezogener Kompetenzen in größeren Zusammenhängen. Seite 1

2 Inhaltsverzeichnis Band 7 Bleib fit im Umgang mit der Bruchrechnung 1. Proportionale Zuordnungen 1.1 Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.2 Zueinander proportionale Größen proportionale Zuordnungen 1.3 Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen Zum Selbstlernen Im Blickpunkt: Vergleichen von Preisen 1.4 Quotientengleichheit Proportionalitätsfaktor 1.5 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 2. Prozent- und Zinsrechnung 2.1 Absoluter und relativer Vergleich Prozentbegriff 2.2 Grundaufgaben der Prozentrechnung Berechnen des Prozentsatzes Begriffe der Prozentrechnung Berechnen des Prozentwertes Berechnen des Grundwertes Vermischte Übungen zu den Grundaufgaben Im Blickpunkt: Promille nicht nur im Straßenverkehr 2.3 Änderung des Grundwertes Erhöhung des Grundwertes Prozentsätze über 100 % Verminderung des Grundwertes 2.4 Vermischte Übungen zur Prozentrechnung Im Blickpunkt: Prozent oder Prozentpunkte was ist hier gemeint? 2.5 Zinsen für ein Jahr Zum Selbstlernen 2.6 Zinsen für Bruchteile eines Jahres 2.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 3. Daten 3.1 Umfragen Absolute und relative Häufigkeiten und deren Darstellung Im Blickpunkt: Diagramme mit dem Computer 3.2 Das arithmetische Mittel Zum Selbstlernen 3.3 Median Im Blickpunkt: Durchführen einer statistischen Erhebung 3.4 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 4. Rationale Zahlen 4.1 Negative Zahlen Rationale Zahlen 4.2 Koordinatensystem Zum Selbstlernen 4.3 Anordnung der rationalen Zahlen 4.4 Beschreiben von Änderungen mit rationalen Zahlen 4.5 Addieren rationaler Zahlen Rechengesetze Einführung der Addition Additionsregel Rechengesetze für die Addition rationaler Zahlen 4.6 Subtrahieren rationaler Zahlen Einführung der Subtraktion Subtraktionsregel Auflösen von Zahlklammern Vereinfachen eines Terms Vermischte Übungen zum Addieren und Subtrahieren Bist du fit? Im Blickpunkt : Ebbe und Flut an der Nordseeküste 4.7 Multiplizieren rationaler Zahlen Der zweite Faktor ist positiv oder null Der zweite Faktor ist negativ 4.8 Dividieren rationaler Zahlen 4.9 Vermischte Übungen zu den Grundrechenarten 4.10 Rechengesetze Verschiedene Rechenwege Rechengesetze der Multiplikation und Division Distributivgesetze 4.11 Berechnen von Termen mit rationalen Zahlen 4.12 Vergleich der Zahlbereiche N, B, und Z 4.13 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 5. Geometrische Abbildungen Symmetrien 5.1 Achsenspiegelungen Achsensymmetrie 5.2 Punktspiegelungen Punktsymmetrie 5.3 Verschiebungen Bandornamente Im Blickpunkt: Herstellen von Escher- Bildern 5.4 Drehungen Drehsymmetrie Im Blickpunkt: Symmetrie als Gestaltungsprinzip Seite 2

3 6. Dreiecke 6.1 Winkel an Geradenkreuzungen 6.2 Winkelsumme Einteilung der Dreiecke nach Winkeln Im Blickpunkt: Dynamische Geometrie- Systeme (DGS) 6.3 Gleichschenklige Dreiecke 6.4 Kongruente Figuren Zum Selbstlernen Im Blickpunkt: Optische Täuschungen. Schau genau hin miss nach 6.5 Dreieckskonstruktionen - Kongruenzsätze Konstruktion eines Dreiecks aus drei Seiten Kongruenzsatz sss Konstruktion aus zwei Seiten und einem Winkel Kongruenzsatz sws Konstruktion aus zwei Seiten und einem Winkel Kongruenzsatz Ssw Konstruktion aus einer Seite und zwei Winkeln Kongruenzsatz wsw Vermischte Übungen zu den Kongruenzsätzen 6.6 Kreis und Gerade - Kreistangente 6.7 Besondere Punkte und Linien des Dreiecks Die Mittelsenkrechten des Dreiecks Umkreis Die Winkelhalbierenden des Dreiecks Inkreis Die Höhen des Dreiecks Die Seitenhalbierenden des Dreiecks Schwerpunkt 6.8 Konstruktion von Dreiecken aus Teildreiecken Im Blickpunkt: Eine Eigenschaft der besonderen Linien im Dreieck 6.9 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 7. Antiproportionale Zuordnungen 7.1 Zueinander antiproportionale Größen antiproportionale Zuordnungen 7.2 Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen Zum Selbstlernen 7.3 Vermischte Übungen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen 7.4 Produktgleichheit Gesamtgröße 7.5 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 8. Gleichungen 8.1 Lösen von Gleichungen durch Probieren 8.2 Lösen von Gleichungen durch Umformen Umformungsregeln für Gleichungen und ihre Anwendung Lösen von Gleichungen, in denen eine Variable mehrfach vorkommt Sonderfälle bei der Lösungsmenge 8.3 Modellieren mit Termen und Gleichungen Aufstellen von Termen Anwenden von Gleichungen beim Modellieren 8.4 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Projekt Prozente Seevermessung Anhang Lösungen zu Bist du fit? Maßeinheiten und ihre Umrechnungen Verzeichnis mathematischer Symbole Stichwortverzeichnis Seite 3

