Erzwungene Schwingungen

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1 In diesem Experiment sollen Sie die grundlegenden Eigenschaften von harmonischen Schwingungen kennenlernen. Dabei ist der ausführliche theoretische Abschnitt nicht nur für diesen Versuch, sondern auch für Ihren weiteren fachlichen Werdegang nicht unwesentlich. 1 Vorbereitung 1.1 Realitätsbezug finden sie überall: Beispielsweise bei Kinderschaukeln, allen mechanischen Uhren (Sekundentakt) und Musikinstrumenten (Luftschwingungen). Für diese Geräte könnte der ein oder andere ein fehlendes Wissen über die zugrunde liegenden physikalischen Vorgänge allerdings mehr oder weniger verschmerzen. In der Technik ist das ganz anders: Töne sind nichts anderes als Schwingungen der Luft. Ein Hörgerät, Ihre Steroanlage und der Lautsprecher im Fernseher müssen genau 1

2 Rücktreibende Kraft Rücktreibende Kraft Abbildung 1: Rückstellende Kraft bei einem Pendel diese Schwingungen produzieren. Wenn Sie in einem Flugzeug sitzen, werden die Flügel durch die Luft zum Schwingen angeregt. Wenn die Flugzeugindustrie nicht über Wissen über mechanische Schwingungen verfügen würde, wären bereits einige Flügel in der Luft abgebrochen. Zum Glück kann dieses Unglück, sollte es doch passieren, über Radar entdeckt werden und der Mitarbeiter nimmt sein Handy aus der Tasche und ruft die Feuerwehr und die Presse an, so dass Sie die neuesten Informationen auf Ihrem Fernseher betrachten können. Jede dieser Informationskanäle funktioniert wieder über (diesmal elektromagnetische) Schwingungen. Und auch wenn Sie später kein Handy bauen möchten, so werden Sie dennoch beispielsweise Auto fahren. Ihnen ist sicher bereits aufgefallen, dass ein mittelteures, nicht mehr ganz neues Auto bei einer ganz bestimmten Geschwindigkeit starke Fahrgeräusche (von der Karosserie, nicht vom Motor) von sich gibt. Wenn Sie weiter beschleunigen, werden diese wieder leiser. Sie haben sicher auch bereits einmal erlebt, wie bei hohen Geschwindigkeiten eine Art dumpfes Knattern entsteht, wenn Sie das Fenster leicht geöffnet haben. Wenn Sie das Fenster ein wenig weiter öffnen oder schließen, hört das wieder auf. Hierbei handelt es sich um bei Schwingungen übliche Resonanzphänomene, die Sie nun genau beobachten werden. 1.2 Versuchsbeschreibung Allgemeine Gedanken Für eine Schwingung muss das schwingende Objekt je nach dessen Aufenthaltsort eine rückstellende Kraft erfahren, die es in Richtung der Ausgangsposition beschleunigt (Abb. 1). Die einfachste Art von Schwingungen sind harmonische Oszillationen 1, d.h. Schwingungen, bei denen die rückstellende Kraft direkt proportional zur Auslenkung ist, wie es zum Beispiel bei einer Feder der Fall ist. Wenn Sie bereits einmal mit verschiedenen Frequenzen an einem Treppengeländer gerüttelt haben, dann wissen Sie, dass sich Systeme, die prinzipiell zu Schwingungen in der Lage sind, einmal besser und einmal schlechter anschubsen 2 lassen. Weiterhin ist es Ihnen klar, dass ein System mit einer eingebauten 1 Fachbegriff für Schwingung 2 physikalisch: erregen 2

