3 PARAMETERSCHÄTZUNG: GENAUIGKEIT UND SICHERHEIT

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1 39 3 PARAMETERSCHÄTZUNG: GENAUIGKEIT UND SICHERHEIT Lerzele: - Aus Stchprobewerte de Varato ees quattatve Merkmals durch ee Häufgketsvertelug (mt bzw. ohe Klassebldug) darstelle köe; - uvarate Statstke (Mttelwert, Stadardabwechug/Varaz, Stadardfehler des Mttelwerts, Modalwert, Quatle, Schefe) aus Stchprobewerte bestmme ud terpretere köe; - de Merkmalsvarato durch e Boplot veraschaulche köe; - edmesoale Stchprobe zetrere ud stadardsere köe; - de Vertelug des Stchprobemttels eer ormalvertelte Zufallsvarable kee ud de praktsche Bedeutug des zetrale Grezwertsatzes agebe köe; - Kofdeztervalle für de Mttelwert ud de Varaz eer ormalvertelte Zufallvarable, für de Erfolgswahrschelchket eer Zwepuktvertelug sowe de Mttelwert der Posso- Vertelug bereche ud terpretere köe; - Qualtätsregelkarte zur Überwachug des Mttelwerts ud der Stadardabwechug ees stetge Merkmals erstelle ud terpretere köe. Grudgesamthet X Wahrschelchketsdchte N(µ, σ ) Zufallsauswahl Zufallsstchprobe,,..., µ σ X Stchrobemttel Stchprobefuktoe Parameterschätzug: Schätzwert Kofdeztervall Stchprobestadardabwechug W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

2 40 3. DATENBESCHREIBUNG BEI EINEM MERKMAL Was st der Zweck der Parameterschätzug? De Merkmalsvarato wrd. Allg. durch Wahrschelchketsverteluge (Wahrschelchketsfuktoe bzw. Dchtefuktoe) mt ubekate Parameter modellert. Für dese Parameter sd - mt Hlfe vo Zufallsstchprobe - Schätzwerte zu ermttel. We beschrebt ma de Merkmalsvarato mt Hlfe eer edmesoale Stchprobe? - durch ee Häufgketsvertelug ohe (bzw. mt) Klassebldug, de Aufschluss gbt über de Wahrschelchketsfukto (Wahrschelchketsdchte) ees dskrete (bzw. stetge) Merkmals; - durch Maßzahle, de markate Egeschafte der Vertelug zum Ausdruck brge. We ermttelt ma ee Häufgketsvertelug ohe Klassebldug? Es se X e quattatves dskretes Merkmal mt k (verschedee) Werte a, a,..., a k. Beobachtug vo X a Utersuchugsehete Stchprobe,,..., Abzähle der Utersuchugsehete mt dem Merkmalswert a ergbt de absolute Häufgket H ; Dvso der absolute Häufgket H durch de Stchprobeumfag ergbt de relatve Häufgket h H /. Bespel 3.: A 40 Eemplare eer Pflaze (Bscutella laevgata) wurde de Azahl X der Zähe des größte Grudblattes bestmmt. Ma stelle de Merkmalsvarato durch ee Häufgketsertelug dar Lösug: De absolute Häufgket der Ausprägug a 0 st H 5, de etsprechede relatve Häufgket h 5/400.5, usw. Alle Auspräguge ud de zugeordete Häufgkete werde der Häufgketstabelle zusammegefasst. Errchtet ma über der Merkmalsachse Stäbe mt de W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

3 4 Häufgkete (z.b. ausgedrückt %) als Läge, erhält ma ee grafsche Darstellug der Vertelug Form ees Stabdagramms. X abs.h. rel.h ,5 3 0, , , ,50 5 0, ,05 40 rel. Häufgk. 40% 30% 0% 0% 0% X (Az. d. Zähe) 40 We ermttelt ma ee Häufgketsvertelug mt Klassebldug? Es se X e stetges Merkmal ud,,..., ee Stchprobe vo X; Zerlegug der Merkmalsachse glech lage, aeadergrezede Itervalle (Klasse) K, K,..., K l Klasseetelug Azahl l der Klasse ud Klassebrete b: l b / ( ) l Klassegreze: Festlegug der utere Greze c der erste Klasse K derart, dass c < m < c + b K [c, c + b); c c + b st de utere Greze der zwete Klasse K [c, c + b); c 3 c + b de utere Greze der drtte Klasse K 3 [c 3, c 3 + b) usw. Abzähle der Utersuchugsehete der Klasse K ergbt de absolute Klassehäufgket H' vo K ( Azahl der Merkmalswerte mt c < c + ); ma beachte: H ' j j! Dvso der absolute Klassehäufgket H' durch de Stchprobeumfag führt zur relatve Klassehäufgket h' H' /; ma beachte: h' j j! Dvso der relatve Klassehäufgket h' durch de Klassebrete b ergbt de Häufgketsdchte d h' /b; Hstogramm: Über jede Klasse K wrd das Rechtecke mt der Brete b ud der Höhe d errchtet (deses Hstogramm heßt flächeormert, wel de gesamte "Hstogrammfläche" st) ma m W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

4 4 Bespel 3.: De folgede Tabelle ethält de Blutgerugszete ( s) vo 30 Probade. Ma beschrebe de Merkmalsvarato tabellarsch ud grafsch durch ee geeget gewählte Häufgketsvertelug.,7 4,0 4,4 5,8 5,9 6,0 6,4 6,6 6,6 6,8 7,0 7,7 7,8 8,0 8,0 8, 8,7 8,7 8,8 9,0 9,0 9,0 30,0 30, 3, 3,8 3,0 33,0 33,7 35,0 Lösug: Azahl der Klasse 30 5, Klassebrete (35,0-,7)/5 3, utere Greze der erste Klasse,5<,7<.5+34,5 (obere Greze der erste Klasse); erste Klasse: Klassemtte(,5+4,5)/3; absolute Klassehäufgket H 3; rel. Klassehäufgket h 3/300.; Häufgketsdchte d 0./30.333; usw. Häufgketstabelle: ob.kl.gr. Kl.Mtte abs.kl.h. rel.kl.h.% H.Dchte % 4, ,00 3,33 7, ,67 8,89 30, ,33 4,44 33, ,33 4,44 36,5 35 6,67, 30 00,00 Hstogramm: 0 Häufgk.Dchte % Blutgerugszet s Was sd de wchtgste Vertelugskewerte (uvarate Statstke)? Es se X e quattatves Merkmal mt de a Utersuchugsehete beobachtete Werte,,..., ; uter de Stchprobewerte gbt es k verschedee Werte, de mt a bezechet werde. W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

