Aufgabenblatt zum Seminar 09 PHYS70356 Klassische und relativistische Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

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1 Aufgabenblatt zum Seminar 09 PHYS70356 Klassische und relativistische Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Othmar Marti, Aufgaben 1. Im Folgenden nehmen wir an, dass die Lichtgeschwindigkeit c = ist. Sie und Ihren Hund benden sich zur Zeit t = 0 s bei x = 0 m. Ihr Hund entieht Ihnen in die +x-richtung mit v H = 1 m/s. Sie tauchen aus Ihren tiefschürfenden Gedanken zur Galileitransformation auf. Sie sehen Ihren Hund in der Distanz x H = 10 m. Sie keuchen ihm nach mit v I = 2 m/s nach. Zeichnen Sie das dazugehörige Minkowski-Diagramm und bestimmen Sie die Zeit und den Ort, zu der und an dem Sie überglücklich das Halsband des Hundes ergreifen können. 2. Ihr Uropa, der mit Ihnen bei x = 0 stand, bleibt an dieser Position. Geben Sie an, wieviel Zeit für Uropa, Sie und ihren Hund seit t = 0 s bis zum Ergreifen des üchtenden Tieres vergangen ist. 3. Ihre Uroma, die Sie und Ihre Lieben von Ferne und bezüglich der x-achse in Ruhe beobachtet, stellt durch Rückdatierung fest, dass Uropa genau als Sie ins Halsband des Hundes greifen einen fürchterlichen Niesanfall erleidet. Wie würde eine Schwalbe 1, die mit v S = 5 m/s den Punkt (0 m, 0 s) passiert, die obige Geschichte erzählen? Niest für die Schwalbe Uropa gleichzeitig, vor oder nach Ihrem Gri ans Halsband? Wie gross ist für die Schwalbe der Zeitunterschied zwischen den beiden Ereignissen? 4. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt immer noch c =. Sie sitzen in einem Leuchtturm bei x = 0 m und beobachten zwei Öltanker, die sich entlang der x-achse bewegen. Der Erste hat die Geschwindigkeit v 1 = 5 m/s und passiert den Punkt (100 m, 0 s). Der Zweite fährt mit v 2 = 6 m/s und passiert den Punkt (120 m, 6 s). a) Mit welcher Geschwindigkeit nähert sich Tanker 2 Tanker 1, von Tanker 1 aus gemessen? b) Sie senden Tanker 2 zu Ihrer Zeit t = 0 per Licht den Befehl, dass die Geschwindigkeit auf v 2 = 5 m/s zu senken sei. i. Wenn bei t = 0 in Ihrem Bezugssystem alle Uhren aller Beteiligten auf null gestellt wurden (das geht, ist aber kompliziert), zu welcher Zeit t 2,1 hat Tanker 2 den Befehl erhalten? 1 macht allein noch keinen Sommer, leider!

2 KRM , Aufgabenblatt Nr ii. Tanker 2 antwortet 10 s in seiner Zeit später, dass der Befehl ausgeführt sei. Wann erhalten Sie diese Meldung? iii. Wann hat Tanker 1 (in seiner Zeit) den Befehl an Tanker 2 mitgehört und wann hat Tanker 1 die Quittung von Tanker 2, dass der Befehl ausgeführt sei, gehört? iv. Wie lange ist aus Sicht von Tanker 1 die Raktionszeit von Tanker 2? c) Wann passieren (Ihre Zeit und die Eigenzeiten der beiden Tanker) die Tanker Ihren Leuchtturm? d) Zeichnen Sie alles in ein Minkowski-Diagramm. 5. Die Lichtgeschwindigkeit sei immer noch c =. Sie lassen sich von einem Tata-Nano- Taxi (v Nano = 3 m/s) zur s = 3 km entfernten Disco fahren. Der Fahrer verlangt dafür 0.1 Einstein-Taler pro gefahrener Sekunde. Alternativ könnten Sie ein Porsche-Carrera- Taxi (v Carrera = 6 m/s) nehmen. Was wäre der angemessene Sekundenpreis, wenn gleiche Strecken (im Ruhesystem von Start und Ziel gemessen) gleich vergütet werden? Was wäre für beide Taxis der Kilometerpreis bezogen auf den Zähler des Autos, wenn die zu bezahlende Endsumme gleich bliebe? Was wäre für beide Taxen der Maximalpreis, wenn pro Kilometer abgerechnet wird und schwierige Verkehrsverhältnisse herrschen? 6. In der Relativitätstheorie kann eine eindimensionale Bewegung mit einem x, ct-diagramm dargestellt werden. Welche Winkel zur ct-achse haben ein Fahhrad mit 5m/s, ein Auto mit der in der Schweiz auf Autobahnen erlaubten Maximalgeschwindigkeit, die ISS und die Sonne auf ihrem Weg um das Zentrum unserer Galaxie? (Die Lichtgeschwindigkeit ist hier c = 0.3 Gm/s.) 7. µ-mesonen haben eine Lebensdauer von t 0 = 2 µs. Sie entstehen in der oberen Erdatmosphäre (h = 10 5 m). a) Berechnen Sie die aus der Sicht eines Beobachters auf der Erde notwendige Geschwindigkeit, damit die vom ruhenden Beobachter berechnete Flugzeit der bewegten µ-mesonen zur Erde gleich ihrer Lebensdauer ist. b) Berechnen Sie aus Sicht der µ-mesonen die Flugstrecke zur Erdoberäche. c) Sind diese beiden Betrachtungsweisen konsistent? 2 c Ulm University, Othmar Marti

