ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 1. H(z) a) Zeichnen Sie direkt auf das Aufgabenblatt das Betragsspektrum an der Stelle 1.

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1 ZHAW, DSV, FS200, Rumc, DSV Modulprüfung = 30 Punkte Name: Vorname: : 2: 3: 4: 5: Punkte: Note: Aufgabe : AD-DA-Umsetzung = 7 Punkte Betrachten Sie das folgende digitale System mit f s = 8000 Hz x(t) H AA (f) ADC H(z) DAC (ZOH) H R (f) y(t) f s f s Das Anti-Aliasing-Filter H AA (f) und das Rekonstruktions-Filter H R (f) sind ideale TP mit Grenzfrequenz f s /2. Das Quantisierungsrauschen kann vernachlässigt werden. Das Eingangssignal x(t) = /2 + cos(2π 3000 t) + 2 cos(2π 6000 t) Das Filter hat die Übertragungsfunktion H(z) = - z -2. a) Zeichnen Sie direkt auf das Aufgabenblatt das Betragsspektrum an der Stelle. - b) Zeichnen Sie direkt auf das Aufgabenblatt das Betragsspektrum an der Stelle 2. - c) Zeichnen Sie das mit T s normierte Betragsspektrum an der Stelle 3. - d) Zeichnen Sie das mit T s normierte Betragsspektrum an der Stelle 4. -

2 ZHAW, DSV, FS200, Rumc, 2 e) Zeichnen Sie direkt auf das Aufgabenblatt das Betragsspektrum an der Stelle 5. - f) Zeichnen Sie direkt auf das Aufgabenblatt das Betragsspektrum an der Stelle 6. - Aufgabe 2: DFT. 4 Punkte Betrachten Sie das folgende, abgetastete Signal x[n] mit N=0 Abtastwerten. Zeichnen Sie Real- und Imaginärteil des normierten DFT-Spektrums Re{X[m]} / N und Im{X[m]} / N im Diagramm unten ein. Wichtig: Bestimmen Sie die Frequenzauflösung Δf und beschriften Sie die Achsen! Re{X[m]} / N m / Δf Im{X[m]} / N m / Δf

3 ZHAW, DSV, FS200, Rumc, 3 Aufgabe 3: Spektrogramm = 5 Punkte Betrachten Sie das folgende Spektrogramm. IX[m]I 2 0 db -32 db f s / db a) Bestimmen Sie die Abtastfrequenz f s, die FFT-Länge N FFT und die Anzahl Kurzzeitsprektren M in diesem Spektrogramm. b) Beschreiben Sie mit Worten exakt, wie das zugehörige Zeitsignal x[n] aussieht, und zwar - im Intervall 0 8 ms, - im Intervall 8 2 ms und - im Intervall 2 6 ms.

4 ZHAW, DSV, FS200, Rumc, 4 Aufgabe 4: LDIS = 8 Punkte Betrachten Sie das folgende Pol-Nullstellen-Diagramm. 0.8 φ = π/2 -φ 0.8 Nullstellen Pole a) Bestimmen Sie die zugehörige z-utf H(z). Bezeichnen Sie die Gain-Konstante mit G. b) Skizzieren Sie das zugehörige Betragsspektrum IH(f)I im Bereich f = 0 f s /2, wobei die Abtastfrequenz f s = 9600 Hz. c) Das Filter H(z) soll in der Direktstruktur 2 realisiert werden. Zeichnen Sie das zugehörige Signalflussdiagramm. d) Das Filter H(z) soll in 6 Bit Fixed-Point Arithmetik realisiert werden. Geben Sie die Differenzengleichung(en) zur Berechnung von y[n] sowie die Filterkoeffizienten im Q0.5-Format an. Hinweis: Sie müssen Sich nicht um die Skalierung zur Verhinderung von Überläufen bei den Summator-Ausgängen kümmern. Nehmen Sie einfach an, die Gain-Konstante sei entsprechend günstig gewählt worden.

