a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x

Transkript

1 Bltt 1: Hilfe zur Umformung von Gleichungen mit vielen Vriblen Im Mthemtikunterricht hben Sie gelernt, wie mn Gleichungen mit einer Vriblen umformt, um diese Vrible uszurechnen. Meistens hieß sie. In Physik müssen Sie häufig Gleichungen umformen, bevor Sie Zhlen einsetzen können. Ds bedeutet, Sie hben mehrere Vriblen. Ds Vorgehen ist ber genuso. Sie kennen die Regeln für Äquivlenzumformungen. Am Beispiel links können Sie erkennen, wie die Umformungen gemcht werden. Dneben steht eine Rechung für eine Gleichung mit ls einziger Vriblen. Sie können lso vergleichen und sehen, dss die Vorgehensweise dieselbe ist. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t s s 0 v Jetzt knn mn s, s0 und v messen und einsetzen. Mtheunterricht: Gesucht ist. 3 = = 4 :4 0,5 = Ws tun, wenn in den Gleichungen Brüche vorkommen? b = c d Ws mn tun muss, hängt dvon b, ob die gesuchte Größe im Zähler oder im Nenner steht. Fll 1: ist gesucht steht schon im Zähler. Um nch ufzulösen, muss mn nur b uf die ndere Seite bringen. Fll 2:b ist gesucht b steht im Nenner. Um nch b ufzulösen muss mn es zunächst in den Zähler bringen. Tipp beim Rechnen in Fll 2: Wer möchte, knn uch uf beiden Seiten den Kehrbruch nehmen. b = c d b = c d b b = c d b = c b d d c d = b c b b = c d = d c b = d c

2 Bltt 2: Regeln und Tipps zu Brüchen und Wurzeln 1. Bei Brüchen knn mn die Komponenten useinnderziehen und nders zusmmenfügen. oder oder 2. Bei Doppelbrüchen wird mit dem Kehrbruch multipliziert. 3. Einen Bruch durch eine Zhl teilen b c c b = c b = c b 1 c b = c b = c b b c = c b = c b = b : c = b c = c b b : c = bc Diese Tipps sind besonders wichtig, wenn ddurch Vriblen wegfllen, die nicht ngegeben sind. Ohne Kürzen kommt mn dnn nicht weiter 4. Vorsicht beim Kürzen von Doppelbrüchen. Ds hier geht oft schief, In diesem Beispiel knn mn nicht kürzen. 5. Oft knn mn Doppelbrüche vermeiden, wenn mn bei der Umformung ein bisschen nchdenkt. Sttt durch den Bruch zu teilen, knn mn mit dem Kehrbruch multiplizieren. 6. Vorsicht, wenn ein Bruch qudriert wird. Mn muss Zähler und Nenner qudrieren. 7. Für > 0 heben sich Wurzeln und Qudrte uf. Dbei muss mn in Physik eventuell uf Richtungen (z.b. bei Geschwindigkeiten) chten. b c = b c = bc 2 b = c b c = ( b ) 2 c = 2 b 2 2 = 2 2 = 2 8. Wenn Wurzeln in Doppelbrüchen vorkommen, wird sogerechnet wie oben beschrieben. y = y 9. Wenn eine Vrible in der Wurzel vorkommt, knn es Sinn mchen, lles in die Wurzel zu ziehen. 10. Mnchml knn mn Wurzeln gnz vermeiden, indem mn die gnze Gleichung qudriert. y = 2 y 3 = 3y 2 3 = (3y) 2 3 = 9 2 y 2 = y

3 Bltt 3: Ws tun, wenn Summen vorkommen? Mnchml ht mn nicht nur Brüche in einer Gleichung stehen, sondern uch Summen. Dnn pssieren beim Rechnen pssieren oft typische Fehler. Vorgehensweise: Zuerst lle Terme mit der gesuchten Vriblen uf eine Seite bringen. Dnn lle Terme ohne die gesuchte Vrible uf die ndere Seite bringen. Schuen, ob mn Terme zusmmenfssen knn Erst dnch teilen. Physikunterricht. Gesucht ist v 2v y = v + bz -v 2v v y = bz v y = bz +y v = bz +y : v = bz+y Mnchml muss mn usklmmern, um nch einer Größe uflösen zu können: s + 2bs = 5v usklmmern ( + 2b) s = 5v :(+2b) s = 5v + 2b Mtheunterricht. Gesucht ist 4 3 = = = = 10 :2 = 5 Unklug: Durch etws teilen oder dmit mlnehmen, solnge die beknnten und unbeknnten Vriblen nicht sortiert sind. Dnn entstehen Brüche, mit denen Sie vielleicht nicht umgehen können. Wrum? Alle Summnden müssen in dem Beispiel durch geteilt werden. Dort, wo kein steht, muss mn es zuerst hinschreiben. Dzu benutzt mn, dss 1 = 1. Beim Teilen fällt weg und 1 bleibt stehen. 2v y = v + bz 2v 1 1 y = v + bz : 2v - y = v + bz Ausnhme 1: Brüche beseitigen, die schon d stehen. Vorsicht! Wenn Sie uf beiden Seiten mit etws multiplizieren oder ddurch teilen, müssen Sie ds in llen Termen tun. Bei Brüchen nur mit Zhlen funktioniert ds genuso wie oben mit dem. Ausnhme 2: Vriblen können wegfllen. Vorsicht! Auch wenn die Vrible lleine steht, fällt sie nicht einfch weg. v 1 y = 1 v + bz v 1 y = 1 1 v + 2 bz v y = v + 2bz 2mv m = mv + m :m 2v = v + 1

