Vektorräume. Stefan Ruzika. 24. April Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vektorräume. Stefan Ruzika. 24. April Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz"

Transkript

1 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

2 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume Erinnerung: Der R-Vektorraum R 3 Definition eines Vektorraums Untervektorraum Linearkombination Lineare Unabhängigkeit Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

3 Erinnerung: Der R-Vektorraum R 3 Erinnern wir uns mal wieder an die Schule und abstrahieren dann. Mit Vektoren so wie wir sie aus der Schule kennen kann man rechnen: ( ) ( ) ( ) a) + = = ( ( ) ( b) 2 = = 4) 2 4 8) Beobachtung ( ) 7 5 Es gibt also zwei Arten von Verknüpfungen, nämlich + und. Vektor + Vektor Reelle Zahl Vektor Wir müssen aufpassen, welche Objekte wir miteinander verknüpfen (denn natürlich gibt es auch das + und bei den reellen Zahlen ). Es gelten Rechenregeln (die uns in Fleisch und Blut übergegangen sind ). Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

4 Erinnerung: Der R-Vektorraum R 3 Aufbau der Vorlesung Nachfolgend gehen wir so vor: 1 Erinnerung und Formalisierung des R-Vektorraum R 3 2 Abstraktion und formale Definition eines Vektorraums 3 Wichtige, ungewöhnliche, besondere,... Beispiele 4 Studium des Konzepts Vektorraum Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

5 Erinnerung: Der R-Vektorraum R 3 Der altbekannte R-Vektorraum R 3 Gegeben ist der Körper R. Die Menge R 3 zusammen mit der inneren Verknüpfung + : R 3 R 3 R 3, (v, w) v + w, ((Vektor-)Addition genannt) und der äußeren Verknüpfung : R R 3 R 3, (λ, v) λ v, (skalare Multiplikation genannt) heißt R-Vektorraum R 3 und es gilt Folgendes: V1 (R 3, +) ist eine abelsche Gruppe, d.h. für alle u, v, w R 3 gilt: i) u + (v + w) = (u + v) + w ii) #» 0 + v = v iii) ( v) : ( v) + v = #» 0 iv) v + w = w + v V2 Für alle λ, µ R und alle v, w R 3 gilt: i) (λ + µ) v = λ v + µ v, ii) λ (v + w) = λ v + λ w, iii) λ (µ v) = (λ µ) v, iv) 1 v = v. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

6 Definition eines Vektorraums Vektorraum Definition 1 Sei K Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung + : V V V, (v, w) v + w, (Addition genannt) und einer äußeren Verknüpfung : K V V, (λ, v) λ v, (skalare Multiplikation genannt) heißt K-Vektorraum, wenn Folgendes gilt: V1 (V, +) ist eine abelsche Gruppe. V2 Für alle λ, µ K und alle v, w V gilt: i) (λ + µ) v = λ v + µ v, ii) λ (v + w) = λ v + λ w, iii) λ (µ v) = (λ µ) v, iv) 1 v = v. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

7 Definition eines Vektorraums Vektorraum etwas sauberer, aber unleserlicher Vektorraum Sei (K, +, ) Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung : V V V, (v, w) v w, (Addition genannt) und einer äußeren Verknüpfung : K V V, (λ, v) λ v, (skalare Multiplikation genannt) heißt K-Vektorraum, wenn Folgendes gilt: V1 (V, ) ist eine abelsche Gruppe. V2 Für die alle λ, µ K und alle v, w V gilt: i) (λ + µ) v = λ v µ v, ii) λ (v w) = λ v λ w, iii) λ (µ v) = (λ µ) v, iv) 1 K v = v. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

8 Definition eines Vektorraums Beispiele von Vektorräumen Beispiel 2 Sei (K, +, ) Körper. K n := {x = (x 1,..., x n ) : x i K für alle i = 1,..., n} Standardraum Verknüpfungen: : K n K n K n, : K K n K n, (x, y) x y (λ, y) λ y wobei (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λ (x 1,..., x n ) := (λ x 1,..., λ x n ). Nullvektor: 0 = (0,..., 0) Negative eines Vektors (x 1,..., x n ) = ( x 1,..., x n ) Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

