Grundlagen der Elektrotechnik 3. Übungsaufgaben

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1 Campus Duisburg Grundlagen der Elektrotechnik 3 Nachrichtentechnische Systeme Prof. Dr.-Ing. Ingolf Willms Version Juli 08

2 Aufgabe 1: Man bestimme die Fourier-Reihenentwicklung für die folgende periodische Zeitfunktion. Seite 1

3 Aufgabe 2: Für die Funktion (einweggleichgerichtete Sinusschwingung) : T A sin( ωt) für 0 t f ( t) = 2 T 0 für t T 2 mit f ( t) = f ( t + nt ) gebe man die Fourier- Reihenentwicklung und das Amplitudenspektrum an. Seite 2

4 Aufgabe 3: Gegeben ist die periodische Spannung u ( t) 1 a) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe in komplexer Schreibweise und skizzieren Sie das Amplitudenspektrum. b) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe der Spannung u 2 ( t ), wenn u ( t) 1 jeweils an einer der Schaltungen nach den Abbildungen a-d angelegt wird. Bestimmen Sie die zugehörigen Amplitudenspektren. Abbildung a Abbildung b Abbildung c Abbildung d Seite 3

5 Aufgabe 4: Der dargestellte Strom i( t) fließt durch den gezeigten Schwingkreis. 2 1 T Es soll gelten: L = = 2 2 4ω C 16π C a) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe von i( t) und u( t) in komplexer Schreibweise. b) Skizzieren Sie die Amplitudenspektren von i( t) und u( t ), wenn die Güte des Schwingkrieses Q = 1 bzw. Q = 10 ist. c) Bestimmen Sie für Q = 1 und Q = 10 : 1) die Effektivwerte I eff, U eff, 2) den Schwingungsgehalt und Grundschwingungsgehalt von i( t) und u( t ), 3) den Oberschwingungsgehalt von i( t) und u( t ). Seite 4

6 Aufgabe 5: Gegeben ist ein im Zeitbereich einmaliger Impuls der Form: 0 für < t < T C π f ( t) = 1 cos t für T t T 2 + < < T 0 für T < t < Berechnen Sie die Fourier-Transformierte von f ( t) und bestimmen Sie das zugehörige Amplituden- und Phasenspektrum. Vergleichen Sie diese mit den entsprechenden Spektren des Rechteckimpulses gleicher Amplitude, aber halber Pulsdauer. Seite 5

7 Aufgabe 6: Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der gezeigten Impulsfunktion der Impulsdauer T, indem Sie den Impuls als Überlagerung zweier Sprungfunktionen darstellen. Bestimmen Sie anschließend die Laplace-Transformierte des um die Zeit t 0 zeitverschobenen Impulses. Seite 6

8 Aufgabe 7: Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten der folgenden Zeitfunktionen a) t g( t) = T b) g( t) = 1 e σ ( σ 1 < 0) t c) g( t) = cos( ω1t + ϕ) σ1t d) g( t) = e cos( ω t + ϕ) ( σ 1 < 0) 1 Seite 7

9 Aufgabe 8: Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der dargestellten Zeitfunktion. Seite 8

10 Aufgabe 9: Gegeben sind die folgenden Laplace-Transformierten: a) G( s) = ab ( s 2 a 2 ) ( s 2 b 2 ) b) G( s) = a 2 ( ) s s + a mit reellen Werten a,b. Bestimmen Sie die zugehörigen Zeitfunktionen. Seite 9

11 Aufgabe 10: Gegeben ist die Schaltung: Der Schalter wird zu der Zeit t = 0 geschlossen. Bestimmen Sie die Spannung u ( t) Ströme i 1 ( t) und i 2 ( t) für 0 < t < C und die Seite 10