3 Bremse 3 je nach Dämpfung langsamer oder schneller zur Ruhe kommt. Falls das System zu stark gebremst wird, kommt es zu gar keiner Schwingung mehr. All diese Phänomene sollen in diesem Experiment genau beleuchtet werden Versuchsaufbau Als schwingendes System werden wir ein Drehpendel genauer: eine spitzengelagerte Kupferscheibe betrachten, das von einer Spiralfeder in der Ruhelage gehalten wird. Die Dämpfung übernimmt ein Elektromagnet, der als Wirbelstrombremse wirkt. Durch den Spulenstrom von bis zu (kurzzeitigen) 2 A können Sie die Dämpfung frei einstellen und messen. Durch einen Gleichstrommotor kann die Kupferscheibe über eine Schubstange zu erzwungenen Schwingungen erregt werden. Sie können die Geschwindigkeit des Motors (und dadurch die Erregerfrequenz) mit einer Gleichspannung zwischen 1, 7 V und max. 24 V einstellen. Die Grob- und Feinregulierung dieser Spannung wird durch angebrachte Potentiometer, die am Motor angebracht sind, vorgenommen und gemessen. Die Erregeramplitude können sie an der Schubstangenbefestigung einstellen: Will man die Amplitude verstellen, so braucht man nur die Verschraubung der Schubstange mit dem an der Feder befestigten Hebel zu lösen und die Schubstange in der Führung des Hebels zu verschieben. Verschieben nach oben gibt größere, verschieben nach unten kleinere Amplituden des Erregers. Die Stellung des Oszillators können Sie an einer feststehenden Winkelscheibe, die nach beiden Seiten in 20 Skalenteile unterteilt ist, ablesen. In der Ruhestellung steht der Zeiger senkrecht nach oben, d.h. auf Markierung Null. Die Ablesegenauigkeit beträgt etwa 0,1 Skalenteile. Um die Geschwindigkeit des schwingenden Körpers zu messen, betrachten wir zunächst die Kupferscheibe: sie hat einen Radius von 9, 45 cm. In den Umfang des Rades ist eine feine Rille eingearbeitet, in der der Faden eines Tachymeters geführt werden kann. Ein Tachymeter misst gleichzeitig Geschwindigkeit und Beschleunigung von Körpern, deren Bewegung mit Hilfe eines Fadens auf das Laufrad des Tachymeters übertragen wird. Es besteht aus einem Bewegungsaufnehmer und einer Messeinheit. Der Bewegungsaufnehmer enthält einen reibungsarmen Tachogenerator, der von einem Laufrad, über das der Messfaden läuft, angetrieben wird. Die Drehbewegung des Laufrades wird damit in eine zur Geschwindigkeit proportionale Spannung umgewandelt. Der Faden wird in der Rille des Drehpendels festgeklebt und der Bewegungsaufnehmer wird mit Hilfe von Stativmaterial so befestigt, dass der Faden tangential zur Metallscheibe verläuft. Die Messeinheit des Tachymeters besitzt einen Eingang für die Spannung des Bewegungsaufnehmers. Zur Registrierung von Geschwindigkeit und Drehzahl gibt es Anschlussbuchsen für einen Schreiber. Außerdem können Messungen der Geschwindigkeit und der Beschleunigung auf kalibrierten Skalen abgelesen werden. 3 man spricht hier von einem gedämpften System 3

