Grundwissen 9. Sabine Woellert

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1 Grundwissen 9 1. Quadratische Funktion Definition Eigenschaften der Normalparabel ( ): Veränderung der Normalparabel Normalform, Scheitelform Berechnung der Schnittpunkte mit den Achsen Substitution Anwendung an dem Beispiel Quadratische Funktionen in Anwendungen Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen Bestimmen des Funktionsterms Extremwertprobleme Schnittprobleme Parabel als Ortslinie Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Mehrstufige Zufallsexperimente Pfadregel Pfadregel Simulation von Zufallsexperimenten Quellen Sabine Woellert

2 1. Quadratische Funktion 1.1 Definition Eine Funktion der Form mit und mit der Definitionsmenge heißt quadratische Funktion, der zugehörige Graph heißt Parabel. 1.2 Eigenschaften der Normalparabel ( ): Die Kurve ist oben offen und verläuft im I. und III. Quadranten bzw. oberhalb der x-achse, d. h. alle Funktionswerte (y-werte) sind größer gleich Null ( ) Die Kurve berührt die x-achse im Koordinatenursprung Die y-achse ist Symmetrieachse der Kurve, es gilt: Der Punkt heißt Scheitelpunkt der Normalparabel 1.3 Veränderung der Normalparabel Stauchung und Streckung 1. Parabel wird gestaucht, d. h. weiter als Normalparabel 2. Parabel wird gestreckt, d. h. enger als Normalparabel Merkspruch: Klein und dick, groß und dünn

3 1.3.2 Spiegeln an der x-achse Wenn ist, dann ist die Parabel an der x-achse gespiegelt, d.h. wenn Parabel nach unten geöffnet Parabel nach oben geöffnet Verschiebung an der y-achse: Dafür benötigt man eine quadratische Gleichung der Form: 1. c > 0 Verschiebung nach oben um c 2. c < 0 Verschiebung nach unten um c Verschiebung an der x-achse 1. Verschiebung nach rechts um +b 2. Verschiebung nach links um b Tipp: Das Vorzeichen dreht sich um! 3

4 Normalform, Scheitelform Normalform: Scheitelform: Umformung: von der Normalform zur Scheitelform: quadratisch Ergänzen Umformung: von der Scheitelform zur Normalform: Binom ausrechnen und zusammen fassen Quadratisch Ergänzen 1. Wenn nötig den Koeffizienten vor x 2 ausklammern, die Konstante (c) aber stehen lassen. 2. Den Koeffizienten vor x durch 2 teilen und als Produkt schreiben. 3. Den weiteren Faktor einmal im Quadrat addieren und wieder subtrahieren, damit man die 1. oder 2. Binomische Formel bilden kann. 4. Die ersten drei Summanden zur Binomischen Formel zusammenfassen. Das zweite Quadrat ausklammern. Dabei bleibt, außer es ist ein Minus vor der Klammer, das Minus erhalten, d. h. man quadriert so: Binom ausrechnen Die 1. oder 2. Binomische Formel ausrechnen und mit der Konstanten c verrechnen, ggf. zuvor noch ausmultiplizieren mit dem Faktor vor der Klammer. 4

5 1.5 Berechnung der Schnittpunkte mit den Achsen Nullstellen Als Nullstellen werden die Punkte bezeichnet, an denen der Graph die x-achse schneidet, also z.b. bei der Normalparabel der Punkt. Dafür wird die Funktion gesetzt, da der y-wert 0 sein muss Bei einer Gleichung mit den Variablen a und c Bei einer Gleichung mit den Variablen a, b und c Dafür wird die sogenannte Mitternachtsformel oder Lösungsformel angewendet. wird als Diskriminante D bezeichnet. Je nach dem welchen Wert sie annimmt gibt es zwei, einen oder keine Nullstelle. Dabei gilt: 2 Lösungen, d. h. der Graph schneidet die x-achse zweimal der Scheitelpunkt liegt unter der x-achse und die Parabel ist nach oben geöffnet oder der Scheitel liegt über der x-achse und die Parabel ist nach unten geöffnet 1 Lösung, d.h. der Graph berührt die x-achse der Scheitelpunkt liegt auf der x- Achse 5

