Kapitel 1. Bezugssysteme. 1.1 Koordinatensysteme

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1 Kapitel 1 Bezugssysteme Wenn wir die Bewegung eines Teilchens messen oder vorausberechnen, liefern wir eine Reihe von Ereignissen (r i, t i ), die jeweils aus einem Ortsvektor r i und der dazugehörenden Zeitangabe t i bestehen. Im Idealfall liefert eine Rechnung eine unendliche Menge von Ereignissen, die wir als Bahnkurve r(t) des Teilchens bezeichnen. Bei der Ortsangabe r i kann es sich um eine bloße Benennung handeln, wie etwa Nordpol der Erde oder Mittelpunkt der Sonne, oder um ein Zahlentupel wie (1, 4, 0). Ein solches Zahlentupel bezeichnen wir in diesem Fall als Koordinaten. Für die Formulierung von physikalischen Gesetzen ist der zweite Fall besser geeignet. Die Angabe von Koordinaten alleine ist aber für die Festlegung eines Ortes nicht ausreichend, wir müssen zusätzlich noch ein Bezugssystem angeben. Unter einem Bezugssystem können wir eine Vorschrift verstehen, die uns sagt, auf welchen Ort sich welche Koordinaten beziehen. 1.1 Koordinatensysteme Um die Bewegung eines Körpers zu beschreiben, verwenden wir ein Bezugssystem, zum Beispiel einen Labortisch, oder die Sonne oder die Fixsterne. Um die Bewegung auch quantitativ beschreiben zu können, also um Längen und Zeiten zu messen, verwenden wir ein Koordinatensystem, ein Bezugssystem, in dem jeder Punkt in Raum und Zeit durch die Angabe von Zahlenwerten und Maßeinheiten, den Koordinaten, eindeutig festgelegt wird. Wir gehen in Übereinstimmung mit unser alltäglichen Anschauung davon aus, das der Raum durch die euklidische Geometrie beschrieben werden kann. Daraus folgt zum Beispiel, dass die Winkelsumme eines Dreieckes immer 180 beträgt, und dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten eine Gerade ist. Die Allgemeine Relativitätstheorie, die hier nicht behandelt wird, lehrt uns, dass der Raum tatsächlich nicht euklidisch ist. Zum Beispiel bewegt sich das Licht in der Nähe von großen Massen, wie der Sonne, auf einer gekrümmten Bahn, die in diesem Fall die kürzeste Verbin- 2

2 dung zwischen zwei Punkten ist. Das Fermatsche Prinzip, nach dem Licht sich immer die kürzeste Verbindung wählt, bleibt auch hier gültig, unsere Annahme vom euklidischen Raum dagegen nicht. Auch die mikroskopische Beschreibung der Natur auf sehr kleinen Längenskalen erfordert möglicherweise eine Abkehr von der Vorstellung des dreidimensionalen, euklidischen Raums. Da diese Bereiche hier aber nicht behandelt werden, können wir bei der euklidischen Geometrie bleiben, und die mathematisch sehr anspruchsvolle, differentialgeometrische Beschreibung gekrümmter Räume umgehen. Der Einfachheit halber verwenden wir, wenn nicht ausdrücklich anders vermerkt, ausschließlich kartesische Koordinatensysteme. Die Lage eines Punktes relativ zum Ursprung des Koordinatensystems und zur Orientierung der Achsen kann dann durch einen Ortsvektor r = x y z (1.1) darstellen, dessen Komponenten x, y und z wir als Koordinaten bezeichnen. Zu den drei räumlichen Dimensionen kommt noch die Zeit t als vierte Dimension hinzu. Die Koordinaten eines Massenpunktes können sich natürlich im Laufe der Zeit ändern, so dass wir eigentlich die ausführlichere Schreibweise r(t), x(t), y(t) und z(t) verwenden müssen. Der Kürze wegen lassen wir den ausdrücklichen Hinweis auf die Zeitabhängigkeit aber oft weg. Ebenfalls der Kürze wegen drücken wir die erste und die zweite zeitliche Ableitung einer physikalischen Größe häufig durch einen beziehungsweise zwei Punkte über dem Symbol der Größe aus. Wir schreiben also beispielsweise dx dt = ẋ, dr dt = ṙ oder d 2 r = r (1.2) dt2 Durch Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor v = ṙ = (ẋ, ẏ, ż) (1.3) und durch erneute Ableitung den Beschleunigungsvektor a = v = r = (ẍ, ÿ, z) (1.4) Die Entfernung r eines Punktes vom Ursprung, also die Länge des Ortsvektors r, können wir in einem kartesischen Koordinatensystem einfach als Wurzel aus dem Skalarprodukt des Ortsvektors mit sich selbst schreiben: r = r r = x 2 + y 2 + z 2 (1.5) 1.2 Koordinatentransformationen Die Koordinaten eines Punktes hängen von dem Koordinatensystem ab, das wir verwenden. Die Umrechnung der Koordinaten (x, y, z) im Koordinatensystem S 3

