Aufgabenblatt 5: Abgabe am vor der Vorlesung

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1 Aufgabenblatt 5: Abgabe am vor der Vorlesung Aufgabe 17. In Beispiel 2.24 wurde die abelsche Gruppe (Z/kZ, ) eingeführt und in Definition 2.33 um die Verknüpfung erweitert (in Beispiel 2.25 und 2.34 wird jeweils für k = 4 die Struktur genauer betrachtet). Nach Propositon 2.36 ist (Z/kZ,, ) ein Körper, wenn k eine Primzahl ist. Nach Beispiel 2.19 kann die Menge Z/pZ für Primzahl p beschriebenen werden durch die Äquivalenzklassen Z/pZ := {[0], [1],...,[p 1]}. Um nicht allzuviele neue Symbole einzuführen, wird für diesen Aufgabenzettel für (Z/pZ,, ) abkürzend (F p, +, ) geschrieben, wie dies nach einmaliger ausführlicher Definition üblich ist. Die Elemente aus F p := Z/pZ werden ebenfalls einfach notiert als F p := {0, 1,...,p 1}, wobei eine Rechnung a + b bzw. ab := a b für a,b F p immer als [a] [b] und [a] [b] in Z/pZ aufzufassen ist. Mit F p wird die Menge aller Körperelemente ohne die Null bezeichnet, also alle multiplikativ invertierbaren Elemente des Körpers: F p := {x F p x 0 }. a.) (1P) Erstellen Sie die Gruppentafel der Multiplikativen Gruppe des Körpers F 5. b.) (1P) Für Elemente a, b eines beliebigen Körpers K mit b 0 K ist ein Bruch a b immer aufzufassen als a b 1, wobei b 1 das multiplikative Inverse von b sei. Füllen Sie die folgende Tafel mit Brüchen a b aus F 5 aus: F a 11 a 12 a 13 a 14 2 a 21 a 22 a 23 a 24 3 a 31 a 32 a 33 a 34 4 a 41 a 42 a 43 a 44 mit a ij = j i. c.) (2P) Beschreiben Sie alle Potenzen a n mit a F 5 und n N 0 (in einem Körper gelten die bekannten Potenzgesetze und es ist immer a 0 = 1).

2 2 Aufgabenblatt 5: Abgabe am vor der Vorlesung Aufgabe 18. (4P) Sei K ein Körper. Zeigen Sie für folgende Teilmengen des K-Vektorraumes K n, ob sie ein Untervektorraum sind oder nicht (es sei immer n 3): n U 1 := { (x 1,...,x n ) x i = 0 } U 2 := { (x 1,...,x n ) n x i = 1 } U 3 := { (x 1,...,x n ) x 2 1 = x 2 2 } n 1 U 4 := { (x 1,...,x n ) x i = x n } U 5 := { (x 1,...,x n ) x 1 { 1, 0, 1} } n U 6 := { (x 1,...,x n ) i x i = 0 } U 7 := { (x 1,...,x n ) (x 1,...,x n ) ( 1,..., 1) } U 8 := { (x 1,...,x n ) x 1 = x n } Aufgabe 19. a.) (2P) Für den Körper F 2 und die abelsche Gruppe (P(M 2 ), ) aus Aufgabe 10 sei folgende (äußere) Verknüpfung definiert: { für α = 0, : F 2 P(M 2 ) P(M 2 ) mit α A := A für α = 1, wobei α F 2 und A P(M 2 ) bzw. A M 2 gilt. Zeigen Sie, daß (P(M 2 ),, ) ein F 2 -Vektorraum ist. b.) (2P) Bestimmen Sie alle Untervektorräume von (P(M 2 ),, ). Aufgabe 20. Sei (K, +, ) ein Körper und I eine Menge. Es soll nun auf der Menge K I eine Vektorraumstruktur definiert werden. a.) (2P) In der Vorlesung wurde im Spezialfall K := R und einer Menge M der R M als Beispiel eines R-Vektorraumes angeführt (Beispiel 3.2.iii), jedoch der Beweis dieser Aussage nicht komplett durchgeführt. Hier wird nun der allgemeine und damit den R M umfassende Fall des K-Vektorraumes K I bearbeitet.

