Basisinformationstechnologie I
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- Eva Hermann
- vor 6 Jahren
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1 Basisinformationstechnologie I Wintersemester 2012/ Oktober 2012 Grundlagen III Universität zu Köln. Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Jan G. Wieners // jan.wieners@uni-koeln.de
2 Themenüberblick Grundlagen III Zahlensysteme Dezimalsystem (Oktalsystem) Hexadezimalsystem Binärsystem Darstellung ganzer Zahlen: Vorzeichendarstellung Zweierkomplementdarstellung Rechnen im Binärsystem (Fest- und Gleitpunktdarstellung) (IEEE 754: Single- / Double Precision)
3 Zahlensysteme
4 Zahlensysteme Was stellt die folgende Zeichenfolge dar? 1 0 0
5 Zahlensysteme Die Binärzahl 100 stellt die Dezimalzahl 4 dar. Die Dezimalzahl 100 stellt die Dezimalzahl 100 dar. Die Hexadezimalzahl 100 stellt die Dezimalzahl 256 dar.
6 Zahlensysteme Dezimalsystem 10 Symbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Binärsystem 2 Symbole: 0, 1 Hexadezimalsystem 16 ( Hexa ) Symbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F [ ]
7 Zahlensysteme Babylonisches Zahlensystem: Sexagesimalsystem Stellenwertsystem zur Basis 60
8 Dezimaldarstellung Die Ziffern einer Dezimalzahl stellen die Koeffizienten von Zehnerpotenzen dar: Beispiele: 2351 = 2*10³ + 3*10² + 5* *10 0 = 2* * *10 + 1*1 = = 1* *10 0 = = 15
9 Binärdarstellung Im Binärsystem stehen zur Codierung der Zahlen nur die Ziffern 0 und 1 zur Verfügung. Die Ziffern der Binärzahl stellen die Koeffizienten der Potenzen von 2 dar: = 1* *2³ + 1*2² + 1* *2 0 = 1*16 + 1*4 + 1*2 + 1*1 = 23
10 Hexadezimaldarstellung Im Hexadezimalsystem stehen zur Codierung von Zahlen die sechzehn (Hexa+Dezi) Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F zur Verfügung Die ersten 16 Zahlen des Binärsystems (4 Bit) im Hexadezimalsystem: 0000=0, 0001=1, 0010=2, 0011=3 0100=4, 0101=5, 0110=6, 0111=7 1000=8, 1001=9, 1010=10 (A), 1011=11 (B), 1100=12 (C), 1101=13 (D), 1110=14 (E), 1111=15 (F)
11 Hexadezimalsystem Die Ziffern der Zahl im Hexadezimalsystem stellen die Koeffizienten der Potenzen von 16 dar. Beispiele: 109 (im Hexadezimalsystem) => 9* * *16 2 = = 265 (im Dezimalsystem) AFFE = A*16 3 +F*16 2 +F*16 1 +E*16 0 = 10* *256+15*16+14*1 = 45054
12 Zahlensysteme Um die Verwirrung gering zu halten: Zahlensystem angeben als Index: Dezimalsystem Binärsystem Hexadezimalsystem Oktalsystem
13 Zahlensysteme: Umwandlung
14 Umwandlung Binärsystem Dezimalsystem Zur Umwandlung: Multiplikation der entsprechenden Ziffern mit den Zweierpotenzen: = 1* *2³ + 1*2² + 1* *2 0 = 1*16 + 1*4 + 1*2 + 1*1 = 23
15 Übung: Binärzahl Dezimalzahl Blatt I, Aufgabe => welcher Zahl im Dezimalsystem? => welcher Zahl im Dezimalsystem? => welcher Zahl im Dezimalsystem?
