REFERATE AUS MATHEMATIK 1HLMD

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1 REFERATE AUS MATHEMATIK 1HLMD FOLGENDE THEMEN SIND ZU VERGEBEN: (Details zu den einzelnen Themen auf den folgenden Seiten, ein Klick auf den Titel führt direkt hin) 1. Lineare Funktionen in der Wirtschaft (Kosten, Erlös, Gewinn) Termin: Dienstag, 3.5., maximal 3 Personen 2. Lineare Gleichungen/Funktionen mit GeoGebra zeichnen und untersuchen Termin: Mittwoch, , maximal 3 Personen 3. Lösungsmethoden linearer Gleichungssysteme Termin: Dienstag, 11.5., maximal 3 Personen 4. Lösungsfälle linearer Gleichungssysteme (rechnerisch und graphisch) Termin: Dienstag, 17.5., maximal 3 Personen 5. Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen mit CAS (Computeralgebrasystemen) Termin: Mittwoch, 8.6., maximal 3 Personen 6. Zur Abwechslung etwas ganz anderes: 2 Beweise aus der Zahlentheorie (etwas schwieriger, aber sehr spannend) Termin: Mittwoch, 22.6., maximal 3 Personen D I E R E F E R A T E S I N D F R E I W I L L I G! I C H E R W A R T E V O N A L L E N, D I E S I C H D A F Ü R M E L D E N, V E R L Ä S S L I C H K E I T U N D E I N E S E H R G U T E V O R B E R E I T U N G! Für Fragen, die bei der Vorbereitung auftauchen, stehe ich jederzeit persönlich oder per Mail zur Verfügung. Für alle Themen gilt: Arbeitet euer Thema so aus, dass der Rest der Klasse versteht, worum es geht. Das heißt insbesondere: Lasst euch genug Zeit (RICHTWERT: 35 M INUTEN), damit alle mitkommen und seid darauf vorbereitet, dass jemand nachfragt. Was ihr vortragt (oder in anderer Weise präsentiert), ist ganz normaler Prüfungsstoff und soll von allen gekonnt werden (außer das letzte Thema). Überlegt euch, ob die anderen mitschreiben sollen, oder ob ihr irgendwelche Unterlagen austeilt. Jede Gruppe (außer die letzte) soll zu ihrem Thema auch eine Hausübung geben! Wenn ich Kopien machen soll, gebt mir die Unterlagen rechtzeitig; wenn ihr Laptop/Beamer braucht, muss ich ebenfalls früh genug Bescheid wissen. Wer will, kann mir seine Unterlagen/Vorbereitungen vor dem Referat schicken/abgeben. Ich schau gerne drüber, ob alles passt.

2 1. LINEARE FUNKTIONEN IN DER WIRTSCHAFT (KOSTEN, ERLÖS, GEWINN) D A S S O L L T E N N A C H E U R E M R E F E R A T A L L E K Ö N N E N : Kostenfunktion, Erlösfunktion und Gewinnfunktion aufstellen, graphisch veranschaulichen und interpretieren. Den Begriff Gewinnschwelle/Break-Even-Point kennen und bestimmen. Als I N F O R M A T I O N S Q U E L L E dienen die folgenden Ausschnitte aus Schulbüchern. Alle erklären mehr oder weniger dasselbe in leicht anderen Worten. unser Buch, Kapitel 5.6.2, ab S. 133

