Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen. Exponentialfunktionen und Logarithmen

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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Exponentialfunktionen und Logarithmen Inhalt:. Zinsrechnung. Exponential- und Logaritmusfunktionen 3. Exponential- und Logaritmengleichungen

2 7. Einführung Die e-funktion fx) = e x ist eine der wichtigsten Funktionen in vielen ökonomischen und technischen) Anwendungen. Sie kommt stets dann ins Spiel, wenn man versucht, so genannte Wachstumsprozesse mathematisch zu modellieren, bei denen zumindest näherungsweise) folgendes gilt: der Zuwachs der betrachteten Grösse ist proportional zum aktuellen Wert dieser Grösse und dieser Zuwachs findet kontinuierlich statt. Ein typischer Wachstumsprozess ist das Wachstum eines Guthabens bei stetiger) Verzinsung. Wir wollen an einem Beispiel erläutern, wie hier die e-funktion ins Spiel kommt. Beispiel: Wir legen ein Guthaben der Grösse G 0 = 00. Franken, wobei wir im folgenden konsequent auf die Einheit verzichten werden) auf einem Konto zum Zinssatz p = 0.0 = % an. Dann hat man nach einem Jahr bei einmaliger Verzinsung) ein Guthaben von G = G 0 + p) = G 0 + p G 0 = 00.0 = 0. Zunächst sieht man sofort), dass der Zuwachs der betrachteten Grösse das Guthaben) proportional zum aktuellen Wert dieser Grösse ist. Das spiegelt sich in der obigen Gleichung wider, denn nach Umstellung dieser Relation erhält man: G = G G 0 }{{} Zuwachs pro Zeiteinheit) = p }{{} Proportionalitätsfaktor G 0 }{{} Anfangsguthaben Natürlich geschieht dieser Zuwachs in diesem Fall nicht kontinuierlich, sondern in Sprüngen von jeweils einem Jahr. Wir können uns aber diesem kontinuierlichen Zuwachs annähren, indem wir z.b. nicht einmal pro Jahr, sondern jede Woche d.h. 5 mal pro Jahr) mit dem entsprechend angepassten Zinssatz p 5 = 5 00 verzinsen. Nach einem Jahr haben wir dann ein Guthaben von = G 0 + p ) + p )... + p ) }{{ 5 } 5 5 } Guthaben nach. {{ Woche } } Guthaben nach. Woche {{ } Guthaben nach 5. Woche G 5 = G 0 + p ) 5 5 ) 0 5 =

3 7.. EINFÜHRUNG 3 Die folgenden Skizzen stellen den Verzinsungsprozess innerhalb eines Jahres für verschiedene Werte von n dar. In der ersten Skizze ist n = und am Ende des Jahres wird der gesamte Geldbetrag zum Zinssatz p verzinst. In der zweiten Skizze gilt n = und es wird am Ende jedes Monats der vorhandene Geldbetrag zum Zinssatz p/ verzinst. Für die folgende Skizze gilt n = 5 wöchentliche Verzinsung) und in der letzen Zeichnung sind alle drei Verzinsungsarten zusammen dargestellt. Man kann erkennen, dass der Betrag am Ende des Jahres umso höher ist, je öfter im Jahr verzinst wird.,0,0,008,008,006,006,004,004,00, ,5 0 0,5,5 0, 0,4 0,6 0,8 x x,0,0,008,008,006,006,004,004,00,00 0, 0,4 0,6 0,8 - -0,5 0 0,5,5 x x Natürlich ist auch das noch kein kontinuierlicher Prozess. Dazu müssten wir, anschaulich gesprochen, in jedem der unendlich vielen) Augenblicken des Jahres mit einem unendlich kleinen) angepassten Zinssatz p/ verzinsen. Mathematisch kann man das durch einen Grenzwert beschreiben: G = G 0 lim + p n. n n) Wir wollen uns nun diesen Grenzprozess etwas genauer anschauen und betrachten zunächst der Einfachheit halber den Fall p =. Zunächst einmal ist nicht klar, wie der Grenzwert von? = lim + ) n n n

4 4 aussieht, denn man kann hier zwei gegenläufige Effekte beobachten:. Für n konvergiert der Term + n) gegen, er kommt der dabei beliebig nahe, wird aber nie genau.. Dieser Term + n) wird dann noch n-mal mit sich selbst multipliziert. Dazu könnte uns folgendes einfallen: a) Wäre die Zahl gleich, so wüssten wir dass gilt. lim + n = lim n n) n n = b) Für jede Zahl q > egal wie klein die Abweichung ist), gilt: lim n qn =. Wir können hier also mit einem halbwegs guten Gewissen nur feststellen, dass lim + n. n n) Berechnen wir die ersten 0 Glieder dieser Zahlenfolge, so erhalten wir die Zahlenwerte in der folgenden Tabelle. n + n ) + n n