12 Aufgabe 11: Gegeben ist die Schaltung: Der Schalter wird zu der Zeit t = 0 geschlossen und zu der Zeit L t = t1 = R1 R3 R2 + R + R 1 3 wieder geöffnet. Berechnen Sie die Ströme i 1 ( t ), i 2 ( t) und i 3 ( t ), sowie die Spannung u ( t ). Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf von i 1 ( t ), i 2 ( t) und i 3 ( t) für R1 = R2 = R3 = R. L Seite 11

13 Aufgabe 12: Gegeben ist die Schaltung: Berechnen Sie die Spannung u( t ), sowie die Ströme i ( t ), i ( t) und i ( t ), wenn der Schalter zu der Zeit t = 0 umgeschaltet wird und der Kondensator im Zeitbereich t < 0 ungeladen ist a) für den periodischen Fall, b) für den aperiodischen Fall, c) für den aperiodischen Grenzfall. C G L Seite 12

14 Aufgabe 13: Gegeben ist die Schaltung: Im Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter umgeschaltet. Bestimmen Sie die Spannung u ( t ). L Seite 13

15 Aufgabe 14: In der gegebenen Schaltung wird der Schalter zu der Zeit t = 0 umgeschaltet. Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation die Ströme i( t) und i 1 ( t) für den Zeitbereich 0 < t <. Seite 14

16 Aufgabe 15: Gegeben ist ein invertierender Verstärker mit einem idealen Operationsverstärker Die symmetrische Versorgungspannung besitzt den Wert U = 15V. a) Welchen Wert muss der Widerstand R0 besitzen, damit der Eingangswiderstand des Verstärkers 100 kω beträgt? b) Welchen Wert muss der Widerstand R1 besitzen, damit der Verstärker eine Spannungsverstärkung von A = 50 besitzt? u$ Hinweis: A = u $ a e Die Eingangsspannung ue( t) sei nun sinusförmig mit dem Scheitelwert u $ e = 0,4V. c) Skizzieren Sie die Ausgangsspannung ( ) a u t. B Seite 15

17 Aufgabe 16: Gegeben ist ein Hochpass 2. Ordnung: Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente C 1, C 2, R 1, R2 für den Fall, dass die Verstärkung der Hochpassschaltung gleich 10 und die untere Grenzfrequenz 5 khz beträgt. Seite 16

18 Aufgabe 17: Gegeben ist ein Tiefpass 2. Ordnung: Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente C 1, C 2, R 1, R 2, R3 für den Fall, dass die Verstärkung der Tiefpassschaltung gleich 10 und die obere Grenzfrequenz 25 khz beträgt. Seite 17

19 Aufgabe 18: Ein idealer Operationsverstärker (OP) wird eingangs- und ausgangsseitig mit Zweitoren in Form von T-Gliedern beschaltet. a) Beschreiben Sie die Eigenschaften eines idealen Operationsverstärkers (Bauelementtyp, Prinzipschaltbild und Kennlinie, Spannungen, Ströme, Verstärkung). b) Berechnen Sie die Ströme 0 i$ und 1 i$. c) Ermitteln Sie den Frequenzgang bzw. die Übertragungsfunktion der Schaltung. Seite 18

20 Aufgabe 19: Die gegebene Schaltung stellt einen Differenzverstärker (Subtrahierer) dar. Der Verstärker ist ein idealer Operationsverstärker (OP). Die Eingangsspannungen u $ e1 und u $ e2 sind gegeben. Berechnen Sie die Ausgangsspannung u $ a in Abhängigkeit der Widerstände R1 und R 2, wenn R3 R4 gilt: =. R R 1 2 Seite 19

21 Aufgabe 20: Gegeben ist ein idealer Operationsverstärker (OP), der wie folgt beschaltet ist: a) Bestimmen Sie allgemein die Übertragungsfunktion v u u$ = $ a der Schaltung. u b) Welche Übertragungsfunktion ergibt sich, wenn: Z1 = R1, Z2 = R2, Z5 = R3, Z3 Z4 ( j C) 1 = = ω? Welches Filter ist damit realisiert? c) Welche Übertragungsfunktion ergibt sich für: Z1 = Z3 = Z4 = R, 1) Welches Filter ist damit realisiert? e Z2 Z5 ( j C) 1 = = ω? 1 2) Wie groß sind Betrag und Phase der Übertragungsfunktion fürω0 = ( RC)? 3) Welchen Wert hat der Betrag der Übertragungsfunktion an der Stelleω = ω0? Seite 20