3 3 KRM , Aufgabenblatt Nr (Im Seminar, 8 Min.) Sie iegen als Ingenieur des dritten Jahrtausends mit Ihrer Rakete durch die Weiten des Weltalls, und zwar mit einer Geschwindigkeit von v = m/s. Nehmen wir an, Sie legen für mich als einen auf der Erde zurückgebliebenen Beobachter die Strecke s = 1 Lj (die Einheit Lj steht für Lichtjahr) zurück. a) Wie viel Zeit ist für mich als ruhender Beobachter vergangen, bis Sie diese Strecke hinter sich gebracht haben? b) Wie viel Zeit ist für Sie im Inneren der Rakete vergangen, bis Sie diese Strecke hinter sich gebracht haben? c) Nehmen wir an, ich sah Ihre Rakete beim Start mit einer Länge von l = 10 m. Mit welcher Länge sehe ich Ihre Rakete während des Fluges. d) Wie lange ist für Sie als Reisende die zurückgelegte Strecke? 1 Lj = Pm (µg mg g kg Mg Gg Tg Pg Eg Zg Yg) Hinweis: Diese Aufgabe ist eine absolute Standardaufgabe, falls Relativitätstheorie geprüft werden soll. Alle Kandidaten sollten sie unbedingt beherrschen. c Ulm University, Othmar Marti 3

4 KRM , Aufgabenblatt Nr Lösungen 1. Das Minkowski-Diagramm sieht so aus Aus dem Diagramm liest man ab: t fangen = 22 s x fangen = 22 m 2. Für den Uropa ist die Zeit die aus dem Minkowski-Diagramm aus der vorherigen Aufgabe. Für den Hund haben wir t h = t fangen v2 H c 2 = 22 s Für Sie gilt t I = 11 s + 11 s ( 2 m/s ) 2 = 21, s ( 1 m/s ) 2 = 21, s 3. das Minkowski-Diagramm sieht für die Schwalbe so aus (im Ruhesystem der Uroma) 4 c Ulm University, Othmar Marti

5 5 KRM , Aufgabenblatt Nr Bei 1 niest Uropa, bei 2 greifen Sie ins Halsband. Bei 5 sieht die Schwalbe Uropa niesen, bei 6 sieht die Schwalbe, wie Sie ins Halsband greifen. Die rückdatierten Zeiten sind 3 und a) Um die Relativgeschwindigkeit des Tankers 2 gegen den Tanker 1 zu berechnen, muss vom Tanker 1 aus die Geschwindigkeit des Tankers 2 als Addition der Geschwindigkeiten des Tankers 2 und des Leuchtturms v 2,1 = v 2 + ( v 1 ) 1 + ( v 1)v 2 c 2 = 6 m/s + 5 m/s = m/s ( 6 m/s) 5 m/s 1 + () 2 b) Im Laborsystem bendet sich Tanker 2 zur Laborzeit 6 s bei x = 120 m. Mit der Geschwindigkeit v 2 = 6 m/s ist der Tanker zur Laborzeit t = 0 s bei x 2 (t = 0) = 120 m + 6 m/s 6 s = 156 m Wir berechnen nun die Zeit im Laborsystem, bis sich das Signal (Lichtgeschwindigkeit) und der Tanker 2 treen c t 0 = x 2 (t = 0) + v 2 t 0 t 0 = 156 m 6 m/s t 0 16 m/s t 0 = 156 m t 0 = 9.75 s c Ulm University, Othmar Marti 5