4 Inhaltsverzeichnis Band 8 Bleib fit im Umgang mit den rationalen Zahlen 1. Terme und Gleichungen 1.1 Terme Im Blickpunkt. Tabellenkalkulation und Terme 1.2 Aufbau eines Terms 1.3 Termumformungen Addieren und Subtrahieren Im Blickpunkt: Umgang mit Termen bei einem Computer-Algebra- System (CAS) 1.4 Multiplizieren und Dividieren von Produkten 1.5 Auflösen und Setzen einer Klammer 1.6 Minuszeichen vor einer Klammer Subtrahieren einer Klammer 1.7 Ausklammern 1.8 Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt 1.9 Binomische Formeln Zum Selbstlernen 1.10 Faktorisieren einer Summe 1.11 Vermischte Übungen Im Blickpunkt: Pascal sches Dreieck Potenzieren von Summen 1.12 Mischungs- und Bewegungsaufgaben Mischungsaufgaben Bewegungsaufgaben 1.13 Umformen von Formeln 1.14 Lösen von Gleichungen mit Parametern 1.15 Einfache Bruchgleichungen 1.16 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 2. Geometrie 2.1 Symmetrische Vierecke und ihre Eigenschaften 2.2 Übersicht über die Vierecke Zum Selbstlernen 2.3 Beweisen Satz und Kehrsatz Wenn-dann-Formulierung Kehrsatz eines Satzes Vom Definieren eines Begriffs 2.4 Konstruktion von allgemeinen Vierecken 2.5 Satz des Thales Im Blickpunkt: Thales von Milet 2.6 Umfangswinkelsatz Im Blickpunkt: Sehnenviereck Tangentenviereck 2.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit der Prozentrechnung 3. Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit 3.1 Zufallsexperimente 3.2 Laplace-Experimente 3.3 Näherungsweises Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten Verteilungen 3.4 Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten 3.5 Gegenereignis Unmögliches und sicheres Ereignis Zum Selbstlernen 3.6 Zurückführen eines Zufallsexperiments auf ein Laplace-Experiment 3.7 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten mithilfe kombinatorischer Abzählverfahren 3.8 Vermischte Übungen Im Blickpunkt: Regenwahrscheinlichkeit 3.9 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 4. Lineare Funktionen 4.1 Funktionen als eindeutige Zuordnungen Im Blickpunkt: Graphen zeichnen mit dem Computer und GTR 4.2 Proportionale Funktionen Graph proportionaler Funktionen Steigung, Steigungsdreieck 4.3 Lineare Funktionen 4.4 Nullstellen linearer Funktionen Grafisches Lösen linearer Gleichungen Zum Selbstlernen 4.5 Vermischte Übungen 4.6 Ausgleichsgeraden Im Blickpunkt: Ausgleichsgeraden durch Punktwolken 4.7 Stückweise lineare Funktionen 4.8 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Energie sparen Bist du fit? 5. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Systeme linearer Gleichungen 5.1 Lineare Gleichungen der Form ax+by=c Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen Graph Sonderfälle bei linearen Gleichungen mit zwei Variablen 5.2 Systeme linearer Gleichungen Grafisches Lösungsverfahren 5.3 Gleichsetzungsverfahren Seite 4

5 5.4 Einsetzungsverfahren Zum Selbstlernen 5.5 Additionsverfahren Subtraktion zweier Gleichungen eines Systems Lösen eines Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren Sonderfälle beim rechnerischen Lösen Vermischte Übungen 5.6 Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme Im Blickpunkt: Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe des GTR 5.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 6. Graphen Bäume 6.1 Beschreiben von Verbindungen mit Graphen 6.2 Bäume als besondere Graphen 6.3 Konstruieren von aufspannenden Bäumen Bleib fit im Umgang mit Flächen- und Rauminhalten 7. Flächeninhalt und Volumen 7.1 Flächeninhalt eines Parallelogramms 7.2 Flächeninhalt von Trapez und Drachenviereck 7.3 Flächeninhalt eines beliebigen Vielecks 7.4 Vermischte Übungen Im Blickpunkt: Flächeninhalt von krummlinig begrenzten Figuren 7.5 Prismen Netz und Schrägbild Netz und Größe der Oberfläche eines Prismas Schrägbild eines Prismas 7.6 Volumen eines Prismas 7.7 Umfang und Flächeninhalt des Kreises Umfang des Kreises Flächeninhalt des Kreises Vermischte Übungen zu Umfang und Flächeninhalt eines Kreises Im Blickpunkt: Die Zahl Pi in der Geschichte der Menschheit 7.8 Kreisausschnitt und Kreisbogen 7.9 Zylinder Größe der Oberfläche des Zylinders Schrägbild des Zylinders Volumen des Zylinders Vermischte Übungen zu Berechnungen am Zylinder 7.10 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Projekte Funktionen Messen und Darstellen Reguläre Polygone und Polyeder Teste dich Vermischte Übungen Anhang Lösungen zu Bist du fit? Lösungen zu Teste dich - Vermischte Übungen Maßeinheiten und ihre Umrechnungen Verzeichnis mathematischer Symbole Stichwortverzeichnis Seite 5

6 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 P 1-7/8 Daten erheben und erfassen * - Selbst erhobene Daten in Urlisten, Strichlisten und Häufigkeitstabellen zusammenstellen und mittels Kreis-, Linien- und Balkendiagramm darstellen - Maximum, Minimum eines Datensatzes bestimmen und das arithmetische Mittel berechnen - absolute und relative Häufigkeiten bestimmen - Ergebnisse von Datenerhebungen interpretieren, diese mit Erwartungen vergleichen und sie beurteilen ** - Daten in Messdaten, mit denen Rechnungen durchgeführt werden können, in Daten mit qualitativen Merkmalen und Daten mit speziellen Rangmerkmalen klassifizieren 3.3. Median - Median einer Häufigkeitsverteilung bestimmen 3.3. Median statistische Ergebnisse in Sachsituationen ermitteln und beurteilen und Entscheidungen und Konsequenzen begründen 3.1. Umfragen Absolute und relative Häufigkeiten und deren Darstellung Im Blickpunkt: Durchführen einer statistischen Erhebung 3.2. Das arithmetische Mittel 3.1. Umfragen Absolute und relative Häufigkeiten und deren Darstellung Kapitel 3 eingefordert., insbesondere Im Blickpunkt: Durchführen einer statistischen Erhebung. Kapitel 3 eingefordert., insbesondere Im Blickpunkt: Durchführen einer statistischen Erhebung. Seite 6

