Kleine lateinische Buchstaben wie z. B. p, q, r, s t, usw.

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Leon Frei
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1 1.1 Aussagenlogik Grundlagen der Mathematik Aussagenlogik Definition: Aussage Eine Aussage im Sinne der Logik ist ein formulierter Tatbestand, der sich bei objektiver Prüfung immer eindeutig als wahr oder falsch bewerten lässt. Aussagen werden ihrem Wahrheitswert entsrechend als wahre oder falsche Aussagen bezeichnet. Schreibweise: Kleine lateinische Buchstaben wie z. B., q, r, s t, usw. Wahrheitswerte: "wahr": 1 bzw. "w" in der Technik auch H ( high ) "falsch" : 0 bzw. "f" in der Technik auch L ( low ) Definition: Verknüfungen von Aussagen Es werden folgende elementare logische Verknüfungen von Aussagen eingeführt: Negation ( NOT ) "Es gilt nicht " Logisches Oder ( OR ) Logisches Und ( AND ) Äquivalenz Imlikation q "Es gilt wenigstens eine der beiden Aussagen" q "Es gelten beide Aussagen" q "Es gilt genau dann, wenn auch q gilt" q "Aus folgt q" Wahrheitstabellen q q q q q q Bei der Imlikation wird vereinbart, dass eine falsche Voraussetzung stets eine wahre Imlikation bewirkt, da aus einer falschen Voraussetzung alles folgen kann.

2 1.1 Aussagenlogik Grundlagen der Mathematik 2 Wahrheitstabellen für mehrfache Verknüfungen zwischen logischen Aussagen enthalten 2 n Zeilen mit allen Kombinationen für die n zu verknüfenden Aussagen. Die Gesamtverknüfung wird dann schrittweise entwickelt. Wahrheitstabelle für die Verknüfung v (( q) ( r s)) q R s q s q r s v Rechengesetze für logische Verknüfungen Für beliebige logische Aussagen, q, r gelten die folgenden Gesetze 1.) Assoziationsgesetze ( q r) r ( q r) ( q) r q r q r 2.) Distributivgesetze ( q r) ( q) ( r) ( q r) ( r)

3 1.1 Aussagenlogik Grundlagen der Mathematik 3 3.) Absortionsgesetze ( q) ( q) ( q) ( q) q q 4.) Gesetze von de Morgan q q q q 5.) Gesetze für Imlikationen ( q) ( q ) ( q) Die Beweise für alle Regeln ergeben sich durch Vergleich der rechten und linken Seiten der Äquivalenzen, indem die Wahrheitstabellen erstellt werden. Der indirekte Beweis (Widersruchsbeweis) A B wird bewiesen, indem man aus der Annahme B einen Widersruch zu A herleitet. Beisiel: Der Beweis, dass 2 ist irrational, d.h. wenn und q teilerfremde natürliche Zahlen sind (A), dann ist 2 (B), wird geführt, indem man die Annahme mit teilerfremden q Zahlen, q gilt 2 = ( A B) zum Widersruch führt. q D.h. allgemein: Annahme ( B) A B bewiesen ( A B) bewiesen. A falsch ( )

4 1.1 Aussagenlogik Grundlagen der Mathematik 4 Definition: Weitere Verknüfungen von Aussagen Es werden folgende weitere logische Verknüfungen von Aussagen eingeführt: Exklusives Oder ( XOR ) NOR-Verknüfung NAND-Verknüfung q "Es gilt entweder oder q" q "Es gilt die Negation des logischen Oder" q "Es die Negation des logischen Und" Wahrheitstabellen q q q q Darstellung von Imlikation, Äquivalenz und Exklusivem Oder durch die elementaren logischen Verknüfungen NOT, OR und AND Es gelten die folgenden Darstellungen 1.) Imlikation ( q) 2.) Äquivalenz 3.) Exklusives Oder ( q) (( q) ( q )) (( q) ( q )) ( q) ( q) ( q ) (( q) ( q )) Darstellung von Verknüfungen NOT, OR und AND durch NOR- bzw. NAND- Es gelten die folgenden Darstellungen 1.) Negation 2.) Logisches Oder ( q) q q 3.) Logisches Und ( q) q q

5 1.1 Aussagenlogik Grundlagen der Mathematik 5 Definition: Allsymbol und Existenzsymbo Zur Formulierung und Formalisierung mathematischer Aussagen werden die folgenden Symbole erklärt: Allsymbol mit der Bedeutung "Für alle... " Existenzsymbol mit der Bedeutung "Es existiert... " Beisiele : 1.) x ( x + 1 = 1+ x) 2.) 2 x y( y = x) Definition: Aussageform, Lösung einer Aussageform Eine Aussageform ist eine Aussage, die noch von einer oder mehreren Variablen abhängt, für welche geeignete konkrete Werte eingesetzt werden können. Durch Belegung dieser Variablen entstehen wahre oder falsche Aussagen. Als Lösung einer Aussageform bezeichnet man alle Variablen, für welche sich eine wahre Aussage ergibt. Beisiele : 1.) (x) x ist eine ositive ganze Zahl und durch 11 teilbar Lösungen der Aussageform (x) sind die Zahlen 11, 22, 33, 44,... 2.) q(x) ist eine Primzahl Lösungen von q(x) sind die Zahlen 2,3,5,7,11,13,17,... 3.) h(x) x ist ein Mathematiker Lösungen sind Gauß, Euler, Pascal,... 3.) v(x,y) Die Summe x + y hat den Wert 3 Lösungen sind Werteaare von Zahlen (x,y), z.b. (1,2), (7,-4),...

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