3 in die Koordinaten (x, y, z ) eines anderen Koordinatensystems S nennen wir eine Koordinatentransformation. Ein einfaches Beispiel ist eine Verschiebung um eine Strecke x 0 entlang der x-achse. Es gilt dann x = x + x 0, y = y und z = z (1.6) Allgemeiner können wir auch eine Verschiebung um einen beliebigen konstanten Vektor r 0 vornehmen: r = r + r 0. (1.7) Eine Verschiebung des Zeitnullpunktes um die Zeitdauer t 0 führt zu der Koordinatentransformation t = t + t 0. (1.8) Eine Drehung der Koordinatenachsen lässt sich durch eine Drehmatrix M beschreiben: r = Mr. (1.9) Eine solche Drehmatrix hat die Eigenschaft Det (M) = +1, (1.10) das heißt die Determinante der Matrix ist gleich eins. Ein einfaches Beispiel ist eine Drehung um die z-achse um den Winkel α in mathematisch positiver Richtung. Die Drehmatrix M für eine solche Drehung lautet M = 1.3 Forminvarianz cos α sin α 0 sin α cos α (1.11) Offenbar hängt die Form der physikalischen Gesetze davon ab, welches Bezugssystem wir wählen. Ein einfaches Beispiel veranschaulicht diese Feststellung: Ein Beobachter A auf der Erdoberfläche lässt einen Apfel zu Boden fallen und stellt dabei fest, dass sich die Bewegung des Apfels recht gut mit Hilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes, F = ma, (1.12) beschreiben lässt: Die Kraft F, die auf den Apfel wirkt, ist gleich dem Produkt aus seiner Masse und seiner Beschleunigung a. Neben A befindet sich ein Bahngleis, auf dem sich ein Zug bewegt, der einer zeitabhängigen Beschleunigung b(t) unterliegt. Ein Beobachter B, der sich im Zug befindet, wird Abweichungen vom zweiten Newtonschen Gesetz feststellen. Aus seiner Sicht wird die Bewegung des Apfels am besten durch das Gesetz F + mb(t) = ma (1.13) 4

4 beschrieben. Der zweite Term auf der linken Seite dieser Gleichung wird als Trägheitskraft (auch Bezugssystem- oder Scheinkraft) aufgefasst. Solche Kräfte treten nur in bestimmten Bezugssystemen auf. Dieses Beispiel zeigt uns, dass die physikalischen Gesetze in einigen Bezugssystemen eine einfachere Form - wie in Gleichung (1.12), und in anderen Bezugssystemen eine weniger einfache Form - wie in Gleichung (1.13) - annehmen. Es liegt nun nahe, das Bezugssystem zu suchen, in dem die physikalischen Gesetze ihre einfachste Form annehmen. Man sieht schnell, dass es nicht nur ein einziges solches Bezugssystem geben kann, denn oft können wir mit Hilfe einer Koordinatentransformation (zum Beispiel mit einer Verschiebung des Koordinatenursprungs) von einem Bezugssystem in ein anderes wechseln, ohne dass die physikalischen Gesetze ihre Form ändern. Wir sagen dann, die physikalischen Gesetze seien forminvariant oder kovariant unter dieser Koordinatentransformation. Als Beispiel betrachten wir das Coulomb-Gesetz F 2,1 = 1 4πɛ 0 Q 1 Q 2 r 2 r 1 2 r 2 r 1 r 2 r 1, (1.14) das im Koordinatensystem K die Kraft beschreibt, die eine Ladung Q 2 am Ort r 2 auf eine Ladung Q 1 am Ort r 1 ausübt. Wenn das Coulomb-Gesetz forminvariant unter einer Koordinatentransformation in das System K ist, dann muss es in diesem System lauten: F 2,1 = 1 4πɛ 0 Q 1 Q 2 r 2 r 1 2 r 2 r 1 r 2 r 1. (1.15) Gleichung (1.15) hat die gleiche Form wie Gleichung (1.14), nur sind die ungestrichenen Größen F 2,1, r 1 und r 2 aus dem System K durch die entsprechenden gestrichenen Größen F 2,1, r 1 und r 2 aus dem System K ersetzt worden. Bei den Ladungen Q 1 und Q 2 setzen wir hier einfach voraus, dass sie invariant unter Koordinatentransformationen sind. Wenn bei der Koordinatentransformation lediglich der Zeitnullpunkt verschoben wird, ist die Forminvarianz des Coulomb-Gesetz offenkundig, denn die Zeit ist in diesem Gesetz nicht explizit enthalten (über eine implizite Zeitabhängigkeit machen wir uns keine Gedanken, da das Coulomb- Gesetz nur für ruhende Ladungen gelten soll). Auch bei einer Verschiebung des räumlichen Koordinatenursprungs ist die Forminvarianz von (1.14) leicht zu erkennen, denn, auch wenn sich die Ortsvektoren r 1 und r 2 ändern, bleibt doch der Verbindungsvektor r 2 r 1 unverändert. Wie wir sehen bleibt bei einer bloßen Verschiebung des zeitlichen oder räumlichen Koordinatenursprungs die Kraft auf die Ladung Q 1 unverändert. Dies ist allerdings keine zwingende Voraussetzung für die Forminvarianz, wie die Betrachtung einer räumlichen Drehung zeigt. In diesem Fall bleibt der Betrag der Kraft, F 2,1, unverändert, ebenso wie der Abstand der Ladungen r 2 r 1. Die Richtung 5

