Mathematik für die ersten Semester

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1 Mathematik für die ersten Semester von Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim 2., verbesserte Auflage Oldenbourg Verlag München

2 Inhaltsverzeichnis I Grundlagen 1 1 Logik 3 2 Mengen 7 3 Relationen Abbildungen 18 TI Arithmetik 23 4 Die natürlichen Zahlen Das Prinzip der vollständigen Induktion Der binomische Satz Primzahlen 29 5 Erweiterungen der Zahlenmenge Die ganzen Zahlen Gruppe Die rationalen Zahlen Körper Die reellen Zahlen Die komplexen Zahlen 37 III Elementare Geometrie 43 6 Ebene Geometrie." Trigonometrie :...' 51 8 Vektoren Vektoraddition Skalarmultiplikation Einheitsvektor Skalarprodukt Kreuzprodukt Parallelverschiebung Polarkoordinaten Vektorraum.' 65

3 X Inhaltsverzeichnis 9 Geometrie des R Geradengleichungen Abstand eines Punktes von einer Geraden Ebenengleichungen ; Reguläre Polyeder Orthonormalbasis 74 IV Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Darstellung von linearen Gleichungssystemen Elementaroperationen Gaußsches Eliminationsverfahren Matrizen Addition und Multiplikation von Matrizen Die transponierte Matrix Elementarmatrizen Inversion von Matrizen ; Das Matrixinversionsverfahren Determinanten Sätze über Determinanten Berechnung von Determinanten Die adjungierte Matrix Die Cramersche Regel Transformationen mit Matrizen Drehungen Streckung und Spiegelungen Orthogonale Matrizen Lösungsmengen irregulärer linearer Gleichungssysteme ' Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen! Das Verfahren nach Gauß und Seidel, Stabilität 128 V Algebra und Geometrie Polynome Geschlossene Lösungsverfahren ' Approximation der Nullstellen Zweidimensionale quadratische Formen Allgemeine Gleichungen zweiten Grades Eigenwerte und Eigenvektoren.' 149

4 Inhaltsverzeichnis XI 17 Die Kegelschnitte Die Ellipse Die Parabel Die Hyperbel ' Tangenten und Polaren der Kegelschnitte Vergleich der Kegelschnitte Begründung der Bezeichnung Kegelschnitt" Sphärische Geometrie Sphärische Trigonometrie 180 VI Infinitesimalrechnung Folgen Reihen Stetige Funktionen Funktionenfolgen und Funktionenreihen 201 VII Differentialrechnung Der Differentialquotient Ableitungen einfacher Funktionen Ableitungsregeln Die Exponentialfunktion Der natürliche Logarithmus 218' 24.2 Grenzwerte Irrationalität der Basis der natürlichen Logarithmen Die allgemeine Potenz Logarithmisches Differenzieren Die Winkelfunktionen -. : Die Kreisbogenfunktionen Die Hyperbelfunktionen Kurvendiskussion Beispiel einer Kurvendiskussion Approximation von Funktionen Der allgemeine binomische Satz Fourier-Analyse Die Taylor-Reihe Funktionen mehrerer Variablen Partielle Differentiation : Das totale Differential Implizite Differentiation 252

5 XII Inhaltsverzeichnis VIII Integralrechnung Das Integral Integrationsmethoden : Direkte Integration Integration mittels Substitution Partielle Integration 263" 30.4 Logarithmische Integration Partialbruchzerlegung Uneigentliche Integrale Kurvenlänge und Kurvenkrümmung Mehrfachintegrale Rotationskörper Integraltransformationen Beweis der Gleichungen für die Fourier-Koeffizienten Fourier-Transformation Etwas Funktionentheorie Laplace-Transformation Rechenregeln für die Laplace-Transformation 287 IX Vektoranalysis Differentiation von Feldern Vektoralgebra Differentiation eines Vektorfeldes nach einem Skalar Räumliche Differentiation eines Feldes Mehrfache Differentiation eines Feldes Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten Integralsätze ' Der Satz von Gauß ".r Greensche Sätze Der Satz von Stokes 307 X Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten Lineare DGL mit Störfunktion Trennung der Variablen Lösen von DGL mit der Laplace-Transformation 316 Literatur 319 Stichwortverzeichnis 323