Alle angegebenen Gleichungen enthalten genau eine Unbekannte, nämlich x. Um x zu bestimmen, gehen Sie wie folgt vor:

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1 Lösungscoach Gleichungen umformen Aufgabe Lösen Sie die folgenden Gleichungen: a) (x ) 4 = 6 b) x 2 = 2 x c) x : = 2 x Lösungscoach Alle angegebenen Gleichungen enthalten genau eine Unbekannte, nämlich x. Um x zu bestimmen, gehen Sie wie folgt vor:. Fassen sie auf beiden Seiten der Gleichung zuerst alle Zahlen zusammen, indem Sie die Klammern (sofern vorhanden) auflösen und die Rechenschritte ausführen, bei denen keine Unbekannte beteiligt ist. 2. Im zweiten Schritt werden alle Vorkommen der Unbekannten zusammengefasst. Falls die Unbekannte auf beiden Seiten vorkommt, wird sie auf der rechten Seite wie folgt eliminiert: 2 x = x x abziehen, um x auf der rechten Seite loszuwerden 2 x x = 0 alle x zusammenfassen: x x = 4 x 2 4 x = 0 Bei Vielfachen der Unbekannten x wird üblicherweise der Malpunkt weggelassen, d. h. man schreibt z. B. x statt x. Damit lässt sich die Umformung von der 2. zur. Zeile der obigen Rechnung wie folgt erklären: Bei 2 x x wird von der zwei zuerst einmal die Unbekannte x abgezogen, danach noch weitere drei Mal, so dass insgesamt viermal die Unbekannte abgezogen wird. Es ist also 2 x x = 2 4 x. 2 Notieren Sie in jeder Zeile rechts hinter einem senkrechten Strich, welche Umformungen Sie vornehmen, um auf die nächste Zeile zu kommen. So behalten Sie besser den Überblick und können im Nachhinein ihre Rechnung schneller prüfen und eventuell Fehler ausmerzen. Oben wurden die Umformungen mit Worten beschrieben, es empfiehlt sich allerdings, der Schreibaufwand zu verringern, indem man die Umformungen mit kurzen Formeln beschreibt, z. B. x anstatt x abziehen, um x von der rechten Seite zu eliminieren. siehe dazu den Lösungscoach zu den kombinierten Grundrechenarten 2 Man kann auch x ausklammern: Nach dem Distributivgesetzt ist 2 x x = 2 ( + ) x = 2 4x. Touchdown Mathe Seite sponsored by

2 . Falls auf der linken Seite Zahlen addiert oder subtrahiert werden, muss diese Addition oder Subtraktion rückgängig gemacht werden, so dass schließlich nur noch x mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert wird. Durch erneute Rückrechnung kommt man dann auf x. Die einzelnen Schritte werden im Folgenden genauer erläutert ausgeführt. a) Schritt : Klammern auflösen und Zahlen zusammenfassen Die Klammer auf der linken Seite der Gleichung (x ) 4 = 6 löst man auf, indem man jedes Glied in der Klammer mit der Zahl außerhalb multipliziert: x 4 ist 4x und 4 = 4, also ist (x ) 4 = x 4 4 = 4x 4. Aus (x ) 4 = 6 folgt somit 4x 4 = 6. Schritt 2: Unbekannte zusammenfassen In der Gleichung 4x 4 = 6 aus Schritt taucht die Unbekannte x nur einmal auf, also brauchen hier nicht mehrere Vorkommen zusammengefasst zu werden. Schritt : Gleichung nach der Unbekannten auflösen Die Gleichung 4x 4 = 6 aus Schritt 2 kann jetzt durch zweimalige Rückrechnung nach x aufgelöst werden, d. h. man kann die Gleichung in zwei Schritten so umformen, dass auf der linken Seite nur noch x steht (und rechts nur Zahlen). Das wird durch folgende Skizze veranschaulicht: 4 4 x 4x 4x 4 = 6 : Um von x auf 4x 4 zu kommen, muss x zuerst vervierfacht werden, dann werden vom Ergebnis noch 4 abgezogen. Um von 4x 4 wieder zu x zurück zu kommen, müssen also Touchdown Mathe Seite 2 sponsored by