4 Bltt 4: Hilfe zur Lösung von mehreren Gleichungen In Mthe hben Sie drei Verfhren gelernt, um Gleichungen mit mehreren Unbeknnten zu lösen. In Physik brucht mn in der Regel nur zwei dvon: 1. Gleichsetzungsverfhren Phsik Gesucht ist. F ist nicht beknnt. F = m F = mgh m = mgh :m = mgh kürzen m Mthe Gesucht ist. y ist nicht beknnt. y = 2 y = 4 2 = 4 :2 = 2 =gh Jetzt knn mn g und h messen und einsetzen. Die Rechnung funktioniert so uch, wenn mn m gr nicht kennt. Wer diese Rechenmethode nicht verstnden ht, wird ohne m nicht weiter kommen. Lehrer geben m dnn uch nicht n! 2. Einsetzungsverfhren Physik gesucht ist s. t ist nicht beknnt. s = 0,5 t 2 v = t : Mthe Gesucht ist. y ist nicht beknnt. = 2y 6 = 3y :3 t = v einsetzen y = 2 s = 0,5 ( v )2 qudrt uflösen s = 0,5 v2 2 s = 0,5 v2 2 = 2 2 = 4 s = 0,5 v2 Jetzt knn mn, v und t messen und einsetzen. Zusätzlich: Rechenregel us der Mittelstufe Kommuttivgesetz: Bei reinen Produkten oder Summen ist die Reihenfolge egl y z = z y = z y =.. +y+z = z+y+ = +z+y =.. Ausklmmern: b + c = (b+c)

5 Konkrete physiklische Beispiele zum Herleiten von Formeln Grundlegende Hinweise: Im Lufe der Oberstufe müssen Sie lernen, Formeln herzuleiten, ohne gleich Zhlen einzusetzen. Je früher Sie ds üben, desto besser. Auch dnn, wenn es m Anfng einfcher erscheint, gleich lle Zhlen einzusetzen. In Physik müssen Sie immer mit Einheiten rechnen. Einheiten werden uch in jedem Schritt in der Rechnung mitgeführt. Um m Ende die richtige Einheit herus zu bekommen, gibt es einen Trick: Wenn Sie Grundeinheiten in Ihre Formeln einsetzen, werden Sie ls Ergebnis uch Grundeinheiten herus bekommen. Die Grundeinheiten finden Sie im Tfelwerk in der Tbelle Größen und Einheiten der Mechnik. In der Tbelle im Tfelwerk steht unter nderem Größe Formelzeichen Einheit Beschleunigung m s 2 Länge l m Msse m kg Krft F N Zeit t s Tipp zum Umrechnen von Einheiten: 1 km h = m 3600s = 1 m 3,6 s Teilen durch 3,6 1 m s = 1 3,6 km h Mit 3,6 mlnehmen Beispiel 1: In der Gleichung sind lle Größen bis uf eine beknnt. Berechnen Sie die Zeit, die sie bei der Beschleunigung us dem Stnd für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung über die Strecke s=1km mit der Beschleunigung =3 m bruchen. s 2 Schritt 1: Gegeben/Gesucht Rechnen Sie lle Einheiten in Grundeinheiten um. geg: s = 1km = 1000m = 3 m s 2 ges: t Schritt 2: Formel s = 1 2 t2 Schritt 3:Umformen nch der gesuchten Größe (Endergebnis - Zwischenschritte wurden hier weg gelssen) t = 2s Schritt 4:Werte Einsetzen t = m 3 m s 2 = 25,8s Leider sind die Lösungen nicht immer wo einfch wie im ersten Beispiel. Es knn sein, dss in der Formel mehr ls eine Größe unbeknnt ist. Dnn muss mn einen Weg finden, die unbeknnten Größen zu berechnen. Auch hier wird es nötig sein, erst eine Formel herzuleiten, in die m Ende nur noch Zhlen eingesetzt werden. Wie ds geht zeigen die beiden folgenden Beispiele. Beispiel 2 ist ds Einfchere: Hier knn mn sofort eine Formel finden, um die unbeknnte Größe uszurechnen. Beispiel 3 ist komplizierter: Hier tucht mit der gefundenen Formel eine weitere Unbeknnte uf, die mn erst bestimmen muss.

