Gitterfreie Methoden. Florian Hewener. 29. Oktober 2013

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1 Gitterfreie Methoden 1D 2D Florian Hewener 29. Oktober 2013

2 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche Splines Darstellung natürlicher Splines Verallgemeinerung des Konzepts Welche Funktionen sind darstellbar? 4 Approximation und Approximationsordnung Kleinste Fehlerquadrate Konvergenzordnung

3 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche Splines Darstellung natürlicher Splines Verallgemeinerung des Konzepts Welche Funktionen sind darstellbar? 4 Approximation und Approximationsordnung Kleinste Fehlerquadrate Konvergenzordnung

4 Problemstellung Gegeben sind N Stützpunkte (x i, f i ) mit x i Ω R n und f i R Für n = 1: Unterteilung des Intervalls [a, b]: X : a < x 1 < x 2 < < x N < b Ziel: Interpolation der Werte durch eine Funktion s : Ω R, die die Interpolationsbedingung erfüllt. s(x j ) = f j j {1,..., N}

5 Beispiele Beispiele: 1D: Interpolation der Wurzelfunktion durch die Werte (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4) 2D: Landkarte Höhe in Abhängigkeit von x- und y-koordinate Mögliche Methoden (1D): Polynominterpolation Splines Allgemeiner: N s(x) = c k B k (x) k=1

6 Polynominterpolation der Wurzelfunktion

7 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche Splines Darstellung natürlicher Splines Verallgemeinerung des Konzepts Welche Funktionen sind darstellbar? 4 Approximation und Approximationsordnung Kleinste Fehlerquadrate Konvergenzordnung

8 Haar-Räume Definition Ω R n beinhalte mindestens N Punkte. Sei V C(Ω) N-dimensionaler Vektorraum. V heißt Haar-Raum der Dimension N auf Ω, wenn für beliebige, paarweise verschiedene x 1,..., x N Ω und beliebige f 1,..., f N R genau ein s V existiert, sodass s(x j ) = f j j {1,..., N} Per Definition ist das Problem in Haar-Räumen eindeutig lösbar Insbesondere: Keine Abhängigkeit von den x j

9 Haar-Räume Wie lassen sich Haar-Räume identifizieren? Satz Es sind äquivalent 1 V ist N-Dimesionaler Haar-Raum 2 u V \ {0} : u hat höchstens N 1 Nullstellen 3 Für voneinander verschiedene Punkt x 1,..., x N Ω und jede Basis u 1,..., u N von V gilt: det(u j (x i )) 0

10 Beispiel: Haar-Raum π n (R) = span{1, x, x 2,..., x n } ist (n + 1)-dimensionaler Haar-Raum span{x, x 2,..., x n } ist kein Haar-Raum Existenz von Haar-Räumen auf Ω R d mit d 2?

11 Mairhuber-Curtis Satz (Mairhuber-Curtis) Sei Ω R d mit d 2 und int(ω) Dann existiert kein Haar-Raum auf Ω mit Dimension N 2.

12 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche Splines Darstellung natürlicher Splines Verallgemeinerung des Konzepts Welche Funktionen sind darstellbar? 4 Approximation und Approximationsordnung Kleinste Fehlerquadrate Konvergenzordnung

13 Beispiel Interpolationsproblem i.a. nicht mehr eindeutig lösbar (Mairhuber-Curtis). Beispiel: Ω = R 2, N=3 j x j ( 1, 1) (0, 0) (1, 1) f j Gesucht: s π 1 (R 2 ) (da dim π 1 (R) = 3) Lösungen: s(x, y) = x, s(x, y) = y,... Nicht eindeutig lösbar, da Punkte auf einer Geraden

14 s(x, y) = x, s(x, y) = y,...

15 Unisolvente Mengen Wann ist das Interpolationspolynom eindeutig bestimmt? Definition Eine Punktmenge X = {x 1,..., x N } R d mit N dim π m (R d ) heißt π m (R d )-unisolvent, wenn das Nullpolynom das einzige Polynom ist, für das jedes x X Nullstelle ist. Stützstellenmenge unisolvent Interpolationspolynom eind. bestimmt (vgl. Haar-Raum) Beispiel Drei Punkte des R 2, die nicht kollinear sind, sind π 1 (R 2 )-unisolvent.

16 Beispiel für unisolvente Menge Seien {L 0,..., L m } eine Menge paarweise verschiedener Geraden in R 2 X = {x 1,..., x Q } paarweise verschiedene Punkte mit Q = (m + 1)(m + 2)/2, sodass x 1 L 0 x 2, x 3 L 1 x 2, x 3 / L 0... die letzten (m + 1) Punkte auf L m, aber nicht auf L 0,..., L m 1 Dann ist X π m (R 2 )-unisolvent.

