Einführung in das Mathematikstudium und dessen Umfeld

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1 Eiführug i das Mathematikstudium ud desse Umfeld (Uterrichtsfach) LVA C. Fuchs, K. Fuchs, C. Karolus Wiederholug Schulstoff II WS 2015/16 Die komplexe Zahle Wie wir bereits im erste Teil bemerkt habe, sid i de reelle Zahle quadratische Gleichuge icht immer lösbar. Als Stadardbeispiel betrachte ma etwa die Gleichug x 2 = 1, (1) welche offebar keie reelle Lösug besitzt. Durch Eiführug des Elemetes i := 1 (i ist also eie Lösug der Gleichug x = 0) ud Adjuktio zu de reelle Zahle erhält ma die komplexe Zahle, C = {a + bi; a, b R}. Das Elemet i wird als imagiäre Eiheit bezeichet. Es heißt Re(z) := a der Realteil ud Im(z) := b der Imagiärteil der Zahl z = a + bi. Das Elemet z = a bi wird das zu z kojugiert-komplexe Elemet geat. Elemete i C mit Realteil a = 0 heiße rei-imagiär. Higege werde Elemete der Form z = a + 0 i mit der reelle Zahl a idetifiziert. Damit ist R eie Teilmege der komplexe Zahle. Komplexe Zahle ka ma graphisch darstelle, idem ma z = a + ib mit dem Paar (a, b) idetifiziert ud dieses i eiem Koordiatesystem eizeichet, wobei auf der Abszisse der Realteil ud auf der Ordiate der Imagiärteil abgelese wird. Dieses Koordiatesystem wird gemeihi als Gaußsche Zahleebee bezeichet. Espreched heißt die Abszisse Realachse, die Ordiate Imagiärachse. 8

2 Für komplexe Zahle z = a + ib, a, b R, ist die Betragsfuktio defiiert durch z := a 2 + b 2. Der Betrag vo z gibt also de Abstad vo z vom Ursprug a (vgl. die geometrische Darstellug). Wie auch i de relle Zahle, gilt für de Betrag komplexer Zahle z 1 z 2 = z 1 z 2, de mit z 1 = a + ib ud z 2 = c + id ergibt sich z 1 z 2 = a 2 + b 2 c 2 + d 2 = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 2abcd + b 2 d 2 + a 2 d 2 + 2abcd + b 2 c 2 = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 = z 1 z 2. Grudrecheoperatioe i C Additio ud Multiplikatio sid i C folgedermaße defiiert: + : C C C, (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i, : C C C, (a + bi) (c + di) := (ac bd) + (ad + bc)i. Die komplexe Zahle ergebe gemeisam mit der so defiierte Additio ud Multiplikatio eie Körper. Für die Subtraktio gilt (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. De Quotiet zweier komplexer Zahle a+bi ud c+di, (c, d) (0, 0), erhält ma mittels Reell-mache des Neers, a + bi (a + bi)(c di) ac + db bc ad = = + c + di (c + di)(c di) c 2 + d2 c 2 + d i. 2 Dabei wird der Bruch mit dem zu x = c + di kojugiert-komplexe Elemet x = c di erweitert. Bem..1. Die Defiitio der Multiplikatio ergibt sich i atürlicher Weise aus der Forderug, dass i C Distributiv-, Assoziativ- ud Kommutativgesetz gelte solle. Die Additio komplexer Zahle ka ma (wie i der Vektorrechug) geometrisch iterpretiere als Aeiaderhäge der Pfeile. 9