5 W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet Lagemaß: (Arthmetscher) Mttelwert: Hwes: Streuugsmaße: Varaz s, Stadardabwechug s: Wozu det der Mttelwert? a) um de "wahre" Wert µ vo X zu schätze (dabe wrd ageomme, dass sch de Messwerte addtv aus dem wahre Wert ud eem regellos um Null streuede Messfehler zusammesetze) b) um de Mttelwert µ vo X zu schätze (dabe wrd ageomme, dass X a sch zufällg varert) Ma beachte: Je größer, desto "besser" de Mttelwertschätzug! ( ) ( ) k k k k k k h a h a h a h a H a H a H a H a L L L ( ) ( ) SQX ξ ξ ξ für m! ) ( b) 0 a) ( ) ( ) ( ) ) ( mt s s h a H a SQX S S s k k

6 44 Stadardfehler (Maß für de Zufallsstreuug des Mttelwerts): SE s Bespel 3.3: (Mttelwert ud Stadardfehler zu Bespel 3.): 40 ( ) [( 0,55) 5 + L + ( 6,55) ], s 39 s,,45 SE, ,3 Hwes: Messergebsse werde oft der Form dargestellt: ± SE,55 ± 0,3,55 Welche wetere Lagemaße fde be der Datebeschrebug Awedug? der Modalwert mod (häufgster Merkmalswert) der kleste ud größte Merkmalswert m bzw. ma das p -Quatl p (0 p < ): uter dem p-quatl eer (quattatve) Stchprobe vom Umfag ka ma sch grob gesproche jee Wert vorstelle, der vo p Stchprobewerte uterschrtte ud vo (-p) Stchprobewerte überschrtte wrd; st p cht gazzahlg, so ehme ma dafür de auf de ächste gaze Zahl gerudete Wert. Im Folgede wrd ee geaue Defto des p-quatls (ämlch jee, de der R-Fuktoe summary oder quatle verwedet wrd) agegebe. We bestmmt ma das p-quatl aus eer Stchprobe? Ee Stchprobe der Varable X umfasse de metrsche Werte,,...,. De Aordug der Stchprobewerte ach aufstegeder Größe führt auf de geordete Stchprobe (), (),..., (). Wr bestmme de Zahl u +(-)p ud daraus de größte gaze Zahl [u] kleer oder W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

7 45 glech u; ferer setze wr v u-[u]. Da st das p-quatl p der Stchprobewerte gegebe durch ( v) ([ u ]) + v([ u ] + ) Soderfälle: p 50% (Meda 0.5 ) p 5% (uteres Quartl 0.5 ) p 75% (oberes Quartl 0.75 ) p Bespel 3.4: Ma bestmme das 5%-, 50%- ud 75%-Quatl für de Stchprobe 8,, 4,, 5, 5, 30. Was ergbt sch, we ma de Stchprobe um de Wert 35 vergrößert? Lösug: a) Stchprobe: 8,, 4,, 5, 5, 30 (7) p0,5: u +(-)p,5; [u], v0,5 0,5 0,5 () +0,5 (3) 3; p0,5: u 4; [u]4, v0 0,5 (4) +0 (5) ; p0,75: u 5,5; [u]5, v0,5 0,75 0,5 (5) +0,5 (6) 5. b) Stchprobe: 8,, 4,, 5, 5, 30, 35 (8) p0,5: u +(-)p,75; [u], v0,75 0,5 0,5 () +0,75 (3) 3,5; p0,5: u 4,5; [u]4, v0,5 0,5 0,5 (4) +0,5 (5) 3,5; p0,75: u 6,5; [u]6, v0,5 0,75 0,75 (6) +0,5 (7) 6,5. Ma beachte: Es gbt mehrere Deftoe für de Quatle; sowohl Ecel als auch z.b. SPSS verwede adere Deftoe! De spezelle Quatle für p 5%, 50% ud 75% heße auch uteres Quartl, Meda bzw. oberes Quartl. Bespel 3.5: a) Ma stelle de Varato der Blutgerugswerte vo Bespel 3. durch e Boplot dar. Lösug: 30; p0,5: u +(-)p8,5; [u]8, v0,5 0,5 0,75 (8) +0,5 (9) 6,6; p0,5: u 5,5; [u]5, v0,5 0,5 0,5 (5) +0,5 (6) 8,05; p0,75: u,75; [u], v0,75 0,75 0,5 () +0,75 (3) 9,75. IQR 075-0,5 3,5. Whsker-Läge,5 IQR 4,75..5 IQR IQR.5 IQR X W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

8 46 b) Ma zege: Für e N(µ, σ )-vertelte Zufallsvarable X st P P( 0.5,5IQR <X< ,5IQR) 99,3%, d.h. jesets der "Whsker-Ede" legede Werte sd uwahrschelch ud daher "ausreßerverdächtg". Lösug: 0,75 µ+z 0,75 σ ; 0,5 µ+z 0,5 σ µ-z 0,75 σ IQR 0,75 0,5 z 0,75 σ ,5IQRµ+4z 0,75 σ ; 0.5,5IQRµ 4z 0,75 σ P P(( 0.5 -,5IQR µ)/σ <(X-µ)/σ < ( ,5IQR-µ)/σ) P( 4z 0,75 <(X-µ)/σ <4z 0,75 ); z 0,75 (Tabelle)0,675 PP(-,7< (X-µ)/σ <,7) Φ(,7)-Φ(-,7) Φ(,7)-(Tabelle) 0,9965-0,993. We beschrebt ma de Asymmetre eer Häufgketsvertelug? Maß für de Asymmetre: Schefe g Das Maß für de Asymmetre heßt Schefe. Schefe g S ( s / ) 3, S 3 ( ) Bespel 3.6: Ma bereche de Schefe der Häufgketsvertelug vo X (Azahl der Zähe des größte Grudblattes) mt de Date vo Bespel 3.. Lösug (Wedergabe der Berechug mt Ecel): X H X*H H*(X-m)^ H*(X-m)^ ,53-8, ,08 -, ,05 -, ,633, ,65 8,9 5 0,005 9,4 6 6,903 4,064 Summe 40 0,0 8,900-5,790 Mttelwert m,55 Stadardsabw. s,449 Schefe g -0,0494 W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

9 47 Hwes: De folgede Grafk zegt de bede grudsätzlch möglche Asymmetretype. Für symmetrsche Verteluge st de Schefe ull. Was versteht ma uter eer zetrerte Stchprobe, was uter eer stadardserte Stchprobe? X X Z Z c S X X s (Zetrere) (Stadardsere) 3. ERMITTLUNG VON SCHÄTZWERTEN FÜR VERTEILUNGS- PARAMETER We schätzt ma de Mttelwert µ eer N(µ, σ )-vertelte Zufallsvarable X? Zur Schätzug vo Vertelugsparameter werde Schätzfuktoe verwedet. Es se X, X,..., X ee Zufallsstchprobe, der de Varable X (,,, ) de Ergebsse vo Beobachtuge ausdrücke. De Schätzug des Mttelwerts eer ormalvertelte Zufallsvarable erfolgt mt Hlfe des Stchprobemttels: X L + ( X + X + ) X W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