22 Aufgabe 21: Ein Sägezahngenerator, der die Spannung uq liefert (Abbildung b), ist in Reihe geschaltet mit einer Si-Diode D und einem Lastwiderstand R = 500Ω (Abbildung a). Die Diodenkennlinie werde angenähert durch eine Ersatzkennlinie mit U = 0,6 V und r = 10 Ω. L S f Abbildung a: Diode als Gleichrichter Abbildung c: Ersatzschaltbild Abbildung b: Sägezahnspannung a) Berechnen Sie den Maximalwert (Scheitelwert) i $ des Stromes i. b) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes i. c) Berechnen Sie den Effektivwert (quadratischer Mittelwert) I des Stromes i. Seite 21

23 Aufgabe 22: Gegeben ist die abgebildete Schaltung. Die Spannung u1 wird über den Widerstand R vollständig an die offenen Ausgangsklemmen übertragen, solange die Diode D gesperrt ist. Die Ausgangsspannung u2 wird begrenzt, wenn die Diode leitet. Die Diodenkennlinie werde idealisiert mit U = 0,6 V und r = 0 Ω. S f a) In welchem Bereich der Spannung u1 ist die Diode D leitend bzw. gesperrt? b) Berechnen Sie den Strom i in Abhängigkeit von der Spannung u 1. c) Bestimmen Sie die Übertragungskennlinie der Spannung u2 in Abhängigkeit von der Spannung u 1. Seite 22

24 Aufgabe 23: Gegeben ist ein additiver Dioden-Mischer: Die Kondensatorwerte sind so groß gewählt, dass die an ihnen abfallende Wechselspannung vernachlässigt werden kann. Die nichtlineare Kennlinie der Diode kann durch ein Polynom n-ter Ordnung beschrieben werden. Für die Eingangsspannungen gilt: ue 1 = A sin( ω1t ) u = B sin( ω t) e2 2 mit ω1 ω2 Berechnen Sie die entstehenden Kreisfrequenzen ωi in der Ausgangsspannung ue3 Mischers und skizzieren Sie das Frequenzspektrum der Ausgangsspannung. des Hinweis: Zur vereinfachten Berechnung sollen nur die ersten drei Terme des Polynoms für einen willkürlich gewählten Arbeitspunkt berücksichtigt werden. Seite 23

25 Aufgabe 24: Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U = + 15 V bzw. UBM = 15 V symmetrisch gespeist wird. Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung A = 200 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers etwa 10 kω betragen. Eine Signalspannung u( t) = 50 mv cos( ωt ) wird mit dem Eingang des invertierenden Verstärkers verbunden. a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen) Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen Bauelemente. b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der Ausgangspannung charakteristischen Werte. BP Seite 24

26 Aufgabe 25: Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U = + 15 V bzw. UBM = 15 V symmetrisch gespeist wird. Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung A = 100 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers etwa 10 kω betragen. Eine Signalspannung u( t) = 200 mv cos( ωt 45 ) wird mit dem Eingang des invertierenden Verstärkers verbunden. a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen) Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen Bauelemente. b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der Ausgangspannung charakteristischen Werte. BP Seite 25

27 Aufgabe 26: Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U = + 5 V bzw. UBM = 5 V symmetrisch gespeist wird. Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung A = 100 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers etwa 1 kω betragen. Eine Signalspannung u( t) = 50 mv cos( ωt + 45 ) wird mit dem Eingang des invertierenden Verstärkers verbunden. a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen) Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen Bauelemente. b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der Ausgangspannung charakteristischen Werte. BP Seite 26