Univariate Analysis. Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester

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1 Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9 5 Univariate Analysis C. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!). Runden Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen. (a) 7 :, (b) 795 :.. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!): ( (a) log (), log (), log (), log (), log (), log log ( ); ), log ( ), log ( (b) log (), log ( ) (verwenden Sie log () =,77). 5. Berechnen Sie die Nullstellen und zerlegen Sie in Linearfaktoren: (a) x 9x + (b) x + x + ),. Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen (ohne Taschenrechner). Kennzeichnen Sie dabei wichtige Punkte in der Skizze: (a) x, x, x, x, x, x, x ; (b) x k und x k+ für k N (welche Fälle können auftreten?); (c) x, (x ) + ; (d) x, x, x, x, x, x, x ; (e) exp(x), exp(x), exp(x/), exp( x), exp(x ), exp( x); (f) ln(x), ln(x ), log (x), log (x), log (x ); (g) sin(x), sin(πx), sin(kπx), sin(x + π/), cos(x). 7. Zeichnen Sie den Graphen der folgenden Funktionen und überprüfen Sie, ob Injektivität, Surjektivität oder Bijektivität vorliegt. (a) f: [, ] R, x x + (b) f: R \ {} R, x x (c) f: R R, x x (d) f: [, ] R, x (x ) (e) f: [, ] [, ], x (x ) (f) f: [, 8] [, 5], x (x ) 8. Zeichnen Sie die Funktionsgraphen aus den Aufgaben und 7 mit der Mathematica-Funktion Plot. 9. Seien f: R R, x f(x) = x + und g: R R, x g(x) = x. Berechnen und zeichnen Sie die zusammengesetzte Funktion g f und deren Umkehrfunktion (g f) = [g(f)].. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion x für x f(x) = x + für < x < x für x Berechnen Sie lim f(x), lim f(x) und lim f(x) für x x x x x =, und. Ist f in x x x>x x<x diesen Punkten stetig?

2 Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9. Sind die folgenden Funktionen stetig auf dem Definitionsbereich? Skizzieren Sie die Funktionen. (a) D = R, f(x) = x (b) D = R, f(x) = x + (c) D = R, f(x) = e x (d) D = R, f(x) = x (e) D = R +, f(x) = ln(x) (f) D = R, f(x) = [x] für x (g) D = R, f(x) = x + für < x x für x > Hinweis: [x] = p, mit x = p + y, p Z, y [, ), d.h. [x] ist die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x. z.b.: [, ] =, [, 5] =.. Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + ). Berechnen Sie die Differenzenquotienten an der Stelle x = für x =,,, und. Bestimmen Sie auch den Differrentialquotienten durch Grenzübergang. Zeichen Sie im Graphen der Funktion die entsprechenden Sekanten und die Tangente ein.. Zeichnen Sie den Graphen der folgenden Funktionen. Sind diese Funktionen differenzierbar, bzw. wo sind sie differenzierbar? Sind die Funktionen stetig? (a) f(x) = x + (b) f(x) = x (c) f(x) = x x für x (d) f(x) = x für < x x für x > { + x für x (e) f(x) = x für x >. Zwischen 95 und 97 wuchs das BIP eines Landes nach der Formel 5+ x+ x, (95: x =. x sind die Jahre seit 95.). Wie groß war das durchschnittliche Wachstum zwischen 955 und 9? Wie hoch war die (momentane) Zuwachsrate 958? 5. Differenzieren Sie: (a) x +5cos(x)+ (b) (x + )x (c) x ln(x) (d) (x + )x x (e) x+ (f) ln(exp(x)) (g) (x ) (h) sin(x ) (i) x (j) (x+)(x ) x+ (k) e x+ (5x + ) + (x+) x x. Bilden Sie die zweite und dritte Ableitung von C (a) f(x) = e x (b) f(x) = x+ x (c) f(x) = (x )(x + ). 7. Differenzieren Sie die Funktionen aus den Aufgaben 5 und unter Verwendung von Mathematica. (Verwenden Sie die Funktion D.) 8. Bestimmen Sie die marginalen Kosten (auch Grenzkosten) und die Änderungsrate der marginalen Kosten für folgende Kostenfunktionen: (a) C(x) = 5 + x,x +,x (b) C(x) = 5 + x x ln x +,x