7 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 P 2-7/8 Verhältnisse mit Proportionalität erfassen * - proportionale Zuordnungen sprachlich, mithilfe von Diagrammen und Tabellen beschreiben - Eigenschaften proportionaler Zuordnungen an Beispielen beschreiben - Anteile als proportionale Zuordnung mithilfe des Prozentbegriffes beschreiben - Maßstab, Vergrößerungen und Verkleinerungen als proportionale Verhältnisse beschreiben - realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit proportionalen Zusammenhängen lösen - Proportionalität zwischen Prozentwert und Prozentsatz nutzen - proportionale Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen - zur Darstellung von proportionalen Zuordnungen im Koordinatensystem geeignete Maßstäbe und Einheiten auswählen - Anteile und Prozentangaben in unterschiedlichen Darstellungsformen, auch durch Skizzen visualisieren - sich bei Sachkontexten zur Prozentrechnung begründet für eine Darstellungsweise ( auch für die Ursprungsgerade) entscheiden - Größen bei proportionalen Zuordnungen schätzen und überschlagen 1.1. Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.2. Zueinander proportionale Größen proportionale Zuordnungen 2.1. Absoluter und relativer Vergleich Prozentbegriff 1.3. Quotientengleichheit Proportionalitätsfaktor Kapitel eingefordert Berechnen des Prozentwertes 1.2 Zueinander proportionale Größen proportionale Zuordnungen 1.2 Zueinander proportionale Größen proportionale Zuordnungen 2.1. Absoluter und relativer Vergleich Prozentbegriff Berechnen des Prozentwertes 2.4. Vermischte Übungen zur Prozentrechnung Kapitel 1 eingefordert. Seite 7

8 - Größen bei proportionalen Zuordnungen im Kopf, schriftlich und mit dem Taschenrechner berechnen - proportionale Zuordnungen in der Prozent- und Zinsrechnung verwenden - Prozentsätze, Prozentwerte und den Grundwert berechnen ** - die Lösungsverfahren Dreisatz, Verhältnisgleichung und Tabelle vergleichen - Verfahren bzw. Darstellungen zur Berechnung von Größen ( Tabelle, Dreisatz, Diagramm,...)bei proportionalen Zuordnungen begründet auswählen - Aufgaben zum erhöhten und verminderten Grundwert berechnen *** - Sachaufgaben durch mehrfache Anwendung der proportionalen Zuordnungen lösen Kapitel 1 eingefordert Grundaufgaben der Prozentrechnung 2.6. Zinsen für Bruchteile eines Jahres 2.2. Grundaufgaben der Prozentrechnung 1.4. Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen 1.5. Quotientengleichheit Proportionalitätsfaktor Diese Kompetenz wird ab Abschnitt 1.3. durchgängig eingefordert Änderung des Grundwertes 1.3. Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen Einfache Bruchgleichungen Seite 8

9 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 P 3-7/8 Negative Zahlen verstehen und verwenden * - Erfahrungen mit negativen Zahlen aus der Lebenswelt reflektieren und präsentieren - außermathematische Gründe und Beispiele für die Zahlbereichserweiterung nennen - negative Bruchzahlen beschreiben - Rechenstrategien im Umgang mit negativen Zahlen begründen - negative und positive Zahlen an der Zahlengeraden darstellen - Abstand zweier beliebiger Zahlen bestimmen und an mindestens einem Modell veranschaulichen können - Sachkontexte mit negativen Zahlen beschreiben - Begriffe und Symbole für natürliche Zahlen, ganze Zahlen und rationale Zahlen nutzen - Begriffe wie Gegenzahl, Betrag, Vorzeichen und Rechenzeichen verwenden - für Variable auch negative Zahlen einsetzen und den Wert von Termen bestimmen 4.1. Negative Zahlen rationale Zahlen 4.1. Negative Zahlen rationale Zahlen 4.1. Negative Zahlen rationale Zahlen 4.4 Beschreiben von Änderungen mit rationalen Zahlen 4.5. Addieren rationaler Zahlen Rechengesetze 4.6. Subtrahieren rationaler Zahlen 4.7. Multiplizieren rationaler Zahlen 4.8. Dividieren rationaler Zahlen 4.1. Negative Zahlen rationale Zahlen 4.3. Anordnung rationaler Zahlen 4.3. Anordnung rationaler Zahlen Kapitel 4 eingefordert. Kapitel 4 eingefordert Negative Zahlen rationale Zahlen 4.6. Addieren rationaler Zahlen Aufstellen von Termen 1.1. Terme Seite 9

10 - mit rationalen Zahlen im Kopf, halbschriftlich und mit dem Taschenrechner rechnen - einfache Gleichungen mit negativen Zahlen inhaltlich und mit einem angemessenen Zahl lösen sowie den Rechenweg begründen ** - Vorzeichenregeln für die Multiplikation negativer Zahlen begründen - Sachzusammenhänge zu gegebenen Termen angeben - Rechengesetze auch im Umgang mit negativen Zahlen vorteilhaft verwenden Diese Kompetenz wird ab Abschnitt 4.5 durchgängig eingefordert Lösen von Gleichungen durch Probieren 8.2. Lösen von Gleichungen durch Umformen 4.7. Multiplizieren rationaler Zahlen Berechnen von Termen mit rationalen Zahlen Aufstellen von Termen Rechengesetze für die Addition Rechengesetze verschiedene Rechenwege 1.1. Terme Seite 10

