Spieltheorie mit. sozialwissenschaftlichen Anwendungen

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1 Friedel Bolle, Claudia Vogel Spieltheorie mit sozialwissenschaftlichen Anwendungen SS 2010 Spieltheorie und Anwendungen 1. Spiele mit simultanen und sequentiellen Zügen Informationsmengen Normalform vs. extensive Form Nash-Gleichgewicht vs. Rückwärtsinduktion Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht 2. Spiele mit gemischten Strategien Einleitung Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien 2 1

2 Spiele mit simultanen und sequentiellen Zügen Bisher: 1. Sequentielle Spiele mit vollkommener Information (extensive Form, Spielbaum, Rückwärtsinduktion ) 2. Spiele mit simultanen Zügen (strategische Form, Auszahlungsmatrix, Nash-Gleichgewicht ) Jetzt: Spiele mit simultanen und sequentiellen Zügen 3 Informationsmengen Das wesentliche an simultanen Zügen ist nicht, dass sie tatsächlich gleichzeitig stattfinden, sondern dass es keine Möglichkeit für einen der Spieler gibt, auf die simultanen Entscheidungen der anderen zu reagieren. Dies ist der Ausgangspunkt für die Darstellung simultaner Züge in Spielbäumen. Die Idee ist: Willkürlich eine Reihenfolge der simultanen Entscheidungen festzulegen diese im Spielbaum darzustellen und durch Informationsmengen darzustellen, dass ein Spieler über die simultanen Züge anderer Spieler nicht informiert ist. 4 2

3 Informationsmengen 5 Externe Unsicherheit 6 3

4 Normalform vs. Extensive Form Sequentielle Spieler werden zu simultanen Spielen, wenn die Spieler die Züge ihrer Gegner nicht mehr beobachten können. Simultane Spiele werden sequentiell, wenn einer der Spieler in der Lage ist, den Zug des anderen zu beobachten und darauf zu reagieren. Jede Änderung der Spielregel führt zu einem anderen Ergebnis des Spiels. 7 Beispiel 1: Keine Ergebnisänderung 1/2 Husband CONFESS (Defect) DENY (Cooperate) CONFESS (Defect) 10yr, 10yr 25yr, 1yr Wife DENY (Cooperate) 1yr, 25yr 3yr, 3yr 8 4

5 Beispiel 1: Keine Ergebnisänderung 2/2 Sequentielles Spiel: Husband zieht zuerst Wife zieht zuerst 9 Beispiel 2: First-mover advantage 1/2 James Swerve (Chicken) Straight (Tough) Swerve (Chicken) Dean Straight (Tough) 0, 0-1, 1 1, -1-2,

6 Beispiel 2: First-mover advantage 2/2 Sequentielles Spiel: James zieht zuerst Dean zieht zuerst 11 Beispiel 3: Second-mover advantage 1/2 Evert Navratilova DL CC DL 50,50 80,20 CC 90,10 20,

7 Beispiel 3: Second-mover advantage 2/2 Sequentielles Spiel: Evert zieht zuerst Navratilova zieht zuerst 13 Beispiel 4: Verbesserung für Beide 1/2 Congress Budget Balance Budget Deficit Federal Reserve Low interest rates High interest rates 3, 4 1, 3 4, 1 2,

8 Beispiel 4: Verbesserung für Beide 2/2 Sequentielles Spiel: Congress zieht zuerst Fed zieht zuerst 15 Nash-Gleichgewicht vs. Rückwärtsinduktion 1/3 Federal Reserve Low if B High if D High if B Low if D Low, Low High, High Congress Balance 3,4 1,3 3,4 1,3 Deficit 2,2 4,1 4,1 2,2 16 8

9 Nash-Gleichgewicht vs. Rückwärtsinduktion 2/3 Jede Rückwärtsinduktionslösung in einem Spiel mit perfekter Information ist auch ein Nash-Gleichgewicht. Aber nicht jedes Nash- Gleichgewicht in einem solchen Spiel ist auch eine Rückwärtsinduktionslösung. Die Analyse in der strategischen Form geht davon aus, dass die Spieler sich zu Beginn des Spieles auf ihre Strategien festlegen. In einem Nash-Gleichgewicht hat kein Spieler einen Anreiz von seiner Strategiewahl abzuweichen falls alle Spieler sich an ihre Strategien halten. In einer Rückwärtsinduktion wird zusätzlich überprüft, ob die Entscheidungen der Spieler nach jedem möglichen Verlauf des Spiels optimal sind. 17 Nash-Gleichgewicht vs. Rückwärtsinduktion 3/3 Welches Lösungskonzept sollte man verwenden? Nash-Gleichgewichte, die nicht einer Rückwärtsinduktion entsprechen, beruhen auf unglaubwürdigen Drohungen. Rationale Spieler werden die Unglaubwürdigkeit solcher Drohungen durchschauen. Schlussfolgerung: Betrachte nur die Rückwärtsinduktionslösung. Das Konzept der Rückwärtsinduktion unterstellt ein Übermaß an Rationalität und Kenntnis der Spielsituation. Das Konzept des Nash-Gleichgewichts ist hier robuster. Schlussfolgerung: Betrachte alle Nash-Gleichgewichte und entscheide im Einzelfalle, o es gute Argumente gibt, eines oder mehrere zu eliminieren. 18 9