6 Beispiel 2: In der Gleichung sind 2 Größen unbeknnt. Berechnen Sie die Zeit, die sie bei der Beschleunigung us dem Stnd für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung über die Strecke s=1km bruchen. Der Gegenstnd ht eine Msse von 200g und es wirkt eine Krft von 0,6N Schritt 1: Gegeben/Gesucht Rechnen Sie lle Einheiten in Grundeinheiten um. geg: s = 1km = 1000m F = 0,6N m = 200g = 0,2kg ges: t Schritt 2: Formel Schritt 3: In der Formel us Schritt 1 ist nicht beknnt. Stttdessen ist die Krft F ngegeben. Suchen Sie lso nch einer Formel, die einen Zusmmenhng zwischen F und findet. Mit ihrer Hilfe knn mn us der Gleichung eliminieren. Schritt 4: Lösen Sie die gefundene Beziehung nch uf und setzen Sie in die erste Gleichung ein. Dnn ist eliminiert und in der Gleichung stehen nur noch beknnte Größen. Schritt 5: Umformen nch der gesuchten Größe. Am Ende sollen keine Doppelbrüche in der Gleichung stehen! Schritt 5:Werte Einsetzen s = 1 2 t2 F=m = F m s = 1 2 t2 s = 1 2 F m t2 t = 2 s m F t = m 0,2kg 0,6N = 25,8s Beispiel 3: In der Gleichung sind 2 Größen unbeknnt. Berechnen Sie die Zeit, die sie bei der Beschleunigung us dem Stnd für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung über die Strecke s=1km bruchen. Es wirkt eine Krft von F=0,6N. Die Gewichtskrft des Gegenstndes beträgt FG=2N. (Rechnen Sie mit g=10 m s 2) Die Schritte 1 bis 4 lufen so b wie in Beispiel 2. Ende Schritt 4:Diesml ist m unbeknnt. Die Msse s = 1 F muss lso us der Gleichung eliminiert werden. 2 m t2 Schritt 5:Gegeben ist FG. Suchen Sie nch einer Formel, mit der mn FGmithilfe von berechnen knn. Schritt 6: Lösen Sie nch m uf uns setzen Sie in die Gleichung us Schritt 4 ein. Vorsicht! Hier ht mn zwei verschiedene Kräfte: FG und F. FG = mg m = F G g s = 1 2 F g F G t 2 Schritt 7: Umformen nch der gesuchten Größe Schritt 8: Werte einsetzen t = 2 s F G g F t = m 2N 10 m = 25,8s s2 0,6N

7 Aufgben zum Üben: Zu Bltt 1 und 2: Vereinfchen Sie so weit wie möglich: ) s F 3 : s b) 1 5 c) v t t 2 2 sf 3 F d) 5 3 tf 2 F 2 v F 2 Lösen Sie die Gleichungen nch der unbeknnten Größe uf und berechnen Sie diese. Die ngegebenen Zhlen dürfen erst m Ende eingesetzt werden. ) s = 1 2s F2 t s=5 ; t=3 ; gesucht: F b) mv 2 = sm s=2 ; v=5 ; gesucht: c) m F = 5F m=1 ; gesucht: F e) F2 s 3 Fs d) F 3 F2 s d) m B = c B=1 ; m =5 ; gesucht: c Zu Bltt 3: Lösen Sie folgende Gleichungen: ) 2m + mv 2 = mgh + 2mv 2 v=5, =7, g=9 ; gesucht h b) m v + b = s v + 2m v m=1, b=1, v=5, =4 ; gesucht: s c) v + v 2 s = 2v =7, s=1 ; gesucht: v d) m + 1 mv + mv = 2ms v=2, s=3 ; gesucht: 2 Zu Bltt 4: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: ) s = vtf c=6 ; F=3 s=ct gesucht: v b) d= s F = F m d=1 ; s=5 ; =7 gesucht: m c) B = n 2 Fl B=4 l = F n 2 gesucht: F

8 Lösungen zu den Aufgben: Zu Bltt 1 und 2: Vereinfchen Sie so weit wie möglich: ) 1 2 F3 b) tf 2 c) v sf 2 F2 d) v 3 e) s d) 3s Lösen Sie die Gleichungen nch der unbeknnten Größe uf und berechnen Sie diese. Die ngegebenen Zhlen dürfen erst m Ende eingesetzt werden. ) F = 2s2 t = 4,08 b) = v2 s =12,5 c) F = m 5 = 0,2 d) c = B m = 0,2 Zu Bltt 3: Lösen Sie folgende Gleichungen: ) h = 2 v2 g = -1,22 b) s = m + bv = 1 c) v = s = 7 d) = 4s 2v 2+v = 8 5 Zu Bltt 4: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: d) v = c F = 2 e) m = s d = 35 f) F = B = 2