Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

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1 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 2, Montag nachmittag Differentiation und Integration von Vektorfunktionen Der Ortsvektor: Man kann einen Punkt P im Raum eindeutig durch die Angabe des Vektors kennzeichnen, der vom Koordinatenursprung O ausgeht und den Punkt P als Endpunkt besitzt. Die Komponenten dieses Vektors, des Ortsvektors, sind dann die Koordinaten (x, y, z) des Punkts P. Es gilt also für den Ortsvektor, der meist mit r bezeichnet wird: r = xe x + ye y + ze z, r = x y, r = x 2 + y 2 + z 2 z Bahnkurve: Hängt der Ortsvektor von der Zeit ab: r = r(t), dann beschreibt dies einen zeitlich veränderlichen Ort, also z.b. die Bahn eines Massenpunkts. Z.B: x(t) 1 + t 2 r(t) = y(t) = 1 + t 2 z(t) 0 y 10 t = t = 2 2 t = 0 t = x Ableitung von r(t): Zerlegt man r nach den festen Basisvektoren, dann sind die Komponenten Funktionen der Variablen t: r(t) = x(t)e x + y(t)e y + z(t)e z Bei der Bildung der Ableitung nach t werden die Komponenten einzeln differenziert, entsprechend der Ableitungsregel für Summen. Da die Basisvektoren konstant sind, bleiben sie bei der Differentiation erhalten. Es ist also: dr := dx e x + dy e y + dz e z

2 Man differenziert eine Vektorfunktion, indem man ihre Komponenten differenziert. Die Ableitung von r(t) nach t ist also wieder eine Vektorfunktion von t. Für die geometrische Interpretation der Ableitung von r(t) betrachten wir die alternative Definition der Ableitung dr r(t + t) r(t) (t) := lim t 0 t die oben gegebenen äquivalent ist. Aus dieser Definition entnimmt man, dass der Ableitungsvektor der Grenzwert der Sekantenvektoren ist, d.h. der Ableitungsvektor ist tangential an die Kurve r(t). z r(t + t) r(t) r(t) r(t + t) y x Die Länge von dr ist offenbar ein Maß dafür, wie schnell die Bahnkurve durchlaufen wird. Das lässt folgende Aussage plausibel erscheinen: Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit ist die Geschwindigkeit: dr = v(t) Die Geschwindigkeit ist also ein zeitabhängiger Vektor, der in jedem Augenblick tangential zur Bahnkurve ist. Die Komponenten der Geschwindigkeit sind v(t) = ẋ ẏ ż Entsprechend: Die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung: dv = a(t) Die Beschleunigung ist also ein zeitabhängiger Vektor, der i.a. sowohl eine Tangential- als auch eine Normalkomponente relativ zur momentanen Geschwindigkeitsrichtung hat. Die Komponenten der Beschleunigung sind ẍ a(t) = ÿ z Ausgehend vom Ortsvektor r(t) erhält man durch Ableiten also die Geschwindigkeit v(t) und

3 die Beschleunigung a(t). Umgekehrt kann man bei vorgegebener Geschwindigkeit die Bahn des Teilchens rekonstruieren, und zwar durch Integration: t r(t) = r v(τ)dτ Dabei ist r 0 eine Integrationskonstante, und das Integral der Geschwindigkeit ist komponentenweise definiert: v(τ)dτ = e x v x (τ)dτ + e y v y (τ)dτ + e z v z (τ)dτ Ebenso erhält man aus vorgegebener Beschleunigung die Geschwindigkeit: t v(t) = v a(τ)dτ Aus der Beschleunigung a(t) eines Massenpunkts erhält man durch Integration nach der Zeit seine Geschwindigkeit v(t) zurück (bis auf eine Integrationskonstante v 0 ). Aus der Geschwindigkeit v(t) eines Massenpunkts erhält man durch Integration nach der Zeit seine Bahn r(t) zurück (bis auf eine Integrationskonstante r 0 ). Ebene Polarkoordinaten Betrachtet man einen Massenpunkt in einer Ebene (beispielsweise die Bewegung eines Planeten um die Sonne), dann kann man seinen Ort und seine Bewegung anstatt durch die kartesischen Koordinaten x und y auch durch die Polarkoordinaten r und ϕ beschreiben. Die Polarkoordinaten des Punktes P sind definiert als sein Abstand vom fest gewählten Ursprung O des Polarkoordinatensystems bzw. als der Richtungswinkel von P bezüglich einer fest gewählten Referenzrichtung. ϕ = 120 ϕ = 45 O ϕ r P ϕ = 200 r = 1 r = 2 So hat z.b. der Punkt P bezüglich des eingezeichneten Ursprungs und der Referenzrichtung ungefähr die Polarkoordinaten (r = 2.5,ϕ = 30 ). Die Koordinatenlinien sind Kreise um den Ursprung (r = const., ϕ variiert) und Ursprungshalbgeraden (ϕ = const., r variiert).