9 Definition eines Vektorraums Beispiele von Vektorräumen Beispiel 3 i) Sei K Körper. Sei M(m n; K) die Menge der Matrizen mit m Zeilen und n Spalten und Einträgen aus K. Definiere Addition und Skalarmultiplikation wie folgt: Seien A = (a ij ), B = (b ij ) M(m n; K) und λ K. Dann: A + B := (a ij + b ij ) und λ A := (λ a ij ) M(m n; K) Dies definiert den K-Vektorraum M(m n; K). ii) Betrachte den R-Vektorraum C, d. h. Vektoren sind Elemente aus C (Addition + also bekannt) und definiere eine skalare Multiplikation durch: R C C (λ, a + i b) λa + i λb iii) Tafel iv) Tafel Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

10 Definition eines Vektorraums Rechenregeln Beachte: Im Folgenden verwenden wir nur noch die Symbole + und statt, +, und. Aus dem Kontext heraus wird klar, welche Verknüpfung gemeint ist. Ebenso kann 0 für das Nullelement des Körpers 0 K bzw. für das Nullelement des Vektorraums 0 V stehen. Im nachfolgenden Satz machen wir die Zugehörigkeit nochmals ausdrücklich klar. Eine Verwechslung bei der 1 ist eigentlich ausgeschlossen warum eigentlich? Satz 4 Sei V ein K-Vektorraum. Dann gilt: a) 0 K v = 0 V b) λ 0 V = 0 V c) λ v = 0 V λ = 0 K oder v = 0 V d) ( 1) v = v Beweis. Tafel Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

11 Untervektorraum Untervektorräume Definition 5 Sei V ein K-Vektorraum und W V Teilmenge. Dann heißt W Untervektorraum von V, wenn gilt: UV1 W UV2 v, w W v + w W (W ist abgeschlossen bzgl. der Addition) UV3 v W, λ K λ v W (W ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation) Beispiel 6 i) W 1 := {0} ist Untervektorraum des R-Vektorraums R 2. ii) W 2 := {(x 1, x 2 ) R 2 : a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0} ist Untervektorraum des R-Vektorraums R 2 für alle a 1, a 2 R. iii) W 3 := {x R n : Ax = 0} (für eine gegebene reellwertige m n-matrix A) ist Untervektorraum des R-Vektorraums R n. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

12 Untervektorraum Untervektorräume sind Vektorräume Satz 7 Sei V ein K-Vektorraum. Ein Untervektorraum W V ist zusammen mit der induzierten Addition und der induzierten skalaren Multiplikation wieder ein Vektorraum. Beweis. Übung Dieser Satz kann sehr nützlich sein: Dadurch kann man sich unter Umständen den länglichen Nachweis aller Vektorraumaxiome sparen (etwa in Beispiel 5.6, iii)) Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

13 Untervektorraum Durchschnitt von Untervektorräumen Satz 8 Sei V ein K-Vektorraum, sei I eine beliebige Indexmenge und sei für jedes i I ein Untervektorraum W i V gegeben. Dann ist der Durchschnitt W := i I W i V wieder ein Untervektorraum von V. Beweis. Tafel Vorsicht: Dies gilt im Allgemeinen nicht für die Vereinigung von Untervektorräumen (siehe Übungen)! Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

14 Linearkombination Linearkombination Nachfolgend bezeichne V einen K-Vektorraum. Definition 9 Seien v 1,..., v n V. Dann heißt v V Linearkombination von v 1,..., v n, wenn es λ 1,..., λ n K gibt, so dass Definition 10 Seien v 1,..., v n V. Dann heißt v = λ 1 v λ n v n = n λ i v i i=1 span K (v 1,..., v n ) := {v V λ 1,..., λ n K : v = n λ i v i } der von v 1,..., v n aufgespannte / erzeugte Raum (auch: Erzeugnis von v 1,..., v n ). i=1 Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

15 Linearkombination Linearkombination Satz 11 Sei V K-Vektorraum, seien v 1,..., v n V. Dann gilt: i) span K (v 1,..., v n ) V ist Untervektorraum. ii) Ist W V Untervektorraum und gilt v i W für alle i = 1,..., n, so ist span K (v 1,..., v n ) W. Mit anderen Worten: span K (v 1,..., v n ) ist der kleinste Untervektorraum von V, der alle v i enthält. Beweis. Übung Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