10 48 Es glt: X N ( µ, σ ) X N ( µ, σ / ) E[ X ] µ ud Var[ X ud X N( µ, σ / ) für großes (ab 30, Zetraler Grezwertsatz) ] σ E[ X ] µ, Var[ X ] σ / Bespel 3.7: Es see X ee -wertge Zufallsvarable mt P(X ) p, P(X 0) p ud X, X,..., X ee Zufallsstchprobe vo X. Da glt für jedes X : E[X ] p, Var[X ] p(-p). Für große glt darüber haus de Appromato ( X Atel der Wederholuge mt X ): X ( X + X + + X ) N p, L We schätzt ma de Varaz eer N(µ, σ )-vertelte Zufallsvarable X? p( p) Zufallsstchprobe X, X,..., X Stchprobevaraz: S ( ) S σ [( X X ) + ( X X ) + L+ ( X X ) ] d.h. (-)S /σ folgt eer Chquadratvertelug mt f - Frehetsgrade. χ Dchte,6, 0,8 f Dchtekurve der χ -Vertelug 0,4 0 f3 f5 0 3 X W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

11 EIN WENIG THEORIE We Egeschafte solle Schätzfuktoe habe? Schätz(Stchprobe)fukto für de Vertelugsparameter π: π ˆ π ( X, X, K, X ˆ Beurtelug der Güte vo Schätzfuktoe durch mttlere quadratsche Fehler: ) MSE ( E[ ˆ π ) E ˆ π π ) ] Var[ ˆ π ] + ] [( π d.h. MSE Varaz der Schätzfukto + Quadrat der Verzerrug (Bas) Forderuge a "gute" Schätzfuktoe:. Für solle Schätzwerte mt wachseder Wahrschelchket um π kozetrert se; des trfft zu, we de Schätzfukto uverzerrt (erwartugstreu) st.. Varaz soll für gege Null strebe. Bespel 3.8: Das Stchprobemttel ˆ π X ( X + X + K+ X )/ st ee erwartugstreue Schätzfukto für µ, d.h. E [ X ] µ Bas 0. Überdes glt: Var[ X ] σ / 0. ˆ π st ee De Stchprobevaraz S ( X X ) /( ) erwartugstreue Schätzfukto für σ, d.h. E[ S ] σ Bas 0. 4 Überdes glt: Var S ] σ /( ) 0. W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet [ Dagege st S st kee erwartugstreue Schätzfukto für σ. Es glt ämlch: E Γ Γ [ S] k mt k < σ Γ bezechet de Gamma-Fukto mt der Egeschaft Γ(+) Γ() für alle >0. Spezell st Γ() ud Γ(/) π. Z.B.

12 50 ergbt sch damt für 5: k 5 (/ )Γ(5/)/Γ() (/ ) (3/)(/) π 0,94. We kommt ma zu gute Schätzfuktoe? Es see: X ee (dskrete) Zufallsvarable mt der vo dem zu schätzede Parameter π abhägge Wahrschelchketsfukto f( π),,..., ee Zufallsstchprobe vo X Wr blde de so geate Lkelhood-Fukto: L( π ~ π,, K, ) f ( ~ π ) De Lkelhood-Fukto st de Wahrschelchket dafür, dass X de Realsatoe,,..., ammt, we ~ π der Schätzwert für π st. Der Mamum Lkelhood - Schätzer (kurz ML-Schätzer) für π st jees π ~, für das de Lkelhood - Fukto de größte Wert ammt, d.h. de Mamumstelle vo L. Bespel 3.9: X ~ N(µ, σ ) µ ubekat (σ bekat): l L( µ ~ µ,, K l(π ) lσ d L ~ µ d~ l 0 µ, ) ( µ ) ~ / σ Hwese: Be stetge Zufallsvarable trtt a de Stelle der Wahrschelchketsfukto de Wahrschelchketsdchte. De ML-Schätzug des Mttelwertes st glechwertg mt der sogeate Kleste Quadrat-Schätzug (LS-Schätzug: "optmaler" Schätzwert st jeer, der de Summe der Quadrate der Abwechuge der Beobachtugswerte vom Schätzwert mmert) W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

13 5 3.4 INTERVALLSCHÄTZUNG Was sd ud we berechet ma Kofdeztervalle? Wr bezeche als Kofdeztervall für ee ubekate Parameter π eer Vertelug das Itervall [U, O] der Zahlegerade, das de Parameter π mt eer vorgegebee hohe Wahrschelchket -α eschleßt, d.h., P(U π O) -α. Zusätzlch gebe wr de Symmetreforderug vor: P(U > π) P(O < π) α/ We berechet ma e (-α)-kofdeztervall für de Varaz eer N(µ, σ )- vertelte Zufallsvarable? ( ) S χ, α / ( ) S, χ, α / Bespel 3.0: Es se X ormalvertelt mt dem Mttelwert µ ud der Varaz σ. Vo eer Stchprobe se bekat: 30, s Ma bestmme e 95%ges Kofdeztervall (CI) für σ. Lösug: χ 9,0.975 (Tabelle)45,7; χ 9,0.05 (Tabelle)6,05 95%-CI für σ : [5,03; 4,33] 95%-CI für σ: [,4; 3,79]. We berechet ma e (-α)-kofdeztervall für de Mttelwert eer N(µ, σ )- vertelte Zufallsvarable? [ d X + d] X, mt d t, α / S Es st d de halbe Itervallbrete ud t -,-α/ das (-α/)-quatl der t-vertelug mt - Frehetsgrade. W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

14 5 Dchtekurve der t-vertelug: 0,4 N(0,) 0,3 t 5 Dchte 0, 0, t X 3 Bespel 3.: Es se X ormalvertelt mt dem Mttelwert µ ud der Varaz σ. Für de Mttelwert ud de Stadardabwechug vo X wurde mt Hlfe eer Stchprobe vom Umfag 0 de Schätzwerte 5 bzw. 5 bestmmt. Ma bestmme zum Nveau -α 0.95 e Kofdeztervall (CI) für de Mttelwert vo X. Lösug: t 9,0.975 (Tabelle),093; s/,8; d,34 95%-CI für µ: 5 ±.34. Hwes: Für große Stchprobe glt de Appromato (z -α/ (-α/ )-Quatl der N(0,)-Vertelug): [ d X + d] X, mt d z α / S Folgerug: Faustformel für de Mdeststchprobeumfag zur Schätzug ees Mttelwerts mt der vorgegebee Geaugket ±d ud der vorgegebee Scherhet -α : z α / d σ Bespel 3.: Der Mttelwert µ eer N(µ, σ )-vertelte Zufallsvarable soll mt eer Geaugket vo ±0,5 ud eer Scherhet vo 99% bestmmt werde. Vo eer Vorutersuchug se bekat, dass σ,5 st. We groß st zu plae? W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