17 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche Splines Darstellung natürlicher Splines Verallgemeinerung des Konzepts Welche Funktionen sind darstellbar? 4 Approximation und Approximationsordnung Kleinste Fehlerquadrate Konvergenzordnung

18 Kubische Splines Definition Menge der kubischen Splines: S 3 (X) = {s C 2 [a, b]: s [xi,x i+1 ] π 3, 0 i N} wobei x 0 = a, x N+1 = b. Das heißt für s S 3 (X): s ist zweimal stetig differenzierbar s [xi,x i+1 ] ist Polynom dritten Grades für alle Teilintervalle von X Wesentlicher Unterschied zur Polynominterpolation: S 3 hängt von X ab

19 Beispiel: Kubische Splines

20 Eindeutigkeit Es gilt: dim(s 3 (X)) = N + 4 Aber es existieren wegen s(x j ) = f j j {1,..., N} nur N Bedingungen. Keine eindeutige Lösung. Weitere Bedingungen notwendig

21 Natürliche Splines Definition Die Menge der natürlichen kubischen Splines: N S 3 (X) := {s S 3 (X): s [a,x1 ], s [xn,b] π 1 } Es gilt: s N S 3 (X) s S 3 (X) s (x 1 ) = s (3) (x 1 ) = 0 s (x N ) = s (3) (x N ) = 0 dim(n S 3 (X)) = N Interpolationsproblem eindeutig lösbar

22 Eigenschaften natürlicher Splines 1 Natürliche Splines sind auf jedem Teilintervall Polynome 2 Unter allen Lösungen des Interpolationsproblems im H 2 ([a, b]) minimiert der natürliche Spline L2 [a,b] 3 Natürliche Splines besitzen eine lokale Basis (B-Splines) Anmerkung: ( b f L2 [a,b] = f (x) 2 dx a ) 1 2

23 d > 1? (beschränktes) Ω unterteilen in disjunkte {Ω j } N j=1 z.b. für Ω R 2 : Triangulation Problem: Dimension des Raums unbekannt d > 2?

24 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche Splines Darstellung natürlicher Splines Verallgemeinerung des Konzepts Welche Funktionen sind darstellbar? 4 Approximation und Approximationsordnung Kleinste Fehlerquadrate Konvergenzordnung

25 Basis des S 3 (X) Sei x + = { x wenn x 0 0 wenn x < 0 Jedes s S 3 (X) lässt sich schreiben als: s(x) = N 3 α j (x x j ) β j x j j=1 j=0

26 Darstellung natürlicher Splines Ziel: Darstellung für s N S 3 (X) Für x [a, x 1 ] gilt: (x x j ) + = 0 1 j N s(x) = 3 β j x j x [a, x 1 ] j=0 Außerdem gilt nach Definition: s [a,x1 ] π 1 β 2 = β 3 = 0 N s(x) = α j (x x j ) β 0 + β 1 x j=1

27 Darstellung natürlicher Splines Für x [x N, b] gilt: (x x j ) + = (x x j ) l=0 j=1 1 j N Ausmultiplizieren und umformen: 3 ( ) 3 N s(x) = ( 1) (3 l) α j x 3 l l j x l + β 0 + β 1 x N α j = j=1 N α j x j = 0 (Bedingung an die α j ) j=1

28 Darstellung natürlicher Splines Mit x 3 + = 1 2 ( x 3 + x 3 ) folgt s(x) = N α j x x j 3 + β 0 + β 1 x j=1 Ergebnis Natürliche kubische Splines lassen sich darstellen als s(x) = N α j φ( x x j ) + p(x) j=1 mit φ(r) = r 3 und p π 1

29 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche Splines Darstellung natürlicher Splines Verallgemeinerung des Konzepts Welche Funktionen sind darstellbar? 4 Approximation und Approximationsordnung Kleinste Fehlerquadrate Konvergenzordnung

30 Radiale Basisfunktion Verallgemeinerung: Interpolierende der Form s(x) = N α j φ( x x j 2 ) + p(x), j=1 x R d Radiale Basisfunktion: Φ = φ( 2 ) p π m 1 (R d ) Bedingungen an die Koeffizienten: N α j q(x j ) = 0 q π m 1 (R d ) j=1

31 Lösbarkeit Häufig p(x) = 0, dann ist s(x) = N α j φ( x x j 2 ) j=1 Bestimmung der α j durch N α j φ( x i x j 2 ) = f i j=1 1 i N

32 Lösbarkeit Man erhält LGS mit A φ,x α = f A φ,x := (φ( x i x j 2 )) 1 i,j N α = (α 1,..., α N ), f = (f 1,..., f N ) Eindeutig lösbar falls A φ,x nicht singulär ist.