11 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 P 4-7/8 Mit Funktionen Beziehungen und Veränderungen beschreiben * - Sachsituationen zu vorhandenen Graphen von Funktionen angeben - Sachkontexte funktionaler Zusammenhänge mithilfe von Tabellen und Graphen darstellen - Daten aus Sachsituationen ermitteln, mithilfe von Tabelle erfassen und im Koordinatensystem darstellen sowie den funktionalen Zusammenhang beschreiben - Größen gegebener Funktionen den Achsen des Koordinatensystems begründet zuordnen - Entscheidung für eine grafische Darstellung von Funktionen begründen - tabellarisch gegebene Funktionen im Koordinatenkreuz darstellen - Wertepaare aus Graphen ablesen - Funktionen sowohl sprachlich, als auch in Skizzen, Tabellen und Graphen erfassen und beschreiben - Funktionen als eindeutige Zuordnungen beschreiben ** - die Durchzeichenbarkeit des Graphen begründen *** - Funktionen durch Terme erfassen und beschreiben 1.1 Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.1. Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.1. Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.1. Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.1. Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.1. Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.1. Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.1. Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.1. Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.4. Quotientengleichheit Proportionalitätsfaktor 7.4. Produktgleichheit - Gesamtgröße 4.1. Funktionen als eindeutige Zuordnung 4.1. Funktionen als eindeutige Zuordnung 4.1. Funktionen als eindeutige Zuordnung 4.1. Funktionen als eindeutige Zuordnung 4.1. Funktionen als eindeutige Zuordnung 4.1. Funktionen als eindeutige Zuordnung 4.1. Funktionen als eindeutige Zuordnung 4.1. Funktionen als eindeutige Zuordnung 4.1. Funktionen als eindeutige Zuordnung Kapitel 4 eingefordert. Seite 11

12 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 P 5-7/8 Mit Variablen, Termen und Gleichungen Probleme lösen * - Sachsituationen, geometrische Situationen und arithmetische Zusammenhänge durch Terme beschreiben - Variable als Repräsentanten für gesuchte Größen und Anzahlen verwenden - große Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen darstellen - situationsgemäß zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen gebrochener Zahlen (Bruchdarstellung, Dezimaldarstellung) wechseln - Ergebnisse durch Einsetzen überprüfen - Gleichungen auch nichtlineare durch Ausprobieren und Korrigieren lösen - Gleichungsumformungen mit einem Modell (z.b. Waagemodell, Schachtelmodell) begründen - Rechengesetze (Distributivgesetz, binomische Formeln,...) durch Flächen veranschaulichen - Rechengesetze auf Terme zum Ordnen und Ausmultiplizieren anwenden ** Aufstellen von Termen 8.1. Lösen von Gleichungen durch Probieren 8.3. Modellieren mit Termen und Gleichungen Bleib fit im Umgang mit der Bruchrechnung Bleib fit im Umgang mit der Bruchrechnung Kapitel 8 eingefordert Lösen von Gleichungen durch Probieren 8.2. Lösen von Gleichungen durch Umformen Lösen von Gleichungen, in denen die Variable mehrfach vorkommt 1.1. Terme Kapitel 1 eingefordert. Kapitel 1 eingefordert. 1.5 Auflösen und Setzen einer Klammer 1.8. Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt 1.3 Termumformungen Addieren und Subtrahieren 1.4. Multiplizieren und Dividieren von Produkten 1.6. Minuszeichen vor einer Klammer Subtrahieren einer Klammer 1.8. Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt Seite 12

13 - Gleichungen auch nicht lineare durch systematisches Probieren, z.b. Anlegen einer Tabelle, lösen - Rechengesetze auf Terme beim Faktorisieren anwenden - binomische Terme als Spezialfälle der allgemeinen Terme der Form (a+b)(c+d) deuten und die binomischen Formeln begründen - ein allgemeines Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen beschreiben und verwenden - einfache Formelumstellungen mit dem Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen begründen *** - in Sachsituationen das Gleichsetzen linearer Terme als Bestimmung eines Schnittpunktes von Graphen linearer Funktionen deuten 8.1. Lösen von Gleichungen durch Probieren 8.2. Lösen von Gleichungen durch Umformen 1.9. Binomische Formeln 1.7 Ausklammern Faktorisieren einer Summe 1.9. Binomische Formeln Umformen von Formeln 4.4. Nullstellen linearer Funktionen grafisches Lösen linearer Gleichungen 5.2. Systeme linearer Gleichungen grafisches Lösungsverfahren Seite 13

14 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 P 6-7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren * - Ebene Figuren auch aus dem Umfeld mit den Begriffen Punkt, Gerade, Strecke, Winkel, parallel, orthogonal ( senkrecht zu ), achsensymmetrisch beschreiben - Dreiecke nach dem Kriterium der Achsensymmetrie (gleichschenklig, gleichseitig) und nach der Winkelgröße (spitz-, stumpf-, rechtwinklig) klassifizieren - Kongruenz als Deckungsgleichheit durch Drehen, Verschieben und Spiegeln definieren - Eindeutigkeit (Kongruenz) von Dreiecken mit der Angabe von drei Seiten begründen - Winkel mithilfe der Sätze über Scheitel-, Neben- und Stufenwinkel und der Winkelsumme im Dreieck bestimmen - Satz des Thales zur Begründung von Rechtwinkligkeit verwenden - Satz über die Winkelsumme bei Dreieckskonstruktionen anwenden - Vierecke charakterisieren - Figuren als Vorbereitung für eine Konstruktion oder eine Problemlösung skizzieren Kapitel 5 sowie 6 eingefordert. 6.2 Winkelsumme Einteilung der Dreiecke nach Winkeln 6.3. Gleichschenklige Dreiecke 6.4. Kongruente Figuren Konstruktion eines Dreiecks aus drei Seiten Kongruenzsatz sss 6.1. Winkel an Geradenkreuzungen 6.2. Winkelsumme Einteilung der Dreiecke nach Winkeln 6.3 Gleichschenklige Dreiecke 6.5. Dreieckskonstruktionen Kongruenzsätze 6.8. Konstruktion von Dreiecken aus Teildreiecken 6.5. Dreieckskonstruktionen Kongruenzsätze 6.8. Konstruktion von Dreiecken aus Teildreiecken Kapitel 2 eingefordert Satz des Thales 2.1. Symmetrische Vierecke und ihre Eigenschaften 2.2. Übersicht über die Vierecke 2.3. Beweisen Satz und Kehrsatz 2.4. Konstruktion von allgemeinen Vierecken Seite 14