16 Linearkombination Beispiele Notation: K-VR: K-Vektorraum Beispiel 12 i) Sei V = R 3, seien v 1, v 2 R 3. Dann: 1 span K (v 1) ist die Gerade durch 0 und v 1 (wenn v 1 0) 2 span K (v 1, v 2) ist die Ebene durch 0, v 1 und v 2 (wenn v 1, v 2 sinnvoll gewählt sind) ii) Betrachte K-VR K n. Definiere den i-ten Einheitsvektor durch: e i := (0,..., 0, 1, 0,..., 0) wobei die 1 an der i-ten Stelle steht. Dann ist span K (e i ) i {1,...,n} = K n iii) Tafel iv) Tafel Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

17 Lineare Unabhängigkeit Lineare Unabhängigkeit Definition 13 i) Sei V K-VR. Die Vektoren v 1,..., v n V heißen linear unabhängig, falls gilt: Sind λ 1,..., λ n K und ist so folgt n λ i v i = 0, i=1 λ 1 = = λ n = 0. ii) Die Vektoren v 1,..., v n V heißen linear abhängig, wenn sie nicht linear unabhängig sind. Merke: Sind v 1,..., v n V linear unabhängig, so lässt sich der Nullvektor nur trivial aus den Vektoren v 1,..., v n linear kombinieren. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

18 Lineare Unabhängigkeit Lineare Unabhängigkeit Beispiel 14 Tafel Satz 15 Sei V K-VR. Seien v 1,..., v n V. Äquivalent sind: i) v 1,..., v n sind linear unabhängig. ii) Jeder Vektor v span K (v 1,..., v n ) lässt sich in eindeutiger Weise aus den Vektoren v 1,..., v n linear kombinieren, d. h.: Es existiert genau ein (λ 1,..., λ n ) K n, so dass v = n i=1 λ i v i. Beweis. Tafel Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

19 Lineare Unabhängigkeit Einfache Folgerungen Bemerkung 15.1 Sei V K-VR. Dann gilt: i) Ein Vektor v V ist linear unabhängig genau dann, wenn v 0. ii) Seien v 1,..., v n V. Gilt 0 {v 1,..., v n }, so sind v 1,..., v n linear abhängig. iii) Kommt der gleiche Vektor w in v 1,..., v n mehrfach vor, so ist v 1,..., v n linear abhängig. iv) Ist n 2, so sind v 1,..., v n genau dann linear abhängig, wenn einer davon Linearkombination der anderen ist. Beweis. Tafel Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

20 Lineare Unabhängigkeit Lernziele Am Ende dieses Kapitels sollten Sie... den Begriff des (Unter-)Vektorraums verstanden haben und Eigenschaften über (Unter-)Vektorräume beweisen können, die (Unter-)Vektorraumeigenschaft für eine vorgegebene Menge plus Verknüpfungen nachweisen können, die Begriffe Linearkombination und Lineare Unabhängigkeit verstanden haben und in Beispielen und mathematischen Aussagen verwenden können. einen Fundus an Beispielen für die neu eingeführten Begriffe und Aussagen in diesem Kapitel entwickelt haben. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20

Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz

Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis

Mehr

Übersicht Kapitel 9. Vektorräume

Übersicht Kapitel 9. Vektorräume Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten

Mehr

Lineare Abbildungen und Matrizen

Lineare Abbildungen und Matrizen Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 31. Mai 2016 Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai 2016 1 / 16 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume

Mehr

Lineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18.

Lineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18. 18. November 2011 Wozu das alles? Bedeutung von Termen Vektoren in R n Ähnlichkeiten zwischen Termbedeutungen Skalarprodukt/Norm/Metrik in R n Komposition von Termbedeutungen Operationen auf/abbildungen

Mehr

02. Vektorräume und Untervektorräume

02. Vektorräume und Untervektorräume 02. Vektorräume und Untervektorräume Wir kommen nun zur eigentlichen Definition eines K-Vektorraums. Dabei ist K ein Körper (bei uns meist R oder C). Informell ist ein K-Vektorraum eine Menge V, auf der

Mehr

Lineare Abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x

Mehr

Stefan Ruzika. 24. April 2016

Stefan Ruzika. 24. April 2016 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers

Mehr

Skalarprodukt, Norm & Metrik

Skalarprodukt, Norm & Metrik Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai 2016 1 / 13 Gliederung 1

Mehr

Kapitel II. Vektoren und Matrizen

Kapitel II. Vektoren und Matrizen Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft

Mehr

0, v 6 = , v 4 = 1

0, v 6 = , v 4 = 1 Aufgabe 6. Linearkombinationen von Vektoren Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 : M = v =, v =, v 3 =, v 4 =, v 5 =, v 6 =. Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor v i M, i =,,...,

Mehr

In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum,

In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum, 2 Vektorräume In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa Unterraum, Linearkombination, lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem.

