MafI 1 Repetitorium Übungen

Transkript

1 MafI 1 Repetitorium Übungen M. Sc. Dawid Kopetzki KW 18 ( ) M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 1 / 13

2 Intro Info zur ersten Abgabe Erinnerung: Am zwischen 1416 Uhr ist Fachschaftsvollversammlung Keine Lehrveranstaltung. Abgabe kann per Mail erfolgen Uhr Übung ndet statt. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 2 / 13

3 Intro Themenübersicht Themen der heutigen Übung: Induktives... Denieren Beweisen Vollständig Verallgemeinert Strukturelle Noethersch M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 3 / 13

4 Wiederholung Äquivalenzrelation Wiederholung zu Äquivalenzrelationen Sei R M M ein Quasiordnung auf M. Zeigen Sie R R 1 ist eine Äquivalenzrelation Quasiordnung Eine homogene Relation R M M heiÿt Quasiordnung auf M, gdw. R ist reexiv: a M.(a, a) R R ist transitiv: a, b, c M.(a, b) R (b, c) R (a, c) R M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 4 / 13

5 Induktives Denieren Natürliche Zahle Die Menge der natürlichen Zahlen N kann induktiv beschrieben werden Peano-Axiome 1 0 N 2 n N. m N.m = s(n) 3 n N.0 = s(n) 4 n, m N.n m s(n) s(m) 5 ( M N.0 M n Nn M s(n) M) M = N M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 5 / 13

6 Induktives Denieren Operationen auf natürlichen Zahlen Addition 0 + m = m s(n) + m = s(n + m) Multiplikation 0 m = 0 s(n) m = m + (n m) M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 6 / 13

7 Induktives Denieren Aufgaben: Induktives Denieren Exponentiation: n k n 0 = M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 13

8 Induktives Denieren Aufgaben: Induktives Denieren Exponentiation: n k n 0 = 1 M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 13

9 Induktives Denieren Aufgaben: Induktives Denieren Exponentiation: n k n 0 = 1 n s(m) = M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 13

10 Induktives Denieren Aufgaben: Induktives Denieren Exponentiation: n k n 0 = 1 n s(m) = n n m Fakultät: n! 0! = 1 M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 13

11 Induktives Denieren Aufgaben: Induktives Denieren Exponentiation: n k n 0 = 1 n s(m) = n n m Fakultät: n! 0! = 1 s(n)! = M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 13

12 Induktives Denieren Aufgaben: Induktives Denieren Exponentiation: n k n 0 = 1 n s(m) = n n m Fakultät: n! 0! = 1 s(n)! = s(n) n! Kardinalität der Potenzmenge Geben Sie eine induktive Denition für die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge M an. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 13

13 Induktives Beweisen Vollständige Induktion I Geometrische Summe Sei q R \ {1}. Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n N : Teilbarkeit n i=0 q i = qn+1 1 q 1 Zeigen Sie durch vollständige Induktion: n N.5 (6 n + 4) df k N.6 n + 4 = 5k M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 8 / 13

14 Induktives Beweisen Vollständige Induktion II Fibonacci Die Fibonaccifunktion b: N N ist bekanntlich induktiv deniert durch: b(0) = df 0 b(1) = df 1 b(n) = df b(n 2) + b(n 1) für n 2 Beweisen Sie die folgende Aussage für alle n N: n (b(i)) 2 = b(n) b(n + 1). i=0 M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 9 / 13

15 Induktives Beweisen Verallgemeinerte Induktion Fibonacci Die Fibonaccifunktion b: N N ist bekanntlich induktiv deniert durch: b(0) = df 0 b(1) = df 1 b(n) = df b(n 2) + b(n 1) für n 2 Beweisen Sie mit Hilfe verallgemeinerter Induktion für alle n N: ( ) n 7 b(n). 4 M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 10 / 13

