2. Formulieren von Hypothesen. Nullhypothese: H 0 : µ = 0 Gerät exakt geeicht

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1 43 Signifikanztests Beispiel zum Gauß-Test Bei einer Serienfertigung eines bestimmten Typs von Messgeräten werden vor der Auslieferung eines jeden Gerätes 10 Kontrollmessungen durchgeführt um festzustellen, ob das Gerät korrekt geeicht ist Dabei liegt es in der Natur dieses Messvorganges, dass der tatsächliche Wert nur bis auf einen zufälligen Messfehler bestimmt werden kann Die Varianz dieses Messfehlers betrage σ = 0, 1 Wie soll der Gütekontrolleur entscheiden? Wann soll er ein Gerät zur Auslieferung freigeben, wann soll er es zur Nachbesserung in die Eichabteilung zurückschicken? Vorgehen: 1 Stochastisches Modell, mit Modellannahmen (die ggf ebenfalls getestet werden können bzw sollten): Die Zufallsvariable X beschreibe den Fehler eines Messvorganges, der sich zusammensetzt aus dem (nicht zufälligen) Eichfehler µ des kontrollierten Gerätes und dem (zufälligen) Fehler der Messung X sei normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz) Also X N(µ; 0, 1), µ unbekannt 1

2 Formulieren von Hypothesen Nullhypothese: H 0 : µ = 0 Gerät exakt geeicht Alternativhypothese: hier: zweiseitige Alternative H A : µ 0 Gerät schlecht geeicht 3 Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit, Signifikanzniveau: α Üblich: Werte zwischen 0,1 und 0,005 z B: α = 0, 05, α = 0, 01 Wir wählen α = 0, 05 4 Aufstellen einer Testgröße T T = X µ 0 σ n hier: µ 0 = 0, σ = 0, 1, n = 10 Wenn H 0 richtig ist, dann gilt T N(0; 1) allgemein: H 0 und T sind so zu wählen, dass die Verteilung von T unter der Annahme, dass H 0 gilt, bekannt ist

3 5 Festlegen des Ablehnungsbereiches, kritischer Bereich K (bzw K α ) Gilt H 0, so sollte die konkrete Stichprobe einen Wert der Testgröße in der Nähe von 0 ergeben Also Ablehnung von H 0, wenn der Wert weit weg von 0 liegt ( in Richtung auf H A ) K wird so gewählt, dass eine wahre Nullhypothese nur mit Wahrscheinlichkeit α abgelehnt wird P µ0 ( T K α ) = α Im Beispiel interessant, ob für das kontrollierte Gerät µ 0 oder µ = 0, deshalb zweiseitigen kritischen Bereich wählen: K α = (, z α/ ) ( z 1 α/, ) Bei Werten von T K α wird H 0 abgelehnt und das Gerät zur Nachjustierung zurückgeschickt: Die Messergebnisse weichen signifikant vom exakten Wert ab Aber: Auch für ein exakt geeichtes Gerät kann T einen Wert in K α annehmen Das passiert aber nur mit einer Wahrscheinlichkeit von (höchstens) α = 0, 05 z 0,05 = 1, 96, z 0,975 = 1, 96 K 0,05 = (, 1, 96 ) ( 1, 96, ) 3

4 Entscheidungsregel: Weicht für ein Gerät der Wert t = x 0, 1 10 = x 0,1 10 = 10 x, betragsmäßig um mehr als 1,96 von Null ab, so wird das Gerät zurückgewiesen (also wenn x > 0, 196) Anderenfalls ist auf der Grundlage der Stichprobe (zehn konkrete Messwerte) gegen die Nullhypothese µ = 0 (Gerät io) nichts einzuwenden Mögliche Fehlentscheidungen beim Testen: Fehler erster Art: Eine wahre Nullhypothese wird abgelehnt Im Beispiel: Ein exakt geeichtes Gerät wird zurückgewiesen Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist gleich α Fehler zweiter Art: Eine falsche Nullhypothese wird nicht abgelehnt Im Beispiel: Fehlgeeichtes Gerät wird verkauft Die Wahrscheinlichkeit hierfür im Allgemeinen nur sehr schwierig oder gar nicht bestimmbar (weil die Verteilung dann nicht bekannt ist) Hängt im Beispiel davon ab, um wieviel die Eichung falsch ist Problem: Reduziert man die Wkt für Fehler erster Art (durch kleineres α) vergrößert sich die Wkt für Fehler zweiter Art und umgekehrt (in welchem Maße das geschieht, ist im Allgemeinen unbekannt) sehr kleines α nur zurückweisen, wenn man sich sehr sicher ist, dass Gerät fehlgeeicht Dann hat man mehr Reklamationen = Fehler Art 4

5 Gauß-Test Anliegen: Überprüfen von Hypothesen über den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen (ein Mittelwert in der Grundmenge, Population), parametrischer Test Voraussetzung : X N(µ; σ ), σ bekannt Hypothese: H 0 : µ = µ 0 Testgröße: T = X µ 0 σ n Ablehnung von H 0, falls bei zweiseitiger Alternative H A : µ µ 0 t > z 1 α einseitiger Alternative H A : µ < µ 0 t < z 1 α H A : µ > µ 0 t > z 1 α 5

6 Wichtige Verteilungen in der Statistik Verteilung Beispiel (Vor: Normalvert Grundgesamtheiten) t-vert X µ S n Quotient aus unabh NV-ZV und χ -verteilter ZV χ -Vert S Quadrate normalvert ZV F -Vert S 1 S Quotienten unabh χ -vert ZV 6

7 Ist die Aufgabenstellung wie zuvor, aber σ unbekannt, so benutzt man die Testgröße T = X µ 0 S n T ist dann t - verteilt mit n 1 Freiheitsgraden Einfacher t -Test Anliegen: Überprüfen von Hypothesen über den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen (ein Mittelwert in der Grundmenge, Population), parametrischer Test Voraussetzung X N(µ; σ ) oder großer Stichprobenumfang (n 30) Hypothese: H 0 : µ = µ 0, Testgröße T = X µ 0 n S Ablehnung von H 0, falls bei H A : µ µ 0 t > t n 1,1 α, H A : µ > µ 0 t > t n 1,1 α, H A : µ < µ 0 t < t n 1,1 α 7

8 Beispiel: alles wie oben, aber σ unbekannt Wir nehmen an, dass x = 0, und s = 0, 1 aus 10 Kontrollmessungen für ein Gerät geschätzt wurden Dann: t = 0, 0 0, 1 10 =, 0 t 10 1, 1 0,05/ = t 9, 0,975 =, 6 keine Ablehnung von H 0 Bemerkung: Beim Gauß Test hätte ein Mittelwert von 0, für eine Zurückweisung des Gerätes genügt Interpretation! 8

9 Im Unterschied zur Handrechnung ist das Vorgehen bei der Durchführung von Tests am Computer etwas anders Handrechnung : t α/ > K K α/ α/ > K t K α/ H 0 ablehnen H 0 nicht ablehnen Am Computer: Sig/ Sig/ Sig/ Sig/ > t > t Computer liefert Sig = Signifikanz, p-wert, die Wahrscheinlichkeit, dass die Testgröße unter H 0 solche und noch untypischere, extremere Werte als das konkrete t annimmt (Vorsicht: einseitige oder zweiseitige Sig) Vergleich mit dem vorgegebenen α: Sig < α H 0 ablehnen Sig > α H 0 nicht ablehnen 9

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