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 7 Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems in n Variablen über einem Körper K ist ein Untervektorraum

Mehr

3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit

3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit 3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53

Mehr

Vektorräume. Kapitel Definition und Beispiele

Vektorräume. Kapitel Definition und Beispiele Kapitel 3 Vektorräume 3.1 Definition und Beispiele Sei (V,,0) eine abelsche Gruppe, und sei (K, +,, 0, 1) ein Körper. Beachten Sie, dass V und K zunächst nichts miteinander zu tun haben, deshalb sollte

Mehr

Kapitel II. Vektorräume. Inhalt: 7. Vektorräume 8. Basis und Dimension 9. Direkte Summen und Faktorräume

Kapitel II. Vektorräume. Inhalt: 7. Vektorräume 8. Basis und Dimension 9. Direkte Summen und Faktorräume Kapitel II. Vektorräume Inhalt: 7. Vektorräume 8. Basis und Dimension 9. Direkte Summen und Faktorräume Die fundamentale Struktur in den meisten Untersuchungen der Linearen Algebra bildet der Vektorraum.

Mehr

Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie

Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie

Mehr

Einführung in die Mathematik für Informatiker

Einführung in die Mathematik für Informatiker Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 21.11.2016 6. Vorlesung aufgespannter Untervektorraum Span(T ), Linearkombinationen von Vektoren Lineare Unabhängigkeit

Mehr

4 Matrizenrechnung. Beide Operationen geschehen also koeffizientenweise. Daher übertragen sich die Rechenregeln von K(m n, k).

4 Matrizenrechnung. Beide Operationen geschehen also koeffizientenweise. Daher übertragen sich die Rechenregeln von K(m n, k). 4 Matrizenrechnung Der Vektorraum der m n Matrizen über K Sei K ein Körper und m, n N\{0} A sei eine m n Matrix über K: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = = (a ij) mit a ij K a m a m2 a mn Die a ij heißen die

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.

Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen. 1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild

Mehr

Matrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K).

Matrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K). Matrizen - I Definition. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = a 11 a 12...... a 1n a 21 a 22...... a 2n............ a m1 a m2...... a mn wobei j K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen

Mehr

5 Die Allgemeine Lineare Gruppe

5 Die Allgemeine Lineare Gruppe 5 Die Allgemeine Lineare Gruppe Gegeben sei eine nicht leere Menge G und eine Abbildung (Verknüpfung) : G G G, (a, b) a b( a mal b ) Das Bild a b von (a, b) heißt Produkt von a und b. Andere gebräuchliche

Mehr

Vektorräume. Lineare Algebra I. Kapitel Juni 2012

Vektorräume. Lineare Algebra I. Kapitel Juni 2012 Vektorräume Lineare Algebra I Kapitel 9 12. Juni 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de Assistent: Sadegh

Mehr

Lineare Hülle. span(a) := λ i v i : so dass k N, λ i R und v i A.

Lineare Hülle. span(a) := λ i v i : so dass k N, λ i R und v i A. Lineare Hülle Def A sei eine nichtleere Teilmenge des Vektorraums (V,+, ) Die lineare Hülle von A (Bezeichung: span(a)) ist die Menge aller Linearkombinationen der Elemente aus A { k } span(a) := λ i v

Mehr

Teil II: Lineare Algebra

Teil II: Lineare Algebra 3 Vektorräume 49 Teil II: Lineare Algebra 3 Vektorräume Wir haben in den vorangegangenen Kapiteln ausführlich die Differential- und Integralrechnung in einer (reellen Variablen untersucht Da die Welt aber

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html

Mehr

Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure

Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 05.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 14 Linearkombinationen Definition Es sei V ein reeller Vektorraum. Es sei (v i ) i

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 15

Aufgaben zu Kapitel 15 Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Menge K m n aller m n-matrizen über einem Körper K mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Lineare Algebra in der Oberstufe

Lineare Algebra in der Oberstufe Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 11. April 2016 1 / 21 Übersicht Ziel dieses Kapitels

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr

Kapitel 15. Aufgaben. Verständnisfragen

Kapitel 15. Aufgaben. Verständnisfragen Kapitel 5 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Menge K m n aller m n-matrizen über einem Körper K mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation einen K-Vektorraum bildet