3 Aufgabenblatt 5: Abgabe am vor der Vorlesung 3 Es seien die folgenden Verknüpfungen analog zu Beispiel 3.2.iii) definiert: f g durch f g(i) := f(i) + g(i) für f,g K I,i I, α f durch α f(i) := α f(i) für α K,f K I,i I. Zeigen Sie, daß (K I,, ) ein K-Vektorraum ist. b.) (2P) Ist I eine Menge, so bedeutet die Sprechweise: Bedingung A gilt für fast alle i I, daß höchstens endlich viele Elemente aus I nicht die Bedingung A erfüllen (damit ist die Aussage bei einer endlichen Menge I keine echte Bedingung an I). Es sei nun definiert: K (I) := {f K I f(i) = 0 für fast alle i I }. Zeigen Sie, daß K (I) ein Untervektorraum von K I ist. Bemerkung: Der Funktionenvektorraum K I ist für eine endliche Menge I mit I = n nichts anderes als der Tupelvektorraum K n, wie folgende Betrachtung veranschaulicht. Sei I = {i 1,...,i n } und f K I. Dann ist f eine Abbildung von der endlichen Menge I nach K, und es gelte x k := f(i k ) für 1 k n. Man kann f nun folgendermaßer notieren: i 1 i 2... i n f f... f (x 1, x 2,...,x n ), so daß f durch ein n-tupel dargestellt wird mit den k-ten Eintrag x k = f(i k ) als Bild des Elementes i k. Es ist nun leicht einzusehen, daß die Verknüpfung des Vektorraumes (K I,, ) dieser Aufgabe bei dieser Notation des Elementes f K I als Tupel des Vektorraumes (K n,, ) aus Beispiel 3.2.ii) der Vorlesung mit der Verknüpfung in (K n,, ) zusammenfällt: Seien dazu f,g K I, und beide notiert wie oben beschrieben als Tupel (x 1,...,x n ) und (y 1,...,y n ) mit x k := f(i k ) und y k := g(i k ). Die Verknüpfung f g ist nach der Definition in dieser Aufgabe diejenige Abbildung von I nach K, für die f g(i k ) = f(i k )+g(i k ) gilt. Wird dies wieder in der Tupeldarstellung notiert, so gilt: (x 1 + y 1,x 2 + y 2,...,x n + y n ) = (x 1,x 2,...,x n ) (y 1,y 2,...,y n ). }{{}}{{}}{{} Tupeldarstellung von f g Tupeldarstellung von f Tupeldarstellung von g Ebenso leicht läßt sich einsehen, daß die Verknüpfungen von (K I,, ) und von (K n,, ) bei dieser Betrachtungsweise zusammenfallen: ist α K, so ist α f diejenige Abbildung von I nach K, für die α f(i k ) = α x i gilt (f sei wie vorher durch das Tupel (x 1,...,x n ) dargestellt). Wird dies wieder in Tupeldarstellung notiert, so gilt: (α x 1,α x 2,...,α x n ) }{{} Tupeldarstellung von α f = α (x 1,x 2,...,x n ). }{{} Tupeldarstellung von f

4 4 Aufgabenblatt 5: Abgabe am vor der Vorlesung Damit sind K I und K n miteinander identifiziert, wenn I eine Menge mit n Elementen ist, und man kann sich K n vorstellen als Kurznotation: K n := K {1,...,n}. Im Verlauf der Vorlesung wird sich herausstellen, daß zwei K-Vektorräume sich genau dann identifizieren lassen (mittels eines Vektorraumisomorphismus), wenn sie die gleiche Dimension haben, und da für eine endliche Menge I mit I = n der K-Vektorraum K I ebenso wie der K n die Dimension n haben, ergibt sich eine Identifizierbarkeit beider Räume auch ohne obige Anschauung der Elemente f K I. Somit lassen sich die Räume K I als natürliche Erweiterung der Tupelräume K n auffassen: wenn die Menge I nicht mehr endlich ist, so sind seine Elemente jedoch nicht mehr einfach als Tupel darstellbar. Einen Spezialfall für eine unendliche Menge lohnt es sich dennoch zu betrachten: ist I = N 0, so lassen sich die Elemente f K N0 als Folgen in K interpretieren. Eine Folge (a i ) i N0 läßt sich als Abbildung f : N 0 K mit f(i) := a i auffassen. Dies läßt sich in Analogie zum endlichen Fall auch noch als unendliches Tupel veranschaulichen: n... f f... f... (a 0, a 1,...,a n,... Die Verknüpfungen und in diesem Folgenraum sind dann die (elementweise) Addition von Folgen und das (elementweise) Vielfache einer Folge. Damit wurde jetzt gezeigt, daß die Folgen in einem Körper K einen K-Vektorraum bilden. Im Falle Q, R und C folgt aus den Sätzen von Analysis I sofort, daß die folgenden Mengen im Folgenraum K N0 (mit K {Q, R, C}) Untervektorräume sind: K Cauchy := {(a i ) i N0 K N (a i ) Cauchy-Folge } K konv := {(a i ) i N0 K N (a i ) konvergent } K NF := {(a i ) i N0 K N (a i ) Nullfolge } Dies liefert dann folgende Kette von Untervektorräumen im K N0 : K NF K konv K Cauchy K N Dabei sind für K {R, C} alle Cauchy-Folgen auch konvergente Folgen wegen der Vollständigkeit dieser Körper, und die jeweiligen Unterräume fallen zusammen. In Q sind jedoch nicht alle Cauchy-Folgen konvergent, so daß Q konv ein echter Unterraum von Q Cauchy ist. Im Aufgabenteil b.) wurde das Objekt K (I) eingeführt: dabei war die Definition im Wesentlichen von der des Begriffes fast alle in der Mathematik abhängig: fast alle bis auf endlich viele Im speziellen Fall der Definition des K (I) läßst sich auch formulieren: K (I) := {f K I f(i) = 0 für fast alle i I } = {f K I f(i) 0 für höchstens endlich viele i I }

