6.2 Schwarzer Strahler, Plancksche Strahlungsformel

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1 6. Schwarzer Strahler, Plancsche Strahlungsformel Sehr nappe Herleitung der Plancschen Strahlungsformel Ziel: Berechnung der Energieverteilung der Strahlung im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T. 500 Energieverteilungsfuntion L(E,T) L(E,T)dE Energieverteilung L(E,T) E E+dE Energie E (will. Einh.) energieverteilung.opj Energie der Strahlung im Intervall E, E+dE. Diese Energieverteilung L(E,T) war gegen Ende des 9. Jahrhunderts experimentell sorgfältig bestimmt worden. Schwarzörperstrahlung.

2 Grundideen: ) Berechnung der Zahl der Schwingungsmöglicheiten (Moden) von eletromagnetischen Wellen in einem Hohlraum, Volumen V L L L, mit perfet eletrisch leitfähigen Wänden. ) Multipliation dieser Modenverteilung mit der Wahrscheinlicheit, daß diese Schwingungsmode der Energie E h ν bei der Temperatur T besetzt ist. Die Herleitung benutzt in ) das Wellenbild zur Berechnung der Modendichte. In ) wird dann die Lichtquantenvorstellung E h ν entscheidend eingesetzt..5 E x, E y Licht: Transversale eletromagnetische Welle E Ausbreitungsrichtung Randbedingung für Schwingungen (stehende Wellen) entlang x: x/l moden0.opj E y, E z 0 für x 0 und x L

3 Die Maxwell-Gleichungen lassen als Lösungen harmonische Schwingungen zu: E y ( x, t) A sin( x) sin( ωt + ϕ) y x E y (x,t): eletrische Feldstäre Beliebige Anfangsphase ϕ x : -Vetor der Welle ω ν Kreisfrequenz Eine analoge Lösung ergibt sich auch für E z (x,t) Durch die Wahl sin( x x) ist automatisch E y (0,t) 0 E y (L,t) wird dann 0, wenn sin( x L) 0 wird. x L n x, n x,,, etc. D.h. die durch die eletrisch leitfähigen Wände bei x 0 und x L aufgezwungenen Randbedingungen führen zu ganz bestimmten erlaubten Werten des Wellenvetors x : x n x nx N nx L,,, etc Da /λ ist, ann man die Beziehung für die Wellenlänge λ formulieren: λ x L n x n L x

4 Für die zweite Polarisationsrichtung E z (x,t) gelten die gleichen Randbedingungen. Für die Schwingungen entlang der y-richtung und entlang der z-richtung macht man die gleichen Überlegungen und erennt, daß für den -Vetor nur folgende Lösungen in Frage ommen (nur diese erfüllen die Randbedingungen auf den Begrenzungsebenen): z x nx y n y n L x, n y, n z,,,... z n z Im -Raum spannen die möglichen Lösungen ein einfaches ubisches Puntgitter auf. x y Ein Punt im -Raum nimmt das Raum Volumen V L ein.

5 Der Zusammenhang zwischen und der Frequenz ν ist eine direte Proportionalität: λ c ν ν c Zur Berechnung der Zahl der Schwingungsmoden mit Frequenzen ν im Bereich ν, ν +d ν geht man von einer Summation zu einer Integration im -Raum über, weil die Moden im -Raum sehr dicht liegen. Man ann L sehr groß machen, dann ist das Volumen V sehr lein. Formal ann man L gehen lassen, denn L ist beliebig. Man integriert über eine Kugelschale 4 d im -Raum. z Im Bereich, +d liegen N()d Zustände: N( ) d 8 4 V d d y Nur positive Werte von nx,ny,nz Polarisationsrichtungen x

6 8 ) ( 8 L d dl d N Das Volumen im Ortsraum ist V L. Berechnet man jetzt die Ortsraumdichte der Moden, so muß man durch das Volumen V dividieren, und wird von L unabhängig! ) ( ) ( ) ( d L N V N n Für die Umrechnung auf Frequenzen ν benutzt man ()/c ν und d ()/c dν ν ν ν ν d c d n 8 ) ( n(ν)dν ist die Zahl der Schwingungsmoden/Volumeneinheit im Bereich ν, ν + dν n(ν) ist also die Modendichte: Schwingungsmoden Volumen Frequenzeinheit n(ν)

7 Das quadratische Anwachsen der Modenzustandsdichte ist charateristisch für die Zustandsdichte von Photonen (ganz allgemein von Teilchen der Ruhemasse 0). n(ν) n( ν) dν 8 ν c dν Werte als Beispiele: ) Im Bereich ν f 00 MHz (UKW-Sender): Frequenz ν 9 Moden n( 00MHz) 9. 0 m Hz ) Im Bereich des sichtbaren Lichtes, λ 500 nm, ν Hz 4 5 Moden n( 6 0 Hz).5 0 m Hz

8 Zur Energiedichte der Hohlraumstrahlung gelangt man durch die Quantenhypothese, Max Planc (900). In moderner Ausdrucsweise postuliert man: ) Die Energie einer Mode ist mit der Frequenz einer Mode über E h ν vernüpft. Diese Energie h ν eines Photons ann nur insgesamt absorbiert oder emittiert werden. ) Im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T ist eine Schwingungsmode der Energie E h ν mit folgender Wahrscheinlicheit besetzt: f BE ( E, T ) e E T f BE ( ν, T ) e hν T Diese fundamentale Besetzungswahrscheinlicheit f BE (E,T) ist die Bose-Einstein Statisti. Sie gilt nicht nur für Photonen, sondern für alle Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin). Es gibt in der Physi nur zwei fundamentale Verteilungsfuntion: Bose-Einstein Statisti für Bosonen und Fermi-Dirac Statisti für Fermionen

9 0 8 Bose-Einstein Verteilung f BE (E,T) 6 4 f BE ( E, T ) e E T E/T BoseEinstein0.opj Die Bose-Einstein Verteilungsfuntion beschreibt die Besetzungswahrscheinlicheit für Bosonen-Zustände der Energie E im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T

10 Näherungen: leine Energien E<<T : exp(e/t) +E/T große Energien E >>T: exp(e/t) >> f BE (E,T) T/E f BE (E,T) exp(-e/t) 0 Näherungslösungen: 8 E << T : T/E f BE (E,T) 6 4 x0 x0 E >> T : exp(-e/t) E/T BoseEinstein0.opj

11 Die Energiedichte u(ν,t) der Strahlung des schwarzen Körpers ist dann: u( ν, T ) ( h ν ) n( ν ) f ( ν, T ) BE Energie pro Mode Modendichte Verteilungsfuntion u( ν, T ) 8h ν c exp( hν T ) Dies ist die Plancsche Strahlungsformel, welche die Energieverteilung der Hohlraumstrahlung (Schwarzörperstrahlung) vollständig quantitativ beschreibt. Zur Energieverteilung L(E,T) ommt man durch: E h ν und L(E,T) Volumen*u(E/h,T) u(ν,t) ist im wesentlichen die Energiedichte (Energie pro Volumeneinheit)

12 T 5000 K Energieverteilung T 500 K Energie (ev) Planc0.opj