15 - Dreiecke, parallele und orthogonale Geraden und Mittelsenkrechten mit Zirkel, Lineal, Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware konstruieren - besondere Linien im Dreieck (Höhe, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte) konstruieren ** - Eindeutigkeit(Kongruenz) von Dreiecken mit der Angabe von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder mit der Angabe von einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln begründen - Satz des Thales beweisen - Satz über die Winkelsumme im Dreieck beweisen - Satz über die Winkelsumme im Viereck durch Zerlegen in Dreiecke begründen - Vierecke konstruieren *** - Beispiele für eindeutige und nicht eindeutige Konstruktionen von Dreiecken geben - bei der Begründung von Eigenschaften von Vierecken mit Symmetrie, den Winkelsätzen oder der Kongruenz argumentieren Kapitel 6 eingefordert Besondere Punkte und Linien des Dreiecks Konstruktion aus zwei Seiten und einem Winkel Kongruenzsatz sws Konstruktion aus einer Seite und zwei Winkeln Kongruenzsatz wsw 6.2. Winkelsumme Einteilung der Dreiecke nach Winkeln 6.2. Winkelsumme Einteilung der Dreiecke nach Winkeln Konstruktion aus zwei Seiten und einem Winkel Kongruenzsatz Ssw Kapitel 2 eingefordert Satz des Thales 2.1. Symmetrische Vierecke und ihre Eigenschaften 2.4. Konstruktion von allgemeinen Vierecken 2.1. Symmetrische Vierecke und ihre Eigenschaften 2.2. Übersicht über die Vierecke 2.4. Konstruktion von allgemeinen Vierecken Seite 15

16 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 P 7-7/8 Proportionale und antiproportionale Modelle * - Diagramme beim Ablesen von Wertepaaren interpretieren und Aussagen über die zugrunde liegenden Zuordnungen machen - proportionale und antiproportionale Zuordnungen sowohl sprachlich als auch mithilfe von Diagrammen und Tabellen beschreiben 1.1 Tabelle und Graph einer Zuordnung 1.2. Zueinander proportionale Größen Proportionale Zuordnungen 7.1. Zueinander antiproportionale Größen Antiproportionale Zuordnungen - unterschiedliche Darstellungen für proportionale und antiproportionale Zusammenhänge interpretieren und vergleichen - Eigenschaften der proportionalen und der antiproportionalen Zuordnung beschreiben - proportionale und antiproportionale Zusammenhänge in Sachzusammenhängen unterscheiden und Probleme lösen - zur Berechnung proportionaler und antiproportionaler Zuordnungen geeignete Verfahren (Tabelle, Dreisatz, Diagramm,...) begründet auswählen - Ergebnisse in Sachsituationen durch Schätzungen bzw. Überschlag prüfen 1.2 Zueinander proportionale Größen Proportionale Zuordnungen 7.1. Zueinander antiproportionale Größen Antiproportionale Zuordnungen 1.2 Zueinander proportionale Größen Proportionale Zuordnungen 7.1. Zueinander antiproportionale Größen Antiproportionale Zuordnungen 7.3. Vermischte Übungen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen 1.3. Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen 1.4. Quotientengleichheit Proportionalitätsfaktor 7.2. Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen 7.4. Produktgleichheit Gesamtgröße Kapitel 1 und 7 eingefordert ** Seite 16

17 - zur Beschreibung von Zuordnungen die Quotienten- und Produktgleichheit nutzen - Terme als Zuordnungsvorschrift aufstellen - zur Darstellung proportionaler und antiproportionaler Zuordnungen im Koordinatensystem geeignete Einheiten auswählen Sachaufgaben durch mehrfache Anwendung proportionaler und antiproportionaler Zuordnungen lösen 1.4. Quotientengleichheit Proportionalitätsfaktor 7.4. Produktgleichheit Gesamtgröße 1.4. Quotientengleichheit Proportionalitätsfaktor 7.4. Produktgleichheit Gesamtgröße 1.2. Zueinander proportionale Größen proportionale Zuordnungen 7.1. Zueinander antiproportionale Größen antiproportionale Zuordnungen 1.3. Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen 7.2. Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen 7.5. Aufgaben zur Vertiefung Kapitel 4 eingefordert 4.2. Proportionale Funktionen Seite 17

18 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 P 8-7/8 Mit dem Zufall rechnen * - die Begriffe Ergebnis, Ereignis und Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten verwenden - die wiederholte Durchführung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Häufigkeit beschreiben - Wahrscheinlichkeiten durch relative Häufigkeiten schätzen - einfache Zufallsexperimente durch die Angabe einer angemessenen Ergebnismenge beschreiben - Laplace-Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen der für das Ereignis günstigen Fälle und der insgesamt möglichen Fälle berechnen - die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen aufgrund von Symmetrien begründen - das verwendete Abzählverfahren begründen - das Laplace-Modell zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten nutzen geeignete Modelle (z.b. Abzählbäume) zum Abzählen nutzen ** - Zufallsexperimente durch die Angabe einer der Problemstellung angemessenen Ergebnismenge beschreiben - Laplace-Wahrscheinlichkeiten durch geschicktes Abzählen auf Grundlage des allgemeinen Zählprinzips berechnen 3.1. Zufallsexperimente 3.3. Näherungsweises Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten Verteilungen 3.3. Näherungsweises Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten Verteilungen 3.1. Zufallsexperimente 3.2. Laplace-Experimente 3.2. Laplace-Experimente 3.7. Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten mithilfe kombinatorischer Abzählverfahren 3.2. Laplace-Experimente 3.6. Zurückführen eines Zufallsexperiments auf ein Laplace-Experiment 3.7. Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten mithilfe kombinatorischer Abzählverfahren 3.6. Zurückführen eines Zufallsexperiments auf ein Laplace-Experiment 3.7. Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten mithilfe kombinatorischer Abzählverfahren Seite 18

