3.4 Monotonie. Differenzialrechnung

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1 Differenzialrechnung 3.4 Monotonie Definition Gilt an der Stelle x 0 Beispiel Wir sehen von der Seite aus auf das Männchen, welches ein hügeliges Gelände durchläuft. Das Gelände ist im Profil dargestellt. f (x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 so heißt die Funktion f monoton wachsend Männchen geht bergauf fallend Männchen geht bergab K f monoton steigend fallend steigend f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 Beispiel: Aufgabe im Pflichtteil Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 3 x 3 + 2x + 1; x R Für welche Werte von x ist K f steigend? Lösung: 1. Ableitung: f (x) = x Bedingung für monoton wachsend: f (x) 0 Das Schaubild von f ist eine Parabel nach unten geöffnet, sie schneidet die x-achse in x = ± 2. Für 2 x 2 ist f (x) 0, also K f steigend. 35

2 Differenzialrechnung 3.5 Extrempunkte Berechnung der exakten Koordinaten der Extrempunkte (Hoch- bzw. Tiefpunkte) Aufgabe im Pflichtteil f(x) = 1 3 x x 2 2x f (x) = x 2 x 2; f (x) = 2x 1 1. Schritt: Notwendige Bedingung: Notwendige Bedingung: f (x) = 0 f (x) = 0 x 2 x 2 = 0 Stellen mit waagrechter Tangente abc-formel: x 1 2 = 1 ± ( 2) 2 = 1 ± 3 2 ermitteln. Stellen mit waagrechter Tangente: x 1 = 1; x 2 = 2 2. Schritt: Einsetzen der Stellen in f (x) Nachweis, ob HP: f (x) < 0 oder TP: f (x) > 0 Nachweis: für x 1 = 1: f ( 1) = 2( 1) 1= 3 < 0 x 1 = 1 ist eine Maximalstelle: H( 1...) für x 2 = 2: f (2) = 2(2) 1= 3 > 0 x 2 = 2 ist eine Minimalstelle: T(2...) 3. Schritt: Einsetzen der Stellen in f(x) zur Bestimmung der y-werte y-koordinate von H: f( 1) = 1 3 ( 1) ( 1) 2 2( 1) = 3 damit H( 1 3) y-koordinate von T: f(2) = = 1,5 damit T(2 1,5) Aufgabe im Wahlteil Berechnen Sie die Extrempunkte von K f. Lösung: Bedingung: f (x) = 0 für x 1 = 1; x 2 = 2 (Rechnung durch GTR, CAS) Mit f ( 1) < 0 und f( 1) = 3 ergibt sich der Hochpunkt H( 1 3) Mit f (2) > 0 und f(2) = 1,5 ergibt sich der Tiefpunkt T(2 1,5). Geben Sie die Extrempunkte von K f an. Lösung: H( 1 3); T(2 1,5) 36

3 Differenzialrechnung 3.7 Zusammenhang zwischen den Schaubildern von Funktion f und Ableitungsfunktion f 1. Grundsätzlicher Zusammenhang Der Funktionswert f (x 0 ) entspricht der Steigung des Schaubildes von f an der Stelle x Zusammenhang zwischen besonderen Stellen Ausführliche Form f(x) Nullstelle Extremstelle Wendestelle Max Min f (x) Nullstelle mit VZW + / /+ Extremstelle Max Min Wendestelle f (x) Nullstelle Extremstelle Wendestelle mit VZW + / /+ Kurzform f(x) N E W f (x) N E W f (x) N E W Bemerkungen: Eine einfache Nullstelle ist eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel Der Zusammenhang von f und f entspricht dem Zusammenhang von f und f sowie dem Zusammenhang von F und f. F ist eine Stammfunktion von f. 38