5 7.. EINFÜHRUNG 5 Anhand dieser numerischen Experimente scheint man erkennen zu können, dass diese Folge einen Grenzwert zwischen und 3 hat. Das ist tatsaechlich der Fall und dieser Grenzwert wird als Eulersche Zahl bezeichnet und durch e abgekürzt. e = lim + n n n) Insbesondere gilt die folgende wichtige Gleichung, die uns eine Beschreibung und Definition der natürlichen Exponentialfunktion liefert: e x = lim + x ) n n n

6 6 7. Exponential- und Logarithmusfunktion Wir betrachten die Exponentialfunktion zur Basis a a > 0,a ): y = fx) = a x. Wir untersuchen die beiden Fälle a > und a <.. a > y = a x ist streng monoton wachsend für x geht y für x geht y 0 Beispiele: y = x y x y = e x mit der Eulerschen Zahl e heisst natürliche Exponentialfunktion.

7 7.. EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION 7. a < y = a x ist streng monoton fallend für x geht y 0 und für x geht y Beispiel: y = ) x y x Alle Exponentialfunktionen sind also streng monoton. Die Umkehrfunktion existiert somit und wird Logarithmusfunktion genannt: y = f x) = log a x). Die allgemeinen Eigenschaften, die Funktion und Umkehrfunktion miteinander verknüpfen, schreiben sich dann als: a log a x) = x für alle x > 0 log a a x ) = x für alle x Dabei ist stets zu beachten, dass der Logarithmus nur für positive reelle Zahlen definiert ist. Man sollte sich beim Lösen von Logarithmengleichungen also zunächst überlegen, wo diese Gleichungen überhaupt definiert sind.

8 8 Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion heisst natürlicher Logarithmus und wird mit lnx) = log e x) bezeichnet. Wertetabelle: x e x lnx) nicht definiert Skizze: y x

9 7.. EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION 9 Eigenschaften von y = e x und y = lnx) Der wichtige Zusammenhang der beiden Funktionen lässt sich durch die beiden folgenden Gleichungen ausdrücken: e lnx) = x und lne x ) = x y = e x y = lnx) Definitionsbereich Wertebereich Monotonie streng monoton wachsend streng monoton wachsend Spezielle Werte Grenzwerte

10 0 Rechenregeln Sei wieder a > 0 und a eine reelle Zahl. Dann gelten für alle reellen Zahlen r,s die folgenden Potenzgesetze:. a r a s = a r+s. a r a s = a r s 3. a r ) s = a s ) r = a r s 4. Jede positive Zahl c kann als Potenz zur Basis a dargestellt werden: c = a log a c) = a lnc) lna). Für alle positiven reellen Zahlen u > 0 und v > 0 gelten die folgenden Logarithmengesetze:. log a u v) = log a u) + log a v). log a u v ) = log a u) log a v) 3. log a u w ) = w log a u) 4. Jede Zahl b kann als Logarithmus zur Basis a dargestellt werden: b = log a a b ).

11 7.. EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION Anwendung: Umrechnen von Logarithmen Der Taschenrechner erlaubt es uns, Logarithmen zur Basis 0 und natürliche Logarithmen auszurechnen, nicht aber Logarithmen zu einer beliebigen Basis a. Wir wollen deshalb eine Umrechnungsformel angeben. Satz 7. Sei a > 0 und a eine reelle Zahl und u > 0. Dann gilt: log a u) = log 0u) log 0 a) = lnu) lna) Beweis: Wir suchen log a u) =: z, und das heisst a z = u. Dann ergibt sich die folgende Kette von Umformungen: a z = u lna z ) = lnu) z lna) = lnu) mit Regel 3) z = lnu) lna) = log au). Beispiel: log 7 53) = ln53) ln7)

12 7.3 Exponential- und Logarithmengleichungen Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Exponenten einer Potenz vorkommt. Eine Logarithmengleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte als Argument eines Logarithmus vorkommt. Beispiele: 3 x = 0 e x +4 = 8 0 4x+3 = log 0 x ) = lnx + ) = 4 ln4x) lnx ) = ln) Die Lösung dieser Gleichungstypen beruht ganz wesentlich darauf, dass man den Effekt der Exponential- bzw. der Logarithmusfunktion durch die jeweils andere Funktion neutralisieren kann. Beispiel für eine Exponentialgleichung: Wir wollen die Exponentialgleichung 3 x 4 = 6 x lösen. Man sieht schnell, dass alle Terme der Gleichungen auf ganz R definiert sind. Wir erhalten die folgende Kette von Umformungen: 3 x 4 = 6 x = 3 x x 3 x 3 x 4 3 x = x 3 x 4+x = x log 3 ) log 3 3 x 4+x ) = log 3 x ) x 4 + x = x log 3 ) + x log 3 ) x + + log 3 )) x 4 = 0 Das ist eine quadratische Gleichung, die mit den uns bekannten Mitteln gelöst werden kann. Man erhält x.98 und x.34.

