Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s 1. und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben.

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1 2 Aussagenlogik () 2.3 Semantik von [ Gamut 4-58, Partee 7-4 ] Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben. Beispiel: Es regnet. Es regnet nicht. s : s : 2 Es gibt Sätze, die in Bezug auf unterschiedliche Situationen immer wahr bzw. immer falsch sind. Beispiele: Es regnet und es regnet nicht. s : s : 2 Es ist nicht der Fall, dass es regnet und nicht regnet. s : s : 2 Die Wahrheitswerte der zusammengesetzten Sätze hängen auf eine bestimmte Weise von den Wahrheitswerten ihrer Teilsätze ab. Gesucht wird ein Algorithmus, d.h. eine genau definierte Handlungsvorschrift, mit der sich für eine beliebige Situation errechnen lässt, welchen Wahrheitswert logisch komplexe Sätze ausgehend von den Wahrheitswerten der in ihnen vorkommenden atomaren Sätze in Bezug auf diese Situation haben. Wahrheitsbedingungen von -Formeln Die Wahrheitsbedingungen einer Formel von werden durch die Angabe aller möglichen -Bewertungen dieser Formel bestimmt. Eine -Bewertung ist eine Funktion, die auf der Menge der Formeln definiert ist und jedem Element dieser Menge genau einen Wahrheitswert zuordnet. Eine Funktion ist eine Zuordnung von Elementen einer Menge B (Funktionswerte) zu den Elementen einer Menge A (Argumente), so dass jedem Element von A genau ein Element von B zugeordnet wird. Es handelt sich damit um eine eindeutige Abbildung von A nach B. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig.

2 2.3 Semantik von Beispiel für eine Funktion von A (eine Menge von Personen) nach B (eine Menge von Namen): Lisa Bart Maggie A B Beispiele für Abbildungen, die keine Funktionen sind: Bart Lisa Maggie A B Bart Lisa Maggie A B -Bewertung V : A = { φ, φ, φ,...} 2 3 B = {,} φ φ 2 φ (Argumente) (Funktionswerte) Notation: V( φ ) = steht für Der Wahrheitswert von φ bei V ist gleich. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 2

3 2 Aussagenlogik () D2.2 -Bewertung Beispiele: Eine -Bewertung V ist eine Funktion von der Menge der -Formeln nach {, }, so dass gilt: () Für jede atomare Formel φ gilt entweder V( φ ) = oder V( φ ) =. (2) V( φ) = gdw V( φ ) =. (3) (a) V( φ ψ) = gdw V( φ ) = und V( ψ ) =. (b) V( φ ψ) = gdw V( φ ) = oder V( ψ ) =. (c) V( φ ψ) = gdw V( φ ) = oder V( ψ ) =. (d) V( φ ψ) = gdw V( φ) = V( ψ). p q ( p q) V : V : 2 V : 3 V : 4 Bei n atomaren Formeln ergeben sich 2 n mögliche Bewertungen.? Gib die Wahrheitswerte der komplexen Formeln in ( p q) bei den Bewertungen V V an. 4 D2.3 -Tautologie Eine Formel φ ist eine -Tautologie (ist -wahr, -gültig) gdw für jede - Bewertung V gilt: ( ) V φ =. Notation: φ Tautologien sind immer wahr. Beispiele: ( p p), p p Einige - Gesetze φ φ Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten ( φ φ) Gesetz vom ausgeschlossenen Widerspruch φ φ Gesetz der doppelten Negation φ ψ φ Konjunktionsabschwächung φ ψ ψ φ Kommutativität der Konjunktion φ ( ψ χ) ( φ ψ) χ Assoziativität der Konjunktion Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 3

4 2.3 Semantik von φ ( ψ χ) ( φ ψ) ( φ χ) Distributivität der Konjunktion über die Disjunktion ( φ ψ) ( ψ φ) Kontraposition der materialen Implikation ( φ ψ) φ ψ ( φ ψ) φ ψ } de Morgansche Gesetze ( φ ψ) ( φ χ) ( φ ψ χ) Konklusionskonjunktion ( φ ψ) ( ψ χ) ( φ χ) Transitivität der materialen Implikation Jede Formel, die unter ein logisches Gesetz fällt, ist eine Tautologie. Beispiele: p p ( p p) p p D2.4 -Kontradiktion ( p q) ( q r s) ( p r s) Eine Formel φ ist eine -Kontradiktion (ist -falsch) gdw für jede - Bewertung V gilt: V( φ ) =. Kontradiktionen sind immer falsch. Beispiele: φ φ, ( ψ ψ) ( φ φ) D2.5 -Kontingenz Eine Formel φ ist eine -Kontingenz (ist -kontingent) gdw für mindestens eine -Bewertung V gilt: V( φ ) = und für mindestens eine -Bewertung V gilt: V( φ ) =. Kontingenzen können sowohl wahr als auch falsch sein. Jede Formel ist entweder eine Kontingenz, eine Tautologie oder eine Kontradiktion. D2.6 -Folgerung Die Formel ψ ist eine -Folgerung (-Implikation) von φ,..., φ n ( n ) bzw. aus φ,..., φ n folgt -logisch ψ gdw für jede -Bewertung V gilt: Wenn V( φ ) =,..., V( φ ) n =, dann V( ψ ) =. Notation: φ,..., φ n ψ (oder φ,..., φ ψ) n Spezialfall: ψ (-Tautologie) (falls n = ) Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 4