4 Äquivalent zu dieser geometrischen Definition der Polarkoordinaten ist die mathematische Definition, die sich auf die schon bekannten kartesischen Koordinaten stützt, indem sie die Transformationsgleichungen angibt, mit deren Hilfe man die Polarkoordinaten eines Punktes in seine kartesischen Koordinaten umrechnen kann: x = r cos ϕ y = r sin ϕ Dabei ist 0 r und 0 ϕ < 2π. Die Umkehrung lautet: r = x 2 + y 2 ϕ = arctan y x Dass diese Transformationsgleichungen gelten, ist aufgrund der geometrischen Definition der Polarkoordinaten unmittelbar einleuchtend. Beispiel: Die gleichförmige Kreisbewegung hat in Polarkoordinaten die einfache Form r(t) = r 0, ϕ(t) = ωt Die geradlinig-gleichförmige Bewegung wird hingegen durch die Funktionen r(t) = r vr 0 t cos(α ϕ 0 ) + v 2 t 2 ( ) vt sin α + r0 sin ϕ 0 ϕ(t) = arctan vt cos α + r 0 cos ϕ 0 dargestellt. Offenbar eignen sich Polarkoordinaten eher für die Darstellung von rotationssymmetrischen Bewegungen und Situationen. ortsabhängige Basisvektoren: Den Ortsvektor kann man mit Hilfe der Polarkoordinaten schreiben als r = r cos ϕe x + r sinϕe y Dies ist im Grunde nichts anderes als die Zusammenfassung der Transformationsgleichungen in Vektorschreibweise. Wenn r und ϕ ihre erlaubten Werte durchlaufen, dann durchläuft r die ganze Ebene. Lässt man r konstant und variiert nur ϕ, dann beschreibt r einen Kreis, im umgekehrten Fall eine Ursprungshalbgerade, also die Koordinatenlinien. Das führt zur Definition der ortsabhängigen Einheitsvektoren als den normierten Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien: e r e ϕ := cos ϕe x + sin ϕe y := sin ϕe x + cos ϕe y

5 und ihre Umkehrung e x e y = cos ϕe r sin ϕe ϕ = sin ϕe r + cos ϕe ϕ e ϕ e r r P O ϕ Diese ortsabhängigen Einheitsvektoren sind den Polarkoordinaten besser angepasst als die konstanten kartesischen Basisvektoren e x,e y. Auch bei allgemeinen krummlinigen und mehrdimensionalen Koordinatensystemen definiert man ortsabhängige Basisvektoren ( lokale Basis, Basisfeld ) auf dieselbe Weise. Die ortsabhängigen Basisvektoren e r,e ϕ der Polarkoordinaten sind praktisch, wenn man ein rotationssymmetrisches Vektorfeld betrachtet, z.b. das Gravitationsfeld der Sonne in der Umlaufsebene der Planeten g(r) = Gm r 2 e r denn dies hat dann nur eine einzige Komponente. Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung: Um den Ortsvektor des Punktes P in Polarkoordinaten möglichst einfach darzustellen, entwickelt man ihn in der zu P gehörenden lokalen Basis: r = xe x + ye y = r cos ϕ(cos ϕe r sin ϕe ϕ ) + r sin ϕ(sin ϕe r + cos ϕe ϕ ) = re r Dieses Ergebnis ist recht anschaulich. Wie lautet nun die Darstellung des Geschwindigkeits- bzw. des Beschleunigungsvektors in Polarkoordinaten, d.h. wie erhält man deren Komponenten bezgl. e r und e ϕ aus den Polarkoordinaten der Bewegung r(t),ϕ(t)? Antwort: Ableiten des Ortsvektors nach t: v = ṙ = (re r ) = ṙe r + rė r Im Unterschied zu den kartesischen Basisvektoren e x,e y sind e r,e ϕ ortsabhängig, d.h. ihre

6 Zeitableitung verschwindet nicht, wenn man sich in der Ebene bewegt. Genauer gilt: ė r = ϕe ϕ ė ϕ = ϕe r (Der Beweis folgt aus den Definitionsgleichungen von e r und e ϕ durch Ableiten nach t.) Das ist ebenfalls anschaulich: Wenn sich nur r ändert, also ϕ = 0 ist, dann bewegt man sich entlang einer Ursprungsgeraden und weder e r noch e ϕ ändern sich. Nur wenn ϕ 0 ist, ändern sich e r noch e ϕ, dabei zeigt die zeitliche Änderung von e r in die Richtung e ϕ und die von e ϕ in die Richtung e r. Damit ergibt sich nun für den Geschwindigkeitsvektor in Polarkoordinaten: v = ṙ = ṙe r + r ϕe ϕ Die Geschwindigkeit hat also eine Radialkomponente ṙ und eine Winkelkomponente r ϕ. Für den Beschleunigungsvektor in Polarkoordinaten ergibt sich durch nochmalige Zeitableitung: a = v = ( r r ϕ 2 )e r + (r ϕ + 2ṙ ϕ)e ϕ Man unterscheide sorgfältig zwischen der Radialkomponente der Beschleunigung r r ϕ 2 und der Radialbeschleunigung r; ebenso zwischen der Winkelkomponente der Beschleunigung r ϕ + 2ṙ ϕ und der Winkelbeschleunigung ϕ! Z.B. bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist r = 0, aber es gibt eine nichtverschwindende Radialkomponente der Beschleunigung, nämlich r ϕ 2 (Zentripetalbeschleunigung).