4 Differenzialrechnung 3. Zusammenhang von f und f in Anwendungen Bei anwendungsorientierten Aufgaben, welche im Wahlteil der Abiturprüfung auftreten, wird oftmals der bedeutungsmäßige Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung behandelt. Bedeutung von f(x) Pflanzenhöhe (z.b. in m) Vorhandene Wassermenge in einer Badewanne (z.b. in l) Zurückgelegte Wegstrecke (z.b. in m) Bedeutung von f (x) Momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze (z.b. in m Tag ) Momentane Zu- bzw. Abflussgeschwindigkeit (z.b. in s l_ ) Momentane Geschwindigkeit (z.b. in m s ) Tankinhalt eines Autos (z.b. in l) Anzahl der noch vorhandenen Atome (z.b. in Gramm (g)) Momentaner Kraftstoffverbrauch (z.b. in l h oder l km ) Momentane Zerfallsrate (z.b. in g s ) Produktionskosten (z.b. in ) Grenzkosten (z.b. in ME ) Vorhandene Ladung (z.b. in Coulomb) Vorhandene Alkoholmenge im Blut (z.b. in Gramm (g)) f beschreibt die aktuellen Werte (Bestand) der interessierenden Größe Momentane Stromstärke (z.b. in Coulomb s bzw. Ampere) Momentane Abbaugeschwindigkeit von Alkohol (z.b. in g h ) f beschreibt die momentane Änderung der interessierenden Größe 40

5 Integralrechnung 4.2 Flächenberechnung Fläche zwischen Schaubild von f und der x-achse Beispiel 1 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 + 1; x R. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen K f und der x-achse Aufgabe im Wahlteil Aufgabe im Pflichtteil Lösung: Aufgabe im Wahlteil: Nullstellen von f: x = 0 x 1 2 = ± 1 Die Fläche liegt oberhalb der x-achse. 1 Flächenberechnung: A = 1 f(x)dx 1 1 f(x)dx = 4 3 mit GTR Aufgabe im Pflichtteil Merkregel: 1 Die Fläche liegt oberhalb 1 f(x)dx = [ 1 3 x x ] 1 der x-achse. = ( 1 3 ( 1) 3 + ( 1)) = = 4 3 rechte Grenze A = linke Grenze f(x)dx Der Inhalt der Fläche beträgt 4 3 FE. Beispiel 2 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 1; x R. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen K f und der x-achse. Lösung: Nullstellen von f: x 2 1 = 0 x 1 2 = ± 1 Die Fläche liegt unterhalb der x-achse. 1 Flächenberechnung: A = 1 f(x)dx 1 1 f(x)dx = 4 3 ; also A = 4 3 FE Bemerkungen: Minuszeichen beachten, da das Integral einen negativen Wert liefert, aber die Fläche A stets positiv sein muss. Merkregel: Die Fläche liegt unterhalb der x-achse. rechte Grenze A = linke Grenze f(x)dx 49

6 Integralrechnung Beispiel 3 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 3 x x x; x R. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen K f und der x-achse im Bereich 2 x 3 Lösung: 1 Nullstellen von f: 3 x x x = 0 x 1 = 2; x 2 = 0; x 3 = 2,5 (mit dem GTR) Die Fläche liegt oberhalb und unterhalb der x-achse. Berechnung der Teilflächen (mit dem GTR): 0 A 1 : 2 f(x)dx = 1,56 ; also A 1 = 1,56 2,5 A 2 : 0 f(x)dx = 2,82 ; also A 2 = 2,82 3 A 3 : 2,5 f(x)dx = 0,57 ; also A 3 = 0,57 Der Gesamtinhalt der Fläche beträgt A = A 1 + A 2 + A 3 = 4,95 FE Merkregel: Integration von Nullstelle zu Nullstelle (sonst wird die Flächenbilanz ermittelt) Ausnahme: Über eine doppelte Nullstelle darf hinwegintegriert werden. Alternative: Verwendung des Betragzeichens erlaubt die Berechnung der Gesamtfläche 3 A = 2 f(x) dx = 4,95 (FE) Übersicht: Fragestellungen zur Flächenberechnung Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen K f und... Aufgabe im Pflichtteil Rechnen ohne GTR Angabe einer Stammfunktion Aufgabe im Wahlteil Alle Rechnungen mit GTR, CAS 50

7 Differenzialrechnung Basisübung 21 Lösung Seite 113 Die Abbildungen zeigen die Schaubilder K f, K g und K h und die Schaubilder der zugehörigen Ableitungsfunktionen. Ordnen Sie zu. a) b) Tipp: Steigung von K f = Funktionswert von f 73