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5 2. LINEARE GLEICHUNGEN/FUNKTIONEN MIT GEOGEBRA ZEICHNEN UND UNTERSUCHEN D A S S O L L T E N N A C H E U R E M R E F E R A T A L L E K Ö N N E N : Mehrere verschiedene lineare Funktionen (in verschiedenen Farben) mit GeoGebra zeichnen. Die Achsen so skalieren, dass der dargestellte Bereich aussagekräftig ist. Nullstellen und Schnittpunkte von Funktionen mit GeoGebra ermitteln. Wir werden zu eurem Referatstermin alle, die einen Laptop haben, bitten, ihn mitzunehmen und das Programm vorher schon zu installieren. So können alle (zumindest in Kleingruppen) mitarbeiten. Ihr könnt bei eurem Referat entweder euren eigenen Laptop verwenden oder meinen verwenden. Um den Beamer kümmere ich mich. I N F O S F Ü R E U C H : Wie ihr das Programm installiert, seht ihr hier: Falls ihr es nicht direkt auf eurem Computer installieren wollt, könnt ihr es auch direkt von einem USB-Stick auf jedem beliebigen Computer benutzen. In dem Fall findet ihr die Installationsdateien hier: Eine hilfreiche Kurzeinführung über die wichtigsten Bedienelemente des Programms findet ihr hier: Ich empfehle, die Nutzung des Programms anhand eines Beispiels, das wir schon einmal gemacht haben, zu erklären. Gut eignen würde sich das Matura-Beispiel mit den beiden Fahrzeugen. (Was bedeuten die Schnittpunkte und Nullstellen der beiden Geraden dort?) Achtung: Wie bei fast allen Computerprogrammen ist das Dezimaltrennzeichen der Punkt, und nicht das Komma. Die Zahl 0,5 muss also beispielsweise als 0.5 eingegeben werden. Eingabe von Funktionen: Wenn ihr die Funktion zeichnen wollt, ist wichtig zu wissen, dass GeoGebra nur die Variable x kennt. Ihr müsst die Funktion also ein wenig ändern zu. Eingeben könnt ihr sie auf verschiedene Weise im Eingabefenster unten: oder auch nur. Im zweiten Fall wird GeoGebra die Funktion aber nicht s nennen, sondern f, die nächsten Funktionen, die eingegeben werden, dann g, h usw. Ihr könnt jeden Funktionsnamen nur einmal verwenden. Wenn ihr also nochmal eine Funktion eingebt, und sie wieder s nennt, dann wird die erste überschrieben. Was aber möglich ist: Ihr könnt Funktionen mit s1, s2, s3 usw. bezeichnen.

6 Sobald ihr die Eingabe mit bestätigt habt, erscheint im Grafik-Fenster der Graph der Funktion und im Algebra-Fenster links davon der eingegebene Funktionsterm. Mit einem Rechtsklick auf den Graph oder den Funktionsterm könnt ihr das Menü Eigenschaften aufrufen, in dem ihr das Aussehen des Graphen verändern könnt (Farbe, Strichbreite, Beschriftung, ) Sollte im Grafik-Fenster nichts angezeigt werden, liegt der Graph vielleicht außerhalb des dargestellten Bereichs. Mit dem Scrollrad der Maus könnt ihr zoomen. Alternativ dazu gibt es auch in der Werkzeugleiste Tools zum Zoomen und Verschieben des Zeichenblatts. Falls die Einheiten auf den Achsen nicht gleich groß sein sollen (weil zum Beispiel die Steigung einer Funktion sehr groß ist), könnt ihr mit einem Rechtsklick in das Zeichenblatt im Punkt xachse : yachse die Achsen unterschiedlich skalieren. Der Befehl ist denke ich selbsterklärend. Alternativ dazu kann man eine Nullstelle auch bestimmen, indem man den Graphen der Funktion mit der x-achse schneidet. Dazu wählt man zunächst in der Werkzeugleiste das entsprechende Werkzeug aus und klickt dann nacheinander den Graph und die x-achse an. Auf dieselbe Art kann man auch den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen ermitteln (und somit beispielsweise, wo und wann sich zwei Fahrzeuge treffen). Das Praktische dabei: Wenn man eine Funktion nachträglich ändert, dann wird der Schnittpunkt automatisch an die neue Situation angepasst. Wenn ihr über diese Informationen hinausgehend noch mehr Infos in eurem Referat einbauen wollt, würde sich die Beschäftigung mit Schiebereglern anbieten: Weitere Informationen findet ihr in der Online-Hilfe und sicher auch durch Ausprobieren bzw. Googeln.