10 Weitere Definitionen Außerhalb des Gleichgewichtspfades heißt, dass der gewählte Weg bei den gewählten Strategien der Spieler nicht erreicht werden kann. Eine Strategiekombination ist ein teilspielperfektes Nash- Gleichgewicht wenn sie in jedem Teilspiel ein Nash-Gleichgewicht induziert. Strategien müssen auch außerhalb des Gleichgewichtspfades optimal sein. Die Weiterführung der Strategie muss für jeden Spieler in jedem Teilspiel die beste Antwort auf die Strategie seiner Mitspieler sein. 19 Beispiel 20 10

11 Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht In einem teilspielperfekten Nash-Gleichgewicht ist die Strategie jedes Spielers optimal, gegeben die Strategien der anderen Spieler im gesamten Spiel. Optimal in allen Teilspielen, welche erreicht werden, wenn die Spieler ihre Strategien befolgen Optimal auch in allen Teilspielen, welche nicht erreicht werden, wenn die Spieler ihre Strategien befolgen. Jedes extensive Spiel mit perfekter Information hat ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. 21 Beispiel: Kampf der Geschlechter 1/2 Zwei Spieler: Harry und Sally Sie müssen wählen, was sie am Abend unternehmen. Harry kommt als erster zum Zug und entscheidet, ob er zu Hause fernsieht oder ausgeht. Wenn er entscheidet auszugehen, müssen beide Spieler simultan entscheiden, ob sie ein Fußballspiel oder das Ballett besuchen

12 Beispiel: Kampf der Geschlechter 2/2 2 2 TV F H S F ausgehen H B S B F B Harry Sally F B (ausgehen, F) 3,1 0,0 (ausgehen, B) 0,0 1,3 (TV, F) 2,2 2,2 (TV, B) 2,2 2, Analyse des zweiten Teilspiels 2 2 TV H F ausgehen H B Harry Sally F B F 3,1 0,0 B 0,0 1,3 S S F B F B

13 Schlussfolgerung aus der Analyse des zweiten Teilspiels Ergebnis im letzten Teilspiel (F,F) Ergebnis im letzten Teilspiel (B,B) TV H ausgehen TV H ausgehen ((ausgehen, F),F) ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht ((TV,B),B) ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht 25 Finden teilspielperfekter Gleichgewichte Es gibt zwei teilspielperfekte Gleichgewichte: ((ausgehen,f),f) ((TV,B),B) Das Nash-Gleichgewicht ((TV,F),B) ist nicht teilspielperfekt: (F,B) ist kein Nash-Gleichgewicht im letzten Teilspiel

14 Spieltheorie und Anwendungen 1. Spiele mit simultanen und sequentiellen Zügen Informationsmengen Normalform vs. extensive Form Nash-Gleichgewicht vs. Rückwärtsinduktion Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht 2. Spiele mit gemischten Strategien Einleitung Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien 27 Gemischte Strategien Reine Strategie: eine Aktion, die einem Spieler zur Verfügung steht Gemischte Strategie: eine Mischung der reinen Strategien. Jede reine Strategie wird mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit gewählt. Erwartete Auszahlung einer gemischten Strategie: der mathematische Erwartungswert der Auszahlungen 28 14

15 Beispiel Spieler 2 x y z Spieler 1 a 4,10 1,0 1,3 b 7,0 0,10 10,3 Erwartete Auszahlung für Münze von Spieler 2, wenn Spieler 1 a spielt: E= =5 Erwartete Auszahlung für Münze von Spieler 2, wenn Spieler 1 b spielt: E= =5 29 Beste Antworten 1/3 Spieler 2 p x y (1-p) Spieler 1 a q 4,10 1,0 b (1-q) 7,0 0,10 Erwartungswert von Spieler 2: E 1 =10pq +0(1-p)q +0p(1-q) +10(1-p)(1-q)=20pq-10p-10q+10 Erwartungswert von Spieler 1: E 2 =4pq+1(1-p)q+7p(1-q) +0(1-p)(1-q) = - 4pq+7p+q 30 15