8 Integralrechnung Basisübung 13 Lösung Seite 127 Die Schaubilder von f und g schließen drei Flächenstücke ein mit den Inhalten A 1 = 4,1; A 2 = 1,5 und A 3 = 1,7. Bestimmen Sie jeweils den Integralwert. Bild fehlt Integral Integralwert 2,9 0,7 (f(x) g(x))dx 4,9 2,9 (f(x) g(x))dx 2,9 1,8 (f(x) g(x))dx 4,9 1,8 (f(x) g(x))dx 0,7 2,9 4,9 1,8 (f(x) g(x))dx + 0,7 (f(x) g(x))dx + 2,9 (f(x) g(x))dx 2,9 1,8 f(x) g(x) dx 2,9 4,9 (g(x) f(x))dx Tipp: Von Schnittstelle zu Schnittstelle integrieren. Ansonsten wird (bei Vorzeichenwechsel von f(x)) die Flächenbilanz ermittelt. Basisübung 14 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 4 x4 + x ; x R, und die Gerade g mit der Gleichung y = 4x Die Gerade g und die Kurve K von f begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. Basisübung 15 2 Berechnen Sie das Integral 1 (x 3 0,5 x 2 3x)dx. Interpretieren Sie den Integralwert mithilfe geeigneter Flächenstücke. 87

9 Stochastik 2.2 Die Binomialverteilung Beispiel Ein Basketballspieler verwandelt erfahrungsgemäß einen Korbwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 %. Er wirft 8 Mal. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer des Spielers an. a) Geben Sie die Binomialverteilung und die kumulierte Binomialverteilung für X an. b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X. Lösung a) Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt, kann mithilfe der Bernoulliformel (mit n = 8 und p = 0,75) berechnet werden. Die Zufallsvariable X ist B 8; 0,75 -binomialverteilt. Eingabe in den GTR: Y 1 : P(X = k) Y 2 : P(X k) Erläuterung und grafische Darstellung: Die Binomialverteilung P(X = k) Gibt für jeden möglichen Wert von X die zugehörige Wahrscheinlichkeit an. (z.b. P(X = 4) = 0, Die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer beträgt 8,652 %.) Die kumulierte Binomialverteilung P(X k) Gibt für jeden möglichen Wert von X die Wahrscheinlichkeit an, dass X diesen oder einen geringeren Wert als diesen annimmt. (z.b. P(X 4) = 0, Die Wahrscheinlichkeit für 0 bis 4 Treffer beträgt 11,382 %.) b) E(X) = 8 0,75 = 6 Interpretation: Der Basketballspieler kann durchschnittlich 6 Treffer bei 8 Würfen erwarten. Erwartungswert : E(X) = n p 138

10 Stochastik Aufgabentyp 4 : Gesucht ist die Trefferwahrscheinlichkeit p Beispiel: Eine verbeulte Münze wird 8 Mal geworfen. Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit für Zahl sein, wenn die Ereignisse A, B und C mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 25 % eintreten sollen. A: genau 3 Mal Zahl B: höchstens 3 Mal Zahl C: mindestens 3 Mal Zahl? Lösung Gegeben: P > 0,25; n = 8 Gegeben: P > 0,25; n = 8; Gegeben: P > 0,25; n = 8; k = 3 Gesucht: p k 3 Gesucht: p k 3 Gesucht: p GTR: P(X 3) = 1 P(X 2) Möglicher Bereich für p: 0,29 < p < 0,46 Für p 0,56 (höchstens p 0,56) Für p 0,22 (mindestens p 0,22) Übersicht: Aufgabentypen und Eingabe in den GTR Gesucht genau k Treffer höchstens k Treffer mindestens k Treffer p binompdf(n,p,k) binomcdf(n,p,k) 1 binomcdf(n,p,k 1) k binompdf(n,p,x) binomcdf(n,p,x) 1 binomcdf(n,p,x 1) n binompdf(x,p,k) binomcdf(x,p,k) 1 binomcdf(x,p,k 1) p binompdf(n,x,k) binomcdf(n,x,k) 1 binomcdf(n,x,k 1) 141

