Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

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1 Abiturprüfung Mathematik 202 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

2 Pflichtteil Aufgabe : Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f x = sin x (2 VP) Lösung: Aufgabe 2: f x = 5 sin x cos x Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit f x = 2e 4x + 3 x 2. (2 VP) Lösung: F x = 2e 4x + 3 x 2 dx = 2e4x + 3x 2 dx = 2 e4x 3 x x n dx = n + xn+ + C

3 Pflichtteil Aufgabe 3: Lösen Sie für 0 x 2π die Gleichung sin x cos x 2 cos x = 0. (3 VP) Lösung: sin x cos x 2 cos x = 0 cos x sin x 2 = 0 cos x = 0 oder sin x 2 = 0. Letzteres ist nicht möglich! cos x wird im Bereich 0 x 2π nur bei x = π 2 und x 2 = 3π 2 Null. Ergebnis: L = π 2, 3π 2.

4 Pflichtteil Aufgabe 4: Gegeben sind die Funktionen f mit f x = 2 und g mit g x = 2x 3. x Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der zugehörigen Graphen. Untersuchen Sie, ob sich die beiden Graphen senkrecht schneiden. Lösung: Gleichsetzen und umformen 2 x = 2x 3 x, 2 : 2 2x2 3x 2 = 0 x x = 0 p q Formel x,2 = 3 4 ± x = 2, x 2 = 2 f x =, f x 2 = 4 Ergebnis: Die gemeinsamen Punkte sind P 2 und P (4 VP)

5 Pflichtteil 202 f x = 2 x g x = 2x 3 5 Untersuchung auf senkrechtes Schneiden: Zwei Kurven schneiden sich in einem Punkt x senkrecht wenn das Produkt der Steigungen den Wert ergibt, wenn also f x g (x) = gilt. Mit f x = 2 x 2 = 2 x 2 und g x = 2 folgt f 2 = 2 4 = 2 und g (2) = 2 und damit f 2 g 2 = 2 2 =. Ebenso folgt f 2 g 2 = 8 2 = 6. Ergebnis: In P 2 schneiden sich die Kurven senkrecht, in P nicht.

6 Pflichtteil Aufgabe 5: Eine der folgenden Abbildungen zeigt den Graphen der Funktion f mit f x = x 3 3x 2. Abb. Abb. 2 Abb. 3 Abb. 4

7 Pflichtteil a) Begründen Sie, dass die Abbildung 2 den Graphen von f zeigt. b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Funktion g mit g x = f x a und eine zur Funktion h mit h x = b f x. Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. Geben Sie die Werte für a und b an. c) Die bis jetzt nicht zugeordnet Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion k. Geben Sie ohne Rechnung einen Funktionsterm für k an. (5 VP)

8 Pflichtteil a) f(x) hat Nullstellen bei x = und x 2 = 2. Abb. 2 und 3. Es gilt aber f 0 = 2, folglich wird f in Abb. 2 dargestellt. Abb. 2 b) f x a ist eine Verschiebung von f x auf der x-achse um a Einheiten. In Abb. 4 ist f x um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Somit stellt Abb. 4 g dar und es gilt a = 2 (nicht etwa a = 2). Abb. 4

9 Pflichtteil b) b f(x) ist eine Streckung oder Stauchung von f x um den Faktor b. Abb. verschiebt f x lediglich in y-richtung, folglich kann b f x nur noch durch Abb. 3 dargestellt werden. Dabei wird f = 4 zu h = 2. Wegen h = b f() also 2 = b 4 folgt b = 2. c) Abb. verschiebt f x um 3 Einheiten nach oben, also gilt k x = f x + 3 = x 3 3x +. Abb. 3 Abb.

10 Pflichtteil Aufgabe 6: Gegeben sind die Ebenen E: x Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. = 0 und F: x 2 + 2x 3 = 8. (3 VP) Lösung: Wandle E in die Koordinatenform: 4 x x 2 = 0 x 2 2 x = 0 x x 2 2 x 3 4 x x x 3 = 0 4x x 2 + 2x 3 = = 0

11 Pflichtteil 202 Nun haben wir das folgende lineare Gleichungssystem: I. 4x x 2 + 2x 3 = 4 Gleichung für E II. x 2 + 2x 3 = 8 Gleichung für F Wähle z.b. x 3 = t, wobei t R. Damit lösen wir II. nach x 2 auf: x 2 = 8 2t. In I. eingesetzt folgt 4x 8 2t + 2t = 4 4x = 2 4t also x = 3 t. Damit lässt sich die Schnittgeraden gewinnen. x = x x 2 x 3 = 3 t 8 2t t = t 2 ; t R

12 Pflichtteil Aufgabe 7: Gegeben sind der Punkt A 3 und die Ebene E: x x 3 4 = 0. a) Welche besondere Lage hat E im Koordinatensystem? b) Der Punkt A wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes. Lösung: (4 VP) a) Besondere Lage von E In der Koordinatengleichung fehlt x 2. Dies bedeutet, dass E parallel zur x 2 - Achse verläuft.

13 Pflichtteil b) Bestimmung des Spiegelungspunktes A Bilden eine Hilfsgerade h, senkrecht zu E, so dass A auf h liegt. Damit bestimmen wir den Schnittpunkt von h mit E und später den Spiegelungspunkt A. Dann ist n = 0 der Richtungsvektor und a = h: x = 3 + t 0 3 ; t R. Koordinatengleichungen: x = + t, x 2 =, x 3 = 3 t. Einsetzen in E: + t 3 3 t 4 = 0. Auflösen nach t liefert t = 3. der Stützvektor h

14 Pflichtteil Einsetzen in h ergibt den Schnittpunkt S von h mit E: s = Mit AA = 2 AS a a = 2(s a) a = 2s a = = = 4 0. h Ergebnis: Der Spiegelungspunkt A ist gegeben mit A 7 3.

15 Pflichtteil Aufgabe 8: Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade g, die in E liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Geraden h ermitteln kann, die orthogonal zu g ist und ebenfalls in E liegt. (3 VP) Lösung: Wähle einen beliebigen Punkt S auf E, der aber nicht auf g liegt. Konstruiere eine Hilfsebene H, orthogonal zu g, so dass S in H liegt. Als Stützvektor verwende s und als Normalenvektor verwende den Richtungsvektor u der Geraden g. Aus dem Schnitt der beiden Ebenen E und H ergibt sich die gesuchte Schnittgerade h, die senkrecht zu g ist und in E liegt. E g S h H

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