5 Aufgabenblatt 5: Abgabe am vor der Vorlesung 5 Bei dieser Formulierung ist sofort klar, daß für eine endliche Menge I die Mengen K I und K (I) übereinstimmen, da es ja nur endlich viele Bilder für ein f : I K geben kann und damit für f keine Einschränkung ausgesprochen wurde durch f(i) 0 für höchstens endlich viele i I. Für eine unendliche Menge I können beide Mengen niemals gleich sein, da im K I immer die Abbildung f : I K mit f(i) := 1 enthalten ist, die wegen ihrer unendlich vielen Bilder (I unendlich) ungleich der Null aber nicht im K (I) liegen kann. Der Vektorraum K (I) kann ebenfalls als eine natürliche Erweiterung der Tupelräume K n angesehen werden, da für endliche Mengen I die Räume K I und K (I) übereinstimmen und sich obige Interpretation des K n sofort erweitern läßt zu: K n := K {1,...,n} = K ({1,...,n}). Das Besondere an den Vektorräumen K (I) ist, daß es zu jedem K-Vektorraum V eine Menge I gibt, so daß V isomorph (strukturgleich) zu K (I) ist und somit die Vektorräume K (I) als Beschreibung für alle K-Vektorräume dienen. Ebenso haben Sie die schöne Eigenschaft, daß ihre Dimension genau der Mächtigkeit der Menge I entspricht. Somit läßt sich die Frage positiv beantworten, ob es einen K-Vektorraum der Dimension xxx gibt: ist xxx die Mächtigkeit/Größe einer Menge I, d.h. die Anzahl deren Elemente, so hat K (I) genau diese Dimension xxx (Dies wird auf einem späteren Aufgabenzettel bewiesen). Es ist für eine unendliche Menge I nicht ohne weiteres klar, welche Dimension K I hat: somit bleibt für eine unendliche Menge I immer die Frage zu klären, welche Menge J die Eigenschaft K I = K (J) hat. Wie der schon beschriebene K N0 hat auch der K (N0) eine besondere Interpretation, wobei zu deren Erläuterung auch der Raum K N0 für K {R, C} noch einmal anders gedeutet wird: Sei dazu f K N0 wieder als Folge (a i ) i N0 beschrieben. In der Analysis I werden aus diesen Folgen Funktionen gebaut, sogenannte Potenzreihen a i x i. i=0 Wesentliche Funktionen der Analysis lassen sich durch diese Potenzreihen beschreiben wie zum Beispiel e x, sin(x) und cos(x). Eine der wichtigsten Funktionen, die Exponentialfunktion e x hat dabei die Koeffizienten a i := 1 i! und wird dann durch das Element ( 1 0!, 1 1!, 1 2!, 1 3!,...) RN0 bzw. C N0 repräsentiert. In dieser Interpretation sind dann Potenzreihen (a i ) i N0 aus K (N) solche mit nur endlich vielen a i 0, und es existiert ein höchster Index n, so daß a i = 0 für i > n. Dann läßt sich die Potenzreihe n a i x i = a i x i i=0 als Polynom schreiben (dabei hat natürlich jedes Element aus K (N0) einen individuellen höchsten Index n, der dann der Grad des Polynoms genannt wird). Nach dem eben gesagtem hat dann der Vektorraum der Polynome über K die Dimension der Mächtigkeit von N, d.h. abzählbar unendlich. Bei dieser Interpretation von Polynomen über K kann ein beliebige Körper K angenommen werden; in der Theorie von Potenzreihen muß K schon spezieller gewählt i=0

6 6 Aufgabenblatt 5: Abgabe am vor der Vorlesung werden, um die unendlichen Summen sinnvoll als Funktionen interpretieren zu können (Stichwort Konvergenz): daher hier die Einschränkung auf K {R, C}. Viel Erfolg!!!