15 53 Lösug: α0,0 -α/0,995 z 0,995 (Tabelle),58; d0,5; σ,5 39, We berechet ma e (-α)-kofdeztervall für de Parameter p (Wahrschelchhket) eer Zwepuktvertelug? Es se X ee zwestufg skalerte Zufallsvarable mt de Werte ud 0, p P(X ) bzw. q -p P(X0) de Wahrschelchkete, mt dee dese Werte ageomme werde. Ferer see,,..., ee Zufallsstchprobe vom Umfag, m de Azahl der Wederholuge mt ud h m/ der Atel der Wederholuge mt. Da sd de utere ud obere Greze p u bzw. p o ees (-α) - Kofdeztervalls für p gegebe durch (eaktes Pearso/Clopper Itervall): p p u o mf m + + mf ( m + ) F m,( m+ ), α / m + ( m + ) F m,( m+ ), α / ( m+ ),( m), α / ( m+ ),( m), α / De Größe F f, f, α/ ud F f, f, -α/ sd das α/- bzw. (-α/)-quatl der F-Vertelug mt de Frehetsgrade f ud f; Hwes: Ma beachte, dass F f, f, α / F f, f, -α glt. 0,8 F 0,40 Dchtekurve der F-Vertelug Dchte 0,6 0,4 F 5, 0, 0 0 X 3 W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

16 54 Bespel 3.3: Es soll de Erfolgsrate p eer eue Behadlugsmethode, also de Wahrschelchket, dass be eer mt der eue Methode behadelte Perso ee Verbesserug etrtt, geschätzt ud e 95%ges Kofdeztervall für p bestmmt werde. I eer Stude mt 50 Probade erwes sch de eue Methode be m35 Persoe erfolgrech. Lösug: Schätzwert für p35/500,7; Berechug vo p u : F 70,3,0.05 / F 3,70,0.975 /F 30,70,0.975 (Tabelle, Iterpolato) /,7850,56; p u 0,55; Berechug vo p o : F 7,30,0.975 F 60,30,0.975 (Tabelle),94; p o 0,83; de mt de eakte Tabellewerte berechete Itervallgreze sd 0,554 bzw. 0,8. Ma beachte: Be großem ( >0 ud 0 m -0) verwedet ma guter Näherug das appromatve (-α)-kofdeztervall für p: [ h d h + d], mt d z α / h( h) Folgerug: Aus dem appromatve Itervall ergbt sch ee grobe Faustformel für de Mdeststchprobeumfag zur Schätzug eer Wahrschelchket mt der vorgegebee Geaugket ±d ud der vorgegebee Scherhet -α: z d α / Bespel 3.4: De Kemfähgket p vo Blumezwebel (d.h. de Wahrsche-lchket, dass e ausgesetzter Zwebel kemt) soll eem Feldversuch mt der Geaugket ±0, ud der Scherhet -α 0,95 geschätzt werde. Welcher Stchprobeumfag st zu plae? Lösug: d0,; α0,05; -α/0,975; z 0,975,96 (Faustformel) 96, We berechet ma e (-α)-kofdeztervall für de Parameter λ der Posso-Vertelug? Es see X ee Posso-vertelte Zufallsvarable mt dem Parameter λ, d.h. X P λ ud 0,,, de Realseruge vo X. W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

17 55 Da glt: E -setges (-α)-kofdeztervall λ u λ λ o für λ st e Itervall mt der Egeschaft P(λ u λ λ o ) -α; de Itervallgreze sd: λ ud χ λ χ u, α / o +, α / -setge (-α)-kofdeztervalle für λ sd Itervalle der Form λ λ o bzw. λ λ u mt der Egeschaft P(λ λ o ) P(λ λ u ) -α; λ o ud λ u heße obere bzw. utere Vertrauesschrake für λ zur Scherhet -α ud sd zu bereche aus: λ bzw. o χ +, α λu χ, α Bespel 3.5: Nach der ISO-Norm soll eer Alage zur aseptsche Abfüllug be der Prozessüberprüfug mt cht weger als 3000 Ehete der Ausschussatel vo 0,% cht überschrtte werde (Meda fll-forderug). Be eem Prüflauf mt 3000 Ehete wurde ee kotamerte Ehet festgestellt. Ist de Meda fll-forderug erfüllt, we be der Schätzug der Ausschussquote der ugüstgste Wert (d.h. de zu eer vorgegebee Scherhet vo 95% berechete obere Vertrauesschrake) ageomme wrd? Lösug: Es se X de Azahl der Ehete, de vo de sgesamt 3000 abgefüllte Ehete kotamert sd. Appromatv glt: X P λ mt λ p (p st der Ausschussatel, d.h. de Kotamerugsrate). Vo X legt de Realserug vor. Zu bereche st de 95%ge obere Vertrauesschrake λ o für λ. Mt + 4 ud -α 0,95 st χ +,-α χ 4, ,488 λ o χ 4, 0.95/ 4,744. Dvso durch ergbt de Schätzwert pˆ λ o / 0,58% > 0,%. De Meda Fll-Forderug st daher cht erfüllt. W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

18 EXKURS: STATISTISCHE PROZESSREGELUNG I der statstsche Prozesslekug (SPC Statstcal Process Cotroll) erfolgt ee laufede Überwachug ees Fertgugsprozesses hschtlch ees Qualtätsmerkmals X. Zu desem Zweck werde regelmäßg Stchprobe aus dem Prozesses etomme ud mt Hlfe vo Kezahle beurtelt, ob ee Störug des Prozess vorlegt. Zur Dokumetato des Prozessverlaufs werde sogeate Qualtätsregelkarte verwedet. Wr betrachte de Esatz vo Qualtätsregelkarte zur Klärug der Frage, ob e Prozess beherrscht st. Für ee beherrschte Prozess blebt de Vertelug des Qualtätsmerkmals X m Laufe des Prozesses uverädert. We X we wr aehme wolle - ormalvertelt st, bedeutet des, dass de Werte vo X mt eer feste Fehlervaraz σ zufällg um ee feste Mttelwert (dem Fertgugsmttelwert) µ streue. Große oder systematsche ee Rchtug gehede Abwechuge vom Mttelwert deute ee (uerwüschte) Äderug des Mttelwertes ud/oder der Stadardabwechug a, de z.b. durch Störuge der Fertgugsalage bedgt se köe. Zur Überwachug des Mttelwerts µ fdet de -Karte, zur Überwachug der Stadardabwechug σ de s-karte Awedug. Mt dese Karte wrd grudsätzlch ach folgedem Schema gearbetet: Ma etmmt zum Zetpukt t ee Zufallstchprobe vom Umfag (z.b. 5) ud bestmmt damt de Stchprobemttelwert bzw. de Stadardabwechug s. Legt der Stchprobemttelwert (de Stadardabwechug s ) außerhalb des mt der utere ud obere Egrffsgreze gebldete Itervalls [UEG, OEG], wrd der Prozessverlauf als gestört agesehe ud egegrffe. Legt der Stchprobemttelwert (de Stadardabwechug s ) m Itervall [UEG, OEG], wrd der Prozessverlauf als ugestört terpretert ud de Überwachug mt der Etahme eer euerlche Stchprobe zum Zetpukt t fortgesetzt. Zusätzlch zur utere ud obere Egrffgreze ethalte de - ud s- Karte auch och ee utere ud ee obere Wargreze (UWG, OWG). E - oder s- Wert außerhalb der Wargreze (aber och erhalb der Egrffsgreze) st m Allgemee Alass zu erhöhter Aufmerksamket, de sch z.b. eer Verkürzug der Zetpukte zwsche de Stchprobeetahme ausdrückt. W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