5 2 Aussagenlogik () Beispiele: φ ψ φ φ φ χ D2.7 -Äquivalenz Die Formeln φ und ψ sind -äquivalent gdw für jede -Bewertung V gilt: V( φ) = V( ψ). Notation: φ ψ (oder φ ψ) Beispiele: φ ψ, ψ φ ( φ ψ), φ ψ φ ψ, ψ φ ( φ ψ), φ ψ φ ( ψ χ), φ ψ χ Metatheoreme über (Beweisbare Sätze über ) gdw φ eine -Kontradiktion ist φ φ ψ gdw φ ψ φ,..., φ n ψ gdw φ... φ ψ n φ ψ gdw φ ψ φ ψ gdw φ ψ und ψ φ D2.8 -Gültigkeit eines Schlussschemas Ein Schlussschema φ,..., φ / n ψ ist -gültig (eine -Schlussregel) gdw φ,..., φ n ψ. Beispiele: φ ψ, φ/ ψ modus ponens (MP), Abtrennungsregel (AR) φ ψ, ψ/ φ modus tollens (MT) φ ψ/ φ ψ φ ψ, ψ χ/ φ χ ( φ ψ) ( φ χ)/ φ ψ χ Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 5

6 2.4 Entscheidungsverfahren für 2.4 Entscheidungsverfahren für Wahrheitstafelmethode Variante : p q r q r p ( q r) ( p ( q r)) Variante 2: (p (q r )) ? Konstruiere für p ( q r) eine Wahrheitstafel nach Variante 2. Reduktionsmethode Bedingung für die Anwendung der Methode ist, dass die Formel die Form φ ψ hat oder sich in eine solche Form überführen lässt. Variante : Indirekter Beweis Annahme: φ ψ ist keine Tautologie. Also: Es gibt mindestens eine Bewertung V, so dass V( φ ψ) =. Also: V( φ ) = und V( ψ ) = usw. Wenn die Annahme zu einem Widerspruch führt, so ist sie falsch. Also ist φ ψ eine Tautologie. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 6

7 2 Aussagenlogik () Beispiel: (p q ) ( q p) Annahme: Also: Also: Also: Also: Also: Widerspruch Also: ( p q) ( q p)? Zeige, dass ( p q),( q r)/( p r) ein gültiger Schluss ist. Variante 2: Direkter Beweis Annahme: V( φ ) = Behauptung: V( ψ ) = ist ausgeschlossen, d.h. es ist immer V( ψ ) =. Also ist φ ψ eine Tautologie. Beispiel: (p q ) ( q p) Annahme: Also: Also: Also: Also: Also: Wenn also V( p q) =, so auch V( ( q p)) =. Also: ( p q) ( q p) Ein indirekter Beweis ist in der Regel einem direkten Beweis vorzuziehen. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 7

8 2.5 Definierbarkeit von Konnektoren 2.5 Definierbarkeit von Konnektoren Generell können Begriffe mit Hilfe von anderen, grundlegenderen Begriffen nach folgendem Definitionsschema definiert werden: Definiendum = Definiens def A= B ( A ist definitionsgleich mit B ) def A wird durch Definition als mit B bedeutungsgleich eingeführt und kann im Weiteren an Stelle von B verwendet werden. Dabei stellt A eine Abkürzung von B dar. Eine wesentliche Voraussetzung für die Korrektheit einer Definition ist, dass B nicht bereits A enthält oder durch ein C definiert wird, das seinerseits A enthält (Ausschluss einer Zirkeldefinition ). Konnektoren lassen sich mit Hilfe von anderen Konnektoren definieren. Grundlage für die Adäquatheit der Definitionen sind entsprechende logische Äquivalenzen zwischen Formeln, in denen die betreffenden Konnektoren vorkommen. Beispiele: φ ψ, = def ( φ ψ) ( ψ φ) φ ψ, = φ ψ def φ ψ, = ( φ ψ) def φ : ψ, = ( φ ψ) ( φ ψ) def? Aus welchem Grund sind die angegebenen Definitionen korrekt? Was ist jeweils Grundlage dafür, dass die Definitionen adäquat sind?? Definiere und : unter ausschließlicher Verwendung von und. Eine Menge von -Konnektoren, mit der sich alle anderen -Konnektoren definieren lassen, nennt man definitorisch vollständig. Beispiele: {, },{, },{, },{, } Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 8