7 3. LÖSUNGSMETHODEN LINEARER GLEICHUNGS- SYSTEME D A S S O L L T E N N A C H E U R E M R E F E R A T A L L E K Ö N N E N : Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen in 2 Variablen mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens, des Einsetzungsverfahrens und des gaußschen Eliminationsverfahrens lösen. Einschätzen, welches Verfahren für ein bestimmtes Gleichungssystem am einfachsten zum Ziel führt. Als I N F O R M A T I O N S Q U E L L E dienen die folgenden Ausschnitte aus Schulbüchern. Alle erklären mehr oder weniger dasselbe in leicht anderen Worten.

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11 4. LÖSUNGSFÄLLE LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME (RECHNERISCH UND GRAPHISCH) D A S S O L L T E N N A C H E U R E M R E F E R A T A L L E K Ö N N E N : Wissen, welche Lösungsfälle bei linearen Gleichungssystemen mit 2 Gleichungen in 2 Variablen auftreten können und wie die entsprechenden graphischen Repräsentationen aussehen. Feststellen, welcher Lösungsfall für ein bestimmtes Gleichungssystem vorliegt, ohne es tatsächlich zu lösen. Als I N F O R M A T I O N S Q U E L L E dienen die folgenden Ausschnitte aus Schulbüchern. Alle erklären mehr oder weniger dasselbe in anderen Worten. unser Buch, S 147

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14 5. LÖSEN VON GLEICHUNGEN UND GLEICHUNGS- SYSTEMEN MIT CAS (COMPUTERALGEBRASYS- TEMEN) D A S S O L L T E N N A C H E U R E M R E F E R A T A L L E K Ö N N E N : Beliebige Gleichungen in einer Variablen und Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungen und in mehreren Variablen mit Hilfe des Computers lösen. Wir werden zu eurem Referatstermin alle, die einen Laptop haben, bitten, ihn mitzunehmen und das Programm vorher schon zu installieren. So können alle (zumindest in Kleingruppen) mitarbeiten. Ihr könnt bei eurem Referat entweder euren eigenen Laptop verwenden oder meinen verwenden. Um den Beamer kümmere ich mich. I N F O S F Ü R E U C H : Wir verwenden das frei verfügbare CAS Maxima. Auf können die Installationsdateien für Mac und Windows heruntergeladen werden. Eventuell muss nach der Installation die Sprache in den Programmeinstellungen auf Deutsch umgestellt werden. Es gibt auch eine portable Version, die direkt vom USB-Stick verwendet werden kann. Der Download dafür findet sich hier: Achtung: Wie bei fast allen Computerprogrammen ist das Dezimaltrennzeichen der Punkt, und nicht das Komma. Die Zahl 0,5 muss also beispielsweise als 0.5 eingegeben werden. Im Gegensatz zu manchen anderen Programmen darf man bei Maxima das Multiplikationszeichen nie weglassen. Statt 2x muss man also 2*x eingeben. Außerdem sollte man wissen, dass die Eingabe mit der Enter-Taste des Ziffernblocks (rechts unten auf der Tastatur) oder mit Shift + abgeschlossen werden muss. Die Eingabetaste beginnt lediglich eine neue Zeile der Eingabe, startet aber nicht die Berechnung. Computeralgebrasysteme könen im Gegensatz zu normalen Taschenrechnern symbolisch also auch mit Variablen rechnen und unterstützen uns bei vielen aufwändigen Rechenverfahren. Gleichungssysteme in der Realität (z. B. bei der Computertomographie) bestehen oft aus mehreren Millionen Gleichungen und ebensovielen Unbekannten. Aus naheliegenden Gründen bedient man sich zur Lösung dieser Systeme leistungsstarker Computer. Auch wir werden nur 2 2-Systeme (2 Gleichungen in 2 Variablen) händisch lösen. Alles, was darüber hinausgeht, überlassen wir dem Rechner.

