Musterlösung. Modulklausur Multivariate Verfahren

Transkript

1 Musterlösung Modulklausur Multivariate Verfahren 25. September 2015

2 Aufgabe 1 (15 Punkte) Kennzeichnen Sie die folgenden Aussagen zur Regressionsanalyse mit R für richtig oder F für falsch. F Wenn die Parameter eines linearen Regressionsmodells y = α + β x + ɛ mit dem OLS-Verfahren geschätzt werden, dann ist der Mittelwert der quadrierten Residuen ˆɛ 2 i gleich Null. F In einem linearen Regressionsmodell sind Prognose ŷ und Residuen ˆɛ voneinander abhängig. R F R Die KQ-Schätzung eines linearen Regressionsmodells ist auch möglich, wenn die abhängige Variable in logarithmierter Form vorliegt. Benutzt man Indikatorvariablen, um die Effekte von vier Berufsgruppen zu kontrollieren, und berücksichtigt 3 Indikatorvariablen in der Modellspezifikation, so kann über die nicht berücksichtigte Berufsgruppe keine Aussage getroffen werden. Die Elemente P nm der Hat-Matrix P bestimmen den Einfluss des Datenpunkts y m auf die Prognose ŷ n. Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 3 Punkte vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 Punkten bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0 Punkte. 2

3 Aufgabe 2 (50 Punkte) In einer Großstadt wird eine bestimmte Mikrowelle in verschiedenen Geschäften zu unterschiedlichen Preisen verkauft. Folgende Tabelle gibt die Anzahl der verkauften Mikrowellen der 15 befragten Geschäfte an. 100 Euro 110 Euro 120 Euro a) (4 P.) Geben Sie zwei Verfahren an, welche hier vom Skalenniveau der Daten her dazu geeignet sind, den Zusammenhang zwischen Verkaufszahlen und Angebotspreisen zu untersuchen. 1. Regressionsanalyse 2. Varianzanalyse b) (4 P.) Geben Sie die Modellgleichung der einfaktoriellen Varianzanalyse in Effektdarstellung an und beschreiben Sie kurz, welche Parameter in der Gleichung enthalten sind. Modellgleichung Y ij = µ + α i + ɛ ij Parameter: - µ: Mittelwert - α i : Effekte, welche die Abweichung vom Mittelwert beschreiben - ɛ ij : zufällige Abweichungen (Fehler) 3

4 c) (6 P.) - Geben Sie an, welche wichtige Modellannahme bei der Effektdarstellung getroffen wird - Berechnen Sie die Schätzungen der Effekte α i. - Überprüfen Sie, ob die obige Modellannahme auch für die Schätzungen gilt. Modellannahme α i = 0 Schätzungen der Effekte α i ˆα 1 = ȳ 1 ȳ = = 3.4 ˆα 2 = ȳ 2 ȳ = = 0.8 ˆα 3 = ȳ 3 ȳ = = 2.6 Überprüfung der Modellannahme anhand der Schätzungen ˆα i = = 0 d) (20 P.) Geben Sie die Varianzanalysetabelle mit den mittleren Quadratsummen an und überprüfen Sie die Hypothese H 0 : α i = 0 für alle i zum Signifikanzniveau Es ist SQT = SQ Wert df MQ F -Statistik SQE (zwischen) SQR (innerhalb) SQT (total) Das Quantil f(1 α; I 1, I(J 1)) = f(0.95; 2, 12) lautet 3.89 (Die Tabelle zu t-werten zu Signifikanzniveau 0.1 ist nicht im Skript vorhanden, deshalb wird weiter mit Signifikanzniveau von 0.05 gerechnet), so dass die Nullhypothese nicht abgelehnt werden kann. e) (4 P.) Welcher Anteil der Varianz im Testergebnis lässt sich durch die Variable Preis erklären? R 2 = SQE SQT = = % der Varianz von Y wird durch unabhängige Variable erklärt. 4

5 f) (12 P.) Gehen Sie davon aus, dass im Aufgabenteil d) die H 0 abgelehnt wurde. Führen Sie geeignete Tests durch, um zu klären, welche(r) Mittelwertsunterschied(e) zur Ablehnung geführt hat/haben! Post hoc t-test nach Bonferroni Man führt t-vergleiche durch, die mit adjustierten α-fehlern gerechnet werden müssen, um das Signifikanzniveau des globalen Tests der H 0 einzuhalten. T ii = Ȳi+ Ȳi + S 2/J t(ij I) MQR = σ 2 = S = MQR = = 3.76 T 12 = Ȳ1 Ȳ2 S 2/J T 23 = Ȳ2 Ȳ3 S 2/J T 13 = Ȳ1 Ȳ3 S 2/J = /5 = = = /5 = = = /5 = = 2.52 Der kritische t-wert ist t(1 α/(2k), df) = t(1 0.05/3, 12) 2.87 Alle gerechneten T-Statistiken sind kleiner als der kritische Wert. Gruppenunterschiede sind nicht signifikant von 0 verschieden. Bonferroni-Konfidenzintervall Ȳ i+ Ȳi + ± t(1 α/(2k), df)s 2/J Konfidenzintervalle für Mittelwertunterschiede: Y 12 = ± = 4.2 ±

