Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Emma Geisler
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1 Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundbegriffe Würfeln, Werfen einer Münze, Messen der Lebensdauer einer Glühbirne Ausfall/Ausgang: Würfeln: Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 Münze: Kopf/Zahl Glühbirne: 3,7 h In der Wahrscheinlichkeitsrechnung benötigt man für alle möglichen Ausgänge einen sogenannten. Diesen bezeichnen wir mit Ω (=Omega). Ω... Menge alle Ausgänge Beispiele: Werfen eines Würfel Werfen einer Münze Werfen zweier Würfel Ω = Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ω = Lebensdauer einer Glühbirne Ω = Ereignisse Ereignisse werden meist mit irgendwelchen Großbuchstaben abgekürzt. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A bezeichnet man mit P(A). Beispiel: Würfeln G... es kommt eine gerade Zahl 1 P(G) = 1 Quelle: Education Group GmbH ( Lizenz: CC BY- NC- SA 3.0 AT Seite 1/3

2 Allgemein: E ist Ereignis 2. Zufallsexperiment Was ist ein Zufallsexperiment? 3. Laplace-Experiment Beispiel: Münzwurf A = K B = Z Setzt man auf Zahl, so ist B ein günstiger Fall. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt? Def.: Wahrscheinlichkeit nach Laplace P A = Anzahl der für A günstigen Ausgänge Anzahl aller möglichen Ausgänge Zurück zum Beispiel: P(B) =!! Bem.: Wahrscheinlichkeit nach Laplace allgemeiner: P(A) = A Ω Seite 2/3

3 Laplace-Annahme gilt z. B.: Würfeln, Werfen einer Münze Gilt nicht: Werfen eines Reißnagels, Zündholzschachtel 4. Grundregeln der Wahrscheinlichkeit von Kolmogorow Mögliche Werte Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1: Es gilt: 0 P(A) 1 Sicheres Ereignis Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: P Ω = 1 Vorschicht bei relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten 5. Additionsregel Wenn zwei Ereignisse einander ausschließen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das eine oder das andere Eintritt, gleich der Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten. Es gilt:, sofern 6. Gegenereignis Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses : Aufgaben: (1) Beweisen Sie die Additionsregel! (2) Für ein unmögliches Ereignis gilt: P( = 0 (3) Begründen Sie, warum der Münzwurf ein Laplace-Experiment ist, der Wurf einer Zündholzschachtel dagegen nicht. Seite 3/3

4 Interaktives Skriptum LÖSUNG: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundbegriffe Würfeln, Werfen einer Münze, Messen der Lebensdauer einer Glühbirne Ausfall/Ausgang: Würfeln: Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 Münze: Kopf/Zahl Glühbirne: 3,7 h In der Wahrscheinlichkeitsrechnung benötigt man für alle möglichen Ausgänge einen sogenannten Ereignisraum. Diesen bezeichnen wir mit Ω (=Omega). Ω... Menge alle Ausgänge Beispiele: Werfen eines Würfel Werfen einer Münze Werfen zweier Würfel Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ω = Z, K Ω = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Lebensdauer einer Glühbirne Ω = R + 0 Ereignisse Ereignisse werden meist mit irgendwelchen Großbuchstaben abgekürzt. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A bezeichnet man mit P(A). Beispiel: Würfeln G... es kommt eine gerade Zahl 2 P(G) = = 3 6 = 1 2 = 50 % 2 Quelle: Education Group GmbH ( Lizenz: CC BY- NC- SA 3.0 AT

5 Allgemein: E ist Ereignis E Ω 2. Zufallsexperiment Was ist ein Zufallsexperiment? hängt vom Zufall ab Experiment kann beliebig oft wiederholt werden, OHNE dass sich die Ergebnisse gegenseitig beeinflussen. 3. Laplace-Experiment alle Ereignisse sind gleichwahrscheinlich es gibt nur endlich mögliche Ausgänge des Experiments Beispiel: Münzwurf A = K B = Z Setzt man auf Zahl, so ist B ein günstiger Fall. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt? Def.: Wahrscheinlichkeit nach Laplace P A = Anzahl der für A günstigen Ausgänge Anzahl aller möglichen Ausgänge Zurück zum Beispiel: P(B) =!! Bem.: Wahrscheinlichkeit nach Laplace allgemeiner: P(A) = A Ω

6 Laplace-Annahme gilt z. B.: Würfeln, Werfen einer Münze Gilt nicht: Werfen eines Reißnagels, Zündholzschachtel 4. Grundregeln der Wahrscheinlichkeit von Kolmogorow Mögliche Werte Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1: Es gilt: 0 P(A) 1 Sicheres Ereignis Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: P Ω = 1 Vorschicht bei relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten 5. Additionsregel Wenn zwei Ereignisse einander ausschließen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das eine oder das andere eintritt, gleich der Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten. Es gilt: P(A B) = P(A) + P(B), sofern A B = 6. Gegenereignis Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses A : 1 P(A) = P( A) 1 P( A) = P(A) Aufgaben: (1) Beweisen Sie die Additionsregel! (2) Für ein unmögliches Ereignis gilt: P( = 0 (3) Begründen Sie, warum der Münzwurf ein Laplace-Experiment ist, der Wurf einer Zündholzschachtel dagegen nicht.

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Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten Blatt 1 Aufgabe 1. Wir betrachten den Ereignisraum Ω = {(i,j) 1 i,j 6} zum Zufallsexperiment des zweimaligem Würfelns. Sei A Ω das Ereignis Pasch, und B Ω das Ereignis, daß der erste Wurf eine gerade Augenzahl