3 zuerst die 4 wieder dazugezählt werden und das Ergebnis anschließend durch 4 geteilt werden: 4x 4 = x = 20 : 4 x = 20 : 4 = 5 Somit ist x = 5. Bemerkung: Bei Teilaufgabe a) bietet sich auch eine zweimalige Rückrechnung an: Um von x auf (x ) 4 zu kommen, wird zuerst von x abgezogen, dann wird das Ergebnis mit 4 multipliziert. Um das rückgängig zu machen, wird durch 4 geteilt und anschließend addiert: 4 x (x ) (x ) 4 = 6 + : 4 Ausgehend von der 6 auf der rechten Seite erhält man nach und nach 6 : 4 = 4 und schließlich 4 + = 5. Also ist x = 5. Probe (nicht zwingend notwendig, aber zur Erkennung von eventuellen Fehlern nützlich): Einsetzen von x = 5 in die ursprüngliche Gleichung (x ) 4 = 6 liefert (5 ) 4 = 6, also 4 4 = 6 und das ist richtig. b) Schritt : Klammern auflösen und Zahlen zusammenfassen In der Gleichung x 2 = 2 x kommen zwar keine Klammern vor, aber den Ausdruck 2 können wir durch Multiplikation zu 6 vereinfachen. Wegen der Punkt-vor-Strich-Regel ist also x 2 = x 6. Unsere ursprüngliche Gleichung x 2 = 2 x vereinfacht sich somit zu x 6 = 2 x. Touchdown Mathe Seite sponsored by

4 Schritt 2: Unbekannte zusammenfassen In der Gleichung x 6 = 2 x aus Schritt taucht die Unbekannte x an zwei Stellen auf. Alle Vorkommen der Unbekannten müssen auf die linke Seite gebracht und zusammengefasst werden. Dazu muss das x auf der rechten Seite der Gleichung auf die andere Seite übertragen werden. Dazu wenden wir eine Rückrechnung an: Das x wird auf der rechten Seite von der 2 abgezogen, also müssen wir x addieren, um die rechte Seite von der Unbekannten zu befreien: x 6 = 2 x + x x 6 + x = 2 Um von der ersten Zeile auf die zweite zu kommen, wird auf beiden Seiten x addiert. Dadurch wird die rechte Seite zu 2 x + x, wobei sich die Rechenschritte x und +x gegenseitig aufheben, so dass nur noch 2 übrig bleibt. Jetzt kommt die Unbekannte x zweimal auf der linken Seite der Gleichung vor, also müssen wir zusammenfassen: Zuerst vertauschen wir die Reihenfolge der Rechenschritte 6 und +x und erhalten x 6 + x = x + x 6. Die Unbekannte x kann wie eine Einheit (wie Meter, Kilogramm oder Euro) behandelt werden: x + x = 2x. Somit ist x + x 6 = 2x 6. Das ist die neue linke Seite der Gleichung. Auf der rechten Seite steht nach wie vor 2, d. h. wir haben jetzt 2x 6 = 2. Schritt : Gleichung nach der Unbekannten auflösen Die Gleichung 2x 6 = 2 aus Schritt 2 lässt sich mit zweimaliger Rückrechnung nach x auflösen: Streng genommen ist 2x eine Kurzschreibweise für 2 x und die Umformung von x + x zu 2x geht über das Distributivgesetz: x + x = x + x = ( + ) x = 2 x = 2x. Touchdown Mathe Seite 4 sponsored by