6 KRM , Aufgabenblatt Nr i. t 2,1 = t 0 ( v2 ) 2 t 2,1 = 9.75 s c ( ) 2 6 m/s = 9.75 s = 9.75 s = 9.75 s 0.8 = 7.8 s ii. Tanker 2 braucht in seinem System 10 s um zu antworten und die Geschwindigkeit zu verringern. Im Laborsystem dauert diese Zeitverzögerung t 2 = 10 s ( ) = 10 s v 2c = 12.5 s Der Tanker 2 bendet sich zum Zeitpunkt des Sendens zur Zeit 9.75 s s = s am Ort x = 156 m 6 m/s s = 22.5 m Für diese Distanz braucht das Licht Das Signal trit beim Leuchtturm bei t = 22.5 m = 2.25 s t = s s = 24.5 s iii. Den Befehl an Tanker 2 hört Tanker 1 in der Laborzeit c t 1 = x 1 (t = 0) + v 1 t 1 t 1 = 100 m 5 m/s t 1 15 m/s t 1 = 100 m t 0 = 6.66 s Diese Zeit muss noch in das Laborsystem des Tankers 1 umgerechnet werden t 1 = t 1 v2 1 c 2 = 6.66 s = 6.66 s = 5.77 s Die Quittung des Tankers 2 wurde im Laborsystem am Punkt P = (22.5 m, s) abgesandt. Das Signal trit, im Laborsystem auf Tanker m 5 m/s t 2 = 22.5 m (t s) 100 m 5 m/s t 2 = 22.5 m t m 22.5 s 100 m 5 m/s t 2 = 22.5 m t m m = 5 m/s t 2 t 2 = 29.5 s Im Inertialsystem des Tankers 1 ist die Zeitdauer t 2 = 29.5 s = s 6 c Ulm University, Othmar Marti

7 7 KRM , Aufgabenblatt Nr iv. Hier gibt es zwei Antworten. Erstens kann man die Zeitdierenz der beiden Signale nehmen t Reaktion = s 5.77 s = s Die zweite Möglichkeit ist, mit der bekannten Relativgeschwindigkeit die 10 s umzurechnen. 10 s ˆt Reaktion = ( ) = s m/s c) Tanker 1 passiert den Leuchtturm bei v 1 t LT,1 + x 1 (t = 0) = 0 t LT,1 = x 1(t = 0) v 1 = 100 m 5 m/s = 20 s Im Systems des Tankers ist die Zeit t LT,1 = 20 s v2 1 = 20 s = s c2 Bei Tanker 2 müssen die unterschiedlichen Geschwindigkeiten berücksichtigt werden. Der Tanker 2 bendet sich zum Zeitpunkt des Sendens zur Zeit 9.75 s s = s am Ort x = 22.5 m. Von dort aus bewegt er sich mit v 1 weiter 22.5 m+v 1 (t LT, s) = m 5 m/s t LT, m = 0 t LT,2 = s Im Inertialsystem des Tankers ist die Zeit t LT,2 = s (26.75 s s) = s d) c Ulm University, Othmar Marti 7

8 KRM , Aufgabenblatt Nr Im Laborsystem braucht das Nano-Taxi t Nano = 3 km 3 m/s = 1000 s Mit der Zeitdilatation dauert die Fahrt für den Fahrer t Nano = 1000 s Die Fahrzeit des Carrera-Taxis ist im Laborsystem Im Taxi vergeht die Zeit Preis t Carrera = 500 s ( ) 2 3 m/s = 953, 939 s t Carrera = 3 km 6 m/s = 500 s ( ) 2 6 m/s = 400 s P Carrera = 0.1 Einstein-Taler/s t Nano t Carrera = 0, Einstein-Taler/s Die Gefahrene Distanz für das Nano-Taxi in seinem Ruhesystem wäre ( ) 2 3 m/s s Nano = 3 km = 2861, 817 m Die Gefahrene Distanz für das Nano-Taxi in seinem Ruhesystem wäre ( ) 2 6 m/s s Carrera = 3 km = 2400 m Der Kilometerpreis wäre für das Nano-Taxi P Nano,km = 0.1 Einstein-Taler/s 953, 939 s 2, km = 33, 33 Einstein-Taler/km Der Kilometerpreis wäre für das Carrera-Taxi P Carrera,km = 0.1 Einstein-Taler/s 953, 939 s 2, 4 km = 39, 75 Einstein-Taler/km Der Maximalpreis wäre bei v 0 für das Nano-Taxi P Nano,km,max == 33, 33 Einstein-Taler/km 3km = 100 Einstein-Taler Der Maximalpreis wäre bei v 0 für das Carrera-Taxi P Carrera,km,max == 39, 75 Einstein-Taler/km 3km = 119, 24 Einstein-Taler 8 c Ulm University, Othmar Marti