16 Übung: Binärzahl Dezimalzahl Lösung Blatt I, Aufgabe = 1* * *2² + 1* *2 4 = = = 0* * *2² + 1* *2 4 = = =
17 Umwandlung Dezimal Binärsystem Eine Dezimalzahl lässt sich über die Division durch 2 und Aufschreiben der Reste in eine Binärzahl umwandeln. Beispiel: Die Zahl soll ins Binärsystem umgewandelt werden 76 / 2 = 38; Rest 0 38 / 2 = 19; Rest 0 19 / 2 = 9; Rest 1 9 / 2 = 4; Rest 1 4 / 2 = 2; Rest 0 2 / 2 = 1; Rest 0 1 / 2 = 0; Rest
18 Umwandlung Dezimal Binärsystem 5 10 =? 2 5 / 2 = 2; Rest 1 2 / 2 = 1; Rest 0 1 / 2 = 0; Rest
19 Übungen (Blatt I, Aufgabe 1) =? =? =? 2
20 Lösungen
21 Umwandlung Dezimal Binärsystem =? 2 35 / 2 = 17; Rest 1 17 / 2 = 8; Rest 1 8 / 2 = 4; Rest 0 4 / 2 = 2; Rest 0 2 / 2 = 1; Rest 0 1 / 2 = 0; Rest
22 Umwandlung Dezimal Binärsystem =? / 2 = 63; Rest 1 63 / 2 = 31; Rest 1 31 / 2 = 15; Rest 1 15 / 2 = 7; Rest 1 7 / 2 = 3; Rest 1 3 / 2 = 1; Rest 1 1 / 2 = 0; Rest
23 Umwandlung Dezimal Binärsystem =? / 2 = 64; Rest 0 64 / 2 = 32; Rest 0 32 / 2 = 16; Rest 0 16 / 2 = 8; Rest 0 8 / 2 = 4; Rest 0 4 / 2 = 2; Rest 0 2 / 2 = 1; Rest 0 1 / 2 = 0; Rest
24 Umwandlung Hexadezimalsystem Dezimalsystem Zur Umwandlung: Multiplikation der entsprechenden Ziffern mit den Potenzen von 16: AFFE = A*16 3 +F*16 2 +F*16 1 +E*16 0 = 10* *256+15*16+14*1 = 45054
25 Umwandlung Dezimal Hexadezimalsystem Eine Dezimalzahl lässt sich über die Division durch die Basis 16 und Aufschreiben der Reste in eine Hexadezimalzahl umwandeln. Beispiel: Die Zahl soll ins Hexadezimalsystem umgewandelt werden / 16 = 3016 Rest : 11 B 3016 / 16 = 188 Rest: / 16 = 11 Rest: 12 C 11 / 16 = 0; Rest : B 0 / 16 = 0; Rest: 0 0 B C 8 B
26 Übungen =? =? =? 16
27 Lösungen
28 Umwandlung Dezimal Hexadezimalsystem 16 / 16 = 1 Rest : / 16 = 0 Rest: 1 1 0
29 Umwandlung Dezimal Hexadezimalsystem 64 / 16 = 4 Rest : / 16 = 0 Rest: 4 4 0
30 Umwandlung Dezimal Hexadezimalsystem 127 / 16 = 7 Rest : 15 F 7 / 16 = 0 Rest: 7 7 F
31 Zwischenstand Zahlensysteme Hexadezimal- Dezimal- Binärsystem Umwandlung vom Dezimal- ins Binärsystem Binärsystem ins Dezimalsystem Dezimal- ins Hexadezimalsystem Hexadezimal- ins Dezimalsystem Vorzeichenlose Zahlen ToDo: Binärsystem: Darstellung ganzer Zahlen, d.h. negativer Zahlen Rechnen im Binärsystem
32 Zahlendarstellung
33 Binärdarstellung ganzer Zahlen Wie darstellen? Möglichkeit I: MSB (Most Significant Bit, d.h.: erstes Bit) zur Kennzeichnung verwenden MSB == 0, dann positive Zahl MSB == 1, dann negative Zahl Probleme? 0000 = = = = = = = = = = = = = = = = -7
34 Binärdarstellung ganzer Zahlen Probleme! 0 zweimal codiert Rechnen verkompliziert 0000 = = = = = = = = = = = = = = = = -7
35 Zweierkomplementdarstellung
36 Standardformate für ganze Zahlen Größe Java C++ Wertebereich 8 Bit byte char oder Bit short int/short 32 Bit int int/long oder oder
37 Zweierkomplementdarstellung = = = = = = = = = = = = = = = = 7 Darstellbarer Zahlenbereich: -2 N-1 bis 2 N-1-1
38 Zweierkomplement: Umrechnung Umwandlung 6 10 in : Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110 Schritt I: Einerkomplement bilden, d.h. Negation aller Bits 1001 Schritt II: Addition von 1 Additionsregeln!
39 Rechnen im Binärsystem: Addition Additionsregeln = = = = 0 mit 1 Übertrag Übertrag = 1 + Übertrag Übertrag + Übertrag = (4x1)
40 Übungsaufgaben Addition (Blatt 1, Aufgabe 3)
41 Zweierkomplement: Umrechnung Umwandlung 6 10 in : Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110 Schritt I: Einerkomplement bilden, d.h. Negation aller Bits 1001 Schritt II: Addition von = ist die Entsprechung von im Binärsystem (unter Verwendung der Zweierkomplementdarstellung) 1000 = = = = = = = = = = = = = = = = 7
42 Übungsaufgaben Zweierkomplement Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst größeres Nibble (wg. Wertebereich) Welche Binärzahl (Stichw. Zweierkomplement) entspricht der Dezimalzahl -15? Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45? Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17?