4 1.3 Eigenrecherche Bevor Sie sich in den Rechnungen verirren, informieren Sie sich bitte über das Funktionsprinzip einer Wirbelstrombremse 4. Sie müssen sich für dieses Experiment konzentriert in die theoretischen Grundlagen einlesen. Nennen Sie bitte zum Einstieg die Bewegungsgleichung für freie 5 und gedämpfte 6 Schwingungen beim Drehpendel. Lösen Sie die Gleichung für gedämpfte Schwingungen allgemein und diskutieren Sie die Spezialfälle (Schwingfall, aperiodischer Grenzfall, Kriechfall 7 ) 8. Nennen Sie in Ihrer Ausarbeitung die Begriffe Dämpfungskonstante, Gütefaktor und Abklingzeit. Da wir es mit erregten Schwingungen zu tun haben, müssen Sie auch noch diesen komplizierteren Fall diskutieren: Nennen Sie die Bewegungsgleichung von erregten Schwingungen 9, zeichnen Sie die daraus resultierende Resonanzkurve für zwei verschiedene Dämpfungen 10 und definieren Sie in diesem Zusammenhang den Q-Faktor 11. Wie ist die Phasenbeziehung des Erregers und des Oszillators zueinander 12? 1.4 Bereitstellung von Formeln Gedämpfte Schwingungen Der zeitliche Verlauf von gedämpften Drehschwingungen kann auf mehrere Arten allgemein dargestellt werden. Wir entscheiden uns für die folgende Form: ϕ(t) = ϕ 0 e δt cos (ωt + α) mit ω = ω0 2 δ2 Hierbei ist δ der Abklingkoeffizient, ω 0 die Resonanzfrequenz des ungedämpften Systems, ϕ 0 die Amplitude der Schwingung vor der Dämpfung und α die Phase zum Startpunkt t = 0. Mit dem Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Amplituden definiert man das logarithmische Dekrement Λ über ( ) ϕn Λ := ln. ϕ n+1 Λ ist ein Maß für die Dämpfung des Systems. Es gelten folgende Beziehungen: Λ = 1 ( ) m ln ϕn = T und τ ϕ n+m f 0 = f 1 + Λ2 4π 2, (1) wobei T := 1/f die Schwingungsdauer des gedämpften Systems, τ := 1/δ die Abklingzeit und f 0 := ω 0 2π ist. 4 [Mes04], S. 383 und [Tip94], S [Mes04], S. 85 f. und [Tip94], S [Mes04], S. 150 ff. und [Tip94], S. 401 ff. 7 Im Buch Tipler Physik heißen diese Fälle kritisch gedämpft und überdämpft 8 [Mes04], S. 150 ff. und [Tip94], S. 403 ff. 9 [Mes04], S. 154 und [Tip94], S [Mes04], S. 155 und [Tip94], S [Mes04], S. 157 und [Tip94], S [Mes04], S. 154 und [Tip94], S

5 1.4.2 Wir entscheiden uns hier für die folgende mathematische Darstellung des zeitlichen Verlaufs von erzwungenen Schwingungen: ϕ(t) = ϕ 0 (ω e, δ) sin (ω e t β) + ϕ a e δt sin (ωt + α) (2) Nach einer Einschwingzeit ist die durch den zweiten Term beschriebene gedämpfte Schwingung abgeklungen und es liegt eine Schwingung mit der Kreisfrequenz ω e des Erregers vor, für deren Amplitude gilt: const. ϕ 0 (ω e, δ) = (ω ). (3) 2 e ω (2δωe ) 2 Diese Gleichung für die Amplitudenresonanzkurven lässt sich in folgende Form umschreiben: ϕ 0 = f (f, δ) mit f = ω e ω 0 dabei stellt sich heraus, dass die Maxima dieser Resonanzkurven bei ( ) δ 2 fmax = 1 2 liegen. Bei relativ schwachen Dämpfungen (δ ω 0 ) ist f max 1 bzw. ω emax ω 0. Das bedeutet, dass das System bei kleiner Dämpfung genau dann maximale Amplitude hat, wenn der Erreger mit der Eigenfrequenz des Oszillators schwingt Geschwindigkeitsresonanzkurven Mit Hilfe von Gleichungen 2 und 3 kann man zeigen, dass die Geschwindigkeitsresonanzkurven durch die Gleichung ϕ 0 (f, δ) = f ω 0 const. ω 0 (1 f 2 ) 2 + ( 2δf ω 0 ) 2 beschrieben werden. Die Resonanzmaxima liegen hierbei unabhängig von der Dämpfung immer bei f = 1, d.h. bei ω e = ω 0. 2 Aufgaben 2.1 Messungen am freischwingenden System Frequenz Bestimmen Sie mit Hilfe einer Stoppuhr die Frequenz f des freischwingenden Kupferrades als Mittelwert aus dreimaliger Messung der Zeitdauer für jeweils 20 Schwingungsperioden. 5