9 9 KRM , Aufgabenblatt Nr tan α = v c 0 α 45 - Fahrrad:v = 5 m/s α = 9, Auto: v = 33, 3 m/s α = 6, ISS: v = 7702 m/s α = 1, Sonne: v = 220 km/s α = 4, a) Beobachter: v = v B, h = 10 5 m Flugzeit für Beobachter: t B = h/v B Zeit im bewegten Bezugssystem des Mesons Also t = t B (vb /c) 2 t = h (vb /c) v 2 =h B 1 v 2 B 1 c 2 t 2 h = 1 2 vb 2 c 2 t 2 h c = 1 = t2 2 vb 2 h + h2 = 1 ) (t 2 + h2 2 h 2 c 2 h 2 c 2 vb 2 = h 2 = h2 c 2 t 2 + h 2 /c 2 c 2 t 2 + h 2 v B = hc c2 t 2 + h 2 v B c = v B = m/s wenn c = 300 Mm/s b) Längenkontraktion: l = h v 2 B /c2 Mit dem vorigen Resultat l = h = v2 B c 2 =h hct c2 t 2 + h 2 h 2 c 2 c 2 (c 2 t 2 + h 2 ) = m wenn c = 300 Mm/s c) Ja. Für das Meson ist die Lebensdauer 2 µs, die Flugstrecke aber gering. Deshalb kommt es auf der Erdoberäche an. Für den ruhenden Beobachter ist die Flugstrecke lang, aber seine Zeit läuft viel schneller als die des Mesons. c Ulm University, Othmar Marti 9

10 KRM , Aufgabenblatt Nr Lösungsstrategie Bewegen sich zwei Bezugssysteme relativ zueinander, so nehmen Beobachter, die sich in unterschiedlich bewegten Systemen aufhalten, physikalische Grundgrössen wie Zeit, Raum und Masse unterschiedlich wahr. Diese Zusammenhänge gehören zu den Inhalten der Relativitätstheorie. Lösungsweg, explizit: In der speziellen Relativitätstheorie berechnet man diese Unterschiede der Wahrnehmung so: Zeitdilatation: t = t v2. c 2 Längenkontraktion: l = l v2. c 2 Massenzunahme: m = m. 1 v2 c 2 Dabei ist t = Zeitintervall in meinem System und l = Längenintervall in meinem System, sowie t = Zeitintervall im relativ zu mir bewegten System und l = Längenintervall im relativ zu mir bewegten System. Dazu ist ausserdem m = bewegte Masse im relativ zu mir bewegten System und m = dieselbe Masse in meinem System. Mit Bezug auf die Aufgabenstellung betrachte ich das System des im Weltraum iegenden Ingenieurs als bewegt und mein System als für mich ruhend. Wir wollen nun Zahlen einsetzen: Der Eektivität halber berechnen wir die Wurzel in diesen Formeln vorab einmal und setzen sie anschliessend in alle Lösungen zu den Aufgabenteilen (a), (b) und (c) ein: k = v2 c 2 T R (2 108 m/s) 2 (2, m/s) 2 T R 0, 745 a) Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit: v = s t = s. In meinem Bezugssystem t v iegen Sie mit v = m über eine Strecke von s = c 1Jahr. Damit wird Ihre s Flugzeit in meinem Bezugssystem t = s v = c 1 Jahr m/s = 2, m/s 1 Jahr m/s = 2, 998 Jahre T R 1, 499 Jahre 2 b) Für Sie vergeht aufgrund der Zeitdilatation während Ihres Fluges aber nur die Zeitspanne t = t v2 c 2 = t k = 1, 499 Jahre 0, 745 T R 1, 1168 Jahre c) Die Längenkontraktion führt dazu, dass ich Ihre Rakete mit verringerter Länge wahrnehme, nämlich mit l = l v2 c 2 = l k T R 10 m 0, 745 = 7, 45 m 10 c Ulm University, Othmar Marti

11 11 KRM , Aufgabenblatt Nr d) Die Strecke zum Ziel wird um den Faktor (v/c) 2 verkürzt. l F lug = lf lug (v/c) 2 = 1 Lj 0.2 Gm/s 0.3 Gm/s = 1 Lj 0.55 = Lj c Ulm University, Othmar Marti 11