16 Beste Antworten 2/3 Beste Antwort von Spieler 2 auf q von Spieler 1: E 1 =p(20q-10)-10q+10 q>0.5 (20q-10)>0 beste Antwort: p=1 q=0.5 (20q-10)=0 beste Antwort: jedes p q<0.5 (20q-10)<0 beste Antwort: p=0 Beste Antwort von Spieler 1 auf p von Spieler 2: E 2 =q(- 4p+1)+7p p<0.25 (- 4p+1)>0 beste Antwort: q=1 p=0.25 (- 4p+1)=0 beste Antwort: jedes q p>0.25 (- 4p+1)<0 beste Antwort: q=0 31 q 1 Beste Antworten 3/3 Spieler 2: q<0.5 q=0.5 q>0.5 p=0 jedes p p=1 0,5 Nash Gleichgewicht Spieler 1: p<0.25 q=1 p=0.25 jedes q p>0.25 q=0 0,25 0,5 1 p 32 16

17 Gemischte Strategien in Chicken James ausweichen p Dean geradeaus (1-p) ausweichen q 0,0-1,1 geradeaus (1-q) 1,-1-2,-2 Erwartungswert von DEAN: E D =0pq +1(1-p)q -1p(1-q) -2(1-p)(1-q) =p(1-2q)+3q-2 Erwartungswert von JAMES: E J =0pq -1(1-p)q +1p(1-q) -2(1-p)(1-q) = q(1-2p)+3p-2 33 Beste Antworten 1/2 Beste Antwort von DEAN auf q von JAMES: E D = p(1-2q)+3q-2 q<0.5 (1-2q)>0 beste Antwort: p=1 q=0.5 (1-2q)=0 beste Antwort: jedes p q>0.5 (1-2q)<0 beste Antwort: p=0 Beste Antwort von JAMES auf p von DEAN: E 2 =q(1-2p)+3p-2 p<0.5 (1-2q)>0 beste Antwort: q=1 p=0.5 (1-2q)=0 beste Antwort: jedes q p>0.5 (1-2q)<0 beste Antwort: q=

18 q 1 0,5 Beste Antworten 2/2 DEAN: q<0.5 q=0.5 q>0.5 JAMES: p<0.5 p=0.5 p>0.5 p=1 jedes p p=0 q=1 jedes q q=0 0,5 1 p 35 Allgemein 1/2 Spieler 1 Spieler 2 p x y (1-p) a q α,a β,b b (1-q) γ,c δ,d Erwartungswert für Spieler 2: E 1 =apq+b(1-p)q+cp(1-q)+d(1-p)(1-q) =p[qa-qb+(1-q)c-(1-q)d]+qb+(1-q)d 36 18

19 Allgemein 2/2 Beste Antwort von Spieler 2 auf (q, 1-q) von Spieler 1 E 1 =p[qa-qb+(1-q)c-(1-q)d]+qb+(1-q)d 1 für [ ]>0 p= jedes für [ ]=0 0 für [ ]<0 Analog für Spieler 1. Indifferenzkriterium: Eine gemischte Strategie erfordert für beide Spieler, dass Sie zwischen ihren Strategien indifferent sind [ ]=0 Lösen von [ ]=0 für p bzw. q führt zu folgenden Formeln: p= δ-β α-β-γ+δ q= d-c a-b-c+d 37 Beispiel von oben Spieler 1 Spieler 2 p x y (1-p) a q 4 α,10 a 1 β,0 b b (1-q) 7 γ,0 c 0 δ,10 d p= δ-β α-β-γ+δ 0-1 = =0.25 Spieler 2: (0.25,0.75) d-c 10-0 q= = =0.5 a-b-c+d Spieler 1: (0.5,0.5) 38 19

20 Anmerkungen zu Nash-Gleichgewichten in Gemischten Strategien Jedes endliche Spiel mit simultanen Zügen besitzt mindestens ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien. endlich bedeutet, dass es eine endliche Anzahl von Spielern gibt, die jeweils über eine endliche Anzahl von Aktionen verfügen. Auch ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien ist ein Nash- Gleichgewicht in gemischten Strategien. Eigenschaften eines Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien: Jeder Spieler ist zwischen seinen Handlungen indifferent (er kann sich aber nicht strikt verbessern). Die Spieler wählen eine Strategie, welche den Gegner indifferent macht zwischen seinen Aktionen