Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 4

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1 TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 3/4 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 4 Aufgabe T4. Für den Grundraum Ω {, } n aller Bitfolgen der Länge n möchte man entscheiden, ob eine konkrete Bitfolge (ω,..., ω n zufällig zustandegekommen ist, indem man die Gruppen von aufeinanderfolgenden Nullen und Einsen (sogenannte Runs betrachtet. Als Kenngröße betrachten wir die Anzahl der Runs R {k {,..., n} : ω k ω k } +. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufälligen Bitfolge genau l {,..., n} Runs auftreten. Welche Verteilung versteckt sich hier? Wir definieren die Ereignisse A k : {ω Ω : ω k ω k } für k {,..., n}. Diese Ereignisse sind unabhängig und es gilt P(A k für alle k {,..., n}. Da es ( n l Möglichkeiten gibt, dass genau l der A k eintreten, erhalten wir für alle l {,..., n} P(R l P( {k {,..., n} : ω k ω k } l ( ( l ( n (l ( ( n n n. l l R ist also Binomial ( n, -verteilt, denn ( ( n n P(R l P(R l +. l Aufgabe T4. Aus einer Urne mit Kugeln der Aufschrift,..., N wird n mal gezogen und es sei X die höchste gezogene Nummer. Definieren Sie X als Zufallsvariable auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum und bestimmen Sie ihre Verteilung, falls (i mit Zurücklegen (ii ohne Zurücklegen gezogen wird. Bei (i ist der Grundraum Ω {,..., N} n, F P(Ω und P die Gleichverteilung. Bei (ii ändert sich der Grundraum zu Ω {ω {,..., N} n ω i ω j für i j}. Die Zufallsvariable X ist in beiden Fällen die Abbildung X : Ω R, X(ω,..., ω n max i n ω i.

2 Die Verteilung von X wird dann eindeutig festgelegt durch die Wahrscheinlichkeiten P(X k P(X k P(X k P({ω Ω ω i k i} P({ω Ω ω i k i} Diese sind nur dann ungleich, falls k N gilt und in (ii zusätzlich n k. In der Situation von (i ist P({ω Ω ω i k i} {ω Ω ω i k i} Ω kn N n, so dass wir P(X k ( k N n ( k N n erhalten. Bei (ii ist P({ω Ω ω i k i} {ω Ω ω i k i} Ω ( k n ( N n, und damit P(X k (( ( k n k ( N. n n Aufgabe T4.3* (Zusatzaufgabe Sei X eine reelle Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P. Zeigen Sie, dass k, l R existieren, so dass P(X k sowie P(X l. Angenommen es gilt P(X k < für alle k R. Wir betrachten die Ereignisse A n : {ω Ω : X(ω n} für n Z. Dann ist (A n n Z eine absteigende Folge von Ereignissen (A n A n für alle n Z und es gilt Ω n Z A n. Mit der Stetigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes P (Satz.6 erhalten wir ( P(Ω P n Z A n lim P(A n n }{{}, < was zu einem Widerspruch führt. Es existiert also ein k R, so dass P(X k. Angenommen es gilt P(X l < für alle l R. Analog zum ersten Teil gilt für B n : {ω Ω : X(ω n} ( P(Ω P n Z B n lim P(B n n }{{}, < was zu einem Widerspruch führt. Es existiert also ein l R, so dass P(X k.