3 Bsp..2. Es sei x = 2 + 7i, y = 2 + i. Ma bereche x + y, y x, xy ud y/x. x + y = ( 2 + 7i) + (2 + i) = 0 + 8i = 8i, y x = (2 + i) ( 2 + 7i) = 6i, x y = ( 2 + 7i) (2 + i) = ( 7) + ( 2 + 1)i = i, y x = 2 + i 2 + 7i = (2 + i)( 2 7i) ( 2 + 7i)( 2 7i) = i. Komplexe Zahle i Polardarstellug Nebe der Darstellug komplexer Zahle durch kartesische Koordiate, also i der Form z = a + bi mit a, b R (wofür ma auch kurz (a, b) schreibe ka), ka ma auch die Darstellug i Polarkoordiate verwede. Astelle vo Real- ud Imagiärteil wird die Zahl dabei durch ihre Betrag z ud ihre Phasewikel ϕ [0, 60 ) (ausgehed vo der positive Realachse ud etgege dem Uhrzeigersi) agegebe. Dieser Wikel wird auch als das Argumet vo z bezeichet ud auch mit arg(z) otiert. Für die Umrechug gilt: z := a 2 + b 2 ud ta ϕ = b a (ϕ ist im richtige Quadrate zu wähle). Die Darstellug ka u etweder durch Agabe des Paares ( z ϕ) erfolge oder gleichbedeuted durch z = z (cos ϕ + i si ϕ). Umgekehrt erhält ma die kartesische Darstellug z = a + ib aus der Polardarstellug z = ( z ϕ) mittels a = z cos ϕ, b = z si ϕ. Multiplikatio komplexer Zahle i Polardarstellug Für die Multiplikatio komplexer Zahle i Polarform ergibt sich z 1 (cos ϕ + i si ϕ) z 2 (cos ψ + i si ψ) = z 1 z 2 (cos(ϕ + ψ) + i si(ϕ + ψ)). 50

4 Dies lässt sich leicht mithilfe der Additiostheoreme herleite: z 1 (cos ϕ + i si ϕ) z 2 (cos ψ + i si ψ) = = z 1 z 2 ((cos ϕ cos ψ si ϕ si ψ) + i(si ϕ cos ψ + si ψ cos ϕ)) = z 1 z 2 (cos(ϕ + ψ) + i si(ϕ + ψ)). Damit lässt sich auch die Multiplikatio komplexer Zahle graphisch iterpretiere. Offebar ist da der Betrag des Produktes gegebe durch das Produkt der eizele Beträge; der Wikel ergibt sich aus der Summe der Beträge. Bsp... Gegebe sei die komplexe Zahl z = 2 +2i. Wir möchte z i Polarkoordiate agebe. Aus der Formel ta ϕ = 1 ud da z im erste Quadrate liegt, erhalte wir de Wikel ϕ = 0. De Betrag bereche wir aus z = + =. Also ist z i Polarkoordiate gegebe durch z = ( 0 ). Bsp... Es sei z C mit de Polarkoordiate r = ud arg(z) = 5π (Bogemaß). 6 Wir wolle z i der Form z = a + ib mit a, b R darstelle. Es ist z = ( cos 5π 6 + i si 5π ) = ( ) + i 1 = i 2. Poteziere ud Wurzelziehe vo komplexe Zahle Es gilt die Eulersche Formel e iϕ = cos ϕ + i si ϕ, 51

5 (ma ka dies über Reiheetwickluge vo exp x, si x ud cos x herleite), wodurch auch die komplexe Expoetialfuktio defiiert ist. (Für de Wikel ϕ = π erhält ma die Eulersche Idetität e iπ + 1 = 0.) Als wichtige Folgerug ergibt sich (warum?) daraus die Formel vo Moivre (cos ϕ + i si ϕ) = (cos ϕ + i si ϕ). Bsp..5. Ma drücke si(ϕ) mittels der Formel vo Moivre durch si(ϕ) aus. Aus der Formel vo Moivre erhalte wir cos(ϕ) + i si(ϕ) = (cos(ϕ) + i si(ϕ)) = cos(ϕ) + cos(ϕ) 2 (i si(ϕ)) + cos(ϕ)(i si(ϕ)) 2 + (i si(ϕ)) = cos(ϕ) + cos(ϕ) 2 si(ϕ)i cos(ϕ) si(ϕ) 2 i si(ϕ) = (cos(ϕ) cos(ϕ) si(ϕ) 2 ) + i( cos(ϕ) 2 si(ϕ) si(ϕ) ). Idem ma die Imagiärteile der like ud der rechte Seite der Gleichug miteiader vergleicht erhält ma si(ϕ) = cos(ϕ) 2 si(ϕ) si(ϕ) = (1 si(ϕ) 2 ) si(ϕ) si(ϕ) = si(ϕ) si(ϕ) si(ϕ) = si(ϕ) si(ϕ). Aus der Formel vo Moivre folgt allgemei für die -te Poteze ud -te Wurzel vo z = z (cos ϕ + i si ϕ): z = z (cos(ϕ) + i si(ϕ)), ( z = z cos ϕ + i si ϕ ) ist eie -te Wurzel vo z. Nachdem für alle k N auch z = z (cos(ϕ + 2πk) + i si(ϕ + 2πk)) eie Darstellug vo z ist ud adererseits die Gleichug x = z höchstes verschiedee Lösuge besitze ka (vgl. dazu de Hauptsatz der Algebra weiter ute), gilt geauer: Alle Lösuge der Gleichug x = z (d.h. alle -te Wurzel vo z) sid gegebe durch ξ k = ( z cos ϕ + 2πk + i si ϕ + 2πk ), k = 0, 1,..., 1, im Bogemaß, bzw. im Gradmaß durch ξ k = z (cos ϕ + k 60 + i si ϕ + k 60 ), k = 0, 1,..., 1. Isbesodere hat also jede komplexe Zahl geau verschiedee -te Wurzel. Diese bilde zusamme die Eckpukte eies regelmäßige -Ecks. 52