11 Stochastik 3 Der einseitige Hypothesentest Der Hypothesentest Beim Hypothesentest wird stets eine behauptete Wahrscheinlichkeitsangabe (Nullhypothese) durch eine Stichprobe überprüft. Hierbei gibt sich der Tester explizit eine maximale Irrtumswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau α) vor, mit welcher er die Behauptung irrtümlich ablehnt. Üblicherweise werden hierfür die Werte 1% bzw. 5 % verwendet. Somit ist eine Ablehnung mit der Wahrscheinlichkeit von 99 % bzw. 95 % berechtigt. Das Signifikanzniveau gibt also das maximale Risiko an, das man bereit ist einzugehen, die Behauptung eventuell irrtümlich abzulehnen. Hierdurch ist es möglich, einen Ablehnungsbereich für die Behauptung zu errechnen: Der Ablehnungsbereich beinhaltet alle Ergebnisse der Stichprobe, die gegen die Behauptung sprechen und zusammen eine Wahrscheinlichkeit von höchstens 1% bzw. 5 % ergeben. Liegt das Ergebnis der Stichprobe im Ablehnungsbereich, so wird die Behauptung abgelehnt. Beispiel Ein Basketballspieler behauptet, dass er einen Freiwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75 % trifft. Sein Trainer möchte dies überprüfen und lässt ihn 8 Mal werfen. Er trifft nur 4 Mal. Sollte der Trainer die Behauptung des Spielers ablehnen (Signfikanzniveau 5 %)? Lösung Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer des Basketballspielers bei 8 Würfen an. Dessen Behauptung und damit die Nullhypothese lautet: H 0 : p 0,75. Falls diese zutrifft, beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit im für ihn ungünstigsten Fall 0,75 und X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,75. Die zugehörige kumulierte Verteilung ist nebenstehend dargestellt. Geringe Werte von X sprechen gegen die Behauptung, also muss ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt werden. Aus der kumulierten Binomialverteilung ist zu entnehmen, dass P(X 3) < 0,05 wohingegen P(X 4) > 0,05. Für den Ablehnungsbereich A gilt: A = {0; 1; 2; 3}, für den Annahmebereich A = [ 0; 3 ] A = {4; 5; 6; 7; 8}. A = [ 4; 8 ] Da der Basketballspieler 4 Freiwürfe trifft und 4 A, kann die Behauptung nicht abgelehnt werden. 142

12 Stochastik Vorgehensweise beim Hypothesentest Linksseitiger Hypothesentest Rechtsseitiger Hypothesentest 1. Schritt: Erkennen der Testrichtung und Aufstellen der Nullhypothese Aus Sicht der Behauptung : Aus Sicht der Behauptung : Eine Mindestwahrscheinlichkeit ist gegeben (Nullhypothese H 0 ). Aus Sicht der Vermutung : Es besteht der Verdacht, dass die wirkliche Wahrscheinlichkeit geringer als p ist (Gegenhypothese H 1 ). Form der Nullhypothese H 0 : p... Eine Höchstwahrscheinlichkeit ist gegeben (Nullhypothese H 0 ). Aus Sicht der Vermutung : Es besteht der Verdacht, dass die wirkliche Wahrscheinlichkeit größer als p ist (Gegenhypothese H 1 ). Form der Nullhypothese H 0 : p Schritt: Ablesen des Stichprobenumfangs n (Anzahl der Durchführungen) und des Signifikanzniveaus α aus der Aufgabenstellung. 3. Schritt: Definition der (binomialverteilten) Zufallsvariable X; Ermittlung des Ablehnungsbereiches Geringe Werte von X sprechen gegen die Hohe Werte von X sprechen gegen die Behauptung (bzw. für die Vermutung): Behauptung (bzw. für die Vermutung): Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer darf nicht höher als α sein. Treffer darf nicht höher als α sein. GTR: Y 1 : binomcdf(n,p,x) GTR: Y 1 : 1 binomcdf(n,p,x 1) Ablehnungsbereich ( 5 %) Annahmebereich Annahmebereich Ablehnungsbereich ( 5 %) (Vergleichen Sie S. 139, 2. Aufgabentyp) 4. Schritt: Ermittlung der Entscheidungsregel. Der Vergleich mit dem konkreten Stichprobenergebnis (laut Aufgabenstellung) führt zur Entscheidung. 143