6 keine Lösung, d.h. der Graph schneidet die x-achse nie der Scheitelpunkt liegt über der x-achse und die Parabel ist nach oben geöffnet oder die Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-achse und die Parabel ist nach unten geöffnet Minus unter der Wurzel Mathematischer Fehler die Funktion hat keine Nullstellen Der Satz von Vieta Sind x 1 und x 2 die Lösung einer quadratischen Form dann gilt: und. In dieser Form kann man die Nullstellen direkt ablesen, da ein Produkt Null wird, wenn ein Faktor/eine Klammer Null ist Schnittpunkt mit der y-achse Um den Schnittpunkt mit der y-achse herauszufinden muss man für x Null einsetzen, d. h. man rechnet aus. Dabei muss man von der Normalform ( ) das c nehmen, da die anderen beiden durch wegfallen. 6

7 1.6 Substitution Durch geschicktes Ersetzen der Variablen lassen sich Gleichungen auf quadratische Formen bringen. Dieses Verfahren heißt Substitution. Mit dieser Technik lassen sich Nullstellen von Funktionen höheren Grades berechnen. Substitution : Rücksubstitution : 1.7 Anwendung an dem Beispiel 1. Normalform: 2. Scheitelform: 3. Stauchung/Streckung: 0 < a < 1 gestaucht 4. Verschiebung an der y-achse: um 0,75 nach unten 5. Verschiebung an der x-achse: um 2,5 nach rechts 6. Scheitelpunkt ablesen: S(2,5l-0,75) 7. Spiegeln an der x-achse: a > 0 nach oben geöffnet 8. Nullstellen: NS 1 (3,72l0); NS 2 (1,28l0) 7

8 9. Schnittpunkt mit der y-achse: S y (0I2,375) 10. Zeichnung 8

9 2. Quadratische Funktionen in Anwendungen 2.1 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen Das Lineare Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten kannst du bereits lösen. Um jetzt das mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten zu lösen verwenden wir den Trick, dass wir es so umformen, dass es zu einem Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten wird. 1. Eine Gleichung wird so umgeformt, dass eine Variable alleine auf einer Seite steht. 2. Diese Variable werden in die anderen beide Gleichungen eingesetzt. 3. Durch das Einsetz- oder Additionsverfahren kannst du jetzt die 2 anderen Gleichungen nach den weiteren Variablen auflösen. 4. Durch die 2 anderen Variablen kannst du die dritte herausfinden. Beispiel: I II III 1. I II III I in II/III 2. II III 3. II III II in III III III in II II III /II in I 4. I 2.2 Bestimmen des Funktionsterms Man setzt die drei Punkte in eine eigene Funktion. Die x-werte werden eingesetzt und bei a quadriert. Der y-wert wird für f(x) eingesetzt, dadurch erhält man ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. 9

10 Eine Parabel verläuft durch die Punkte A(-4l2); B(-3l3,5); C(1l-0,5). Berechne die Normalform der Parabel. I II III I II III III in I/II I II I II II in I I I in II II I /II in III III 2.3 Extremwertprobleme Wenn man ein Minimum oder Maximum, also einen Extremwert, sucht stößt man oft auf eine quadratische Funktion. Der Scheitelpunkt dieser Funktion liefert den Extremwert. Führt die Suche nach dem Extremwert einer Größe auf eine quadratische Funktion, so liefert der Scheitelpunkt des Graphen diesen Extremwert. Dabei gilt: ist ein Minimum (die Parabel ist nach oben geöffnet) ist ein Maximum (die Parabel ist nach unten geöffnet) ist der x-wert ist der Extremwert 10