6 Bsp..6. Ma bereche 2 2i. Dazu setze wir z = 2 2i. Da erhalte wir z = + = ud ta ϕ = 1, also ϕ = 210 (de z liegt im dritte Quadrate). Es ergebe sich also mit 210 / = 70 ud 60 / = 120 die drei dritte Wurzel ξ 0 = (cos 70 + i si 70 ), ξ 1 = (cos i si 190 ), ξ 2 = (cos 10 + i si 10 ). Durch die Formel vo Moivre lasse sich leicht Poteze eier komplexe Zahl bestimme. Ma ka dies aber atürlich für z = a+bi auch durch sukzessives Ausmultipliziere, bzw. scheller als dies, mit dem biomische Lehrsatz mache. Zur Erierug: der biomische Lehrsatz besagt, dass ( ) (a + b) = a k b k. k Die Biomialkoeffiziete lasse sich dabei etweder mithilfe der Formel ( )! = k k!( l)! bereche oder (für kleie Werte) aus dem Pascalsche Dreieck ablese. k=0 Bsp..7. Ma bestimme (1 + i) 6 eierseits mit dem biomische Lehrsatz ud adererseits mithilfe der Formel vo Moivre. Aus dem biomische Lehrsatz erhalte wir ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (i + 1) 6 = i 0 + i 1 + i 2 + i + i + i 5 + i = 1 + 6i + 15i i + 15i + 6i 5 + i 6 = 1 + 6i 15 20i i 1 = 8i. Um die Formel vo Moivre awede zu köe, schreibe wir zuächst z = i + 1 i Polarschreibweise a: z = 2(cos π + i si π ). Damit köe wir z6 bereche: z 6 = ( ( 2 6 cos 6 π ) ( + i si 6 π )) = 8i( 1) = 8i. A dieser Stelle wolle wir och eie spezielle Typ vo Wurzel komplexer Zahle bespreche: Def..8. Eie Lösug x C der Gleichug x = 1 heißt -te Eiheitswurzel. Eie -te Eiheitswurzel z heißt primitiv, falls z m 1 für jedes m = 1, 2,..., 1. 5

