D. Ulmet IT 4 Blatt 5 Stochastik I SS 2005

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1 D. Ulmet IT 4 Blatt 5 Stochastik I SS 2005 Aufgabe 1: Von den Ereignissen A, B und C trete a) nur A ein, b) genau eines ein, c) höchstens eines ein, d) mindestens eines ein, e) mindestens eines nicht ein, f) keines ein. Drücken sie diese Ereignisse mittels A, B und C aus. Aufgabe 2: Zwei Personen verabreden, sich an einem bestimmten Ort zwischen 2 und 3 Uhr nachmittags zu treffen, wobei jeder nur 20 Minuten warten und dann weggehen soll. Spätestens um 3 Uhr verläßt jeder unabhängig von seiner Ankunftszeit den Ort. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sie sich treffen. Aufgabe 3: a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheinen beim Wurf zweier idealer Würfel zwei aufeinanderfolgende Zahlen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man beim Wurf mit drei Würfeln lauter verschiedene Augenzahlen? c) Drei Würfel werden geworfen. Welches der beiden Ereignisse ist wahrscheinlicher, Augensumme 11 oder Augensumme 12? Aufgabe 4: Ein Speiselokal bietet 4 Vorspeisen, 8 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen an. Wie viele Möglichkeiten hat ein Gast beim Zusammenstellen eines vollständigen Menüs? Aufgabe 5: Wie viele Permutationen der Elemente {1,, 2,..., 8} beginnen a) mit 5, b) mit 123, c) mit 8642? Aufgabe 6: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Verteilen der Skatkarten a) Spieler A 4 Buben erhält, b) Spieler A 3 Buben und 2 Asse erhält? Aufgabe 7: Ein Skatspiel sei gut gemischt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen die 4 Asse nebeneinander?

2 D. Ulmet IT 4 Blatt 6 Stochastik II SS 2005 Aufgabe 1: Die 11 Buchstaben des Wortes Mississippi werden durcheinander gebracht und dann willkürlich aneinandergereiht. a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 4 i in der sich ergebenden Anordnung aufeinander folgen? b) Es sei bekannt, daá die Anordnung mit M beginnt und mit s endet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit folgen dann die 4 i aufeinander? ss c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit folgen die 4 i aufeinander, wenn bekannt ist, daá die 2 p aufeinander folgen? Aufgabe 2: Gegeben ist eine Urne mit 6 Losen mit den Nummern 1, 2,...,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in natürlicher Reihenfolge gezogen werden? Aufgabe 3: Das Morsealphabet besteht aus den Zeichen. und -. Wie viele verschiedene Zeichen können dargestellt werden, wenn festgelegt wird, daß ein Zeichen höchstens aus 5 Elementen (. oder - ) bestehen darf? Aufgabe 4: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von k Studenten mindestens zwei am gleichen Tag gemeinsam ihren Geburtstag feiern können. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für k = 10,, 15, 20, 22, 23, 25, 30, 40, 50. Aufgabe 5: In einer Urne seien 5 Lose a, b, c, d und e. Ein Spieler zieht nacheinander 3 Lose. Zieht er a, b, c in dieser Reihenfolge, so gewinnt er 50 DM. Sonst muss er 1 DM bezahlen. Ist dies ein faires Spiel? Was ändert sich, wenn er gewinnt, falls er a, b, c in beliebiger Reihenfolge zieht? Aufgabe 6: Wie groá ist im Lotto (6 aus 49, Zusatzzahl nicht berücksichtigt) die Gewinnwahrscheinlichkeit für 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 Richtige? Was ändert sich für den Rang 5, wenn das Unterscheidungskriterium mit oder ohne Zusatzzahl berücksichtigt wird? Aufgabe 7: N Stäbe werden je in ein langes und ein kurzes Stück zerbrochen. Die entstehenden 2N Stücke werden zufällig wieder zu N Paaren zusammengefügt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) dabei jedes Stück wieder mit dem zu ihm gehörigen Ergänzungsstück vereinigt wird? b) jedes lange Stück mit einem kurzen Stück vereinigt wird?

3 D. Ulmet IT 4 Blatt 7 Stochastik III SS 2005 Aufgabe 1: a) Wie viele kürzeste Wege gibt es im skizzierten Straßennetz von A nach B? b) Wie viele davon führen über C? A C B Aufgabe 2: Aus einem Skatspiel wird willkürlich eine Karte gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es wenigstens eine Herz- oder As- Karte? Aufgabe 3: Ein Basketballspieler trifft bei jedem Wurf mit 80% Wahrscheinlichkeit in den Korb. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er bei zwei Würfen a) zweimal? b) mindestens einmal? Aufgabe 4: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem idealen Würfel a) in zwei Würfen zuerst eine 1 und dann eine 6, b) in zwei Würfen eine 1 und eine 6, c) in zwei Würfen eine Gerade und dann eine ungerade Zahl, d) in drei Würfen zuerst eine gerade Zahl und dann zweimal eine 1 zu werfen? Aufgabe 5: Drei Gruppen bearbeiten unabhängig voneinander ein Problem mit den Erfolgswahrscheinlichkeiten p(a) = 0, 5, p(b) = 0, 25, p(c) = 0, 4 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Gruppe erfolgreich ist? Aufgabe 6: Wieviele Würfel müssen ausgespielt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu erhalten, größer ist als 0,8? Aufgabe 7: Aus Statistiken weiß man, dass von Kindern, die das 10. Lebensjahr erreicht haben, im Mittel das 40. Lebensjahr und das 70. Lebensjahr erleben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 40-jährigen das 70. Lebensjahr zu erreichen? Aufgabe 8: Bei einer Abnahmekontrolle werden aus 50 Sicherungen 5 zufällig ohne Zurücklegen herausgegriffen; sind alle 5 einwandfrei, so wird die Sendung angenommen, sonst nicht.s Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Sendung angenommen wird, obwohl sie 20% Ausschuss enthält?