13 Stochastik 4 Basisübungen zur Stochastik Basisübungen zu 4.1 Basisübung 1 Lösung Seite 152 Ein Stapel aus 10 Karten enthält 4 Asse, 3 Könige und 3 Buben. Ein Spieler zieht nacheinander 3 Karten aus dem Stapel und behält diese. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht er zunächst 2 Buben und dann ein Ass? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht er ein Ass und 2 Könige? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht er genau zwei Asse? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht er höchstens 2 Asse? Basisübung 2 Das nebenstehende Glücksrad wird gedreht. Nach jeder Drehung zeigt zeigt der Pfeil eindeutig auf einen der Sektoren. a) Das Glücksrad wird 5 Mal gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Pfeil jedes Mal auf denselben Sektor? b) Wie oft müsste das Glückrad gedreht werden, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass dabei der Pfeil mindestens ein Mal auf den Sektor 2 zeigt, mehr als 90 % betragen soll? Basisübung 3 Eine Urne enthält 6 blaue Kugeln und n rote Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen entnommen. a) Wie viele rote Kugeln müssten sich in der Urne befinden, wenn die Wahrscheinlichkeit, 2 rote Kugeln zu ziehen, 25 % beträgt? b) Wie viele rote Kugeln müssten sich in der Urne befinden, wenn die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen, 84 % beträgt? Basisübungen zu 4.2 Basisübung 1 Lösung Seite 153 Erfahrungsgemäß sind 4 % der produzierten Smartphones eines Herstellers defekt. Ein Lieferant erhält ein Paket mit 50 Smartphones des Herstellers. a) Lösen Sie die folgenden Aufgaben mithilfe des GTR. a1) Wahrscheinlichkeit für 3 defekte Smartphones? a2) Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 defekte Smartphones? a3) Wahrscheinlichkeit für 2 oder 3 defekte Smartphones? a4) Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 defekte Smartphones? a5) Wahrscheinlichkeit für mehr als 2, aber weniger als 8 defekte Smartphones? 146

14 Vektorgeometrie 2 Geraden Geradengleichungen in Parameterform Punkt-Richtungs-Form Gerade g: x = p + r u ; r R Dabei ist p der Stützvektor (Ortsvektor des Aufpunktes der Geraden) und u der Richtungsvektor. Geradengleichungen in Zwei-Punkte-Form Zwei-Punkte-Form Gerade g: a a x = + r ( b ); r R Dabei sind a und b die Ortsvektoren der Geradenpunkte A und B. Bemerkung: Für r = 0,5 erhält man den Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke AB. Elementare Aufgabenstellungen Geradenpunkte ermitteln durch Einsetzen eines Wertes für r in x = p + r u ; r R Beispiel: x = ( 2 2 ) + r 2 ( 0,5 2,5 ) ; r R 0,5 Aufpunkt: P(2 2 2) Weiterer Punkt A auf der Geraden z. B. für r = 2: x = ( 2 2 ) ( 0,5 2,5 ) ( = 1 3 ); damit D(1 3 3) 0,5 3 Punktprobe Beispiel: Liegt Q(0 8 4) auf g: x = ( 2 2 ) + r 2 ( 0,5 2,5 ) ; r R 0,5 Einsetzen für x ergibt ( 0 8 ) ( = 2 2 ) + r 4 2 ( 0,5 0 = 2 0,5r r = 4 2,5 ) ; LGS für r: 8 = 2 + 2,5r r = 4 0,5 4 = 2 + 0,5r r = 4 Das LGS hat genau eine Lösung r = 4. Der Punkt Q(0 8 4) liegt auf der Geraden. 165