19 57 De Egrffsgreze der Mttelwertkarte ( -Karte) werde aus der Forderug P( X < UEG) P( X > OEG) 0,5% bestmmt; daraus ergbt sch UEG ˆ µ z ˆ /, O ˆ ˆ,995σ EG µ + z0, 995σ / 0 aalog werde de Wargreze aus der Forderug P( X < UWG) P( X > OWG),5%, d.h. UWG ˆ µ z ˆ /, OW ˆ ˆ,975σ G µ + z0, 975σ / 0 I dese Formel sd µˆ ud σˆ Schätzwerte für de Fertgugsmttelwert µ ud de Fertgugsstreuug σ, de m Allgemee aus eem Vorlauf mt eer große Azahl vo Stchprobewerte bestmmt werde. Zu desem Zweck werde Zu desem Zweck werde dem Fertgugsprozess 0 bs 30 aufeaderfolgede Zetpukte Stchprobe (jewels vom Umfag ) etomme. De Schätzwert µˆ gewt ma durch Mttelug der Stchprobemttelwerte über de Erhebugszetpukte; aalog wrd σ durch de Mttelwert der Stchprobevaraze geschätzt, de Quadratwurzel deses Mttelwerts st schleßlch der gesuchte Schätzwert σˆ für σ. Nebe de Egrffs- ud Wargreze st der -Karte auch der Schätzwert µˆ für de Fertgugsmttelwert (als Mttelle ML µ µˆ parallel zur Zetachse) egezechet. De Egrffsgreze der s-karte werde aus der Forderug P(S < UEG ) P(S > OEG ) 0,5% bestmmt; daraus ergbt sch ;. UEG ˆ σ χ χ,0.005,0.995, OEG ˆ σ. aalog werde de Wargreze aus der Forderug Forderug P(S < UWG ) P(S > OWG ),5% bestmmt, d.h. UWG ˆ σ χ χ,0.05,0.975, OWG ˆ σ. W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

20 58 Für de Mttelle der s-karte ergbt sch de Lage ML s E[ S] k ˆ σ mt k Γ. Γ Bespel 3.6: Zur Erstellug eer - ud s-karte zur Überwachug des Fertgugsmttelwerts bzw. der Streuug des Durchmessers ees Produktes (Nemaß 4,5mm) werde aus eem Vorlauf 0 Stchprobe vom Umfag 5 aufeaderfolgede Zetpukte der Fertgug etomme ud de gemessee Durchmesser zusamme mt de Mttelwerte ud Varaze dokumetert. Date: Lösug: De Mttelwerte ud Varaze der zu de vorgegebee Zetpukte etommee Zufallsstchprobe sd berets der Datematr begefügt, ebeso der Gesamtmttelwert 4,457 (Mttelwert der Ezelmttelwerte) ud de Gesamtvaraz 0,0644 (Mttelwert der Ezelvaraze); de etsprechede Gesamt- Stadardabwechug st 0,538. Bestmmug der Mttelwertkarte: ML 4,457; z 0,995,576; UEG 4,457,576 0,538/ 5 4,65; OEG 4,749; z 0,975,960; UWG 4,457,96 0,538/ 5 4,35; OWG 4,680. Zetpukt Probe-Durchmesser Mttelwert Varaz 4,46 4,50 4,59 4,35 4,65 4,50 0,036 4,9 4,3 4,39 4,59 4,88 4,68 0, ,36 4,3 5,34 4,47 4,64 4,86 0,47 4 4,97 5,00 4,4 4,9 4,95 4,86 0, ,50 4,69 4,45 4,34 4,4 4,480 0,07 6 4,0 4,35 4,44 3,98 4,56 4,306 0, ,6 4,44 4,58 4,3 4,7 4,4 0, ,45 4,38 4,55 4,39 4,4 4,40 0,08 9 4,8 4,43 4,7 4,44 4,0 4,394 0, ,45 4,37 4,30 3,5 4,3 4,88 0,47 3,96 4,69 4,0 4,0 3,9 4,54 0,08 4,5 4, 4,58 4,33 4,84 4,496 0, ,77 4,50 4,35 4,5 4,7 4,480 0, ,30 4,37 4,5 4,60 4,7 4,40 0, ,3 4,9 4,0 4,8 4,4 4,4 0, ,6 4,65 4,54 4,88 4,68 4,60 0, ,7 4, 4,6 4, 4,59 4,364 0, ,76 4,3 4,08 4,7 4,63 4,390 0, ,8 4,76 4,49 4,0 4,7 4,578 0, ,5 4,8 4,4 4,40 4,4 4,480 0,046 4,457 0,0644 W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

21 59 5,000 4,800 OEG 4,600 OWG 4,400 ML UWG 4,00 UEG 4, Bestmmug der s-karte: k 5 (/ )Γ(5/)/Γ() (/ ) (3/)( π)/ 0,940; ML 0,940 0,538 0,386; χ 4, ,07; χ 4, ,86; UEG 0,538 (0,07/4) 0,0577; OEG 489; χ 4,0.05 0,4844; χ 4,0.975,43; UWG 0,538 (0,0,4844/4) 0,0883; OWG 436; 0,6 OEG 0,4 OWG 0, ML UWG UEG Iterpretato: I der Mttelwertkarte werde de Egrffsgreze zu zwe Zetpukte über- bzw. uterschrtte. I dese Fälle mmt ma a, dass dese Werte cht mehr als zufällg zu betrachte sd, d.h. auf ee systematsche Äderug des Fertgugsmttelwertes hwese; der Vorlauf wäre abzubreche ud de ursprüglche Lage des Mttelwertes herzustelle. Wrke ur och zufällge Ursache, heßt der Prozess stabl. Aalog wrd be Über-/Uterschretug der Egrffsgreze der s-karte ageomme, dass ee systematsche Veräderug der Fertgugsstreuug stattgefude hat. De s-karte gbt ferer über de Größe der Streuug Auskuft Ist de Streuug zu groß, wrd der Prozess als cht fähg bezechet; zur Beurtelug der Prozessfähgket estere egee Kewerte. W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