4 D. Ulmet IT 4 Blatt 8 Stochastik IV SS 2005 Aufgabe 1: a) Ein Signal wird über drei hintereinander geschaltete Bauelemente übertragen. Die Elemente E 1, E 2, E 3 arbeiten unabhängig voneinander ohne Ausfall mit den Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2, p 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daá die Schaltung ausfällt? b) Ein Signal wird aus Sicherheitsgründen über drei parallel geschaltete Elemente (derselben Zuverlässigkeit p 1, p 2, p 3 wie in a) ) übertragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Element das Signal weiterleitet und dadurch die Schaltung nicht ausfällt? Zahlenwerte: p 1 = 0, 8 p 2 = 0, 9 p 3 = 0, 7 Aufgabe 2: Vier Elemente E 1... E 4, die mit den Wahrscheinlichkeiten p 1... p 4 unabhängig voneinander arbeiten, werden auf zwei verschiedene Arten zu einem System zusammengebaut. Wie groß ist jeweils die Zuverlässigkeit des Systems, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System nicht ausfällt? Zahlenwerte: p 1 = p 2 = 0, 9 p 3 = p 4 = 0, 85 E a) b) E 1 E 3 E 1 E 3 E 2 E 4 E 2 E 4 Aufgabe 3: Ein Wanderer startet im Punkt O und entscheidet sich an jeder Kreuzung völlig zufällig für eine der möglichen Richtungen (nicht zurück). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daá er im angegebenen Straßennetz den Punkt A erreicht? O A Aufgabe 4: In drei Fabriken werden Glühlampen hegestellt: Werk A liefert 25%. Werk B 35% und Werk C 40% der Gesamtproduktion. Im Mittel sind 5% der in A, 4% der in B und 2% der in C hergestellten Lampen Ausschuß. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Kauf einer Glühlampe ein fehlerhaftes Exemplar zu erhalten? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß diese fehlerhafte Lampe aus Werk A (B, C) stammt?

5 D. Ulmet IT 4 Blatt 9 Stochastik V SS 2005 Aufgabe 1: Eine Urne enthalte 4 blaue, 3 rote und 2 gelbe Kugeln. Mit welche Wahrscheinlichkeit erhält man beim Ziehen ohne Zurücklegen a) im 2. Zug eine gelbe Kugel, wenn man im 1. Zug keine gelbe Kugel erhalten hat, b) im 2. Zug keine blaue Kugel, c) In 2 Versuchen mindestens eine rote Kugel, d) in 2 Versuchen genau eine rote Kugel? Aufgabe 2: Aus einem Skatspiel wird eine Karte gezogen. Man betrachtet die Ereignisse: Die gezogene Karte ist A... ein As, R... rot, C... ein Karo-As, Z... eine Zehn. Man untersuche, ob die folgenden Ereignisse stochastisch unabhängig sind: a) A und R b) A und C c) R und C d) R und Z e) C und Z Aufgabe 3: a) Eine ideale Münze wird fünfmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau dreimal Wappen erscheint? b) Durch Beobachtungen über einen längeren Zeitraum stellte man fest, dass von 1000 Neugeborenen im Mittel 515 Knaben sind. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Familie mit 6 Kindern mindestens 4 Knaben sind? c) Von 1000 Werkstücken einer Fabrik seien im Mittel 920 fehlerfrei. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 10 Werkstücken mindestens 9 fehlerfrei sind? Aufgabe 4: 5 Arbeiter, die unabhängig arbeiten, benötigen Strom, und zwar jeweils im Mittel etwa 12 Miniten pro Stunde. Genügt es, die Stromversorgung so einzurichten, dass 3 Arbeiter gleichzeitig Strom entnehmnen können oder entstehen Wartezeiten dadurch, dass mehr als 3 Arbeiter gleichzeitig Strom entnehmen wollen? Aufgabe 5: Ein Medikament M heile jeden an der Krankheit K leidenden Patienten mit der Wahrscheinlichkeit 0,6. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 10 Patienten durch M a 1 ) genau 6 a 2 ) mindestens 6 a 3 ) weniger als 3 geheilt werden? b) Wird eine an K leidende Person mit dem Medikament M behandelt, so tritt mit Wahrscheinlichkeit 0,2 eine Nebenwirkung ein; mit Wahrscheinlichkeit 0,48 wird der Patient durch M ohne Nebenwirkung geheilt. Sind die Ereignisse Der Patient wird durch M geheilt und Beim Patienten tritt durch M eine Nebenwirkung ein stochastisch unabhängig?

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