Algorithmische Spieltheorie. Martin Gairing

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1 Algorithmische Spieltheorie Martin Gairing Folien zur Vorlesung vom Organisatorisches: Vorlesung Montags, 14:15-15:45 Uhr Übungen Montags, 16:00-17:00 Uhr Folien zur Vorlesung unter Literatur: christos/games/cs294.html Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston and Jerry R. Green. Microeconomic theory. Oxford Univ. Press, Martin J. Osborne, Ariel Rubinstein. A Course in Game Theory. Cambridge, Mass. [u.a.] : MIT Press, Robert J. Aumann, Sergiu Hart, Handbook of game theory with economic applications. North-Holland, Vol 1 (1992), Vol 2 (1994), Vol 3 (2002) Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

2 2.1 Existenz von Nash Equilibria Satz 2.1: (J. Nash, 1951) Es existiert immer ein gemischtes Nash-Equilibrium. Diagramm für einen Beweis von Nash s Theorem: Sperner s Lemma Brouwer s Fixpunksatz Kakutani s Fixpunktsatz Nash s Theorem Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

3 2.2 Aufwand zur Bestimmung von Nash-Equilibrien Der Satz von Nash garantiert die Existenz eines gemischten Nash-Equilibriums. Aber: Betrachte das folgende Problem: MIXED-2-NE: geg.: Ein Spiel G = (2, S 1, S 2, u 1, u 2 ), S 1, S 2 endlich. ges.: Ein gemischtes Nash-Equilibrium (Π 1 (S 1 ), Π 2 (S 2 )) für G. Es ist bis heute offen, ob MIXED-2-NE in P ist. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

4 2.3 Darstellung eines Spiels in Normalform G = (n, S, U) n Anzahl der Spieler s i Strategie von Spieler i, i {1,..., n} s Strategietupel: s = (s 1,..., s n ) s i Strategientupel der Gegenspieler von i, s i = (s 1,..., s i 1, s i+1,..., s n ) Wir schreiben: s = (s i, s i ) S i Strategieraum (Menge der möglichen Strategien) für Spieler i S = S 1... S n, s S S i = S 1... S i 1 S i+1 S n, s i S i u i Nutzenfunktion von Spieler i u i : S U = (u 1,..., u n ) Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

5 2-Personen Matrix Spiele 2-Personen Matrix Spiele sind Spiele der Form G = (2, (S 1, S 2 ), (u 1, u 2 )) mit S 1 = {1,..., m}, S 2 = {m + 1,..., m + n}. u 1, u 2 sind gegeben als Matrizen A m n und B m n, mit u 1 (i, j) = A i,j m und u 2 (i, j) = B i,j m, für 1 i m, m + 1 j m + n. Jeder Spieler maximiert seinen Nutzen. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

6 Nash Equilibria S 1 = {s 1 1,..., s1 m }, S 2 = {s 2 1,..., s2 n } x = (x 1,..., x m ), x i [0, 1] y = (y 1,..., y n ), y i [0, 1] m i=1 x i = 1, n i=1 y i = 1 T 1 = {i {1,..., m} ; x i > 0} T 2 = {j {1,..., n} ; y j > 0} Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

7 (x, y) ist NE α, β + mit m j=1 m j=1 m i=1 m i=1 A ij y j = α i T 1 A ij y j α i {1,..., m} B ij x i = β j T 2 B ij x i β j {1,..., m} Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

8 Linear Complementary Problem (LCP) (x, y) ist NE α, β + mit x, y 0 1 T x = 1 1 T y = 1 A y 1 α B T x 1 β x T ( 1 α A y) = 0 y T ( 1 β B T x) = 0 Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

9 Ein Bei-Spiel: S 1 = {1, 2, 3}, S 2 = {4, 5} A = , B = ,1 6,0 2 2,0 5,2 3 3,4 3,3 G hat reines Nash-Equilibrium (3, 4) (Spaltenmaximum in A und Zeilenmaximum in B) s 1 s 2 Bemerkung 1 4 Spieler Spieler Spieler Spieler Nash Equilibrium mit Nutzen u 1 (3, 4) = A 3,1 = 3, u 2 (3, 4) = B 3,1 = Spieler 1 1 Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

10 Die Menge der gemischten Strategien von Spieler 1 ist Die Menge der gemischten Strategien von Spieler 2 ist X := {x m m x i = 1, x i 0} Y := {y n n y i = 1, y i 0} i=1 i=1 = {x m 1 T x = 1, x i 0} = {y n 1 T y = 1, y i 0} x 3 y 2 X x 1 Y X ist Fläche zwischen (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0) x 2 Y ist Strecke von (1, 0) nach (0, 1). y 1 Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