22 60 Efache Übugsbespele:. De achfolgede Tabelle ethält de Gesamtzahl der bs zum Aussterbe abgelegte Pupare für 40 (mt jewels 5 geschlüpfte Webche gebldete) Kohorte vo Tsetseflege (Glossa p. palpals). Ma stelle de Vertelug der Merkmalswerte durch ee Häufgketstabelle ud e Hstogramm dar. Ferer bestmme ma das arthmetsche Mttel ud de Stadardabwechug sowe de Meda ud de Quartle. (Mttelwert/Stadardabw./Meda/Quartle: 60.38, 9.87, 60, 53, 68) Nach eer Kfz-Ufallstatstk st de Azahl X der Ufälle pro Verscherte erhalb vo 0 Jahre we folgt vertelt: X rel.häufgk.% je Welcher Prozetsatz der Fahrer hat ee über dem arthmetsche Mttelwert (über dem Meda) vo X legede Ufallzahl? 3. Ma vergleche de durch de folgede Stchprobe gegebee Varato vo X (Spaltöffugsläge µm) be dplode ud tetraplode Bscutella laevgata mt Hlfe der etsprechede Bo-Plots. (Meda/Quartle 5, 3, 6; 30, 8, 3) dplod 7, 5, 3, 7, 3, 5, 5,, 5, 3, 6, 3, 4, 6, 6 tetraplod 8, 30, 3, 9, 8, 33, 3, 8, 30, 3, 3, 34, 7, 9, De Messug der Ozokozetrato währed der Sommermoate ergab für ee Großstadt de der folgede Tabelle ethaltee Werte (Agabe 0 - ppm). Ma stelle de Vertelug der Ozokozetrato dar (tabellarsch, grafsch) ud bereche de Mttelwert, de Stadardabwechug, de Meda ud de Quartle. (5.,.85, 5.4, 4., 6.5) Ma ehme ee geegete Klassebldug vor ud stelle de Vertelug vo X (größte Grudblattläge vo Bscutella laevgata mm) tabellarsch ud graphsch dar. Zusätzlch bestmme ma das arthmetsche Mttel, de Meda ud de Varaz aus de klasserte Date ud vergleche de erhaltee W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

23 6 Ergebsse mt de drekt aus der Beobachtugsrehe berechete Kegrößewerte. (eakte Werte: 69.3, 8.86, 65) De Sprosshöhe X eer Pflaze se N(µ, σ )-vertelt. a) Aus eer Stchprobe vom Umfag 5 ergbt sch de Stchprobevaraz s 774. Ma gebe e Kofdeztervall zum Nveau -α0.95 für σ a. b) Für de Mttelwert ud de Stadardabwechug vo X wurde mt Hlfe eer Stchprobe vom Umfag 40 de Schätzwerte 96 ud 05 für de Mttelwert bzw, de Stadardabwechug bestmmt. Ma bestmme zum Nveau -α0.95 e Kofdeztervall für de Mttelwert vo X. ([68.6,.]; [6.4, 39.6]) 7. Im folgede wrd X als N(µ, σ )-vertelt vorausgesetzt. Welcher Stchprobeumfag st jewels zu plae? a) Der mttlere Glykoalkalodgehalt X ( mg/00 mg Frschgewcht) eer Kartoffelsorte soll mt eer Geaugket vo ± 0.4 be eer Scherhet vo 99% bestmmt werde. Vo eer Vorutersuchug se bekat, dass σ st. b) Das Normgewcht vo 0-jährge Kabe soll auf ± 0.5 kg geau mt eer Scherhet vo 95% bestmmt werde. Für de Stadardabwechug möge de Abschätzug σ.5 kg zutreffe. (67; 96) 8. Für de Mttelwert ud de Varaz vo eer als ormalvertelt ageommee Varable X wurde mt Hlfe eer Stchprobe vom Umfag 5 de Werte 40 bzw. 0 bestmmt. Ma bestmme e 95%- Kofdeztervall für de Mttelwert vo X. Um we vel % größer st de Itervallläge ees 99%ge Kofdeztervalls? ([38.5, 4.75]; [37.57, 4.43]; 38.8%) 9. De Masse X ( mg) eer Substaz eem Präparat soll absolut auf +/-0,5 geau mt eer Scherhet vo 95% bestmmt werde. Für de Stadardabwechug möge de Abschätzug s zutreffe. We vele Probe müsse utersucht werde, we X als ormalvertelt vorausgesetzt werde ka? (6) 0. Vo eer Messstelle wurde de folgede Werte der Varable X (SO - Kozetrato der Luft mg/m 3 ) gemeldet: 9, 0, 47, 35, 65, 69, 9, 0. Ma bestmme e 95%-Kofdeztervall für de Mttelwert ud de Stadardabwechug vo X. ([8.39, 75.]; [.43, 69.05]). I eer Stude wurde 33 Persoe mt eem Präparat behadelt. Der Behadlugserfolg wurde auf eer -stufge Skala mt de Skalewerte "Verbesserug" ud "kee Verbesserug" dargestellt. Es ergab sch be 3 Persoe ee Verbesserug. Ma bestmme e 95%ges Kofdeztervall für de Wahrschelchket p eer Verbesserug. Welcher Stchprobeumfag müsste geplat werde, um de Wahrschelchket p mt eer Geaugket vo +/- 0, ud eer Scherhet vo 95% schätze zu köe? ([0.7, 0.56]; 97) W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

