1. Einführung. Grundbegriffe und Bezeichnungen. Beispiele. gerichtete Graphen. 1. Einführung Kapitelübersicht

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1 1. Einführung Kapitelübersicht 1. Einführung Grundbegriffe und Bezeichnungen Beispiele Bäume gerichtete Graphen Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 15

2 Das Königsberger Brückenproblem Beispiel 1.1. [Euler, 1736] Gibt es einen Rundweg durch Königsberg, der jede der sieben Brücken genau einmal überquert? Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 16

3 Das Königsberger Brückenproblem (2) Die Abstraktion des Problems: Norden Insel Osten Süden Gibt es einen Rundweg, der jede Linie (Kante) genau einmal enthält? Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 17

4 Das Haus vom Nikolaus c b d a e Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 18

5 Labyrinth Beispiel 1.2. Finde einen Weg vom Start zum Ziel durch das Labyrinth! Start Ziel Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 19

6 Repräsentation als Graph: Start Ziel Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 20

7 Beispielgraph Beispiel 1.3. b Ein Graph besteht aus Knoten und Kanten. e 8 e 1 e 4 e 5 a,b,c,d sind Knoten. a e 2 c Diese Knoten werden durch die Kanten e 1 bis e 8 miteinander verbunden. e 3 e 6 e 7 d Ein Graph symbolisiert die max. zweistelligen Beziehungen zwischen Elementen einer Menge. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 21

8 Graph Definition 1.1. Ein Graph (graph) G = (V,E,γ) ist ein Tripel bestehend aus: V, einer nicht leeren Menge von Knoten (vertices), E, einer Menge von Kanten (edges) und γ, einer Inzidenzabbildung (incidence relation), mit γ : E {X X V,1 X 2} Zwei Knoten a,b V heißen adjazent (adjacent) gdw. e E : γ(e) = {a,b}. a V und e E heißen inzident (incident) gdw. a γ(e). Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 22

9 Beispielgraph (2) b e 8 a e 1 e 2 e 4 e 5 c V = {a,b,c,d} E = {e 1,e 2,...,e 8 } γ = {(e 1,{a,b}),(e 2,{a,c}),(e 3,{a,d}), e 3 e 6 e 7 d (e 4,{b,c}),(e 5,{b,c}),(e 6,{c,d}), (e 7,{c,d}),(e 8,{a})} Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 23

10 Endliche Graphen Definition 1.2. Ein Graph G = (V,E,γ) heißt endlich (finite) gdw. die Knotenmenge V und die Kantenmenge E endlich sind. Bemerkung 1.1. Wir treffen folgende Vereinbarung: Im weiteren werden nur endliche Graphen betrachtet. Der Zusatz endlich wird dabei weggelassen. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 24

11 Schlichte Graphen Definition 1.3. Eine Kante e heißt Schlinge (loop) gdw. e nur zu einem Knoten inzident ist. Zwei Kanten e 1,e 2 heißen parallel (parallel) gdw. sie zu den selben Knoten inzident sind. Ein Graph heißt schlicht (simple) gdw. G keine Schlingen und keine parallelen Kanten enthält. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 25

12 Schlichte Graphen (2) Beispiel 1.4. Der linke Graph ist schlicht, der rechte nicht. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 26

13 Schlichte Graphen (3) Bemerkung 1.2. Ein schlichter Graph G = (V, E) wird beschrieben durch eine Knotenmenge V und eine Kantenmenge E, wobei E eine Menge zweielementiger Teilmengen von V ist, also E {{v,w} v,w V,v w} Wir betrachten im folgenden fast ausschließlich schlichte Graphen. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 27

14 Schlichte Graphen (4) Beispiel 1.5. c b d V = {a,b,c,d,e} E = {{a,b},{a,d},{a,e},{b,c}, {b,d},{b,e},{c,d},{d,e}} a e Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 28

15 Diagramme Graphen können durch Diagramme veranschaulicht werden. p q r Der selbe Graph kann viele verschiedene Diagramme haben. t s q Beispiel 1.6. G = (V,E) mit V = {p,q,r,s,t} p q t p s r E = {{p,q},{p,s},{p,t},{q,r}, r {q,s},{q,t},{r,s},{s,t}} t s Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 29