9 Übungen Übungen Ü2.2 Konstruiere für jede der folgenden Formeln eine Wahrheitstafel nach Variante 2. Welche Formeln sind Tautologien, welche Kontradiktionen? (4 P.) (a) p r (b) q q (c) ( p q) ( r r) (d) ( p q r) ( p ( q r)) Zusatz: (e) p q q (f) ( p q) ( q r) Ü2.3 Konstruiere für jede der Formeln eine Wahrheitstafel nach Variante 2. Gib an, welche der Formeln logisch äquivalent sind. (7 P.) (a) p q (b) ( p q) (c) p q (d) ( p q) p (e) (( p q) p) q Ü2.4 Verwende die Reduktionsmethode, um die Gültigkeit der folgenden Formeln zu überprüfen. (3 P.) (a) ( p q) ( p q) p (b) (( p q) p) p (c) p q ( p q) Zusatz: (d) ( p ( q p)) (e) ( p q) ( q p) Ü2.5 Verwende die Reduktionsmethode, um die Gültigkeit der folgenden Schlüsse zu überprüfen. (4 P.) (a) p q, p/ q (b) p p/ q (c) p q, p r, q r/ r (d) p q,( p q) r/ r Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 9

10 Übungen Zusatz: (e) p q, q/ p (f) p ( q q)/ p (g) p q, p q/ q (h) p q/ p q Ü2.6 Überprüfe, ob folgende Formeln Tautologien sind. Wenn nicht, gib eine Zuordnung von Wahrheitswerten für die atomaren Formeln an, die die ganze Formel falsch macht. (3 P.) (a) p ( q p) (b) p q p q (c) ( q p) ( p q) Zusatz: (d) ((( p q) r) q ) ( p q) (e) ( r q p) (( p q) ( q p)) (f) ( p p) ( p p) (g) (( p q) ( r p )) ( p q) ( r p ) Ü2.7 Ist p q p r logisch äquivalent zu p ( q r)? Folgt logisch eine der Formeln aus der anderen? ( P.) Ü2.8 Zeige, dass jedes der folgenden Schlussschemata nicht gültig ist. (a) ψ φ, ψ χ, χ ψ / φ ψ ( P.) Zusatz: (b) φ ψ, χ χ, φ χ/ ψ χ (c) φ ( ψ χ), χ ( φ φ ), φ / φ φ 2 2 (d) ( φ ψ) χ,( φ φ) φ, χ ( ψ φ ), φ ( φ 2 2 ψ)/ χ ψ (e) ( φ ψ) χ, ψ ( χ φ ), φ ψ, φ ψ/ ψ φ 3 3 (f) ( φ ψ) ( χ φ ), ( χ ψ)/ φ Ü2.9 Zeige, dass sich,, und : jeweils mit Hilfe von und definieren lassen. (4 P.) Ü2.2 Gib die Wahrheitstafel des Konnektors weder noch (Exklusion ) an.( P.) Zusatz: Gib 3 mögliche Definitionen dieses Konnektors mit Hilfe der bisher benutzten Konnektoren an. Zeige außerdem, dass {} definitorisch vollständig ist. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig.

11 Übungen Zusatzaufgaben: Ü2.2 Zeige, dass folgende Formeln jeweils logisch äquivalent sind. (a) p p (b) p ( q r) p r ( q p) ( p q) ( p r) (c) p ( q r) Ü2.22 Ist die folgende Wahrheitstafel korrekt? p q r q r p ( q r) p r p p ( q r) r p Ü2.23 Sind folgende Behauptungen wahr oder falsch? () Wenn φ eine Tautologie ist, ist ψ φ auch eine Tautologie. (2) Wenn φ eine Tautologie ist, hängt der Wahrheitswert von φ ψ vom Wahrheitswert von ψ ab. (3) Jede Disjunktion, bei der ein Argument eine Tautologie ist, ist selber eine Tautologie. (4) Jede Disjunktion, bei der ein Argument eine Kontradiktion ist, ist selber eine Kontradiktion. Ü2.24 Ergänze. Wenn φ eine Tautologie und ψ eine Kontradiktion ist, dann ist φ ψ eine, φ ψ eine, ψ φ eine, φ ψ eine, φ eine, (( φ φ) ψ) ( φ ψ) eine. Wenn ( φ ψ) eine Tautologie ist, dann ist φ und ψ ist. Wenn ( φ ψ) eine Kontradiktion ist, dann ist φ und ψ ist. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig.

12 Übungen Wenn ( φ ψ) eine Kontradiktion ist und φ eine Tautologie ist, dann ist ψ. Wenn φ weder Tautologie noch Kontradiktion ist, dann ist φ. Wenn ( φ ψ) eine Kontradiktion ist, dann ist φ und ψ ist. Wenn ( φ ψ) eine Kontradiktion ist, dann ist φ und ψ ist. Wenn ( φ ψ) weder Tautologie noch Kontradiktion ist und ψ eine Tautologie ist, dann ist φ. Ü2.25 Finde ein Gegenbeispiel gegen die Behauptung: ( φ ψ) ist eine Tautologie genau dann, wenn φ eine Tautologie ist oder ψ eine Tautologie ist. Ü2.26 Ergänze in den folgenden Formeln die fehlenden Konnektoren, so dass die Formel eine Tautologie ist. (a) ( p? q) ( p q) (b) ( p? q) ( p q) ( q p) (c) ( p? q) ( p? q) (d) (( p? q) ( q? p)) (e) (( p? p) q) Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 2