3 Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9 7 Wie lautet die Ableitung der durchschnittlichen Kosten? Hinweis: Die marginalen Kosten sind die erste Ableitung C (x) der Kostenfunktion C(x). 9. Bestimmen Sie die Bereiche, in denen die folgende Funktion monoton steigend bzw. fallend und konkav bzw. konvex ist. f(x) = x + x x + 8. Die Funktion f(x) = b x a < a <, b >, x ist ein Beispiel für eine Produktionsfunktion, d.h. mit x Einheiten Arbeit kann man f(x) Güter produzieren. Produktionsfunktionen haben i.a. folgende Eigenschaften: () f() =, lim x () f (x) >, lim (x) = x () f (x) < (a) Überprüfen Sie diese Eigenschaften an der obigen Funktion. (b) Zeichnen Sie f(x) und f (x). (Setzen Sie dabei für a und b geeignete Werte ein.) (c) Was bedeuten diese Eigenschaften inhaltlich? (z.b.: Wenn x =, wird nichts produziert.). Die Funktion f(x) = b ln(ax + ) a, b >, x ist ein Beispiel für eine Nutzenfunktion. Konsumenten haben einen Nutzen f(x), wenn sie x Einheiten eines Gutes konsumieren. Nutzenfunktionen haben dieselben Eigenschaften wie Produktionsfunktionen. (a) Überprüfen Sie die in Beispiel genannten Eigenschaften. (b) Zeichnen Sie f(x) und f (x). (Setzen Sie dabei für a und b geeignete Werte ein.) (c) Was bedeuten diese Eigenschaften in diesem Zusammenhang inhaltlich?. Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte der Funktionen (a) f(x) = (x ) (b) g(x) = x + x Bemerkung Gleichungen lassen sich mit dem Mathematica-Befehl Solve lösen. Z.B. Die Lösung der quadratischen Gleichung x x + = erhalten Sie mit Solve[ xˆ - x + ==, x ] mit dem Ergebnis {{x->},{x->}} Beachten Sie, daß Gleichungen mit == eingegeben werden müssen. Das Ergnis wird nicht als eine Liste von Lösungen, sondern als eine Liste von Ersetzungsregeln ausgegeben. Wenn Sie nun etwa a mit der zweiten Lösung belegen wollen geben Sie a = x /.%[[]] ein (mit %[[]] erhalten Sie die zweite Regel aus der Liste, mit /. wird diese Regel auf den Ausdruck x an gewendet.).

4 Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9 8. Berechnen Sie die globalen Extrema der Funktionen (a) f: [, ] R, x x 5 x + x (b) g: R R, x e x + x. Die Gesamtkosten K(x) für die Produktion setzen sich aus fixen Kosten von Geldeinheiten und variablen Kosten von fünf Geldeinheiten pro produzierter Einheit x zusammen. Der Erlös pro Einheit hängt von der verkauften Menge ab. Für Mengen größer als und kleiner als 5 Stück ist er durch folgende Funktion gegeben: P(x) = 9 ln(x). Berechnen Sie die Stückzahl x, die den Gewinn x P(x) K(x) maximiert (x [, 5]). Handelt es sich dabei um ein globales Maximum? 5. Der Gewinn eines Unternehmers für gegebene Preise p und einen Lohn w ist π(x) = p f(x) w x p f(x) gibt an, wieviel der Unternehmer aus dem Verkauf der Güter zum Preis p einnimmt. w x gibt an, wieviel der Unternehmer an Löhnen zahlen muß. Sei f(x) = x die Produktionsfunktion aus Beispiel mit a = und b =. (a) Zeichnen Sie π(x) und π (x) für p = und w =. (b) Lesen Sie aus der Zeichnung ab, wieviel der Unternehmer produzieren muß, um seinen Gewinn π(x) zu maximieren. (c) Lösen sie das Optimierungsproblem auch ohne Zeichnung. (d) Was passiert, wenn der Lohn auf w = verdoppelt wird? (Zeichnung, Maximumsberechnung). Sei f(x) = ln(x) x. Berechnen Sie die Änderung der Funktionswerte f(,) f() näherungsweise mit Hilfe des Differentials an der Stelle x =. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Wert. 7. Berechnen Sie die Bereiche, in denen die folgenden Funktionen elastisch, - elastisch bzw. unelastisch sind. (a) g(x) = x x (b) h(x) = α x β, α R, β > 8. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Wenn eine Funktion y = f(x) in einem Intervall elastisch ist, so gilt in diesem Intervall: (a) Wenn sich x um eine Einheit ändert, so ändert sich y um mehr als eine Einheit. (b) Wenn sich x um ein Prozent ändert, so ändert sich y um mehr als ein Prozent. (c) y ändert sich relativ stärker als x. (d) Je größer x wird, desto größer wird auch y. 9. Eine Funktion f: R (, ) heißt logkonkav falls log f eine konkave Funktion ist (i.e., wenn x log(f(x)) eine konkave Funktion ist). Welche der angegebenen Funktionen ist logkonkav? (a) f(x) = exp( x ) (b) g(x) = exp( x 7 ) (c) h(x) = exp(x ) (d) s(x) = x

5 Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9 9. Sei T: (, ) R eine differenzierbare, streng monoton wachsende Abbildung. Eine Funktion f: R (, ) heißt T-konkav falls T f eine konkave Funktion ist (i.e., wenn x T(f(x)) eine konkave Funktion ist). Sei T c (x), c, eine Familie von Transformationen mit T (x) = ln(x) und T c (x) = x c für c <. (a) Zeigen Sie, dass die Familie T c (x) obige Bedingung für alle c erfüllt. (b) Zeigen Sie, dass f(x) = exp( x ), T / -konkav ist. Hinweis: Beachten Sie die Rechenregeln für Exponenten. (c) Zeigen Sie, dass f(x) = exp( x ), T c -konkav für alle c ist. (d) Zeigen Sie: Falls eine positive Funktion f, T c -konkav für ein c, dann auch für alle c < c.. Sei f: R R und T eine streng monoton wachsende Transformation. Zeigen Sie: x ist ein (lokales globales) Maximum von f, genau dann wenn x ein (lokales globales) Maximum der transformierten Funktion T f ist.