43 Übungsaufgaben Zweierkomplement = Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 1111 = Einerkomplement bilden: Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: =
44 Übungsaufgaben Zweierkomplement Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst größeres Nibble (wg. Wertebereich) Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45? Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17?
45 Übungsaufgaben Zweierkomplement = Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: = Einerkomplement bilden: Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: =
46 Übungsaufgaben Zweierkomplement = Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: = Einerkomplement bilden: Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: =
47 Rechnen im Binärsystem
48 Subtraktion: Addition von Zweierkomplementzahlen Subtraktion = Addition der zu subtrahierenden Zahl: = 13 + (-15) = -2 Im Binärsystem: = ( ) Zweierkomplementdarst. von Führendes Bit == 1: Negative Zahl Da negative Zahl: Wieder umwandeln, um Betrag zu bestimmen: Einerkomplement von 1110 = 0001 Zweierkomplement von 1110 = 0010 = (-)2 10
49 Übungsaufgaben (Aufgabe 5) Berechnen Sie im Binärsystem unter Verwendung des Zweierkomplements:
50 Übungsaufgaben Berechnen Sie: /2=6, Rest 1 5/2=2, Rest 1 6/2 =3, Rest 0 2/2=1, Rest 0 3/2 =1, Rest 1 1/2=0, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 13 = = 101 = Einerkomplement: Zweierkomplement: Zahl ist positiv (MSB==0) Die führende 1, die aus der Addition ad infinitum resultiert, überschreitet den Wertebereich und wird gestrichen 13-5=1000=8
51 Übungsaufgaben Berechnen Sie: =11+(-7) 11/2=5, Rest 1 7/2=3, Rest 1 5/2 =2, Rest 1 3/2=1, Rest 1 2/2 =1, Rest 0 1/2=0, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 11= =111= Einerkomplement: Zweierkomplement: Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0100 = 4
52 Übungsaufgaben Berechnen Sie: /2=6, Rest 0 6/2 =3, Rest 0 3/2 =1, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 12= = Einerkomplement: Zweierkomplement: Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0001 = 1
53 Übungsaufgaben Berechnen Sie: 3-12 =3+(-12) 3/2=1, Rest 1 12/2=6, Rest 0 1/2 =0, Rest 1 6/2=3, Rest 0 3/2=1, Rest 1 1/2=0, Rest 1 3= = Einerkomplement: Zweierkomplement: Einerkomplement: ; Zweierkomplement: =1001=-9
54 Übungsaufgaben Berechnen Sie: =127+(-50) 127= = Einerkomplement: Zweierkomplement: Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = = 77
55 Multiplikation im Binärsystem
56 Rechnen im Binärsystem: Multiplikation Bei jeder 1 auf der rechten Seite (von links nach rechts): Vollständige Zahl der linken Seite notieren. Bei jeder 0: Nullen notieren. Beispiel: (47) 10 * (17) 10 = (101111) 2 * (10001) *
57 Übungsaufgaben Multiplikation Berechnen Sie im Binärsystem: 17*3 23*15 4*7
58 Übungsaufgaben Multiplikation 17*3 =? 10001* = 51
59 Übungsaufgaben Multiplikation 23*15 =? 10111* = 345
60 Übungsaufgaben Multiplikation 4*7 =? 100* =28
61 Zwischenstand Zahlensysteme Hexadezimal- Dezimal- Binärsystem Umwandlung vom Dezimal- ins Binärsystem Binärsystem ins Dezimalsystem Dezimal- ins Hexadezimalsystem Hexadezimal- ins Dezimalsystem Vorzeichenlose Zahlen Binärsystem: Darstellung ganzer Zahlen, d.h. negativer Zahlen Zweierkomplementdarstellung Rechnen im Binärsystem Addition Subtraktion (Addition der negativen Zahl) Multiplikation Division Wer sich dafür interessiert: Reelle Zahlen IEEE 754
62 /
63 Hausaufgaben Aufgabe 1 Welcher Zahlenbereich der natürlichen Zahlen lässt sich mit einer Bitfolge der Länge N=13 (unsigned, vorzeichenlos) darstellen? Nennen Sie bitte auch die kleinste und die größte darstellbare Zahl. Aufgabe 2 Wandeln Sie die Dezimalzahl 375 in eine Binärzahl um. Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Binärzahl anschließend wieder zurück konvertieren.
64 Hausaufgaben Aufgabe 3 Berechnen Sie im Binärsystem (ggf. unter Verwendung des Zweierkomplementes): * 23 Aufgabe 4 Beschreiben Sie zwei Möglichkeiten zur Darstellung ganzer Zahlen und stellen sie (-23) 10 mit beiden Möglichkeiten als Binärzahl dar. Welche Vorteile oder Nachteile haben die Möglichkeiten jeweils?
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