33 Geeignete φ(x) Frage: Existiert Funktion φ: [0, ) R, sodass det A φ,x 0 für alle d N, N N, paarweise verschiedene x 1,..., x N R d Ja, z.b. φ(r) = e αr 2, α > 0 φ(r) = c 2 + r 2, c > 0 Auch mit kompaktem Träger?

34 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche Splines Darstellung natürlicher Splines Verallgemeinerung des Konzepts Welche Funktionen sind darstellbar? 4 Approximation und Approximationsordnung Kleinste Fehlerquadrate Konvergenzordnung

35 Vektorraum Betrachte Vektorraum { N F φ [a, b] := α j φ( x x j ) : N N, X [a, b] j=1 mit N j=1 mit Skalarprodukt N α j φ( x j ), := N j=1 j=1 k=1 } α j p(x j ) = 0 p π 1 (R) M β k φ( y k ) k=1 M α j β k φ( x j y k φ

36 Darstellbare Funktionen Für φ(r) = r 3, r 0 ist dann clos φ F φ [a, b] + π 1 (R) = H 2 [a, b] Verallgemeinerung auf mehrdimensionalen Fall Skalarprodukt muss auf F Φ (Ω) definiert sein Entsprechende Forderung an Φ

37 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche Splines Darstellung natürlicher Splines Verallgemeinerung des Konzepts Welche Funktionen sind darstellbar? 4 Approximation und Approximationsordnung Kleinste Fehlerquadrate Konvergenzordnung

38 Approximation Problem: N sehr groß Rauschen Ziel: Finde Funktion, die die Messwerte nur ungefähr annähert, d.h. s(x j ) f j j 1,..., N

39 Kleinste Fehlerquadrate Sei S C(R d ) endlichdimensional. Finde s S, sodass N [s(x j ) f j ] 2 minimiert wird. j=1 Jeder Stützpunkt hat Einfluss auf die Lösung global

40 Moving least squares Gewichtsfunktion w : R d R d R z.b. w(x, x j ) = w 0 (x x j ), wobei w 0 kompakten Träger hat Auswertung an der Stelle x durch s(x) wobei s N [s(x j ) f j ] 2 w(x, x j ) j=1 minimiert Nur Nachbarn von x relevant lokal

41 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche Splines Darstellung natürlicher Splines Verallgemeinerung des Konzepts Welche Funktionen sind darstellbar? 4 Approximation und Approximationsordnung Kleinste Fehlerquadrate Konvergenzordnung

42 Approximationsfehler bei Splines Wie gut ist die Approximation von f H 2 [a, b] durch s f,x? h X := max (x j+1 x j ) 1 j N 1 Fehler: mit c > 0 f s f,x L ([a,b]) ch 3/2 X f L2 ([a,b]) Für mehrdimensionalen Fall?

43 Gitternorm Definition Sei X = {x 1,..., x N } Ω und Ω beschränktes Gebiet. Dann heißt h X,Ω := sup min x x j 2 1 j N Gitternorm (fill distance). x Ω Anschaulich: Radius der größten offenen Kugel B in Ω, sodass X B =

44 Veranschaulichung von h X,Ω in R 2 Ω h X,Ω

45 Konvergenzordnung Definition Eine Approximation (f, X) s f,x hat für den Funktionsraum F... L Konvergenzordnung k, wenn eine Konstante c > 0 existiert, sodass für alle f F: f s f,x L (Ω) ch k X,Ω f F spektrale Konvergenzordnung, wenn Konstanten c > 0 und λ (0, 1) existieren, sodass für alle f F: f s f,x L (Ω) cλ 1/h X,Ω f F

46 Quellen WENDLAND Holger (2005). Scattered Data Approximation, Cambridge University Press. FREUND Roland W. und Roland H.W. HOPPE (2007). Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1, Springer.

47 Fazit Verfahren für eindimensionale Interpolation nicht auf mehrdimensionalen Fall übertragbar Mairhuber-Curtis liefern aber Ideen und Anknüpfungspunkte Polynominterpolation Unisolvente Mengen Splines Radiale Basisfunktion geeignete Funktionen Φ? Wie gut ist eine Approximation? Approximationsordnung

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