5 ZHAW, DSV, FS200, Rumc, 5 Aufgabe 5: Digitalfilter = 6 Punkte a) Betrachten Sie die folgende Stempel-Matrizen-Spezifikation eines digitalen TP-Filters. Die Abtastfrequenz f s = 8 khz. IH(f)I [db] f DB khz f SB 2 khz f s /2 4 khz f Gesucht ist das Digitalfilter mit der kleinsten Ordnung, das im Durchlassbereich und im Sperrbereich keine Rippel aufweist bzw. einen monoton fallenden Amplitudengang hat. Geben Sie den Filtertyp und die Ordnung N an. b) Sie entwerfen mit der Fenstermethode ein FIR-Tiefpass-Filter mit 27 Taps und einer -6 db Grenzfrequenz von f DB =000 Hz. Zur Auswahl stehen ein Rechteck- und ein Hamming-Fenster. Die Abtastfrequenz f s = 8 khz. - Mit welchem Fenster erhält man das steilflankigere FIR-Filter? Bitte begründen Sie Ihre Antwort. - Mit welchem Fenster erhält man die grössere minimale Sperrbereichsdämpfung A min. c) Ein IIR-Filter habe die folgende Pol-Nullstellen-Verteilung (* steht für konjugiert komplex): z 2 p z p 2 z * p 2 * z 2 * p * - Handelt es sich um ein Butterworth-IIR-Filter? Bitte begründen Sie Ihre Antwort. - Das Filter soll als Biquad-Kaskade realisiert werden. Welche Nullstellen und Pole gehören zum. Biquad, welche zum 2. Biquad?

6 ZHAW, DSV, FS200, Rumc, 6 Musterlösung Aufgabe a) Betragsspektrum an der Stelle : b) Betragsspektrum an der Stelle 2: - c) Betragsspektrum an der Stelle 3: - - d) H(z) ist ein BP und unterdrückt f=0 und f=f s /2 vollständig. IH(f=3000 Hz)I = I - e -j2π6000/8000 I = 2 = IH(f=5000 Hz)I Betragsspektrum an der Stelle 4: e) Das ZOH-Glied im DAC weist ein sin(x)/x-förmiges Spektrum auf. Die beiden Frequenzkomponenten werden mit Isin(π 3/8)/(π 3/8)I = bzw. Isin(π 5/8)/(π 5/8)I = abgeschwächt. Betragsspektrum an der Stelle 5: f) Betragsspektrum an der Stelle 6: - -

7 ZHAW, DSV, FS200, Rumc, 7 Aufgabe 2 Zeitsignal und Spektrum: f0 = 4 khz bestimmen (0.5 Pt.), fs bestimmen (0.5 Pt.), N Werte zwischen 0 und fs bzw. f-achse richtig (.0 Pt.) sin => imag. Linie inkl. bei fs-f0 (.0), DC-Anteil ist reell (.0 Pt.) Aufgabe 3 a) f s = 8 khz (0.5 Pkt), N FFT = 6 (0.5 Pkt) und M = 8 (0.5 Pkt). b) bis 8 ms: 500 Hz Komponente (0.5 Pkt) plus Dirac ( Pkt) irgendwann im Zeitintervall 2 ms (0.5 Pkt) 8-2 ms: 000 Hz Komponente (0.5 Pkt) 2-6 ms: Frequenzkomponente in der Nähe von 2 khz (Leakage, Pkt)

8 ZHAW, DSV, FS200, Rumc, 8 Aufgabe 4 a) H(z) = G z 2 / [(z-0.8 e jφ ) ( z-0.8 e -jφ )] = G / ( -.6 cos(π/2) z z -2 ) = G / ( z z -2 ) b) Betragsspektrum IH(f)I wenn G=/: c) y[n] = G x[n] y[n-] y[n-2] x[n] G y[n] y[n].5455 z y[n-2] d) y[n] = 2 ( (G/2) x[n]/2 - a w[n-] - a 2 w[n-2] ) a = - round( 0.8 cos(π/2) * 2 5 ) / 2 5 = / a 2 = round( 0.32 * 2 5 ) / 2 5 = 0486 / 32768

9 ZHAW, DSV, FS200, Rumc, 9 Aufgabe 5 a) ( Pkt) Für eine gegebene Spezifikation haben IIR-Filter generell eine kleinere Filterordnung als FIR-Filter. IIR-Butterworth-Filter weisen einen monoton fallenden Amplitudengang auf. ( Pkt) Die Filtersteilheit beträgt 4 6 db / Oktave, d.h. die Filterordnung N=4 genügt. b) ( Pkt) steilflankigeres FIR-Filter: Mit dem Rechteckfenster, weil es eine schmalere Hauptkeule aufweist als das Hamming-Fenster. ( Pkt) grössere minimale Sperrbereichsdämpfung A min : Mit dem Hamming-Fenster, weil es eine kleinere Nebenkeule hat als das Rechteck-Fenster. c) ( Pkt) Es kann sich NICHT um ein Butterworth-IIR-Filter handeln, weil es Nullstellen bzw. Rippel im Sperrbereich aufweist? ( Pkt) Pol-Nullstellenpaarung wie im Skript beschrieben:. Biquad: z,z * und p 2,p 2 * 2. Biquad: z 2,z 2 * und p,p *