5 der Kraft ändert sich jedoch zwangsläufig, und zwar in gleicher Weise wie die Richtung des Verbindungsvektors r 2 r 1. An der Forminvarianz des Coulomb- Gesetzes ändert sich deswegen nichts, denn nach wie vor gilt, dass die Kraft parallel zum Verbindungsvektor ist, der von Ladung Q 1 auf Ladung Q 2 zeigt. 1.4 Inertialsysteme Wir definieren ein Bezugssystem als Inertialsystem wenn alle physikalischen Gesetze forminvariant unter Verschiebungen des Zeitnullpunktes oder des räumlichen Koordinatenursprungs und unter Drehungen des räumlichen Koordinatenachsenkreuzes sind. Mit anderen Worten sagen wir auch, dass in einem Inertialsystem Raum und Zeit folgende Eigenschaften besitzen: Die Zeit ist homogen, das heißt es spielt keine Rolle, wohin wir den Nullpunkt der Zeitachse legen. Der Raum ist homogen, also überall gleich. Der Raum ist isotrop; es gibt also keine Richtungen, die vor anderen Richtungen ausgezeichnet wären. Der im vorigen Abschnitt beschriebene Zug ist kein Inertialsystem: die Richtung, in der der Zug beschleunigt, ist vor den anderen Richtungen im Raum ausgezeichnet. Dass es überhaupt Inertialsysteme gibt, ist eine Annahme. Wir können das erste Newtonsche Gesetz so interpretieren, dass es die Existenz eines Inertialsystems postuliert. Wenn es mindestens ein Inertialsystem gibt, dann gibt es unendlich viele Inertialsysteme, denn nach Definition ist jedes Bezugssystem, das durch räumliche oder zeitliche Verschiebung oder durch räumliche Drehung aus dem ursprünglichen Inertialsystem hervorgeht, ebenfalls ein Inertialsystem. Daraus folgt, dass es keinen absoluten Raum und keine absolute Zeit gibt. 1.5 Das Relativitätsprinzip Das Relativitätsprinzip besagt, dass es keinen Sinn ergibt, einem Inertialsystem eine absolute Geschwindigkeit zuzuordnen. Zwei Bezugssysteme, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, sind demnach in jeder Hinsicht gleichwertig: die physikalischen Gesetze haben in beiden Systemen die gleiche Form. Wenn ein Bezugssystem K ein Inertialsystem ist, dann ist ein beliebiges zu K mit konstanter Geschwindigkeit bewegtes Koordinatensystem K ebenfalls ein Inertialsystem. Ein Bezugssystem, das gegenüber einem Inertialsystem beschleunigt ist, kann kein Inertialsystem sein, denn infolge der Beschleunigung muss das zweite Newtonsche Gesetz (1.12) um eine Trägheitskraft ergänzt werden (wie beispielsweise in Gleichung (1.13) geschehen). Die Frage, ob sich ein 6