24 6. I eem Supermarkt wurde 00 Mlchpackuge überprüft ud dabe festgestellt, dass 5 Fälle de Mlch m Begrffe war, sauer zu werde. Ma bestmme e Kofdeztervall zum Nveau -α95% für de Atel der saure Mlchpackuge. ([0.08, 0.]) 3. De Wahrschelchket für das Auftrete eer Erkrakug soll eer Rskogruppe mt eer Scherhet vo 95% ud eer vorgegebee Geaugket vo ± 0.05 bestmmt werde. We vele Probade beötgt ma für de Stude? (385) 4. Vo eer Pflaze erhelt Medel sgesamt 6 Same, vo dee 44 gelb ud 8 grü gefärbt ware. Ma bestmme e 95%ges Kofdeztervall für de Wahrschelchket p dafür, dass e gelber Same gebldet wrd. Welcher Stchprobeumfag müsste geplat werde, um de Wahrschelchket p mt eer Geaugket vo +/- 0,05 ud eer Scherhet vo 90% schätze zu köe? ([0.597, 0.83]; 7) Aspruchsvollere Übugsbespele: 5. Rutherford ud Geger studerte de Emsso vo α-telche, dem se de Azahl X der Zettervalle der Läge 7,5s emtterte α-telche zählte. De Auswertug vo 608 Zettervalle ergab de der folgede Tabelle zusammegefasste Häufgkete H. Uter der Aahme, dass X Posso-vertelt st, schätze ma de Vertelugsparameter λ ud bestmme de erwartete Häufgkete E. (λ 3.867, E-Werte: sehe Tabelle) X H E > A sebe Patete wurde der systolsche Blutdruck m Stze ( mm Hg) vor eer Behadlug (Varable X v ) ud achher (Varable X ) gemesse; es ergabe sch de der folgede Tabelle ageführte Werte. Ma bestmme de Mttelwert ud de Varaz des durch de Dfferez X - X v ausgedrückte Behadlugseffektes. We häge dese Statstke mt de Mttelwerte bzw. Varaze vo X v ud X zusamme? (-, 90) X v X W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

25 63 7. I eer Stude über de Behadlug vo akute Herzfarktpatete wurde 5 Patete mt Hepara therapert, vo dee 9 erhalb vo 8 Tage verstarbe. Ma schätze de Wahrschelchket p, dass e Patet erhalb vo 8 Tage ach Herzfarkt strbt, ud bestmme für p e 95%- Kofdeztervall. (appro , 0.787; eakt: , 0.895) 8. Nach der ISO-Norm soll eer Alage zur aseptsche Abfüllug be der Prozessüberprüfug mt cht weger als 3000 Ehete der Ausschussatel vo 0,% cht überschrtte werde (Meda fll-forderug). Be eem Prüflauf mt 0000 Ehete wurde dre kotamerte Ehete festgestellt. Ist de Meda fll-forderug erfüllt, we be der Schätzug der Ausschussquote der ugüstgste Wert (d.h. de zu eer vorgegebee Scherhet vo 95% berechete obere Vertrauesschrake) ageomme wrd? (0,078% < 0,%, Forderug erfüllt) Verstädsfrage über Begrffe ud Methode:. Wa st zur tabellarsche oder grafsche Darstellug der Häufgketsvertelug ees Merkmals X jedefalls ee Klassebldug vorzuehme? Gebe Se a, uter welche Bedguge Se de Häufgketsvertelug mt de relatve Klassehäufgkete beschrebe! Wa würde Se de relatve Klassehäufgketsdchte verwede? Atwort: Be eem quattatve, dskrete Merkmal st ee Klassebldug vorzuehme, we es vele verschedee Merkmalswerte gbt. Be eem stetge Merkmal st jedefalls ee Klassebldug vorzuehme. I bede Fälle erhält ma ur da Aufschluss über de Vertelug des Merkmals, we der Stchprobeumfag cht zu kle st (Rchtwert: >5). Ee Darstellug mt relatve Klassehäufgkete erlaubt de Verglech vo Verteluge be uterschedlche Stchprobeumfäge; de Summe der relatve Klassehäufgkete st stets (bzw. 00%). De relatve Klassehäufgketsdchte st so ormert, dass hre mt der Klassebrete multplzerte Summe glech ergbt. E mt der relatve Klassehäufgketsdchte erstelltes Hstogramm ka wege deser Normerug drekt mt der Wahrschelchketsdchte ees theoretsche Vertelugsmodells (z.b. Normalvertelug) verglche werde. Der Verglech erlaubt ee Eschätzug, ob de Merkmalsvarato durch e bestmmtes Vertelugsmodell erfasst werde ka.. Uter welcher Bedgug würde Se zur Beschrebug der Häufgketsvertelug ees Merkmals als Lage- ud Streuugsmaß de arthmetsche Mttelwert bzw. de Stadardabwechug empfehle? Welche Alteratve dazu gbt es, de zetrale Lage ud de Brete der Vertelug zu kezeche? Atwort: Der arthmetsche Mttelwert ud de Stadardabwechug ege sch als gute Kewerte zur Beschrebug der zetrale Lage ud der Streuug vo Merkmalswerte, we das Merkmal stetg oder quattatv-dskret vom Typ ees Zählmerkmals st ud de Häufgketsvertelug kee zu stark Asymmetre erkee lässt. Be starker Asymmetre verwedet ma besser de Meda, der W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

26 64 desem Fall besser de mttlere Wert eer Messrehe wedergbt; das etsprechede Streuugsmaß st der Iterquartlabstad, also de Dfferez aus dem obere Quartl (75%-Quatl) ud dem utere Quartl (5%). De Asymmetre eer Häufgketsvertelug wrd umersche durch de sogeate Schefe ausgedrückt; dese bestzt de Wert ull für ee symmetrsche Vertelug, st postv für ee lksstele Vertelug ud egatv für ee rechtsstele Vertelug. Für ee lksstele Vertelug st der Meda kleer als der Mttelwert, für ee rechtstele Vertelug größer; für ee symmetrsche Vertelug falle der Meda ud der Mttelwert zusamme. 3. Was versteht ma uter Zetrere eer Messrehe, was uter Stadardsere? Atwort: Uter eer Messrehe versteht ma ee Stchprobe, de durch wederholtes Messe ees metrsche Merkmals X gewoe wurde. De Stchprobe heßt zetrert, we der arthmetsche Mttelwert der Stchprobewerte glech ull st. Des errecht ma so, dass vo jedem Ezelwert der arthmetsche Mttelwert subtrahert wrd. Werde de so gebldete Abwechuge vom Mttelwert überdes och durch de Stadardabwechug der Messrehe dvdert, erhält ma de stadardserte Werte der Messrehe. Ee stadardserte Messrehe hat de Mttelwert 0 ud de Stadardabwechug. Messrehe werde stadardsert, um se durch Normerug der zetrale Lage ud der Streuug adere Vertelugsegeschafte (z.b. der Asymmetre) verglechbar zu mache. 4. Mt welcher Stchprobefukto wrd der Mttelwert eer N(µ, σ )-vertelte Zufallsvarable X geschätzt? Warum sd Stchprobemttelwerte gute Schätzwerte? Atwort: Zur Schätzug des Vertelugsparameters µ beötgt ma ee Zufallsstchprobe vo X, de ma durch wederholtes Messe der Größe X erhält. We wr sgesamt -mal messe, köe de Ergebsse der Messvorgäge vo X durch de Zufallsvarable X (,,...,) ausgedrückt werde. I desem Se st z.b. X das Ergebs des Zufallsepermetes. Messug vo X usw. We de Messvorgäge kapp htereader erfolge, ka ma aehme, dass sch de Vertelug vo X cht verädert hat, d.h. alle Zufallsvarable sd - we X als ormalvertelt mt de Parameter µ ud σ azuehme. Der (arthmetsche) Mttelwert X (X + X X )/ der Zufallsvarable X, X,..., X st ee sogeate Stchprobefukto, de als Stchprobemttel bezechet wrd; durch de Bezechug Stchprobefukto wrd de Abhäggket vo de Messergebsse zum Ausdruck gebracht. Das Stchprobemttel st ee gute Schätzfukto für µ; vo eer gute Schätzfukto für ee Vertelugsparameter erwartet ma, dass de Werte der Schätzfukto mt hoher Wahrschelchket eg um de zu schätzede Parameter vertelt sd. Tatsächlch trfft des auf das Stchprobemttel so fere zu, als ma zege ka, dass X ormalvertelt st mt dem Mttelwert µ ud der Stadardabwechug σ/, de mt wachsedem gege Null strebt. De Stadardabwechug vo X heßt Stadardfehler vo X. Setzt ma de kokret gemessee Werte,,..., für X, X,..., X das Stchprobemttel e, ergbt sch e Schätzwert für µ. W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

