Vektorräume. Stefan Ruzika. 24. April Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
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1 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
2 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume Erinnerung: Der R-Vektorraum R 3 Definition eines Vektorraums Untervektorraum Linearkombination Lineare Unabhängigkeit Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
3 Erinnerung: Der R-Vektorraum R 3 Erinnern wir uns mal wieder an die Schule und abstrahieren dann. Mit Vektoren so wie wir sie aus der Schule kennen kann man rechnen: ( ) ( ) ( ) a) + = = ( ( ) ( b) 2 = = 4) 2 4 8) Beobachtung ( ) 7 5 Es gibt also zwei Arten von Verknüpfungen, nämlich + und. Vektor + Vektor Reelle Zahl Vektor Wir müssen aufpassen, welche Objekte wir miteinander verknüpfen (denn natürlich gibt es auch das + und bei den reellen Zahlen ). Es gelten Rechenregeln (die uns in Fleisch und Blut übergegangen sind ). Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
4 Erinnerung: Der R-Vektorraum R 3 Aufbau der Vorlesung Nachfolgend gehen wir so vor: 1 Erinnerung und Formalisierung des R-Vektorraum R 3 2 Abstraktion und formale Definition eines Vektorraums 3 Wichtige, ungewöhnliche, besondere,... Beispiele 4 Studium des Konzepts Vektorraum Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
5 Erinnerung: Der R-Vektorraum R 3 Der altbekannte R-Vektorraum R 3 Gegeben ist der Körper R. Die Menge R 3 zusammen mit der inneren Verknüpfung + : R 3 R 3 R 3, (v, w) v + w, ((Vektor-)Addition genannt) und der äußeren Verknüpfung : R R 3 R 3, (λ, v) λ v, (skalare Multiplikation genannt) heißt R-Vektorraum R 3 und es gilt Folgendes: V1 (R 3, +) ist eine abelsche Gruppe, d.h. für alle u, v, w R 3 gilt: i) u + (v + w) = (u + v) + w ii) #» 0 + v = v iii) ( v) : ( v) + v = #» 0 iv) v + w = w + v V2 Für alle λ, µ R und alle v, w R 3 gilt: i) (λ + µ) v = λ v + µ v, ii) λ (v + w) = λ v + λ w, iii) λ (µ v) = (λ µ) v, iv) 1 v = v. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
6 Definition eines Vektorraums Vektorraum Definition 1 Sei K Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung + : V V V, (v, w) v + w, (Addition genannt) und einer äußeren Verknüpfung : K V V, (λ, v) λ v, (skalare Multiplikation genannt) heißt K-Vektorraum, wenn Folgendes gilt: V1 (V, +) ist eine abelsche Gruppe. V2 Für alle λ, µ K und alle v, w V gilt: i) (λ + µ) v = λ v + µ v, ii) λ (v + w) = λ v + λ w, iii) λ (µ v) = (λ µ) v, iv) 1 v = v. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
7 Definition eines Vektorraums Vektorraum etwas sauberer, aber unleserlicher Vektorraum Sei (K, +, ) Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung : V V V, (v, w) v w, (Addition genannt) und einer äußeren Verknüpfung : K V V, (λ, v) λ v, (skalare Multiplikation genannt) heißt K-Vektorraum, wenn Folgendes gilt: V1 (V, ) ist eine abelsche Gruppe. V2 Für die alle λ, µ K und alle v, w V gilt: i) (λ + µ) v = λ v µ v, ii) λ (v w) = λ v λ w, iii) λ (µ v) = (λ µ) v, iv) 1 K v = v. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
8 Definition eines Vektorraums Beispiele von Vektorräumen Beispiel 2 Sei (K, +, ) Körper. K n := {x = (x 1,..., x n ) : x i K für alle i = 1,..., n} Standardraum Verknüpfungen: : K n K n K n, : K K n K n, (x, y) x y (λ, y) λ y wobei (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λ (x 1,..., x n ) := (λ x 1,..., λ x n ). Nullvektor: 0 = (0,..., 0) Negative eines Vektors (x 1,..., x n ) = ( x 1,..., x n ) Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
9 Definition eines Vektorraums Beispiele von Vektorräumen Beispiel 3 i) Sei K Körper. Sei M(m n; K) die Menge der Matrizen mit m Zeilen und n Spalten und Einträgen aus K. Definiere Addition und Skalarmultiplikation wie folgt: Seien A = (a ij ), B = (b ij ) M(m n; K) und λ K. Dann: A + B := (a ij + b ij ) und λ A := (λ a ij ) M(m n; K) Dies definiert den K-Vektorraum M(m n; K). ii) Betrachte den R-Vektorraum C, d. h. Vektoren sind Elemente aus C (Addition + also bekannt) und definiere eine skalare Multiplikation durch: R C C (λ, a + i b) λa + i λb iii) Tafel iv) Tafel Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
10 Definition eines Vektorraums Rechenregeln Beachte: Im Folgenden verwenden wir nur noch die Symbole + und statt, +, und. Aus dem Kontext heraus wird klar, welche Verknüpfung gemeint ist. Ebenso kann 0 für das Nullelement des Körpers 0 K bzw. für das Nullelement des Vektorraums 0 V stehen. Im nachfolgenden Satz machen wir die Zugehörigkeit nochmals ausdrücklich klar. Eine Verwechslung bei der 1 ist eigentlich ausgeschlossen warum eigentlich? Satz 4 Sei V ein K-Vektorraum. Dann gilt: a) 0 K v = 0 V b) λ 0 V = 0 V c) λ v = 0 V λ = 0 K oder v = 0 V d) ( 1) v = v Beweis. Tafel Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