7 Bsp..9. Wir bereche alle sechste Eiheitswurzel. Es ist die Gleichug x 6 = 1 zu löse. Offebar ist z = 1 darstellbar als z = 1(cos 0 + i si 0). Somit sid alle Lösuge der Gleichug gegebe durch ξ k = 6 1 ( cos ( k 2π 6 ) ( + i si k 2π 6 )), k = 0,..., 5. Wir schreibe die Wikel i de Lösuge im Gradmaß a (atürlich köte wir auch beim Bogemaß bleibe). Wege 2π/6 = π/ = 60 folgt also ξ 0 = cos(0 ) + i si(0 ) = 1, ξ 1 = cos(60 ) + i si(60 ) = i 2, ξ 2 = cos(120 ) + i si(120 ) = i 2, ξ = cos(180 ) + i si(180 ) = 1, ξ = cos(20 ) + i si(20 ) = 1 2 i 2, ξ 5 = cos(00 ) + i si(00 ) = 1 2 i 2. Im Allgemeie sid alle -te Eiheitswurzle gegebe durch ( ξ k = cos k 2π ) ( + i si k 2π ), k = 0,..., 1. Algebraische Gleichuge i C I de komplexe Zahle köe wir u jede quadratische Gleichug löse, de hier köe wir auch vo egative Zahle stets die Wurzel ziehe. Die Lösuge (reell wie icht-reell) köe i gewohter Weise über die Lösugsformel für quadratische Gleichuge gewoe werde. Bsp..10. Zu löse ist die Gleichug 2x 2 + x + 5 = 0. Hier ist die Diskrimiate D = 1 egativ ud die Gleichug hat somit keie reelle Lösuge. I C bestimme wir die Lösuge durch x 1,2 = ± = ± 1 = ± 1 1 = 1 ± i. Bemerkeswerterweise ist im Körper der komplexe Zahle icht ur jede quadratische Gleichug stets lösbar, soder sogar jede Gleichug der Form a 0 + a 1 x a x = 0. Es liege sogar alle Lösuge solch eier Gleichug i C (ma sagt, C ist algebraisch abgeschlosse). Es gilt der folgede Satz: 5

8 Satz.11 (Hauptsatz der Algebra). Es sei f(x) = a 0 +a 1 x+...+a x C[x] ei Polyom -te Grades mit komplexe Koeffiziete. Da hat f midestes eie Nullstelle i C. Eie äquivalete Formulierug des obige Satzes lautet: Jedes komplexe Polyom -te Grades hat geau Nullstelle i C (gezählt mit Vielfachheite). Aufgabe 1. Gebe Sie eie quadratische Gleichug a, welche keie Lösug i R besitzt. Begrüde Sie! 2. Es seie z = 2 i, w = 1+2i. Bereche Sie z +w, z w, z 1, z/w, z, z 2 z +w.. Es seie z = 1 i, w = 2 + i, u = 2i. Bestimme Sie (z + w) 2, w u, w + u, z + u w 2, Re(z + u w 2 ), Im(z + u w 2 ), z + u w 2.. Löse Sie die Gleichug 5x 2 6x + 11 = 0 über C. 5. Stelle Sie i Polarform dar: 2 + 2i, i, 5 12i. 6. Stelle Sie i der Form z = a + ib mit a, b C dar: (a) 5 (cos 15 + i si 15 ), (b) z =, arg(z) = 5π Zeige Sie, dass z = 1 2 ( + i 11) eie Lösug der Gleichug 1 5 x2 + 5 x + 1 = 0 ist. Wie lautet die zweite Lösug? 8. Gebe Sie eie Formel für i, N, a ud beweise Sie dere Gültigkeit. 9. Bestimme sie das Produkt vo z = (1.5 5 ) ud u = (2 75 ) i Polarform ud veraschauliche sie dies i der Gaußsche Zahleebee. 10. Visualisiere Sie jee Teilmege vo C, die de agegebee Bediguge geüge: (a) Re(z) + Im(z) = 1, (b) Re(z) Im(z) = 1, (c) z > 2 ud z Drücke Sie mit der Formel vo Moivre cos(ϕ) ur durch Poteze vo cos ϕ aus. 12. Bestimme sie alle füfte Eiheitswurzel ud veraschauliche Sie diese graphisch. 1. Bereche Sie (1+i) 10 eierseits mit der Formel vo Moivre ud adererseits mithilfe des biomische Lehrsatzes. 1. Löse Sie die Gleichug (1 + 2i)x + ( 5i)y = 1 i für x, y R. 55

9 15. Löse Sie die Gleichug z + z = 2 + i für z C. 16. Für Ambitioierte: Es sei ɛ eie primitive -te Eiheitswurzel. Ma bestimme (a) 1 k=0 ɛk, (b) 1 k=0 (k + 1)ɛk. 17. Ebefalls: Ma bereche ( 0) ( 2) + ( ) ( 6) +... (wobei N ud ( k) = 0 für < k ist), idem ma (1 + i) auf zwei Arte beschreibt: mithilfe des biomische Lehrsatzes ud mit der Formel vo Moivre. 56