3 Hausaufgaben: Aufgabe H4. (i Seien (Ω i, F i für i {,, 3} Ereignisräume und seien X : (Ω, F (Ω, F und X : (Ω, F (Ω 3, F 3 Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass X X : (Ω, F (Ω 3, F 3 eine Zufallsvariable ist. (ii Seien X, Y reelle Zufallsvariablen auf einem Ereignisraum (Ω, F. Zeigen Sie: (a (X, Y : (Ω, F (R, B(R, ω (X(ω, Y (ω ist eine Zufallsvariable. (b X + Y, X Y und min{x, Y } sind reelle Zufallsvariablen. (c Y (sin X + (cos Xe X+Y ist eine reelle Zufallsvariable. Hinweis: Sie dürfen folgende Aussage verwenden: Eine Abbildung (Ω, F (R d, B(R d ist bereits dann eine Zufallsvariable, wenn X (A F für jede Menge A der Form A (, a ]... (, a d ] mit a,..., a d R gilt. (i Sei A F 3. Es reicht zu zeigen, dass (X X (A X (X (A F gilt. Da A F 3 und X eine Zufallsvariable bezüglich F und F 3 ist, folgt X (A F. Da aber auch X eine Zufallsvariable bezüglich F und F ist, folgt hieraus X (X (A F. (ii (a Seien a, b R. Laut Hinweis reicht es zu zeigen, dass (X, Y ((, a] (, b] F gilt. Nun ist aber (X, Y ((, a] (, b] { ω Ω : (X(ω, Y (ω (, a] (, b] } {ω Ω : X(ω (, a], Y (ω (, b]} X ((, a] Y ((, b] F, da X und Y Zufallsvariablen und (, a], (, b] B(R sind. (b Die Abbildungen ρ : R R, (x, y x + y, σ : R R, (x, y x y und τ : R R, (x, y min{x, y} sind stetig und daher nach Vorlesung Zufallsvariablen bezüglich B(R und B(R. Nun ist aber X +Y ρ (X, Y, X Y σ (X, Y und min(x + Y τ (X, Y. Nach (i und (ii(a folgt hieraus die Behauptung. (c Die Abbildung φ : R R, (x, y y(sin x + (cos xe x+y ist stetig und daher laut Vorlesung eine Zufallsvariable. Analog zu (a ist folglich auch Y (sin X + (cos Xe X+Y φ (X, Y eine Zufallsvariable. Anmerkung zum Hinweis: Allgemein gilt folgendes Messbarkeitskriterium für Zufallsvariablen: Seien (Ω, F und (Ω, F zwei Ereignisräume und werde F von einem Mengensystem E P(Ω erzeugt, d. h. es gelte F σ(e. Dann ist X : Ω Ω bereits dann eine Zufallsvariable, wenn die Bedingung X (A F für alle A E erfüllt ist.

4 Dies beweist man wie folgt: Das Mengensystem A {A Ω : X (A F } bildet eine σ-algebra, die E umfasst. Da nach Definition F die kleinste σ-algebra mit dieser Eigenschaft ist, folgt F A, woraus die Behauptung folgt. Zeigt man noch, dass das Mengensystem {(, a ]... (, a d ] : a,..., a d R} die Borel-σ-Algebra auf R d erzeugt, ist die Aussage des Hinweises gezeigt. Aufgabe H4. Sei (p n n N eine Folge in [, ] mit np n α für eine Konstante α >. Weiter sei (X n n N eine Folge von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P, wobei X n Binomial(n, p n -verteilt ist. Zeigen Sie, dass für jedes k N der Limes lim n P(X n k existiert und bestimmen Sie diesen. Sei k N. Dann ist ( n P(X n k p k k n( p n n k n (n... (n k + ( k! n (np n k np n n ( pn k k n ( ( ( n n n k + (np n... n k ( np n n. n n ( p n k k! n Nach Voraussetzung gilt np n α und somit lim n p n. Wir benutzen weiter die aus der Analysis bekannte Identität lim n ( + x nn n e x für x n x und erhalten lim P(X α αk n k e n k!. Aufgabe H4.3 Sei X eine reelle Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte f(x c (+xe x [, (x, x R, mit einer Konstante c R. (i Bestimmen Sie die Konstante c. (ii Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F von X. (iii Skizzieren Sie die Dichte f und die Verteilungsfunktion F. (iv Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X, P( X und P(X < 5. Veranschaulichen Sie diese Wahrscheinlichkeiten in Ihrer Skizze der Dichte f. (i Nach Bermerkung 3. gilt: f(x dx c ( + xe x [, (x dx R R lim a [ ce x ] a + lim a [ cxe x ] a Folglich muss c sein. ce x dx + ce x dx c + + c c cxe x dx

