3 Bewegung von festen Teilchen, Tropfen und Blasen : 1

Transkript

1 3 Bewegung von festen Teilchen, Tropfen und Blasen : Kavitation Kavitation: Bildung von dampf- oder gaserfüllten Hohlräumen. Flüssigkeit kann verdampfen durch Temperaturerhöhung: Sieden Druckverringerung: Kavitation In Flüssigkeitsströmungen kann der Druck leicht unter den Sättigungsdampfdruck p sat fallen. Dampfblasen entstehen. Steigt der Druck wieder, kollabieren diese Dampfblasen. Es entstehen hohe Drücke im Zentrum der Blasen. Kavitationsschäden, z.b. an Turbinenschaufeln oder Schiffspropellern, sind die Folge. Kavitation an einem Propeller. Links bildet sich ein Hohlraum im Zentrum des von der Propellerspitze abgehenden Wirbels. echts, bei höherer Strömungsgeschwindigkeit, bilden sich auch schon auf der Saugseite der Propellerblätter Kavitationsblasen. Abb aus Batchelor.)

2 : ayleigh-plesset Gleichung r ur,t) Druck in der Blase: p G, adius: = t) Kontinuität: ur,t) = ft) r 2 Quellenströmung, Gl. 3.38)) andbedingung: ur = ) = Ṙ, ur,t) = Ṙ2 r 2 Einsetzen in Eulersche Gleichungen 3.44), Integration, dynamische andbedingung bei r = : + 3 2Ṙ2 = p p G E1) 4 µṙ 2σ E2) ayleigh-plesset Gleichung Die ayleigh-plesset Gleichung beschreibt das Wachstum einer kugelförmigen Dampf- oder Gasblase. Gl. 3.44) sind die Eulerschen Gleichungen nach Anwendung des Entwicklungssatzes, v t grad v 2 = 1 gradp. Einsetzen des Ausdruckes für die Geschwindigkeit, Gl. E1), ergibt 2 r 2 +2Ṙ r 2 2Ṙ24 r 5 = 1 p r. Integration, dr unter der Annahme, p liesse sich separieren, pr,t) = fr)gt), ergibt + 3 2Ṙ2 = p pr = + ). Die ayleigh-plesset Gleichung folgt nach Anwendung der dynamischen andbedingung an der Stelle r =, unter Vernachlässigung der Viskosität des Gases, σ rr r = ) p G = σ rr r = + ) pr = + ) 2σ/, p G = 2µ u r pr = +) 2σ.

3 3 Bewegung von festen Teilchen, Tropfen und Blasen : 3 Lösung der ayleigh-plesset Gleichung p G p tu / 0 1 0,1 0,01 p tu / 0 adius und Druck einer Gasblase in Wasser. Isentrope Zustandsänderung des Gases, p G 3κ = 3κ 0. Analytische Lösung: p / = 100, κ = 1,4 p G,max /p Die ayleigh-plesset Gleichung beschreibt eine Blase in Abhängigkeit vom Druck p im Fernfeld. In den Abbildungen oben ist der Verlauf des adius und des Drucks in der Blase nach rascher Absenkung des Außenruckes auf p,min = 0,01 und langsamen Anstieg auf p = gezeigt. Gerechnet für 0 = 1 mm, = 1 bar, U = 20 m/s. Im gezeigten Beispiel fällt der Druck in der Blase unter den minimalen Druck in der Außenströmung, p G,min = 0,004. Dann kollabiert die Blase, der Druck steigt auf ein Vielfaches des Ausgangswertes, p G,max = 204. Danach oszilliert der adius der Blase um den Ausgangswert. Tatsächlich wird die Symmetrie der radialsymmetrischen Strömung schon beim ersten Zusammenfallen zerstört und die ayleigh-plesset Gleichung beschreibt die Bewegung der Blase nicht mehr gut.

4 : 4 Analytische Lösung der ayleigh-plesset Gleichung Für eine sprunghafte Änderung des Außendruckes ist eine analytische Lösung der nicht-viskosen ayleigh-plesset Gleichung möglich. Sei eine Gasblase im Gleichgewicht mit der Außenströmung, p G =, p = für t < 0. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Außendruck plötzlich auf einen konstanten Wert erhöht, p > für t 0. Multiplikation der inerten Terme und des Druckterms in der ayleigh- Plesset Gleichung mit 2 2 Ṙ ergibt 2 3 Ṙ +2 2 Ṙ 3 = p 2 Ṙ 2 3κ 0 2 3κ Ṙ. Das unbestimmte Integral lautet 3 Ṙ 2 = p κ κ) 3 3κ. Nun werden die Anfangsbedingungen und der Umstand, dass Ṙ in den Extrema von verschwindet, berücksichtigt. Damit ergibt die Auswertung des Integrals zwischen den Grenzen t = 0: Ṙ = 0, = 0 und t = t 1 : Ṙ = 0, = min, 0 = p min 0) 3 Nach algebraischer Umformung erhält man 0 min ) 3κ 3 1 = κ 1) p 2 ) 31 κ) 3κ 0 3 3κ min 3 3κ 0. 1 min 0 ) 3 ). Für 0 min gilt in guter Näherung 0 / min ) 3κ 3 κ 1)p / ). Mit κ = 1,4 und p / = 100 erhält man beispielsweise 0 / min 40 1/1,2 = 21,63. Mit der Isentropenbeziehung, p G,max min 3κ = 0 3κ, folgt p G,max κ 1) p ) κ κ 1 p G,max bzw. p ) 1 κ 1) κ p κ 1 κ 1.