6 I d [A] k T [s] k T [s] τ [s] ϕ 1 [Skt] ϕ 1+m [Skt] m Λ 1 Λ τ T Tabelle 1: Messergebnisse zur k-fachen Schwingungsdauer f T, zur Abklingzeit τ, zur ersten und (1 + m)-ten Amplitude ϕ 1 bzw. ϕ 1+m und daraus ermitteltes logarithmisches Dekrement Λ bei drei Dämpfungsströmen I d Dämpfung Infolge unvermeidlicher Dämpfung stimmt diese gemessene Frequenz f mit der Frequenz f 0 des ideal ungedämpften Systems nicht genau überein. Schätzen Sie mit Hilfe der Formeln 1 und geeigneter Messung ab, ob hier ein messbarer Unterschied zwischen f und f 0 vorliegt. 2.2 Messungen am freischwingenden gedämpften System Verschiedene Verhaltensmuster Messen Sie bei drei Dämpfungsströmen (I d = 0, 20 A; 0, 60 A und 1, 00 A) jeweils möglichst viele aufeinanderfolgende Amplituden ϕ n der abklingenden Schwingungen und nehmen Sie zu jedem I d auch die Schwingungsdauer T auf. Ermitteln Sie aus diesen Messungen Λ und τ und überprüfen Sie Gleichung 1 anhand Ihrer Eintragungen in Tabelle Aperiodischer Grenzfall Suchen Sie den Magnetstrom I d, bei dem die Dämpfung gerade den aperiodischen Grenzfall ergibt Geschwindigkeitsverlauf Nehmen Sie mit Hilfe des Tachymeters auf dem Schreiber den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit des gedämpft schwingenden Rades auf und zwar für I d = 0 A; 0, 50 A; 1, 00 A; 1, 5 A und 2, 0 A. Welche Abklingzeit ergibt sich hier alleine aufgrund der Dämpfung durch das Tachymeter? 6

7 2.3 Messungen am fremderregten gedämpften System Eichung der Motorfrequenz Ermitteln Sie den Zusammenhang zwischen der Motorspannung U M und der Erregerfrequenz f e (Messung der Zeitdauer für jeweils 10 Umdrehungen bei 7 Motorspannungen im Bereich 2, 0 V U M 14, 0 V). Passen Sie an die Messwerte eine Gerade an, die es erlaubt, jedem Wert von U M den entsprechenden Wert von f e zuzuordnen Resonanzkurven Abbildung 2: Skizze zur Halbwertsbreite einer Funktion, Quelle: [Nor06] Nehmen Sie bei kleinster Erregeramplitude mit I d = 0, 2 A und I d = 0, 6 A Amplitudenresonanzkurven ϕ = f (f ) auf und vergleichen Sie die gefundenen Kurven hinsichtlich Resonanzüberhöhung ϕ max ϕ 0 ( ) mit ϕ 0 := lim ϕ, fe 0 Halbwertsbreite ( f : Bereich zwischen ϕ 1,2 = ϕ max / 2, siehe Abb. 2) und Lage des Maximums f max Geschwindigkeitsresonanz Untersuchen Sie mit Hilfe des Tachymeters und des Schreibers die Geschwindigkeitsresonanz im Frequenzbereich 0, 5 f 1, 5 bei den Dämpfungsstromstärken I d = 0 A; 0, 4 A; 0, 6 A und 1, 2 A. Stellen Sie dazu die maximale Erregeramplitude ein. Diskutieren Sie auch die hier resultierenden Kurven ϕ = f (f ) hinsichtlich ϕ 0 := lim ϕ, f 0 Halbwertsbreite und Lage des Maximums Phasenverschiebung Skizzieren Sie qualitativ die Phasenverschiebung zwischen Erreger und Resonator als Funktion von f für sehr schwache, mittlere und sehr starke Dämpfung. Literatur [Mes04] Meschede, Dieter: Gehrtsen Physik. Springer Verlag, 2004, ISBN

8 [Nor06] Nordmann, Arne: Halbwertsbreite einer Funktion, http: //commons.wikimedia.org/wiki/image:halbwertsbreite.png, Stand: , Lizenz: GFDL. [Tip94] Tipler, Paul A.: Physik. Spektrum Verlag, 1994, ISBN