15 Ihr solltet bei eurem Referat das folgende Beispiel mit Hilfe von Maxima lösen: Eine Firma verkauft Badehosen, Sonnenhüte und Ventialtoren. Nebenstehende Tabelle zeigt die Verkaufszahlen und Einnahmen von drei Monaten. Wieviel kostet jedes Produkt? [Lö ung: B = 29, S = 10,90, V = 99 ] B S V Einnahmen Mai ,9 Juni , Juli ,5 Hier die Vorgehensweise zur Lösung anhand eines anderen Systems: Im Menü Gleichungen wählen wir den Punkt Löse lineares System und geben im nächsten Dialogfeld ein, aus wie vielen Gleichungen unser System besteht. Dann geben wir die Gleichungen einzeln ein und sagen dem Computer noch, welche Variablen wir verwendet haben (jeweils getrennt durch Beistriche). Mit OK bestätigen wir und erhalten einen Augenblick später schon die Lösung. (In der ersten Zeile in Blau nochmals die Eingabe, in der zweiten Zeile in Schwarz die Lösung.) Die Fehlermeldung incorrect syntax: X is not an infix operator (%i5) incorrect syntax: Too many ]'s (%i5) incorrect syntax:, is not a prefix operator (%i5) incorrect syntax: Too many )'s (%i5) incorrect syntax: Premature termination of input at ;. deutet immer darauf hin, dass irgendwo ein Multiplikationszeichen vergessen wurde. In diesem Fall muss man nicht mehr alles neu eingeben, sondern bessert das einfach in der ersten Zeile aus und startet die Berechnung neu. Im nächsten Jahr werden wir lernen, Gleichungen zu lösen, in denen die Variable quadratisch vorkommt. Mit dem CAS ist das auch jetzt schon problemlos möglich: Um beispielsweise die Gleichung zu lösen, gehen wir im Menü Gleichungen auf Gleichung lösen, geben unser Gleichung wie vorher schon das System ein und sehen, dass wir zwei Lösungen erhalten: Wenn ein Ergebnis keine natürliche Zahl ist, liefert uns der Computer immer den exakten Ausdruck (also wie oben mit Wurzeln und Brüchen), weil das genauer ist, als die Darstellung als Dezimalzahl, wo bei irrationalen Zahlen immer Rundungsfehler auftreten. Wollen wir dennoch die Darstellung als Dezimalzahl, dann wählen wir aus dem Menü Numerisch den Punkt Letztes Ergebnis als Gleitkommazahl und erhalten dann die beiden Lösungen in folgender Form:

16 6. ZUR ABWECHSLUNG ETWAS GANZ ANDERES: 2 BEWEISE AUS DER ZAHLENTHEORIE D A S S O L L T E N N A C H E U R E M R E F E R A T A L L E K Ö N N E N : Die Grundidee des vorgeführten Beweises verstehen. I N F O S F Ü R E U C H : Im Folgenden findet ihr zwei ganz berühmte und wunderschöne Beweise aus der Zahlentheorie, dem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Die Inhalte dieser Disziplin galten lange Zeit reine Mathematik ohne wirkliche Anwendungsmöglichkeiten. Das hat sich im letzten Jahrhundert radikal gewandelt, heute sind die Eigenschaften der Primzahlen die Grundlagen für sichere Datenübertragung im Internet oder auch für die Verschlüsselung geheimer Botschaften. So hatte vermutlich der britische Mathematiker ALAN TURING, der eine Maschine entwickelte, mit der die verschlüsselten Funksprüche der Nazis entschlüsselt werden konnten, einen nicht unbedeutenden Anteil am Ausgang des Zweiten Weltkriegs. E U R E A U F G A B E : Entscheidet euch für einen der beiden Beweise und studiert ihn so gut, dass ihr ihn so präsentieren könnt, dass alle die Grundideen verstehen. Wenn ihr Lust habt, könnt ihr auch ein bisschen was zur Zahlentheorie allgemein o- der zu Alan Turing erzählen. Das Internet hält viele interessante Informationen bereit. Beide Beweise sind Beweise durch Widerspruch (oder auch indirekte Beweise ). Dabei nimmt man zunächst an, dass der Satz, den man eigentlich zeigen möchte, in Wirklichkeit falsch sei. Dann rechnet man so lange, bis man auf einen offensichtlichen Widerspruch stößt. Somit muss unsere Annahme falsch gewesen sein und der Satz stimmt doch. Vereinfacht kann man sich das so vorstellen: Man möchte beweisen, dass nicht alle Menschen Österreicher sind. Dazu nehmen wir zunächst genau das Gegenteil an, nämlich dass alle Menschen Österreicher sind. Dann treffen wir aber auf einen Menschen, z. B. Barack Obama, von dem wir mit Sicherheit wissen, dass er kein Österreicher ist. Das ist ein Wiederspruch zu unserer Annahme, dass alle Menschen Österreicher seien. Damit haben wir wie gewünscht bewiesen, dass nicht alle Menschen Österreicher sind.