5 3 Bewegung von festen Teilchen, Tropfen und Blasen : 5 Aufnahmen einer kollabierenden Blase im Abstand von jeweils s. Das geringste Volumen wird zwischen der 10. und der 11. Aufnahme erreicht. Abb aus Batchelor.) Beim Zusammenfallen verliert eine Blase meist ihre radiale Symmetrie. Die Blase wird auf einer Seite flacher. Die an dieser Stelle gegeneinander strömende Flüssigkeit erzeugt einen kleinen Freistrahl microjet ), in dem die Flüssigkeit jedoch hohe Geschwindigkeiten erreichen kann. In der Abbildung oben ist die durch den Freistahl verursachte Störung auf der dem Freistrahl gegenüberliegenden Seite der Blase zu sehen. Kavitationsschäden werden einerseits durch den Freistrahl, andererseits durch die Ermüdung des Materials zufolge der Wechselbeanspruchung durch die beim Zusammenfallen generierten Stoß- bzw. Druckwellen verursacht Brennen, Abschn ).

6 : Zerfall von Flüssigkeitsstrahlen Vier Arten des Strahlzerfalls a b c d a) ayleigh-regime, Zertropfen b) first wind-induced regime, Zerwellen c) second wind-induced regime, Zerwellen d) atomization regime, Zerstäuben Abb. 1 aus Dumouchel, Exp. Fluids 45, 2008.) zunehmende Strömungsgeschwindigkeit Die Bereiche unterscheiden sich aufgrund der Instabilitätsmechanismen, die zum Strahlzerfall führen. Bildung eines Strahls: We L > 8, sonst Bildung einzelner Tropfen. Vergleiche Stabilität eines Tropfens, S. 88. ayleigh-regime: Instabilität aufgrund von Oberflächenspannung und inerten Kräften. Die Tropfen sind von ähnlicher Größe, der Tropfendurchmesser ist größer als der Durchmesser des Strahls. Der Strahl bricht viele Düsendurchmesser stromab der Düse auf. Die Länge des Strahls wird durch die Strömung in der Düse nicht beeinflusst. First wind-induced regime: Zusätzlich zu Oberflächen- und Trägheitstermen spielt das umgebende Gas eine olle. Ein zutreffenderer Name wäre vielleicht wind-assisted regime Lin und eitz, Ann. ev. Fluid Mech. 30, 1998, S. 100). Störungen werden durch die Präsenz des Gases, vor allem die Normalspannungsterme an der Oberfläche, stärker angefacht. Die Tropfendurchmesser variieren stärker, sind aber noch immer von ungefähr gleicher Größe wie der Strahldurchmesser. Der Strahl hat eine Länge von vielen Düsendurchmessern, der Strömungszustand in der Düse spielt eine olle. Fortsetzung nächste Seite)

7 3 Bewegung von festen Teilchen, Tropfen und Blasen : 7 Dimensionsanalyse G D U L µ L σ 6 Einflussgrößen: L, D, U, σ, µ, G 3 Grundgrößen: Länge, Masse, Zeit drei dimensionslose Größen, z.b.: e = LUD µ, We L = LU 2 D, We G = GU 2 D σ σ Auch: Ohnesorge-Zahl, Oh = µ σd, Oh = We/e. Fortsetzung von voriger Seite) Second wind-induced regime: Der Strahl zerfällt durch das Wachstum kurzwelliger Oberflächenwellen. Oberflächenspannung wirkt hemmend auf den Strahlzerfall. Die Länge ist unabhängig vom Düsendurchmesser, We G ist kein kontrollierender Parameter mehr, stattdessen die Gruppe L / G )σ/µu) 2. Der Durchmesser der Tropfen ist wesentlich kleiner als der Strahldurchmesser. Der Strahlzerfall beginnt in einiger Entfernung von der Düse, an der Oberfläche des Strahls. Der Strahl ist im Inneren länger als an der Oberfläche. Atomization regime: Der Strahlzerfall beginnt an der Düse. Die Form des Strahls ähnelt einem Kegel, dessen Spitze in der Düse liegt. Die Oberfläche ist schon beim Austritt aus der Düse gestört, durch Ereignisse stromauf der Düsenöffnung. Die Störungen werden rapide angefacht. Die Strömung stromauf der Düse hat großen Einfluss auf den Strahlzerfall. Beschreibung nach eitz und Bracco, in Cheremisinoff, Encyclopedia of Fluid Mechanics, 1986.)