11 Untervektorraum Untervektorräume Definition 5 Sei V ein K-Vektorraum und W V Teilmenge. Dann heißt W Untervektorraum von V, wenn gilt: UV1 W UV2 v, w W v + w W (W ist abgeschlossen bzgl. der Addition) UV3 v W, λ K λ v W (W ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation) Beispiel 6 i) W 1 := {0} ist Untervektorraum des R-Vektorraums R 2. ii) W 2 := {(x 1, x 2 ) R 2 : a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0} ist Untervektorraum des R-Vektorraums R 2 für alle a 1, a 2 R. iii) W 3 := {x R n : Ax = 0} (für eine gegebene reellwertige m n-matrix A) ist Untervektorraum des R-Vektorraums R n. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
12 Untervektorraum Untervektorräume sind Vektorräume Satz 7 Sei V ein K-Vektorraum. Ein Untervektorraum W V ist zusammen mit der induzierten Addition und der induzierten skalaren Multiplikation wieder ein Vektorraum. Beweis. Übung Dieser Satz kann sehr nützlich sein: Dadurch kann man sich unter Umständen den länglichen Nachweis aller Vektorraumaxiome sparen (etwa in Beispiel 5.6, iii)) Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
13 Untervektorraum Durchschnitt von Untervektorräumen Satz 8 Sei V ein K-Vektorraum, sei I eine beliebige Indexmenge und sei für jedes i I ein Untervektorraum W i V gegeben. Dann ist der Durchschnitt W := i I W i V wieder ein Untervektorraum von V. Beweis. Tafel Vorsicht: Dies gilt im Allgemeinen nicht für die Vereinigung von Untervektorräumen (siehe Übungen)! Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
14 Linearkombination Linearkombination Nachfolgend bezeichne V einen K-Vektorraum. Definition 9 Seien v 1,..., v n V. Dann heißt v V Linearkombination von v 1,..., v n, wenn es λ 1,..., λ n K gibt, so dass Definition 10 Seien v 1,..., v n V. Dann heißt v = λ 1 v λ n v n = n λ i v i i=1 span K (v 1,..., v n ) := {v V λ 1,..., λ n K : v = n λ i v i } der von v 1,..., v n aufgespannte / erzeugte Raum (auch: Erzeugnis von v 1,..., v n ). i=1 Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
15 Linearkombination Linearkombination Satz 11 Sei V K-Vektorraum, seien v 1,..., v n V. Dann gilt: i) span K (v 1,..., v n ) V ist Untervektorraum. ii) Ist W V Untervektorraum und gilt v i W für alle i = 1,..., n, so ist span K (v 1,..., v n ) W. Mit anderen Worten: span K (v 1,..., v n ) ist der kleinste Untervektorraum von V, der alle v i enthält. Beweis. Übung Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
16 Linearkombination Beispiele Notation: K-VR: K-Vektorraum Beispiel 12 i) Sei V = R 3, seien v 1, v 2 R 3. Dann: 1 span K (v 1) ist die Gerade durch 0 und v 1 (wenn v 1 0) 2 span K (v 1, v 2) ist die Ebene durch 0, v 1 und v 2 (wenn v 1, v 2 sinnvoll gewählt sind) ii) Betrachte K-VR K n. Definiere den i-ten Einheitsvektor durch: e i := (0,..., 0, 1, 0,..., 0) wobei die 1 an der i-ten Stelle steht. Dann ist span K (e i ) i {1,...,n} = K n iii) Tafel iv) Tafel Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
17 Lineare Unabhängigkeit Lineare Unabhängigkeit Definition 13 i) Sei V K-VR. Die Vektoren v 1,..., v n V heißen linear unabhängig, falls gilt: Sind λ 1,..., λ n K und ist so folgt n λ i v i = 0, i=1 λ 1 = = λ n = 0. ii) Die Vektoren v 1,..., v n V heißen linear abhängig, wenn sie nicht linear unabhängig sind. Merke: Sind v 1,..., v n V linear unabhängig, so lässt sich der Nullvektor nur trivial aus den Vektoren v 1,..., v n linear kombinieren. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
18 Lineare Unabhängigkeit Lineare Unabhängigkeit Beispiel 14 Tafel Satz 15 Sei V K-VR. Seien v 1,..., v n V. Äquivalent sind: i) v 1,..., v n sind linear unabhängig. ii) Jeder Vektor v span K (v 1,..., v n ) lässt sich in eindeutiger Weise aus den Vektoren v 1,..., v n linear kombinieren, d. h.: Es existiert genau ein (λ 1,..., λ n ) K n, so dass v = n i=1 λ i v i. Beweis. Tafel Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
19 Lineare Unabhängigkeit Einfache Folgerungen Bemerkung 15.1 Sei V K-VR. Dann gilt: i) Ein Vektor v V ist linear unabhängig genau dann, wenn v 0. ii) Seien v 1,..., v n V. Gilt 0 {v 1,..., v n }, so sind v 1,..., v n linear abhängig. iii) Kommt der gleiche Vektor w in v 1,..., v n mehrfach vor, so ist v 1,..., v n linear abhängig. iv) Ist n 2, so sind v 1,..., v n genau dann linear abhängig, wenn einer davon Linearkombination der anderen ist. Beweis. Tafel Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
20 Lineare Unabhängigkeit Lernziele Am Ende dieses Kapitels sollten Sie... den Begriff des (Unter-)Vektorraums verstanden haben und Eigenschaften über (Unter-)Vektorräume beweisen können, die (Unter-)Vektorraumeigenschaft für eine vorgegebene Menge plus Verknüpfungen nachweisen können, die Begriffe Linearkombination und Lineare Unabhängigkeit verstanden haben und in Beispielen und mathematischen Aussagen verwenden können. einen Fundus an Beispielen für die neu eingeführten Begriffe und Aussagen in diesem Kapitel entwickelt haben. Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April / 20
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