Einführung in die elektronische Datenverarbeitung. Zahlensysteme

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Harald Kaiser
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1 Zahlensysteme Zahlensysteme Vereinbarung (Abbildungsfunktion) zur Interpretation einer Zeichenfolge. Ein Zeichen eines Zahlensystems wird als Ziffer bezeichnet. Darstellung von natürlichen Zahlen im Dezimal-, Dual- und Hexadezimalsystem Dezimalzahl Dualzahl Hexadezimalzahl A B F FF DVS Weihenstephan / Nov. 98 Seite 2.1 -

2 Maschinelles Rechnen Maschinelles Rechnen Analog: Rechenschieber Digital: mechanisch (Abakus, z. B. Zahlsystem zur Basis 5) elektrisch (frühe Rechenmaschine) elektronisch Rechnen mit Zahlen Rechnerintern werden Ganzzahlen in Dualzahlen konvertiert Addition von Dualzahlen = = = = 0 mit Übertrag auf die nächste Stelle Beispiel DVS Weihenstephan / Nov. 98 Seite 2.2 -

3 Subtraktion von Dualzahlen Subtraktion von Dualzahlen ist eine Addition mit dem negativen Subtrahenden! Negative Dualzahlen werden mit der Komplementdarstellung realisiert. Das Einerkomplement einer Dualzahl erhält man, indem man jedes Bit in sein Gegenteil verkehrt (11D) ==> (-11D) Problem: Man hat 2 Darstellungen für 0 (+0: und - 0: ) Man verwendet daher das Zweierkomplement. Dies ergibt sich als Einerkomplement ==> ==> (-11D) Beispiel DVS Weihenstephan / Nov. 98 Seite 2.3 -

4 Zahldarstellung Eindeutige Zahlendarstellung (Zahlenstrahl) für den ganzzahligen Zahlenbereich. Die erste Stelle gibt dabei das Vorzeichen der Zahl an! Der Wertebereich ist von der Wortgröße abhängig 8 Stellen Stellen Festkommadarstellung Keine Rücksicht auf Komma. Komma steht immer an fester Stelle. Wertebereich ergibt sich aus: ~ ± (2 Wortlänge )/2 Stellenschreibweise Potenzschreibweise übliche Gleitkommadarstellung Gleitkommadarstellung Übliche Form der Zahlen, wie sie in den Naturwissenschaften vorliegen: DVS Weihenstephan / Nov. 98 Seite 2.4 -

5 Genauigkeit der Zahldarstellung Anzahl der Stellen hinter (und vor) dem Komma muß begrenzt sein. Üblich sind je nach Datentyp 6-7, oder auch Stellen. Warum eigentlich Zahlenbereich Üblich ist z.b.: 2.9 * * Interne Zahldarstellung DVS Weihenstephan / Nov. 98 Seite 2.5 -

6 Rechnen mit Gleitkommazahlen Beispiel (Addition): Die 2 Summanden Beispiel 1 Beispiel 2 Exponentenangleich: * * * * * * * 10 5 Verknüpfung (hier Addition) der Mantissen: Da im ersten Beispiel die 2. Zahl gegenüber der ersten extrem klein ist, ist das Ergebnis der Addition gleich der ersten Zahl. Die 2. Zahl verschwindet innerhalb der Darstellungsgenauigkeit. Beim zweiten (rechten) Beispiel werden die Zahlen wie üblich addiert * * 10 5 Normalisierung des Ergebnisses: Zurückführung auf die Darstellungsform, bei der die Mantisse maximale Genauigkeit bietet, also bei der die erste Stelle nach dem Komma signifikant ist. Der Exponent muß entsprechend angepaßt werden * * 10 6 DVS Weihenstephan / Nov. 98 Seite 2.6 -

7 Datenkompression Datenkompression kann erreicht werden durch eine Erhöhung der Darstellungsdichte mittels geeigneter Algorithmen wie: Lauflängencodierung Codetransformation Inhaltsanalyse (z.b. Funktionensysteme) Vorteile: spart Speicherplatz verkürzt Übertragungszeiten (Modem) nutzt gegebene Bandbreiten besser aus (z.b. Bewegtbild über ISDN, GSM-Standard) Nachteile: erfordert Rechenleistung DVS Weihenstephan / Nov. 98 Seite 2.7 -

8 Kryptologie Verfahren zur Verschlüsselung der Daten (Nachrichten) zur Geheimhaltung und zur Sicherstellung der Urheberschaft (Authentizität). - l- schlüsseln. Die Verschlüsselungsfunktion ist bekannt, die Entschlüsselungsfunktion kennt nur der Empfänger. Der Schlüssel ist nur mit extrem hohem Rechenaufwand Schema: p,q: n = p*q e errechnet nach: 1 = d*e Verschlüsseln: NEU = ORIGINAL e mod n d p,q,d sind geheim DVS Nov. 98 -

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