16 Grad Definition 1.4. Der Grad (degree) deg(v) eines Knotens v V ist die Zahl der zu v inzidenten Kanten. Hierbei zählen Schlingen doppelt. Der Maximalgrad (G) eines Graphen G ist definiert durch (G) = max{deg(v) v V} Der Minimalgrad δ(g) eines Graphen G ist definiert durch δ(g) = min{deg(v) v V} Ein Knoten v V mit deg(v) = 0 heißt isoliert. Ein Knoten v V mit deg(v) = 1 heißt Blatt. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 30

17 Grad (2) Beispiel 1.7. δ(g) = 0 (für Knoten h) (G) = 5 (für Knoten e) Knoten c ist ein Blatt. Knoten h ist ein isolierter Knoten. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 31

18 Handschlaglemma Jede Kante liefert genau zweimal einen Beitrag zu der Summe der Grade über alle Knoten. Dies gilt auch für Schlingen. Lemma 1.1. [Handschlaglemma] Für jeden Graphen G = (V,E,γ) gilt v V deg(v) = 2 E Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 32

19 Handschlaglemma (2) Korollar 1.2. Jeder Graph hat eine gerade Anzahl an Knoten mit ungeradem Grad. Beweis: V g := {v V deg(v) ist gerade} Definition V u := {v V deg(v) ist ungerade} Definition 2 E = v V deg(v) Handschlaglemma = v V g deg(v)+ v V u deg(v) weil V = V g +V u v V u deg(v) ist gerade V u ist gerade weil 2 E und v V g deg(v) gerade weil alle Summanden ungerade Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 33

20 Grad (3) Satz 1.3. Jeder Graph G = (V,E) mit mindestens zwei Knoten enthält zwei Knoten, die den gleichen Grad haben. Der Beweis dieses Satzes erfolgt mit Hilfe eines wichtigen kombinatorischen Prinzips, dem Schubfachprinzip. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 34

21 Schubfachprinzip Satz 1.4. [Schubfachprinzip] Es seien n Elemente auf m (paarweise disjunkte) Mengen verteilt und es gelte n > m. Dann gibt es mindestens eine Menge, die mindestens zwei Elemente enthält. Beweis: Wenn jede der m Mengen höchstens ein Element enthalten würde, dann gäbe es insgesamt höchstens m Elemente. Widerspruch zu n > m. Andere Bezeichnungen für das Schubfachprinzip: Taubenschlagprinzip, engl.: pigeonhole principle Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 35

22 Schubfachprinzip (2) Beispiel 1.8. Herr Müller hat in seiner Sockenkiste weiße, schwarze und grüne Socken. Wenn er vier Socken aus der Kiste nimmt, hat er mindestens zwei Socken mit der gleichen Farbe. n = 4 Elemente verteilt auf m = 3 Mengen. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 36

23 Schubfachprinzip (3) Beispiel 1.9. Unter je fünf Punkten, die in einem Quadrat der Seitenlänge 2 liegen, gibt es stets zwei, die einen Abstand 2 haben. Wir unterteilen das Quadrat durch halbieren der Seitenlänge in vier Unterquadrate mit Seitenlänge 1. n = 5 Punkte verteilen sich auf m = 4 Unterquadrate. Dann muss mindestens ein Unterquadrat zwei Punkte enthalten Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 37

24 Beweis von Satz 1.3 n := V V i := {v V deg(v) = i} für i = 0,...,n 1 Definition Definition Damit haben wir aber genauso viele Knoten wie Mengen, das Schubfachprinzip ist noch nicht anwendbar. Deshalb Fallunterscheidung: G hat keinen isolierten Knoten Annahme für den 1. Fall V 0 = nach Ann. und Def. von V 0 n Knoten verteilen sich auf die m = n 1 Mengen V 1,...,V n 1 i : V i 2 weil V 0 = Schubfachprinzip Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 38

25 G hat einen isolierten Knoten 2. Fall, komplementär zum 1. Es existiert kein Knoten, der zu allen anderen Knoten adjazent ist V n 1 = n Knoten verteilen sich auf die m = n 1 Mengen V 0,...,V n 2 i : V i 2 kein Knoten kann zu einem isolierten Knoten adjazent sein ein Knoten v V n 1 wäre adjazent zu allen anderen Knoten weil V n 1 = Schubfachprinzip Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 39