Mehr

5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension

5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 8 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von v,...,v n, nämlich { n

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 9 Lineare Abbildungen Definition 9.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Eine Abbildung ϕ : V W

Mehr

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Motivation Wir haben gesehen, dass lineare Abbildungen sich durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren ausdrücken lassen Mithilfe von Matrizen können wir

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 12. Lineare Abbildungen

Mathematik I. Vorlesung 12. Lineare Abbildungen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 12 Lineare Abbildungen Definition 12.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung heißt lineare Abbildung,

Mehr

11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION

11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION 11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION 1 Basen werden zu unterschiedlichen Zwecken benutzt: Um lineare Abbildungen in ihrer Matrixdarstellung zu vereinfachen, um die Dimension von Vektorräumen und ihren Unterräumen

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra 2015/2016: Lösungen

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra 2015/2016: Lösungen 1 Lineare Abhängigkeit 1.1 Für welche t sind die folgenden Vektoren aus 3 linear abhängig? (1, 3, 4), (3, t, 11), ( 1, 4, 0). Das zur Aufgabe gehörige LGS führt auf die Matrix 1 3 4 3 t 11. 1 4 0 Diese

Mehr

Euklidische und unitäre Vektorräume

Euklidische und unitäre Vektorräume Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein

Mehr

Vektorraum. (λ 1 + λ 2 ) v = λ 1 v + λ 2 v. Vektorraum 1-1

Vektorraum. (λ 1 + λ 2 ) v = λ 1 v + λ 2 v. Vektorraum 1-1 Vektorraum Eine abelsche Gruppe (V, +) heißt Vektorraum über einem Körper K oder K-Vektorraum, wenn eine Skalarmultiplikation definiert ist, die (λ, v) K V das Produkt λ v V zuordnet und folgende Eigenschaften

Mehr

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition) Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz

Mehr

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit

Mehr

Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 12

Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 12 Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 12 Die Lösungshinweise dienen

Mehr

Kapitel 2. Zahlenbereiche

Kapitel 2. Zahlenbereiche Kapitel 2. Zahlenbereiche 2.3. Reelle Zahlen Erweiterung des Zahlenbereichs der natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } = N {0} N. Rationale Zahlen Q := { m n m Z, n N }. Beachte:

Mehr

2.3 Basis und Dimension

2.3 Basis und Dimension Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau 65 2.3 Basis und Dimension In diesem zentralen Abschnitt werden einige für die gesamte Lineare Algebra fundamentale Grundbegriffe eingeführt: Lineare Abhängigkeit

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden

Mehr

Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle

Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle 2. Matrixalgebra Warum Beschäftigung mit Matrixalgebra? Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle bequeme mathematische

Mehr

Kap 1: VEKTORRÄUME. (c) (λµ) v = λ (µ v) (b) λ (v + w) = (λ v) + (λ w) (d) 1 v = v

Kap 1: VEKTORRÄUME. (c) (λµ) v = λ (µ v) (b) λ (v + w) = (λ v) + (λ w) (d) 1 v = v Kap 1: VEKTORRÄUME Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung ϕ : I X, i ϕ(i) = x i, wobei die Menge I in diesem Zusammenhang auch Indexmenge genannt wird. Man schreibt vereinfacht

Mehr

Summen und direkte Summen

Summen und direkte Summen Summen und direkte Summen Sei V ein K-Vektorraum. Wie früher erwähnt, ist für beliebige Teilmengen M, N V die Teilmenge M +N V wie folgt definiert M +N = {v+w : v M, w N}. Man sieht leicht, dass i.a. M

Mehr

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A 133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des

Mehr

a 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema:

a 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm Ein solches Schema nennt man (n m-matrix, da es aus n Zeilen und m Spalten besteht Jeder einzelne Eintrag

Mehr

4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen

4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen 4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen Mengen von Abbildungen Für beliebige Mengen X und Y bezeichnet Y X die Menge aller Abbildungen von X nach Y (Reihenfolge beachten!) Die Bezeichnungsweise erklärt

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt

5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt 5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale

Mehr

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt)

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Name: Seite: 1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Dozent: R. Burkhardt Büro: 4.613 Klasse: 1. Studienjahr Semester: 1 Datum: HS 28/9

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt)

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST Büro:

Mehr

Vektorräume und Lineare Abbildungen

Vektorräume und Lineare Abbildungen Vektorräume und Lineare Abbildungen Patricia Doll, Selmar Binder, Lukas Bischoff, Claude Denier ETHZ D-MATL SS 07 11.04.2007 1 Vektorräume 1.1 Definition des Vektorraumes (VR) 1.1.1 Grundoperationen Um

Mehr

3 Systeme linearer Gleichungen

3 Systeme linearer Gleichungen 3 Systeme linearer Gleichungen Wir wenden uns nun dem Problem der Lösung linearer Gleichungssysteme zu. Beispiel 3.1: Wir betrachten etwa das folgende System linearer Gleichungen: y + 2z = 1 (1) x 2y +

Mehr

Lineare Algebra in der Oberstufe

Lineare Algebra in der Oberstufe Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 16. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April 2016 1 / 32 Übersicht Ziel dieses Kapitels

Mehr

Der Kern einer Matrix

Der Kern einer Matrix Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis

Mehr

L2. Vektorräume. Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer. Beispiele:

L2. Vektorräume. Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer. Beispiele: L2. Vektorräume Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer Beispiele: 2) Vektoren: vollständig bestimmt durch Angabe einer und einer Beispiele: Übliche

Mehr

4. Vektorräume und Gleichungssysteme

4. Vektorräume und Gleichungssysteme technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 41 und 42 4 Vektorräume

Mehr

2.5 Gauß-Jordan-Verfahren

2.5 Gauß-Jordan-Verfahren 2.5 Gauß-Jordan-Verfahren Definition 2.5.1 Sei A K (m,n). Dann heißt A in zeilenreduzierter Normalform, wenn gilt: [Z1] Der erste Eintrag 0 in jeder Zeile 0 ist 1. [Z2] Jede Spalte, die eine 1 nach [Z1]

Mehr

Mathematik für Chemische Technologie 2

Mathematik für Chemische Technologie 2 Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters

Mehr

Kapitel 2. Zahlenbereiche

Kapitel 2. Zahlenbereiche Kapitel 2. Zahlenbereiche 2.3. Reelle Zahlen Erweiterung des Zahlenbereichs der natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} = N {0} N. Rationale Zahlen Q := { m } n m Z, n N. Beachte:

Mehr

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen [ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzugen zur Vorlesung: Der Vollständigkeit

Mehr

Technische Universität München

Technische Universität München Technische Universität München Michael Schreier Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Montag WS 2008/09 1 komplexe Zahlen Viele Probleme in der Mathematik oder Physik lassen sich nicht oder

Mehr

BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2

BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2 Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete

Mehr

Lineare Algebra. I. Vektorräume. U. Stammbach. Professor an der ETH-Zürich

Lineare Algebra. I. Vektorräume. U. Stammbach. Professor an der ETH-Zürich Lineare Algebra U Stammbach Professor an der ETH-Zürich I Vektorräume Kapitel I Vektorräume 1 I1 Lineare Gleichungssysteme 1 I2 Beispiele von Vektorräumen 7 I3 Definition eines Vektorraumes 8 I4 Linearkombinationen,

Mehr

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen

Mehr

Definitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}.

Definitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}. Technische Universität Berlin Wintersemester 7/8 Institut für Mathematik 9. April 8 Prof. Dr. Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Nachklausur zur Linearen Algebra I Aufgabe ++ Punkte Definieren

Mehr

Lineare Abbildungen - I

Lineare Abbildungen - I Lineare Abbildungen - I Definition. Seien V und W K-Vektorräume (über demselben K). Eine Abbildung F : V W heißt K-linear, wenn L1) F (v + w) = F (v) + F (w) v, w V L2) F (λv) = λf (v) v V, λ K. Somit

Mehr

LINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER

LINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 9 Lineare Abbildungen Definition 9.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Eine Abbildung heißt lineare

Mehr

3 Matrizenrechnung. 3. November

3 Matrizenrechnung. 3. November 3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige

Mehr

Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Lineare Algebra 7. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November 9, 27 Erinnerung 2 Vektoräume Sei V ein Vektorraum, U V, U {}. U hiesst Untervektorraum, Unterraum,

Mehr

Lineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Lineare Algebra 6. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November, 7 Vektoräume Eine Menge E zusammen mit zwei Verknüpfungen + : E E E, x, y x + y Addition : E E E,