11 für für Beispiel: Der Bauer Huber konnte ein neues Grundstück ersteigern. Jedoch ist dieses dreieckig, er möchte aber einen rechteckigen Stall für seine Kühe bauen. Wie sollte der Bauer das Grundstück einteilen. Sodass er einen möglichst großen Stall bekommt? Der Punkt P liegt auf der Geraden Für den Flächeninhalt gilt: A = 300; für x = Schnittprobleme Um die Schnittpunkte verschiedener Funktionen ohne Skizze herauszufinden muss man die beiden Funktionsterme gleichsetzen. Die (quadratische oder lineare) Gleichung wird ganz normal nach x aufgelöst. Diesen Wert setzt man dann in einen der beiden Funktionen ein um den y-wert des Schnittpunktes zu erhalten. Wenn man eine quadratische Gleichung, also eine Gleichung in der mindestens einmal ein vorkommt, erhält löst man sie, wie wenn man Nullstellen (siehe 1.5.1) ausrechnet. Dabei gilt: 2 Lösungen, d. h. die Graphen schneiden sich zweimal 1 Lösung, d.h. die Graphen schneiden oder berühren sich einmal keine Lösung, d.h. die Graphen schneiden sich nie 11

12 und h h p p h und 2.5 Parabel als Ortslinie l Die Punkte auf einer Parabel haben immer den gleichen Abstand ( zum Brennpunkt F und zur Leitgeraden l. Die Leitgerade hat den Abstand p zum Brennpunkt. 12

13 3. Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten 3.1 Mehrstufige Zufallsexperimente Ein mehrstufiges Zufallsexperiment wird ein Zufallsexperiment genannt, das aus mehreren Teilen besteht. Ein mehrstufiges Zufallsexperiment kann aus Paaren (a 1 ; a 2 ), Tripeln (a 1 ; a 2 ; a 3 ) oder allgemein aus n-tuppel (a 1 ; a 2 ; ; a n ) bestehen. Diese n-tuppel bezeichnet man als Ergebnis und sie stehen für genau einen Pfad des Baumdiagrammes dar. Aus einer Urne mit 2 blauen und 3 roten Kugeln werden 2 Kugeln nacheinander gezogen und wieder zurückgelegt. Stelle dies in einem Baumdiagramm dar und nenne die 2 Tuppel/Lösungspaare? 1. Zug 2. Zug Tuppel (hier: Paare) r b r (r; r) b (r; b) r (b; r) b (b; b) Pfadregel Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (eines mehrstufigen Zufallsexperiments) auszurechnen, multipliziert man die Wahrscheinlichkeit des entsprechendes Pfades im Baumdiagramm. Aus einer Urne mit 2 blauen und 3 roten Kugeln werden 2 nacheinander gezogen und wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide blauen Kugeln gezogen werden? 1. Stufe 2. Stufe Wahrscheinlichkeit r b r b r b 13

14 Z Pfadregel Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade bildet, die zu dem Ereignis gehört. Dabei gilt: Erinnerung: Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist die Mächtigkeit von A durch die Mächtigkeit von Omega. Aus einer Urne mit 2 blauen und 3 roten Kugeln werden 2 nacheinander gezogen und wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine blaue Kugel gezogen wird? oder: oder: 3.4 Simulation von Zufallsexperimenten Wenn man ein Zufallsexperiment durch die gleichen Wahrscheinlichkeiten nachahmen kann nennt man das Simulation von Zufallsexperimenten. Die bei der Simulation herausgefundene relative Häufigkeit eines Ereignisses wird als Schätzwert für das ursprüngliche Ereignis verwendet. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man anstatt einer Münze einen Würfel dreimal wirft und nur feststellt, ob die Zahl gerade oder ungerade ist. Diese Technik wird sehr oft angewendet, um Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses am Computer zu simulieren. 4. Quellen Prof. Schmid A., Prof. Dr. Weidig I. Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien, S , Stuttgart/Leipzig, 2007 Bilder/Grafiken: selbst erstellt mit Geogebra 14