5 (ii Die Verteilungsfunktion F von X ist an der Stelle x definitionsgemäß F (x P(X x ( [, (x [, (x f(y dy e y dy + ( [ e y ] x + [ ye y ] x [, (x ( e x xe x. (iii Skizze der Dichte f und der Verteilungsfunktion F : ( + ye y [, (y dy ye y dy e y dy F f (iv Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich mithilfe der Verteilungsfunktion berechnen: ( { P(X P } n < X lim P ( n < X n n N ( ( ( lim P X P X n n ( ( lim F ( F n n F ( F ( Im zweiten Schritten haben wir die Stetigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes P ausgenutzt, vorletzten Schritt die Stetigkeit der Funktion F. Analog ist P(X sowie P(X 5 und daher P( X F ( F ( + P(X e e + e + e sowie 3 e e P(X < 5 F (5 P(X 5 e 5 5 e 5.

6 P(X P( X f P(X < Aufgabe H4.4 Das Bertrandsche Paradoxon: In einem Kreis mit Radius werde rein zufällig eine Sehne gezogen. Betrachten Sie dazu die Fälle: (i Der Sehnenmittelpunkt ist auf der Einheitskreisscheibe gleichverteilt. (ii Der Winkel, unter dem die Sehne vom Kreismittelpunkt erscheint, ist auf [, π] gleichverteilt. (iii Der Abstand der Sehne vom Kreismittelpunkt ist auf [, ] gleichverteilt. Präzisieren Sie jeweils den zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Sehne länger als die Seiten des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks? Bezeichne weiter X den Abstand der zufälligen Sehne vom Kreismittelpunkt. Bestimmen Sie in allen drei Fällen die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X. Das Ereignis, dass die im Kreis gezogene Sehne länger ist als die Seiten des in den Kreis einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks, bezeichnen wir jeweils mit A. (i Wir wählen als Ergebnisraum Ω {x R : x }, als σ-algebra F B(Ω die Borel-σ-Algebra auf Ω und als Wahrscheinlichkeitsmaß P die Gleichverteilung. Das Ergebnis ω Ω soll den Mittelpunkt der Sehne beschreiben. Im so definierten Ergebnisraum lässt sich das Ereignis durch A {x Ω : x } beschreiben. Es folgt P(A λ (A λ (Ω π/4 π 4.

7 (ii Wir wählen Ω [, π], F B(Ω und die Gleichverteilung als Wahrscheinlichkeitsmaß P. Das Ergebnis ω Ω soll den Winkel beschreiben, unter dem die Sehne vom Kreismittelpunkt aus erscheint. Im so definierten Ereignisraum kann das betrachtete Ereignis beschrieben werden durch A [ π 3, π]. Es folgt P(A λ(a λ(ω π/3 π 3. (iii Wir wählen Ω [, ], F B(Ω und die Gleichverteilung als Wahrscheinlichkeitsmaß P. Das Ergebnis ω Ω soll den Abstand der Sehne vom Kreismittelpunkt beschreiben. Im so definierten Ereignisraum kann das betrachtete Ereignis beschrieben werden durch A [, ]. Es folgt P(A λ(a λ(ω /. Als nächstes bestimmen wir die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X in allen drei Fällen: (i Der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt ist gegeben durch die Zufallsvariable X : Ω R, (x, y x + y. Für c [, ] ist die Verteilungsfunktion F (c P(X c P ({ (x, y R : x + y c } c π π c. Für c < gilt offenbar F (c und für c > ist F (c. (ii Der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt ist gegeben durch die Zufallsvariable X : Ω R, x cos x. Für c [, ] ist ({ ( x } F (c P(X c P x R : cos c P([ arccos c, π] π arccos c π arcsin c. π Für c < gilt wieder F (c und für c > ist F (c. (iii Der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt ist hier durch die Identität X : Ω R, x x gegeben. Für c [, ] ist die Verteilungsfunktion F (c P(X c P({x R : x c} c. Für c < gilt erneut F (c und für c > ist F (c.