Mehr

3 Moduln. Analogon zu K-Vektorräumen, aber statt über einem Körper, über einem Ring definiert.

3 Moduln. Analogon zu K-Vektorräumen, aber statt über einem Körper, über einem Ring definiert. 3 Moduln Analogon zu K-Vektorräumen, aber statt über einem Körper, über einem Ring definiert. Beispiele: (1) (Z n, +, (Z, )), wobei (Z, ) Skalarmultiplikation. k (a 1,...,a n )=(ka 1,...,ka n )inz. (2)

Mehr

Wiederholung: lineare Abbildungen

Wiederholung: lineare Abbildungen Wiederholung: lineare Abbildungen Def Es seien (V,+, ) und (U, +, ) zwei Vektorräume Eine Abbildung f : V U heißt linear, falls für alle Vektoren v 1, v 2 V und für jedes λ R gilt: (a) f (v 1 + v 2 ) =

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,

Mehr

Vektorräume und lineare Abbildungen

Vektorräume und lineare Abbildungen Kapitel 11. Vektorräume und lineare Abbildungen 1 11.1 Vektorräume Sei K ein Körper. Definition. Ein Vektorraum über K (K-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit einer binären Operation + einem ausgezeichneten

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG 15. Dezember 2007

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG 15. Dezember 2007 KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG 5. Dezember 007 Name: Studiengang: Aufgabe 3 4 5 Summe Punktzahl /40 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter die Aufgabenstellung

Mehr

Aufgabe 1. Die ganzen Zahlen Z sind ein R-Vektorraum bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation in R.

Aufgabe 1. Die ganzen Zahlen Z sind ein R-Vektorraum bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation in R. Aufgabe Die ganzen Zahlen Z sind ein Q-Vektorraum bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation in Q. Die reellen Zahlen R sind ein Q-Vektorraum bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation in R. Die komplexen

Mehr

Lineare Algebra I Zusammenfassung

Lineare Algebra I Zusammenfassung Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Definition. Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n und b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2......

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 14. Rang von Matrizen

Mathematik I. Vorlesung 14. Rang von Matrizen Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 14 Rang von Matrizen Definition 141 Es sei K ein Körper und sei M eine m n-matrix über K Dann nennt man die Dimension des von den Spalten

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 7 11. Mai 2010 Kapitel 8. Vektoren Definition 76. Betrachten wir eine beliebige endliche Anzahl von Vektoren v 1, v 2,..., v m des R n, so können

Mehr

13 Partielle Ableitung und Richtungsableitung

13 Partielle Ableitung und Richtungsableitung 3 PARTIELLE ABLEITUNG UND RICHTUNGSABLEITUNG 74 3 Partielle Ableitung und Richtungsableitung 3 Definition und Notiz Sei B R n offen, f : B R m, v R n, so heißt für γ x,v (t) = x + tv d dt f(x + tv) f(x)

Mehr

Kapitel 3 Lineare Algebra

Kapitel 3 Lineare Algebra Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND

Mehr

Lösungen zur Mathematik für Informatiker I

Lösungen zur Mathematik für Informatiker I Lösungen zur Mathematik für Informatiker I Wintersemester 00/03 Prof Dr H Lenzing Blatt 7 Sei M Ihre Matrikelnummer mit den Ziffern m, m, m 3, m 4, m 5, m 6, m 7 Aufgabe 6 ( Bonuspunkt): Wir betrachten

Mehr

Lineare Algebra für Informatiker Manuskript

Lineare Algebra für Informatiker Manuskript Sebastian Thomas RWTH Aachen, SS 5 Juli 5 Lineare Algebra für Informatiker Manuskript Die Vorlesung richtet sich in erster Linie an Studierende des Studiengangs Bachelor of Science Informatik Es werden

Mehr

1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D

1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D Vektoren, Vektorräume, Astände: D Definition: Die Menge aller (geordneten Paare reeller Zahlen (oder allgemeiner: Elemente eines elieigen Körpers, als Spalten geschrieen, ezeichnen wir als Vektoren: R

Mehr

ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann ist jeder dazu parallele (kollinear) Veka tor d ein Vielfaches von a. + λ 2 a 2

ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann ist jeder dazu parallele (kollinear) Veka tor d ein Vielfaches von a. + λ 2 a 2 II. Basis und Dimension ================================================================= 2.1 Linearkombination und Basis -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten

8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A

Mehr