6 Y 23 = ± = 1.8 ± 6.82 Y 13 = ± = 6 ± 6.82 Da die Konfidenzintervalle 0 überdecken, die Mittelwertunterscheide zwischen den Gruppen sind nicht signifikant von 0 verschieden. Alternativ kann Scheffe-Konfidenzintervall gerechnet werden. Scheffe-Konfidenzintervall Ȳ i+ Ȳi + ± ((I 1)F ) 1/2 S 2/J Für F-Quantil ergibt sich F (0.95, 2, 12) = 3.89 und (I 1)F = = 2.79 Konfidenzintervalle für Mittelwertunterschiede: Y 12 = ± = 4.2 ± 6.63 Y 23 = ± = 1.8 ± 6.63 Y 13 = ± = 6 ± 6.63 Da die Konfidenzintervalle 0 überdecken, die Mittelwertunterscheide zwischen den Gruppen sind nicht signifikant von 0 verschieden. 6

7 Aufgabe 3 (12 Punkte) Eine bivariat normalverteilte Zufallsvariable x = [X, [ Y ] N(µ, ] Σ) ist durch den Erwartungswert µ = [2, 3] und die Kovarianzmatrix Σ = gegeben a) (4 P.) Eine neue Zufallsvariable z ist durch die lineare Transformation z = a + Bx mit a = [3] und B = [1, 0] gegeben. Wie lautet die Verteilung dieser Variable? Geben Sie den Erwartungswert und die Kovarianz-Matrix explizit an. z ist ebenfalls normalverteilt, da es sich um eine lineare Transformation handelt. Der Erwartungswert ist und die Kovarianzmatrix E[z] = a + BE[x] = 3 + [1, 0][2, 3] = 5 Var(z) = BVar(x)B = [1, 0] [ ] [ ] b) (4 P.) = 4. Prognostizieren Sie die Variable Y hat die Prognosefunktion Ŷ = g(x)? durch die Variable X. Welche funktionale Form Die optimale Prognose ist der bedingte Erwartungswert E[Y X]. Bei einem Gaußschen System ergibt sich eine lineare Funktion g(x) = a + bx, also Einsetzen ergibt µ y x = E[Y X] = µ y + σ yx σ 1 xx (X µ x ) µ y x = E[Y X] = (X 2) = (X 2) = X c) (4 P.) Berechnen Sie bitte die Korrelationsmatrix von x = [X, Y ]. Die Standardabweichungen sind σ x = 2, σ y = 1 und somit D = diag(2, 1). Die Korrelationsmatrix von x = [X, Y ] ist daher [ ] P = D 1 ΣD 1 =

8 Aufgabe 4 (23 Punkte) Es wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Alkoholabhängigkeit und Alter besteht. Zu diesem Zweck stehen Daten zur Verfügung von Probanden über Alkoholmissbrauch oder -Abhängigkeit und Alter. Einen Auszug aus den Daten sowie das Ergebnis der SPSS-Analyse finden Sie auf den folgenden Seiten. a) (2 P.) Was bedeutet die 0, was bedeutet die 1 bei Alkoholabhängigkeit auf Seite 10? 0: keine Alkoholstörung, 1: Alkoholstörung b) (3 P.) Welches Verfahren wurde verwendet, wie heißt der Menü-Befehl bei SPSS? Wie viele Probanden haben an der Befragung teilgenommen? Logistische Regression; binär logistisch; N = 4181 c) (4 P.) Geben Sie die Schätzwerte für das Intercept und β 1 5%-Niveau signifikant von 0 verschieden? an! Sind die Schätzwerte zum ˆβ 0 = 1.907, ˆβ1 = Beide Parameter sind zum 5%-Niveau signifikant von 0 verschieden (Sig. < 0.05) d) (4 P.) In welchem Intervall liegt β 1 mit 95%iger Wahrscheinlichkeit? t( ; N q 1) 1.96, ˆβ 1 ± = ± , β

9 e) (3 P.) Die Schätzung wurde von SPSS mit der Maximum-Likelihood-Methode vorgenommen. Geben Sie den Log-Likelihood-Wert an! = f) (7 P.) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine 30-jährige Frau alkoholabhängig ist? ˆπ = e x 0 ˆβ = e [1 30][ ] =

10 10

11 11

12 12