16 Induktives Beweisen Strukturelle Induktion: Boolesche Terme Erinnerung: Syntax Boolescher Terme BT ::= X V T F BT (BT BT ) (BT BT ) M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 11 / 13

17 Induktives Beweisen Strukturelle Induktion: Boolesche Terme Erinnerung: Syntax Boolescher Terme BT ::= X V T F BT (BT BT ) (BT BT ) Erinnerung: Semantik Boolescher Terme T B (β) = df w F B (β) = df f X B (β) = df β(x ) t B (β) = df ( t B (β)) t 1 t 2 B (β) = df ( t 1 B (β) t 2 B (β)) t 1 t 2 B (β) = df ( t 1 B (β) t 2 B (β)) mit {,, } Junktor-Semantik, {,, } Junktor-Syntax M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 11 / 13

18 Induktives Beweisen Strukturelle Induktion Erinnerung: Semantik Boolescher Terme T B (β) = df w F B (β) = df f X B (β) = df β(x ) t B (β) = df ( t B (β)) t 1 t 2 B (β) = df ( t 1 B (β) t 2 B (β)) t 1 t 2 B (β) = df ( t 1 B (β) t 2 B (β)) Boolesche Terme Zeigen Sie, dass jeder variablenfreie Boolesche Term t BT semantisch äquivalent zu T oder F ist. Führen Sie den Beweis durch strukturelle Induktion über den Aufbau von t. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 12 / 13

19 Induktives Beweisen Strukturelle Induktion Erinnerung: Semantik Boolescher Terme T B (β) = df w F B (β) = df f X B (β) = df β(x ) t B (β) = df ( t B (β)) t 1 t 2 B (β) = df ( t 1 B (β) t 2 B (β)) t 1 t 2 B (β) = df ( t 1 B (β) t 2 B (β)) Boolesche Terme Zeigen Sie, dass für jeden Booleschen Term t BT ein semantisch äquivalenter Term t existiert, der weder T noch F enthält. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 12 / 13

20 Induktives Beweisen Strukturelle Induktion Erinnerung: Semantik Boolescher Terme T B (β) = df w F B (β) = df X B (β) = df β(x ) t B (β) = df t 1 t 2 B (β) = df t 1 t 2 B (β) = df Boolesche Terme f ( t B (β)) ( t 1 B (β) t 2 B (β)) ( t 1 B (β) t 2 B (β)) Zeigen Sie, dass für alle negationsfreien Booleschen Terme t BT gilt: # V (t) 2 # O (t) + 1, wobei # V (t) die Anzahl der in t vorkommenden Variablen und # O (t) die Anzahl der in t vorkommenden Operatoren bezeichnet. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 12 / 13

21 Induktives Beweisen Noethersche Induktion Funktion reverse Sei A ein Alphabet. Wir denieren induktiv eine Funktion reverse: A A, die Worte aus A umdreht. Für das leere Wort ε: reverse(ε) = ε. Für w A und a A: reverse(w a) = a reverse(w). Der Operator steht für die bekannte Konkatenation von Worten aus A. Beweisen Sie durch Noethersche Induktion über die Teilwortbeziehung auf w: v, w A. reverse(v w) = reverse(w) reverse(v). M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 13 / 13

22 Induktives Beweisen Noethersche Induktion Funktion reverse Sei A ein Alphabet. Wir denieren induktiv eine Funktion reverse: A A, die Worte aus A umdreht. Für das leere Wort ε: reverse(ε) = ε. Für w A und a A: reverse(w a) = a reverse(w). Der Operator steht für die bekannte Konkatenation von Worten aus A. Beweisen Sie durch Noethersche Induktion über die Teilwortbeziehung auf w: v, w A. reverse(v w) = reverse(w) reverse(v). Teilwortbeziehung Sei A ein Alphabet, und seien v, w A Wörter über A. Die Teilwortbeziehung v w ist wie folgt formal deniert: ist eine Noethersche partielle Ordnung. v w df u1, u2 A.u1 v u2 = w. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 13 / 13