19 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 P 9-7/8 Reale Situationen mit linearen Modellen beschreiben * - Parameter (Steigung, Ordinatenabschnitt) aus gegebenen Geraden ablesen - einfache Sachzusammenhänge durch lineare Gleichungssysteme((2,2)- Systeme) beschreiben und diese grafisch interpretieren - Geraden, die durch eine Wertetabelle oder zwei Punkte gegeben sind, zeichnen - verschiedene Darstellungsformen (sprachlich, tabellarisch, grafisch) linearer Funktionen ineinander umwandeln - eine lineare Gleichung der Form ax+by=c nach einer Variablen umformen - lineare Gleichungssysteme ((2,2)- Systeme) inhaltlich, durch systematisches Probieren und grafisch lösen - lineare Gleichungssysteme ((2,2)- Systeme) durch Anwendung eines rechnerischen Verfahrens lösen - Geraden linearer Funktionen als Entscheidungshilfe zur Bearbeitung in Sachkontexten zeichnen - Sachkontexte durch lineare Funktionen modellieren - Sachkontexte durch lineare Gleichungssysteme((2,2)-Systeme) modellieren und lösen 4.3. Lineare Funktionen 5.2. Systeme linearer Gleichungen grafisches Lösungsverfahren 4.3 Lineare Funktionen 4.5. Vermischte Übungen 5.1. Lineare Gleichungen der Form ax+by=c 5.2. Systeme linearer Gleichungen grafisches Lösungsverfahren 5.3. Gleichsetzungsverfahren 5.4 Einsetzungsverfahren 5.5 Additionsverfahren 4.5. Vermischte Übungen 5.2. Systeme linearer Gleichungen grafisches Lösungsverfahren 4.2. Proportionale Funktionen 4.3. Lineare Funktionen 4.6. Ausgleichsgeraden 5.6. Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme ** Seite 19

20 - Parameter (Steigung, Ordinatenabschnitt) aus gegebenen Geraden ablesen, auch wenn ein außermathematischer Kontext dargestellt ist - Sachkontexte ( lineare Zusammenhänge ) durch eine lineare Funktion beschreiben - zu vorgegebenen Graphen linearer Funktionen Sachkontexte angeben, die mit diesen Funktionen beschrieben werden können - Geraden, die durch eine Funktionsgleichung gegeben sind, auch mittels Ordinatenabschnitt und Steigungsdreieck zeichnen - Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen Gleichungssystemen((2,2)-Systeme) untersuchen - Sachkontexte durch lineare Gleichungssysteme((2,2)-Systeme) modellieren, die Lösungsmenge interpretieren und die Grenzen des Modells beschreiben *** - Sachzusammenhänge durch stückweise lineare Funktionen beschreiben - Ausgleichsgeraden in Streudiagrammen nach Augenmaß zeichnen und daraus die Gleichung der linearen Funktion bestimmen - die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus zwei gegebenen Punkten berechnen - lineare Gleichungssysteme((2,2)- Systeme) mit einem selbst ausgewählten Verfahren lösen 4.3. Lineare Funktionen 4.2. Proportionale Funktionen 4.3. Lineare Funktionen 4.6. Ausgleichsgeraden 4.5.Vermischte Übungen 4.3. Lineare Funktionen 5.2. Systeme linearer Gleichungen grafisches Lösungsverfahren Sonderfälle beim rechnerischen Lösen 5.6. Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme 4.7. Stückweise lineare Funktionen 4.6. Ausgleichsgeraden 4.3. Lineare Funktionen Vermischte Übungen Seite 20

21 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 P 10-7/8 Ebene Figuren und Körper schätzen, messen und berechnen * - Flächeninhaltsformeln (Dreieck, Parallelogramm, Trapez) begründen - Kreisumfang und Flächeninhalt des Kreises durch Abmessen bzw. Auszählen ermitteln - Netze von Prismen, Zylindern, Pyramiden und Kegeln entwerfen - Modelle von Prismen und Zylindern herstellen - Formeln für das Volumen von geraden Prismen und geraden Kreiszylindern begründen - Flächen- und Rauminhalte durch Vergleichen mit geeigneten Repräsentanten schätzen - Formeln zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts von Dreiecken, Trapezen, Drachenvierecken und Kreisen anwenden - Formeln zur Berechnung des Volumens von Prisma und Zylinder anwenden - Winkelgrößen und Streckenlängen messen - Messergebnisse runden - Maßeinheiten der Messung entsprechend auswählen Diese Kompetenz wird durchgängig in allen Geometrie-Kapiteln eingefordert. Diese Kompetenz wird durchgängig in ganzen Buch eingefordert. Diese Kompetenz wird durchgängig in allen Geometrie-Kapiteln eingefordert Flächeninhalt eines Parallelogramms 7.2. Flächeninhalt von Trapez und Drachenviereck 7.7. Umfang und Flächeninhalt des Kreises 7.5. Prismen Netz und Schrägbild 7.9. Zylinder 7.5. Prismen Netz und Schrägbild 7.9. Zylinder 7.6. Volumen eines Prismas Volumen des Zylinders Bleib fit im Umgang mit Flächen- und Rauminhalten und durchgängig in dem gesamten Kapitel 7. Kapitel 7 eingefordert. Diese Kompetenz wird durchgängig im Kapitel ab Abschnitt 7.6 eingefordert. Diese Kompetenz wird durchgängig in allen Geometrie-Kapiteln eingefordert. Diese Kompetenz wird durchgängig in allen Geometrie-Kapiteln eingefordert. Diese Kompetenz wird durchgängig in allen Geometrie-Kapiteln eingefordert. Seite 21

22 - Flächeninhalte von ebenen Figuren im Umfeld auch durch Flächenzerlegung ermitteln - Oberflächeninhalte von Quadern und geraden Kreiszylindern im Umfeld ermitteln ** - Messfehler beschreiben - Oberflächeninhalte von regelmäßigen dreiseitigen Prismen im Umfeld ermitteln - Oberflächen- und Rauminhalte von zusammengesetzten Körpern ermitteln *** Flächengrößen überschlägig bestimmen Diese Kompetenz wird durchgängig in ganzen Buch eingefordert Flächeninhalt eines beliebigen Vielecks Bleib fit im Umgang mit Flächen- und Rauminhalten Größe der Oberfläche eines Zylinders Diese Kompetenz wird durchgängig in ganzen Buch eingefordert Netz und Größe der Oberfläche eines Prismas 7.6. Volumen eines Prismas Vermischte Übungen zu Berechnungen am Zylinder Im Blickpunkt: Flächeninhalt von krummlinig begrenzten Figuren Seite 22

