Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

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1 Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg

2 Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 = 1 2x 1 + 2x 2 = 2 40

3 Lineare : Einführung Beispiele linearer } 2x a) 1 3x 2 = 1 x x 1 + x 2 = 2 1 = x 2 = 1 } x b) 1 + x 2 = 4 L = x 1 + x 2 = 2 } x c) 1 x 2 = 1 unendlich viele Lösungen 2x 1 + 2x 2 = 2 Probleme: System lösbar oder nicht? Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen Dazu gibt es: Den Gaußschen Algorithmus (erzeugt Dreiecksmatrix) das Verfahren von Gauß-Jordan (modifizierte Gauß: erzeugt Einheitsmatrix) 40

4 Allgemeines lineares Gleichungssystem Ein System von Gleichungen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten. Die a ij und b i heißen Koeffizienten des Gleichungssystems. In Matrixform:. Lösungsmenge: Ax = b L = {x : Ax = b} 41

5 Lösungsdarstellung Beispiel für Enddarstellung: x 1 + x 3 = 4 x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 7 Dabei bezeichnet: ( ) ( ) ( ) x E R B = b x N x 1 x 2 x 3 x 4 ( ) 4 = 7 kann nach Basisvariablen aufgelöst werden: x 1 = 4 x 3, x 2 = 7 3x 3 2x 4 (allgemeine Lösung) In diesem Fall immer lösbar, zum Beispiel mit x N = ( x3 x 4 ) = ( ) 0 0 x B = ( x1 x 2 ) = ( ) 4 7 Gesucht: Verfahren zur Überführung beliebiger in diese Form 42

6 Lösung von LGS Elementare Umformungen Das sind Umformungen der Koeffizientenmatrix, die die Lösung nicht verändern. Erlaubt ist Multiplikation einer Zeile mit beliebigen Zahlen c 0 Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile Vertauschen von Zeilen oder Spalten Lösungsalgorithmus Lösung mit Verfahren von Gauß-Jordan: Systematische Umformungen nach obigem Prinzip, bis Darstellung der Koeffizientenmatrix in Einheits- und Restmatrix ensteht Algorithmus und Lösungsvarianten siehe Vorlesung 43

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10 Invertierung von Matrizen Definition Gegeben: n n-matrix (quadratisch) Existiert eine n n-matrix X mit AX = XA = E, so heißt X die zu A inverse Matrix. Schreibweise: X = A 1 AA 1 = A 1 A = E Inverse Matrizen und Falls A 1 existiert, gilt: Ax = b A 1 Ax = A 1 b Ex = x = A 1 b Damit existiert genau eine Lösung und zwar: x = A 1 b 44

11 LGS und Orthogonalität Berechnung inverser Matrizen durch den Gaußalgorithmus: Ansatz: Ax + Ey = 0 A 1 Ax + A 1 Ey = 0 Ex + A 1 y = 0 Also: Gaußtableau mittels elementarer Umformungen folgendermaßen umformen: Orthogonale Matrizen (A E) ( E A 1) Eine n n-matrix A heißt orthogonal, wenn gilt: AA T = A T A = E Bei orthogonalen Matrizen A gilt also: A 1 = A T. Mit A ist damit auch A T orthogonal 45

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13 Determinanten: Vorüberlegung PLUS Permutationen und Inversionen Beispiel Sei M = {a 1,..., a n } eine n-elementige Menge. Dann: jede Anordnung (a p1,..., a pn ) der Elemente a 1,..., a n mit {p 1,..., p n } = {1,..., n} heißt eine Permutation. Wenn für ein Paar (a i, a j ) einerseits i < j, und andererseits p i > p j, gilt: Inversion. Also: Ausgehend von Permutation (a 1,..., a n ): Jede Vertauschung zweier Elemente a i und a j ist eine Inversion. Gegeben: Menge {1,2,3} 46

14 Determinanten: Vorüberlegung PLUS Permutationen und Inversionen Beispiel Sei M = {a 1,..., a n } eine n-elementige Menge. Dann: jede Anordnung (a p1,..., a pn ) der Elemente a 1,..., a n mit {p 1,..., p n } = {1,..., n} heißt eine Permutation. Wenn für ein Paar (a i, a j ) einerseits i < j, und andererseits p i > p j, gilt: Inversion. Also: Ausgehend von Permutation (a 1,..., a n ): Jede Vertauschung zweier Elemente a i und a j ist eine Inversion. Gegeben: Menge {1,2,3} Damit: Folgende 6 Permutationen: (1,2,3) ohne Inversion, (1,3,2), (2,1,3) mit je einer Inversion, (2,3,1), (3,1,2) mit je zwei Inversionen, (3,2,1) mit drei Inversionen. 46

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