11 Bemerkung 2.1: Es sei x eine gemischte Strategie für Spieler 1, y eine gemischte Strategie für Spieler 2. Dann ist der erwartete Nutzen u 1 (x, y) = x T Ay und u 2 (x, y) = x T By. Definition 2.3: a) Es sei y Y fest. x X heißt beste Antwort auf y x T (Ay) ist maximal über X. b) Es sei x X fest. y Y heißt beste Antwort auf x (x T B)y ist maximal über Y. Bemerkung 2.2: a) Eine beste Antwort x (y) ist eine gemischte Strategie mit dem größten erwarteten Nutzen für Spieler 1 (2), wenn Spieler 2 (1) die gemischte Strategie y (x) spielt. b) Ein Nash Equilibrium (x, y) ist dann ein Paar von wechselseitig besten Antworten x und y. Satz 2.2: Es sei y eine gemischte Strategie von Spieler 2. Eine gemischte Strategie x ist beste Antwort auf y genau dann, wenn x nur reine Strategien s i mit positiver Wahrscheinlichkeit spielt, die beste Antworten sind. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

12 2.4 Dominante und Dominierte Strategien Definition 2.4: (Streng dominante Strategie) Eine reine Strategie s i S i ist eine streng dominante Strategie für Spieler i, falls sie eine streng beste Antwort gegen alle möglichen Strategientupel s i ist, d.h., u i (s i, s i) > u i (s i, s i ), s i S i {s i }, s i S i. Wenn eine streng dominante Strategie s i existiert, wird ein rationaler Spieler sie immer wählen. Ganz gleich, was er über das Verhalten seiner Gegenspieler annimmt, s i ist immer optimal. Beispiel (Gefangenendilemma) L G L -1,-1-5,0 G 0,-5-4,-4 Für beide Spieler ist G (gestehen) eine streng dominante Strategie. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

13 Definition 2.5: (Rationalisierbar) Eine reine Strategie s i S i ist rationalisierbar, wenn für jeden Spieler j N eine Menge Z j S j existiert, so dass s i Z i jede Strategie s j Z j von Spieler j ist eine beste Antwort auf eine erwartete Strategie s j Z j der anderen Spieler. Lemma 2.1: Jede Strategie, die in einem Nash Equilibrium mit positiver Wahrscheinlichkeit benutzt wird, ist rationalisierbar. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

14 Definition 2.6: (Streng dominierte Strategie) Eine reine Strategie ŝ i S i von Spieler i ist streng dominiert, falls eine Strategie s i S i existiert, die für jede mögliche Strategienkombination der Gegenspieler echt besser ist als ŝ i, d.h., u i (ŝ i, s i ) < u i (s i, s i), s i S i. Eine streng dominierte Strategie ist nicht rationalisierbar, d.h., sie ist nie eine beste Antwort, ganz gleich, welche Strategien man von seinen Gegenspielern erwartet. Beispiel: l m r O 1,0 1,2 0,1 U 0,3 0,1 2,0 Iterative Elimination von streng dominierten Strategien. r wird streng dominiert von m Ein rationaler Spieler 2 wird r nicht wählen. Wenn Spieler 1 weiss, dass Spieler 2 rational ist, kann er r eliminieren. Dann ist U streng dominiert. Wenn Spieler 2 weiss, dass Spieler 1 rational ist und dass Spieler 1 weiss, dass Spieler 2 rational ist, kann er U eliminieren. Dann ist l streng dominiert. (O, m) wird gespielt. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

15 Bemerkung: Eine gemischte Strategie kann eine reine Strategie streng dominieren: l r O 3,- 0,- M 0,- 3,- U 1,- 1,- U wird weder von O noch von M dominiert, aber die gemischte Strategie, die O mit Wahrscheinlichkeit 1 2 und M mit 1 2 spielt, dominiert U streng! Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

16 Iterierte Eliminierung von streng dominierten Strategien Sei X = j N X j, X S die Menge von Strategietupeln, die iterative Eliminierung von streng dominierten Strategien überleben. Dann gibt es j N eine Folge von Strategiemengen (X t j )T t=0, so dass X 0 j = S j und X T j = X j X t+1 j X t j für alle t = 0,..., T 1. Jede Strategie s j X t j \Xt+1 j von Spieler j ist streng dominiert in dem Spiel (N, (X t i ), (ut i )) für alle t = 0,..., T 1, wobei u t i für jedes i N die Funktion u i eingeschränkt auf j N X t j ist. Keine Strategie aus X T j ist streng dominiert in dem Spiel (N, (X T i ), (ut i )). Lemma 2.2: Wenn X = j N X j die iterative Eliminierung von streng dominierten Strategien überlebt, dann ist X j die Menge der rationalisierbaren Strategien von Spieler j. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS

17 Übung: b 1 b 2 b 3 b 4 a 1 0,7 2,5 7,0 0,1 a 2 5,2 3,3 5,2 0,1 a 3 7,0 2,5 0,7 0,1 a 4 0,0 0,-2 0,0 10,-3 Welche Strategien überleben die iterative Eliminierung von streng dominierten Strategien? Welche Strategien sind rationalisierbar? Besitzt dieses Spiel ein reines Nash Equilibrium? Wenn ja, welches? Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie SS