23 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 W 1-7/8 Diskrete Strukturen in der Umwelt * - Mit Graphen modellieren - Graphen als Realsituationen interpretieren - Matrizen zur symbolischen Darstellung von Graphen verwenden - Algorithmen für Alltagstätigkeiten wie Anziehen, zur Schule gehen formulieren - Probleme wie das minimaleraufspannender-baum-problem formulieren - Algorithmen zur Lösung der Probleme zeichnerisch und mithilfe neuer Medien entwickeln - einfache Formulierungen für ihre Algorithmen finden - Algorithmen auf Beispiele anwenden ** - Grapheneigenschaften entdecken - eigene Algorithmen formalisieren - Charakterisierungen für spezielle Graphen, z.b. Bäume, suchen *** - Grapheneigenschaften beweisen - detaillierte Schritt-für-Schritt- Anweisungen für die Algorithmen entwickeln, auch mithilfe von Software - argumentieren, warum Algorithmen korrekt arbeiten Die hier geforderten Kompetenzen werden im Kapitel 6. Graphen Bäume vermittelt: 6.1. Beschreiben von Verbindungen mit Graphen 6.2. Bäume als besondere Graphen 6.3 Konstruieren von aufspannenden Bäumen Seite 23

24 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 W 2-7/8 Körper und Figuren darstellen und berechnen * - unterschiedliche Möglichkeiten geometrischer Grundkonstruktionen vergleichen - Flächeninhalte durch Zerlegungen, auch in selbst gewählte, nicht standardisierte Flächenmaße ermitteln - Kantenmodelle und Körper aus unterschiedlichen selbst gewählten Materialien bauen - Körper mithilfe von Abwicklungen bauen - Volumen von Körpern, z.b. von Hohlkörpern, durch Füllen mit Wasser oder Sand, oder von Vollkörpern durch Messen der Verdrängungsmasse im Wasser und durch ähnliche Verfahren berechnen - räumliche Darstellungen konstruieren und mindestens zwei unterschiedliche Darstellungsweisen auf ihre Aussagekraft vergleichen ** - die Materialnutzung beim Bauen von Körpern durch die Nutzung unterschiedlicher Abwicklungen optimieren Die Kompetenzen zu diesem Wahlmodul wurden integriert in das Kapitel 7. Projekt: Reguläre Polygone und Polyeder Seite 24

25 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 W 3-7/8 Geometrische Abbildungen und Symmetrie * - Achsen-, Dreh- und Punktsymmetrie an Figuren beschreiben und auch durch Falten und Drehen überprüfen - symmetrische Figuren herstellen auch durch Ausschneiden, Falten, Drehen, Abzählen von Gitterpunkten - konstruieren Abbildungen einfacher Figuren durch Achsenspiegelung, Punktspiegelung und Drehung - Parkettierungen vervollständigen und entwerfen - mit Figuren Parallelverschiebungen durchführen auch durch Herstellen von Schablonen ** - Konstruktionsvorschriften für die Spiegelung, Punktspiegelung und Drehung erarbeiten und bei Konstruktionen anwenden - Konstruktionsvorschriften für die Parallelverschiebung erarbeiten und bei Konstruktionen anwenden *** - die Abbildungen Spiegelung, Punktspiegelung und Parallelverschiebung im Koordinatensystem durchführen Die hier geforderten Kompetenzen werden im Kapitel 5. Geometrische Abbildungen Symmetrien vermittelt: 5.1. Achsenspiegelungen Achsensymmetrie 5.2. Punktspiegelungen Punktsymmetrie 5.3. Verschiebungen Bandornamente Im Blickpunkt: Herstellen von Escher-Bildern 5.4. Drehungen Drehsymmetrie Im Blickpunkt: Symmetrie als Gestaltungsprinzip Seite 25

26 Inhaltsbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 W 4-7/8 Geometrisches Begründen und Beweisen ** - Umfangswinkelsatz und Mittelpunktswinkelsatz begründen - Satz über die Außenwinkel im Dreieck begründen - Aussagen über die Umkehrbarkeit der Winkelsätze an geschnittenen Parallelen begründen - Inkreis- und Umkreismittelpunkt eines Dreiecks konstruieren - Tangenten an einen Kreis konstruieren - Tangentenkonstruktionen begründen *** - begründen, dass die Mittelparallele im Dreieck halb so lang wie die Grundseite ist - begründen, dass alle Seitenhalbierenden eines Dreiecks durch einen Punkt ( Schwerpunkt ) verlaufen - Satz über den Inkreis- und den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks begründen Satz über die Winkelsumme im n-eck begründen Die hier geforderten Kompetenzen werden im Kapitel 6. Dreiecke vermittelt: 6.2. Winkelsumme Einteilung der Dreiecke nach Winkeln 6.6. Kreis und Gerade Kreistangente 6.7. Besondere Punkte und Linien des Dreiecks Im Blickpunkt: Eine Eigenschaft der besonderen Linien im Dreieck Die hier geforderten Kompetenzen werden im Kapitel 2. Geometrie vermittelt: 2.3. Beweisen Satz und Kehrsatz 2.5. Satz des Thales 2.6. Umfangswinkelsatz Im Blickpunkt: Sehnenviereck Tangentenviereck Seite 26