5 2 6 x 2x 2x 6 = 2 : Die Umformungen können Sie wie folgt aufschreiben: 2x 6 = x = 8 : 2 x = 4 Die Lösung lautet also x = 4. c) Für diese Teilaufgabe brauchen Sie all ihr Grundwissen über die Rechengesetze für Addition und Subtraktion, Vertauschungs- und Vorzeichenregel bei der Multiplikation und bei der Division sowie kombinierte Grundrechenarten. Desweiteren müssen Sie einen Quotienten in Bruchschreibweise umwandeln. Schritt : Klammern auflösen und Zahlen zusammenfassen Auf der linken Seite der Gleichung x : = 2x gibt es zwar keine Klammern zum Auflösen, dafür aber Zahlen, die zusammengefasst werden müssen: Es ist nach dem kleinen Einmaleins 2 2 = 4 und 9 4 = 5, also gilt x : = x : = x : + 5 Die Gleichung x : = 2 x ist daher gleichbedeutend mit x : + 5 = 2 x Schritt 2: Unbekannte zusammenfassen In der Gleichung x : + 5 = 2 x aus Schritt taucht die Unbekannte x zweimal auf, nämlich einmal auf der rechten Seite und einmal auf der linken Seite. Also müssen wir die 2 x von der Touchdown Mathe Seite 5 sponsored by

6 rechten Seite eliminieren, d. h. von beiden Seiten abziehen: x : + 5 = 2 x x : x = 0 Die zwei Vorkommen von x auf der linken Seite müssen noch zusammengefasst werden. Dazu schreibt man am besten x : als Bruch: x : = x = x = x = x. Damit ist x : +5 2 x = x +5 2 x. Statt zuerst 5 dazuzuzählen und dann 2 x abzuziehen, können wir auch zuerst die 2 x abziehen und dann 5 dazuzählen, d. h. x+5 2 x = x 2 x+5. Jetzt klammern wir x aus: x 2x + 5 = ( ) 2 x + 5, wobei in der Klammer Brüche subtrahiert werden müssen. Da die Brüche und 2 den gleichen Nenner haben, genügt es, diesen beizubehalten und nur die Zähler zu verrechnen: 2 = 2 = =. Also ist ( ) 2 x + 5 = x + 5. Wir können somit die Gleichung x : + 5 = 2x zu x + 5 = 0 umformen, wobei wir die einzelnen Schritte wie folgt notieren: x : + 5 = 2 x 2 x : x = 0 Quotient in Bruch umwandeln x x = 0 umordnen x 2 x + 5 = 0 x ausklammern ( 2 x + 5 = 0 Klammer berechnen ) x + 5 = 0 Schritt : Gleichung nach der Unbekannten auflösen Die Gleichung x + 5 = 0 aus Schritt 2 kann jetzt durch zweimalige Rückrechnung nach x aufgelöst werden, d. h. man kann die Gleichung in zwei Schritten so umformen, dass auf Touchdown Mathe Seite 6 sponsored by

7 der linken Seite nur noch x steht (und rechts nur Zahlen). Das wird durch folgende Skizze veranschaulicht: ( ) + 5 x x x + 5 = 0 : ( ) 5 Um von x auf x +5 zu kommen, muss x zuerst mit ( ) multipliziert werden, dann werden zum Ergebnis noch 5 hinzugefügt. Um von x + 5 wieder zu x zurück zu kommen, müssen also zuerst die 5 wieder abgezogen werden und das Ergebnis anschließend durch ( ) geteilt werden (sie Lösungscoach zur Division von Brüchen): x + 5 = 0 5 x = 5 : ( x = 5 : ( ) ) x = 5 : x = 5 = 5 = 5 Somit ist x = 5. Probe (nicht zwingend notwendig, aber zur Erkennung von eventuellen Fehlern nützlich): Einsetzen von x = 5 in die ursprüngliche Gleichung x : = 2 x liefert 5 : = 2 5, also = 2 5, was gleichbedeutend ist mit 0 = 0 : und das ist richtig, denn 0 = 0. Lösung: a) x = 5 b) x = 4 c) x = 5 Touchdown Mathe Seite 7 sponsored by