6 Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9 Lösungen. (a),,, nicht definiert,,,,, nicht reell; (b),77,, (a) (x )(x ), (b) (x + )(x + ). 7. (a) injektiv, nicht surjektiv, (b) injektiv, nicht surjektiv, (c) bijektiv, (d) nicht injektiv, nicht surjektiv, (e) nicht injektiv, surjektiv, (f) bijektiv. Beachten Sie, daß Definitons- und Wertemenge Bestandteil der Funktion sind (g f)(x) = ( g f x), (g f) (g f) (x) = x f(x) =, f(x) =, lim x x> lim x x> lim x x< f(x) = lim f(x) = lim f(x) = x x x< lim f(x) =, x x> lim f(x) =, x x< lim f(x) existiert nicht x lim f(x) existiert nicht. x f ist stetig in und nicht stetig in und.. Die Funktionen sind stetig in (a) D, (b) D, (c) D, (d) D, (e) D, (f) R \ Z, (g) R \ {}. x f x f () = lim 7,75, (+h) h h = lim + h+ h +h h h = lim + h + h = h. differenzierbar in (a) R, (b) R, (c) R \ {}, (d) R \ {, }, (e) R \ { }. Graph aus (e):

7 Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9. Durchschnittliche Wachstumsrate =,5 (Differenzenquotient), momentante Wachstumsrate 958 =, (Differentialquotient für x = 8) 5. (a) x 5sin(x), (b) x + x, (c) + ln(x), (d) x x, (e) x +x+ (x+), (f), (g) 8x, (h) x cos(x ), (i) ln() x, (j) x (Kürzen!), (k) e x+ (5x + ) + e x+ (5x + )x + (x )(x+) (x+) (x ). f (x) f (x) f (x) (a) x e x (x )e x (x x )e x (b) (x ) (x ) (x ) (c) x x + x 8. Durchschnittliche Kosten: C(x) x, Änderungsrate der marginalen Kosten ist die zweite Ableitung C (x). (a) C (x) =,x +,x, C (x) =, +,x, ( C(x) x ) = 5 x, +,x; (b) C (x) = 8 +,x ln(x), C (x) =, x, ( C(x) x ) =, 5 x 9. (a) f(x): Monoton fallend für (x ) ( x ), monoton steigend für (x ) ( x ). Konvex für (x > ( + 8)/) (x < ( 8)/), konkav im sonstigen Definitionsbereich... a =, b = a =, b = x Hinweis: Bilden Sie die erste und zweite Ableitung und überprüfen Sie, ob die angebenen Eigenschaften von der Funktion auch tatsächlich erfüllt werden. Beachten Sie dabei, welche Einschränkungen a und b genügen. Z.B.: f (x) = }{{} b a (a ) > }{{} < da a< x a }{{} > <. Hinweis: Bilden Sie die erste und zweite Ableitung und überprüfen Sie, ob die angebenen Eigenschaften von der Funktion auch tatsächlich erfüllt werden. Beachten Sie dabei, welche Einschränkungen a und b genügen. Z.B.: f (x) = a b (a x + ) <, da a, b, x >.. (a) lokales Minimum in x = (f (x) für alle x R). (b) lokales Minimum in x =, lokales Maximum in x =.. (a) globales Maximum in x =, globales Minimum in x = 8. (b) globales Minimum in x =, kein globales Maximum, da g (x) > für alle x R.. globales Maximum bei Einheiten.

8 Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester p =, w = π(x) π (x) p =, w = π(x) π (x) 8 (c) π(x) = p x wx. stationäre Punkte: x = p w, π (x) <, x ist Maximum, für p = und w = : x =. (d) analog, das Maximum ist bei x =.. Mit Hilfe des Differentials: f(, ) f(), 9, Exakter Wert: f(, ) f() =, 7. (a) ε g (x) = x x x x, -elastisch für x = und x =, elastisch für x < und x >, unelastisch für < x <. (b) ε h(x) = β, die Elasizität von h(x) hängt nur vom Parameter β ab und ist im gesamten Definitionsbereich gleich groß. Hinweis: Beachten Sie bitte bei der Berechnung den Absolutbetrag. 8. richtig ist (c). Die Aussage (b) stimmt nur näherungsweise. 9. (a) logkonkav, (b) nicht logkonkav, (c) nicht logkonkav, (d) logkonkav of (, ).