13 7.3. EXPONENTIAL- UND LOGARITHMENGLEICHUNGEN 3 Beispiel für eine Logarithmengleichung: Wir wollen die Logarithmengleichung log x + ) = log 4x ) lösen. Zunächst müssen wir hier beachten, dass der Logarithmus nur für echt positive Werte definiert ist. Der Term x + ist stets positiv und der zweite Term gibt uns die folgende Einschränkung für den Lösungsbereich der Gleichung: 4x > 0 4x > x > 4 x > Der Definitionsbereich unserer Gleichung ist somit D =, ), ), d.h. wenn es überhaupt Lösungen geben kann, dann in diesem Bereich. Wir erhalten nun die folgende Kette von Umformungen: log x + ) = log 4x ).) = x + = 4x 3x = x = 3 Das ist eine quadratische Gleichung, die mit den uns bekannten Mitteln gelöst werden kann. Man erhält x 0.8 und x 0.8. Hier sollte man die Probe nicht vergessen, denn wir haben mindestens eine Nichtäquivalenzumformung vorgenommen. Beide Werte sind tatsächlich Lösungen der Ausgangsgleichung.

14 4 7.4 Aufgaben. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. a) lim n b) lim n c) lim n + 3 ) n 5n 3 ) n+ n + 3 ) n/ n. Sie legen 000. auf einem Konto an, das mit 3% verzinst wird. Welches Guthaben befindet sich nach Jahren auf dem Konto, wenn a) jährlich, b) täglich Jahr habe 365 Tage) oder c) jährlich im. Jahr und täglich im. Jahr verzinst wird? 3. Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen. a) 3 x 3 ) x+3 = 3 x+ ) x 3 b) 44 x+ ) x 5 = 4 3x 4 x ) x 4 c) 5 4x 8 = 3 5 9x+ 4. Berechnen Sie x aus den folgenden Gleichungen. a) log ) = x 3 b) log x ) = 3 c) log x) = d) x lnx) = 3 lnx) 5. Das BIP eines Landes mit der Anfangsgrösse ,- habe eine Wachstumsrate von 0% pro Jahr. a) Wie gross ist das BIP nach 0 Jahren. b) Nach wievielen Jahren hat sich das BIP vedoppelt?

15 7.5. ZUSATZAUFGABEN Zusatzaufgaben. a) lim n b) lim n c) lim n + 7n n + n 3 n 3 n + ) n ) n ) n. Berechnen Sie x aus den folgenden Gleichungen. a) x = log 7 7) b) log 5 x) = 0.4 c) x = log 3 /9) d) log x 8) = 3 8 e) log 0.5 x) = 4 f) x = log 3 7) 3. Berechnen Sie x aus den folgenden Gleichungen. a) log b x) = log b w) + log bu) 3 4 log bv) b) lnx) = ln a b) + lna + b) 3 lna b ) c) ln + x) ln x) = log 00 ln 9) ) d) 3 + e x 5e x = 0 e) log 0 x + )) = log 0 ) + log 0 x + ) + log 0 x ) 4. Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen. a) 6 x+3 ) /5 x) = 6 3 x ) /x 7) b) ) 3 5x 7 = ) 3x 7 3 c) 9 x x = 6 x+ 3 x

16 6 7.6 Lösungen 7.6. Lösungen der Aufgaben. a) e 3/5, b) e, c) e 3/4. a) , b) 06.83, c) a) x = 3, b) x = 7/, c) x = 3/3 4. a) x =, b) x = /4 oder x = /4, c) x = /6, d) x = oder x = ln3)/ln) 5. a) ,, b) 8 Jahre 7.6. Lösungen der Zusatzaufgaben. a) e 4/7, b) e 5, c) e 5. a) x =, b) x = 5 5, c) x =, d) x = 6, e) x = 6, f) x = ln7) ln3) 3. a) x = w u 4 v 3, b) x = 6 a b, c) x = 0.8, d) x = ln3/) oder x = 0, e) x a) x = 9, b) x = 7ln3/) 7 ln/3) 5ln3/) 3 ln/3), c) x

17 Inhaltsverzeichnis 7. Einführung Exponential- und Logarithmusfunktion Exponential- und Logarithmengleichungen Aufgaben Zusatzaufgaben Lösungen Lösungen der Aufgaben Lösungen der Zusatzaufgaben