27 65 5. Mt welcher Stchprobefukto wrd de Varaz eer N(µ, σ )-vertelte Zufallsvarable X geschätzt? Atwort: We be der Mttelwertschätzug bezeche de Zufallsvarable X, X,..., X de Ergebsse der Messuge vo X. Bldet ma damt de Zufallsvarable S [( X ) ( )... ( ) ] X + X X + + X X /( ) erhält ma de als Stchprobevaraz bezechete Schätzfukto für de Varaz σ der ormalvertelte Zufallsvarable X. De Wurzel aus der Stchprobevaraz st de Stchprobestadardabwechug S. Ma ka zege, dass der Mttelwert vo S mt dem zu schätzede Vertelugsparameter σ zusammefällt ud de Varaz vo S mt wachsedem gege ull strebt. Durch Esetze der kokret gemessee Werte,,..., für X, X,..., X de Stchprobevaraz, erhält ma de emprsche Varaz s, de e Schätzwert für σ st. 6. We berechet ma e 95%ges Kofdeztervall für de Mttelwert eer N(µ,σ )-vertelte Zufallsvarable? We st das Itervall zu terpretere? Atwort: Das (-α)-kofdeztervall für de Mttelwert µ eer ormalvertelte Zufallsvarable st e symmetrsches Itervall um das Stchprobemttel X. (Im Falle -α95% sprcht ma vo eem 95%gem Kofdeztervall.) De Brete d des Itervalls st e Maß für de Geaugket der Schätzug; ma erwartet, dass das Itervall mt wachsedem Stchprobeumfag kleer wrd; de halbe Brete d des Itervalls st glech dem Produkt des Stadardfehlers SE S / ud dem (-α/)-quatl t -, -α/ der t-vertelug mt - Frehetsgrade; ma beachte bem Stadardfehler SE, dass de Stadardabwechug σ durch de Stchprobestadardabwechug ersetzt wurde, de ee Zufallsvarable darstellt. De utere Greze des (-α)-kofdeztervalls für µ st UG X - d, de obere Greze OG X + d. De Greze UG ud OG sd Stchprobefuktoe (also Zufallsvarable) mt der Egeschaft, dass se mt der Wahrschelchket -α de Mttelwert µ eschleße. Für ee kokrete Zufallsstchprobe sd de Greze feste Zahlewerte; de Wahrschelchket, mt dese Zahlewerte e Itervall zu habe, das de Mttelwert µ eschleßt, beträgt gerade -α. 7. Wodurch errecht ma be eem Kofdeztervall für de Mttelwert µ eer N(µ,σ )-vertelte Zufallsvarable ee höhere Geaugket (d.h. ee kleere Itervallbrete)? Atwort: De halbe Itervallbrete st verkehrt proportoal zu, d.h. mt wachsedem Umfag der Zufallsstchprobe wrd de Geaugket größer. Be größerem (etwa ab 0) ka mt für de Pras ausrecheder Näherug das Quatl t -, -α/ durch das etsprechede (-α/)- Quatl z -α/ der Stadardormalvertelug d s z glt. Durch Auflöse ach erhält ma / α ersetzt werde, so dass ( ) / sz / d, mt der ma äherugswese de erforderlche de Formel ( ) α / W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

28 66 Mdeststchprobeumfag zur Errechug eer vorgegebee Geaugket d ud eer vorgegebe Scherhet -α bestmme ka. Im Besodere erket ma u, dass ee klees d (hohe Geaugket) e großes mplzert; de gleche Rchtug wrkt ee große Scherhet (klees α). 8. Mt welcher Stchprobefukto wrd de Wahrschelchket p eer Zwepuktvertelug geschätzt? Wodurch errecht ma ee hohe Geaugket der Schätzug? Atwort: Es se X e zwestufges Merkmal ud a de teresserede Merkmalsausprägug (z.b. Verbesserug ach eer Behadlug). De Beobachtug deses Merkmals a Utersuchugsehete möge m Utersuchugsehete mt der Ausprägug a (Verbesserug) ergebe. Wederholt ma de Beobachtug vo X a Utersuchugsehete, so ergbt sch. Allg. e aderer Wert für de absolute Häufgket, mt der X de Wert a ammt. De absolute Häufgket m st we de relatve Häufgket hm/ ee Stchprobefukto. Letztere wrd zur Schätzug der Wahrschelchket p P(Xa) verwedet. Für große ( > 0) ud cht zu große oder klee Werte vo m (0 m -0) st de relatve Häufgket h äherugswese ormalvertelt mt dem Mttelwert p ud der Stadardabwechug σ p( p), de durch de Stadardfehler ( h) h / SE h h / geschätzt wrd. Mt wachsedem geht SE h gege ull, so dass de Schätzwerte für p (de Werte der Stchprobefukto h) be großem mt hoher Wahrschelchket ahe be p lege. Uter de ageführte Voraussetzuge st de halbe Brete d des (-α)-kofdeztervalles für de Wahrschelchket p durch bzw. OG h+d gegebe. z SE ud de Itervallgreze durch UGh-d d α / 9. We bestmmt ma ee Näherugswert für de Mdestumfag eer Stchprobe, mt der ee Wahrschelchket p so geschätzt werde soll, dass ee vorgegebee Scherhet -α ud vorgegebee Geaugket d (halbe Bretes des (-α)-kofceztervalls) egehalte wrd? Atwort: De halbe Itervallbrete d des (-α)-kofdeztervalls für p st durch d z SE z h( h) / gegebe. Auflöse ach ergbt wege h α / α / z z α / α / h(-h) ½ (0 h ) de Abschätzug h( h) für de d 4d Mdesstchprobeumfag. h W. Tmschl: Statstk, Parameterschaetzug_08_Tet

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