15 Vektorgeometrie Gegenseitige Lage von Geraden 1. Gleichsetzen Beispiel: g: x = p + r u ; r R ( 1 5 h: a x = + s b ; s R g h ergibt ein LGS für r und s 2. LGS lösen mit dem Gaußverfahren im Pflichtteil mit dem GTR im Wahlteil ) ( + r 2 1 ) ( = 3 1 ) ( + s ) 1 + 2r = 3 + s 2r s = r = 1 + 3s r 3s = r = 9 + 2s r 2s = 4 Das LGS hat genau eine Lösung: r = 0; s = 2 3. Lösung interpretieren Die Geraden schneiden sich. Übersicht zur Interpretation des umgeformten LGS Das LGS hat eine Lösung. Das LGS hat keine Lösung. Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Ja nein Die Geraden sind identisch. Die Geraden sind (echt) parallel. Die Geraden sind windschief. 166

16 Vektorgeometrie 3.8 Schnittwinkel und senkrechter (orthogonaler) Schnitt Winkel zwischen Formel senkrecht Grafische Darstellung den Vektoren a und b a b cos(α) = a b falls a b = 0 den Geraden g: x = p + r u und h: x = q + r v cos(α) = u v u v falls u v = 0 der Geraden g: x = p + r u und der Ebene sin(α) = E: ( x q ) n = 0 u n u n falls u = k n mit k R 2 Ebenen E: ( x p ) n 1 = 0 und F: ( x q ) n 2 = 0 n 1 cos(α) = n 2 n 1 n 2 falls n 1 n 2 = 0 Hinweise: Mit dem Schnittwinkel ist stets der spitze Winkel 0 α 90 gemeint. Falls die Ebenengleichung in Parameterform gegeben ist, muss der Normalenvektor bestimmt werden, um die Formel nutzen zu können. Beispiel: Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen E: ( x ( 0,5 0 2 ) = 0 und F: x 1 + 3x 2 + 2x 3 = ) ) ( 4 Lösung n 1 Formel für den Schnittwinkel: cos(α) = n 2 n 1 n = ( 4 ) ( 1 ) 1 2 Einsetzen ergibt cos(α) = ( 4 2 ) ( 1 ) 1 2 α = 54,

17 Vektorgeometrie 3.9 Abstandberechnungen Als Abstand wird stets die kürzest mögliche Entfernung zwischen 2 Objekten verstanden. a) Abstände zu einem Punkt Abstand: Punkt Punkt: Hier muss die Länge (der Betrag) des Verbindungsvektors Abstand: Punkt Gerade Beispiel: Abstand von Q(6 6 9) von der Geraden g: x = ( 4 5 PQ berechnet werden. ) ( + t ) ; t R Möglichkeit 1: Verbindungsvektor zwischen dem Punkt Q und dem allgemeinen Geradenpunkt P t (4 2t 5 + t 6 + t) aufstellen (allgemeiner Abstandsvektor): QP t = ( t t 6 + t ) ( ) ( = 2 2t 11 + t 3 + t ) Skalarprodukt aus dem Verbindungsvektor und dem Richtungsvektor der Geraden bilden und gleich 0 setzen (Grund: Der Verbindungsvektor wird zum Lotvektor, wenn er senkrecht zur Geraden steht). 2 2t QP t u = ( 11 + t 3 + t ) ( 1 2 ) = 0 ( 2 2t) ( 2) t + ( 3 + t) = 0 t = 2 1 Einsetzen von t = 2 in die Geradengleichung: x = ( 4 5 ) ( ) ( = 8 3 ) Lotfußpunkt L(8 3 4) Abstand von Q zur Geraden g = Länge der Strecke QL. d = ( 8 3 ) ( ) = ( = ) = Der Abstand von Q(6 6 9) zur Geraden g beträgt etwa 10,5 LE. 181