27 Prozessbezogene Kompetenzen Realisierung in Elemente der Mathematik Argumentieren - mathematische Situationen erkunden und Vermutungen aufstellen Die Darstellung der Lerninhalte erfolgt problemorientiert. Darüber hinaus - Plausibilität von Vermutungen begründen oder widerlegen durch Angabe von Beispielen oder Gegenbeispielen sollen Schüler in der Rubrik Im Blickpunkt aber auch durchgän- gig in entsprechend konzipierten Übungen mathematische Zusammenhänge - schlüssige Argumentationen zur Begründung mathematischer Aussagen entwickeln eigenständig erforschen. Hier wird explizit mathematisches Arbeiten mit verschiedenen Argumentationen intendiert. - Argumentationen und Begründungen kritisch hinterfragen, Fehler finden und korrigieren Die Analyse von vorliegenden Argumentationen und Vorgehensweise erfolgt darüber hinaus in Übungsaufgaben, die mit einem Detektiv gekennzeichnet sind und die Analyse von Fehler erfordern.. Problemlösen - Muster und Beziehungen bei Zahlen und Figuren untersuchen und mögliche mathematische Problemstellungen finden Das Finden mathematischer Strukturen erfolgt an vielen Stellen, z.b. beim Aufstellen von Termen zu figurierten Zahlen, beim Erkennen und - inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen Worten wiedergeben und ihnen die relevanten Größen entnehmen Beschreiben von Gesetzmäßigkeiten, usw. Hier wird insbesondere auch die Wiedergabe der Überlegungen mit eigenen Worten eingefordert. - Probleme vereinfachen und Beispiele bilden und untersuchen - geeignete Darstellungen und Hilfsgrößen (z.b. Hilfslinien, Zwischenergebnisse, Variablen) finden und nutzen Bei Modellieren, z.b. beim Lösen von Problemen mithilfe von Gleichungen, wird stets auf die nötigen Vereinfachungen der zu behandelnden - heuristische Strategien verwenden Problemstellungen und den Wert geeigneter Darstellungen - Lösungswege reflektieren und die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen hingewiesen und diese auch kritisch hinterfragt. Zur Lösung verwendete Strategien werden deutlich herausgestellt. Die Reflektion des eigenen Vorgehens bei der Lösung eines Problems wird angeregt; die enthaltene Überprüfung des erhaltenen Ergebnisses z.b. durch Überschlag o.ä ist integraler Bestandteil der Problembearbeitung. Seite 27

28 Prozessbezogene Kompetenzen Modellieren - eine reale Situation strukturieren und vereinfachen, sodass diese mathematisch zugänglich wird und die Vereinfachungen reflektieren - reale Situationen mit mathematischen Modellen (z.b. lineare Funktionen als Term oder Graphen) beschreiben - Ergebnisse einer Modellierung interpretieren und prüfen - Modelle auf ihre Gültigkeit oder Grenzen überprüfen und sie gegebenenfalls verwerfen oder verbessern - zu einem mathematischen Modell verschiedene Realsituationen angeben Darstellungen verwenden - verschiedene mathematische Darstellungen (verbale, numerische, grafische und symbolische) interpretieren - je nach Situation und Zweck geeignete Darstellungsformen auswählen oder zwischen ihnen übersetzen - Beziehungen zwischen Darstellungen erkennen und Unterschiede zwischen ihnen reflektieren Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen - Variable, Terme, Gleichungen zum Strukturieren von Informationen, zum Modellieren und zum Problemlösen verwenden und zwischen symbolischer und natürlicher Sprache übersetzen - mathematische Verfahren ausführen, deren Anwendung reflektieren und die Ergebnisse überprüfen - mathematische Hilfsmittel und Werkzeuge zur Darstellung und beim Problemlösen einsetzen Realisierung in Elemente der Mathematik Altersangemessen wird der Modellierungsprozess in allen Sachgebieten Geometrie, Stochastik und insbesondere auch Algebra deutlich herausgearbeitet; sowohl in der Darstellung der Lerninhalte als auch bei der Formulierung der zugehörigen Übungsaufgaben. Das Angeben verschiedener Realsituationen zu ein- und demselben mathematischen Modell ist eine konsequent vorkommende Zielumkehraufgabe, die auch den Prozess des Modellierens schult. Verbale, tabellarische, grafische und algebraisch-symbolische Darstellungen werden im Zusammenhang von Zuordnungen in Klasse 7 und Funktionen in Klasse 8 konsequent nebeneinander behandelt und ineinander überführt. Auch in anderen Sachgebieten, z.b. beim Schrägbild und Netz in der Geometrie, wird der Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungen sowie ihr Vergleich konsequent eingefordert und genutzt. Symbolische, formale und technische Elemente der Mathematik werden altersgemäß behutsam und an die Alltagsvorstellungen der Lernenden anknüpfend eingeführt. Beim Umgang mit ihnen wird Wert darauf gelegt, dass nicht nur ein symbolisch korrektes Vorgehen im Vordergrund steht, sondern der konsequente Bezug zur inhaltlichen Bedeutung. Als Hilfsmittel zur Problembearbeitung werden neben den klassischen auch dynamische Geometrie-Systeme und Computer-Algebra- Systeme angeboten. Seite 28

29 Prozessbezogene Kompetenzen Kommunizieren - mathematische Informationen in mathematikhaltigen Darstellungen und nicht aufbereiteten, authentischen Texten (z.b. aus Zeitungen) erfassen und reflektieren - eigene Problembearbeitungen und Einsichten sowie mathematische Zusammenhängeadressatengerecht mit eigenen Worten erläutern und sie mit geeigneten Fachbegriffen präzisieren - Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren, diese verständlich darstellen und sie auch unter Nutzung geeigneter Medien präsentieren - die gemeinsame Arbeit an mathematischen Problemen organisieren Realisierung in Elemente der Mathematik Die Schülerinnen und Schüler erhalten in den Übungsaufgaben eine Vielzahl von Materialien aus Presse und Internet, aus denen sie Informationen entnehmen und kritisch verarbeiten sollen. An etlichen Stellen ist dabei die mathematische Problemstellung eigenständig zu formulieren und mit einem Partner zu bearbeiten. Dies erfordert eine Absprache mit diesem zur Planung und Durchführung des gemeinsamen Vorgehens. Anschließend sind nicht nur dem Partner, sondern der ganzen Lerngruppe Überlegungen mithilfe zuvor erstellter Dokumentationen sach- und adressatengerecht darzustellen. Seite 29