17 SATZ VON EUKLID Der Satz von Euklid besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Zum Beweis nehmen wir wie angekündigt das Gegenteil an: A N N A H M E : E S G I B T N U R E N D L I C H V I E L E P R I M Z A H L E N. Dann kann man aber eine geordnete Liste aller Primzahlen angeben, also etwa,, 5, 7,,, p n Das wären dann wirklich alle Primzahlen, von der kleinsten (2) bis zur größten (Diese kennen wir zwar nicht, aber wir wissen wegen unserer Annahme, dass es eine geben muss. Wir haben sie hier mit p n bezeichnet). Jetzt bilden wir eine neue Zahl N, die das Produkt all dieser Primzahlen plus 1 ist: N ( 5 7 n ) Diese Zahl ist offensichtlich viel größer, als die größte Primzahl. Deswegen kann sie selbst keine Primzahl sein. Wenn sie keine Primzahl ist, muss sie aber durch eine Primzahl teilbar sein. (Warum?) Aber: Egal, durch welche Primzahl p i aus unserer obigen Liste wir diese Zahl N teilen: Es bleibt immer der Rest 1: ( 5 7 n ) 5 7 n ieser Bruch lässt sich sicher durch kürzen. Die Zahl N ist somit durch keine Primzahl teilbar. Daraus folgt, dass sie selbst eine Primzahl sein muss. Wir haben aber oben festgestellt, dass N viel größer als die größte Primzahl ist. Das ist ein W I D E R S P R U C H, denn N kann nicht gleichzeitig eine Primzahl und größer als die größte Primzahl sein. Somit hat sich unsere Annahme als falsch erwiesen und der Satz muss richtig sein.

18 IRRATIONALITÄT VON Die Quadratwurzel aus 2 ist keine rationale Zahl, lässt sich also nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen. [Das haben wir im ersten Semester festgestellt, aber bewiesen haben wir es nicht.] Zum Beweis nehmen wir wiederum das Gegenteil an: A N N A H M E : L Ä S S T S I C H A L S B R U C H D A R S T E L L E N. Dann kann man die Zahl also schreiben: Dabei sind p und q irgendwelche ganzen Zahlen. Außerdem wollen wir annehmen, dass der Bruch schon vollständig gekürzt vorliegt, dass man ihn also nicht mehr weiter kürzen kann. (Gut merken! Das ist die wichtigste Voraussetzung, die wir treffen.) Um die Wurzel wegzubringen, quadrieren wir beide Seiten der Gleichung: ( ) ( ) Nach dem Ausquadrieren erhalten wir: Multiplikation mit liefert: Aus dieser Gleichung sehen wir, dass sicher eine gerade Zahl sein muss (weil es ein Vielfaches von 2 ist). Wenn gerade ist, ist aber auch selbst gerade. (Gerade Zahlen quadriert ergeben immer gerade Zahlen und ungerade Zahlen quadriert ergeben immer ungerade Zahlen.) Wenn p gerade ist, ist es aber das Doppelte irgendeiner anderen ganzen Zahl r. Deswegen können wir in unserer Gleichung das p durch 2r ersetzen: Ausquadrieren liefert: Wir dividieren durch 2: 4 Jetzt sieht man, aus demselben Grund wie vorher, dass muss auch q gerade sein. gerade sein muss. Damit

19 Weiter oben haben wir schon festgestellt, dass p gerade sein muss. jetzt haben wir außerdem erhalten, dass q gerade sein muss. Ganz zu Beginn haben wir verlangt, dass der Bruch vollständig gekürzt ist. Wenn jetzt aber Zähler und Nenner gerade sind, kann man den Bruch sicher durch 2 kürzen. Damit haben wir wieder einen W I D E R S P R U C H erzeugt. Unsere Annahme ist falsch und damit ist wirklich irrational.