18 Vektorgeometrie 4 Basisübungen zur Vektorgeometrie Basisübungen zu 1 Grundlagen Basisübung 1 Lösungen Seite 193 Gegeben sind die Punkte A(2 3 0), B( 1 3 4) und die Vektoren c = ( 8 0 ) 2 und d = ( 2 1 ). 3 a) Berechnen Sie. a1) 2 c 3 d a2) c d a3) c d a4) AB a5) AB c b) Stehen die Vektoren c und d senkrecht aufeinander? c) Geben Sie jeweils einen Vektor an, der zu d parallel ist bzw. der senkrecht auf d steht. d) Vektor und Gegenvektor sind stets linear abhängig. Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung. Basisübung 2 a) Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist: A(6 1 1), B(2 5 1), C(0 1 5). b) Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist: A(0 3 2), B(1 5 1), C(2 7 3). c) Gegeben sind A(8 4 6), B( ), C( ). Bestimmen Sie den Punkt D, sodass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. Basisübung 3 Lösungen Seite 194 Die Punkte A(1 1 0), B(0 2 3), C(1 0 6) bilden ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe des Vektorproduktes. Basisübungen zu 2 Geraden Basisübung 1 Lösungen Seite 194 Gegeben ist die Gerade g: x = ( ) + t ( ) ; t R. a) Liegt der Punkt D(8 5 8) auf der Geraden? b) Geben Sie die Koordinaten der Spurpunkte von g an. Basisübung 2 a) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(1 2 0) und B( 1 3 2). Bestimmen Sie eine Gleichung von g. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke AB. c) Zeigen Sie, dass der Punkt Q( 0,5 2,75 1,5) auf g, zwischen A und B, liegt. d) Die Gerade h ist parallel zu g und verläuft durch den Punkt B(4 1 3). Bestimmen Sie eine Gleichung von h. 187

19 Originalprüfungsaufgaben Haupttermin 2014 Wahlteil Aufgabe A 1.1 Lösungen Seite 234 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 10x e 0,5x. Ihr Graph ist K. a) K besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt. Geben Sie deren Koordinaten an. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von K an. Skizzieren Sie K. (4 VP) b) Für jedes u > 0 sind 0(0 0), P(u 0) und Q(u f(u)) die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie einen Wert für u so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat. Für welchen Wert von u ist das Dreieck OPQ gleichschenklig? (4 VP) c) Auf der x-achse gibt es Intervalle der Länge 3, auf denen die Funktion f den Mittelwert 2,2 besitzt. Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls. (3 VP) Aufgabe A 1.2 Lösungen Seite 235 Gegeben ist für jedes t > 0 eine Funktion f t durch f t (x) = 1 3 x 3 t2 x. Bestimmen Sie t so, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von f t den Abstand 13 voneinander haben. (4 VP) 215

20 Originalprüfungsaufgaben Lösung Haupttermin 2014 Aufgabe A 1 Analysis Seite 215 Aufgabe A 1.2: f t mit f t (x) = 1 3 x 3 t2 x; t > 0 Extrempunkte des Graphen von f t Die Bedingung f t (x) = x 2 t2 = 0 ergibt x 1 = t und x 2 = t. (einfache Lösungen, also VZW von f t (x) und damit Extremstellen) Mit f t ( t) = 2 3 t 3 und f t (t) = 2 3 t 3 ergeben sich die Extrempunkte E 1 ( t 2 3 t 3 ) und E 2 (t 2 3 t 3 ). Abstand d(t) der Extrempunkte: d(t) = ( t ( t)) 2 + ( 3 2 t t 3 ) 2 ( Satz von Pythagoras) d(t) = (2t)2 + ( 4 3 t 3 ) 2 Aus d(t) = 13 erhält man für t > 0 die Lösung (mit GTR): t 2,10 Für t 2,10 haben die beiden Extrempunkte einen Abstand von 13 LE voneinander. Lösung Haupttermin 2014 Aufgabe A 2 Analysis Seite 216 Aufgabe A 2.1 Momentane Ankunftsrate: t f(t) = t ; 0 t 30 a) Skizze: Graph von f Die momentane Ankunftsrate ist maximal für t = 10. Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden 6 ankommen: 0 f(t)dt 769,05 In den ersten sechs Stunden kommen etwa 770 Fahrzeuge an. b) Beginn des Staus: Die Fahrzeuge beginnen sich zu stauen, wenn die momentane Abfertigungsrate 110 Fahrzeuge pro Stunde übersteigt. f(t) = 110 hat die Lösungen t 1 2,54 und t 2 21,86. Die Fahrzeuge vor dem Grenzübergang beginnen sich etwa 2,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn zu stauen. Bemerkung: Die Lösung t 2 21,86 ist für die Aufgabenstellung nicht relevant. 235