6 Bezugssystem gleichförmig bewegt oder beschleunigt ist, muss also mit Hilfe der Dynamik entschieden werden: treten Trägheitskräfte auf oder nicht? Die Kinematik allein kann diese Frage nicht entscheiden, denn wenn zwei Bezugssysteme gegeneinander beschleunigt sind, können wir mit gleichem Recht jedes der beiden Systeme als unbeschleunigt oder gleichförmig bewegt ansehen. Der Beobachter B kann, aus kinematischer Sicht, seinen Zug als ruhend ansehen. Aus seiner Perspektive vollführt die Erde samt Beobachter A eine beschleunigte Bewegung in Richtung der Bahngleise. Erst das Auftreten einer Trägheitskraft (hier der Zentrifugalkraft) erlaubt, den Zug als beschleunigtes Bezugssystem zu betrachten. Aus den Newtonschen Gesetzen lässt sich so die Existenz eines absoluten Raums folgern. Um uns das klar zu machen, betrachten wir in einem Gedankenexperiment ein Raumschiff, das sich in einem völlig leeren Universum befinden soll. Indem wir im Raumschiff untersuchen, ob Trägheitskräfte auftreten, können wir entscheiden, ob das Raumschiff sich beschleunigt bewegt oder nicht. Da das Universum in diesem Gedankenexperiment völlig leer ist, existieren keine anderen Körper, relativ zu denen das Raumschiff beschleunigt sein könnte, so dass sich die Frage erhebt, wogegen denn das Raumschiff beschleunigt sein soll. Es bleibt nur die Schlussfolgerung, dass es einen absoluten Raum geben muss, relativ zu dem die Beschleunigung festgestellt wird. Die Existenz des absoluten Raums wurde vielfach in Zweifel gezogen, am nachhaltigsten von Ernst Mach, dessen Überlegungen Albert Einstein nach eigenen Aussagen wesentlich bei der Entwicklung seiner Allgemeinen Relativitätstheorie beeinflusst haben. In dieser Theorie gibt es keinen absoluten Raum und keine absolute Beschleunigung mehr, sondern nur noch Beschleunigungen von Körpern relativ zu anderen Körpern. Im Schwerpunktsystem der Massen des Universums kommt man dann zu Gesetzen, die bei nicht zu großen Geschwindigkeiten und nicht zu hohen Massendichten sehr gut mit den Newtonschen Gesetzen übereinstimmen. 1.6 Geschwindigkeitstransformationen Die Gleichungen (1.7)-(1.9) zeigen, wie sich die Koordinaten bei räumlichen und zeitlichen Verschiebungen und bei räumlichen Drehungen transformieren. Wir suchen nun eine Transformationsgleichung für die Koordinaten zweier Inertialsysteme K und K, die sich mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegen. Der Übersichtlichkeit halber betrachten wir einen besonders einfachen Fall. Zur Zeit t = t = 0 fallen die Koordinatenachsen beider Systeme K und K zusammen. Dann zeigt eine Uhr im Ursprung von K, also mit den räumlichen Koordinaten r = (0, 0, 0), genau dann die Zeit t = 0 an, wenn sie mit einer zweiten Uhr zur Deckung kommt, die sich im Ursprung von K, also am Ort r = (0, 0, 0), befindet und die Zeit t = 0 anzeigt. Zu diesem Zeitpunkt sind außerdem die x-, y- und z-achsen des Koordinatensystems K parallel zu den jeweils entsprechenden Achsen des Koordinatensystems K, und das System K bewegt sich mit der kon- 7

7 stanten Geschwindigkeit v in positiver Richtung entlang der gemeinsamen x-x - Achse. Diese spezielle Wahl für die Orientierung der Koordinatenachsen schränkt die volle Allgemeinheit der Geschwindigkeitstransformationen nur scheinbar ein, denn durch Kombination dieser speziellen Geschwindigkeitstransformation mit Drehungen und Verschiebungen lässt sich jede gewünschte Koordinatentransformation mit konstanter Relativgeschwindigkeit erreichen. Die gesuchte Transformationsgleichung für die x -Koordinate lässt sich stets in die Form x = f(t, x) (1.16) bringen, wobei die Funktion f durch die Geschwindigkeit v festgelegt wird. Die Abhängigkeit von y und z ist hier nicht berücksichtigt, da wir uns im Folgenden nur mit Punkten auf der gemeinsamen x-x -Achse beschäftigen wollen, für die die y- und z-koordinaten stets Null sind. Da der Raum in Inertialsystemen nach Definition homogen ist, muss die Transformation (1.16) forminvariant unter einer Verschiebung des räumlichen Koordinatenursprungs sein. Daraus folgt, dass die Funktion f linear bezüglich der Variablen x sein muss, denn nur eine lineare Funktion hat überall auf der x-achse die gleiche Form. Bei einer Geraden ist kein Punkt auf der x-achse vor dem anderen ausgezeichnet, während die Parabel bespielsweise durch ihr Minimum einen ausgezeichneten Punkt besitzt. Ein anderer Weg, die Linearität von f zu zeigen, verwendet zwei um konstante Strecken ɛ beziehungsweise ɛ längs der x-achse verschobene Koordinatensysteme K und K mit x = x + ɛ und x = x + ɛ. (1.17) Dabei wird die Strecke ɛ in Abhängigkeit von ɛ und v so gewählt, dass zur Zeit t = t = 0 die räumlichen Koordinatenachsen von K und K zusammenfallen. Da die Geschwindigkeitstransformation forminvariant sein soll, muss die Geschwindigkeitstransformation die Form haben, woraus mit (1.16) und (1.17) x = f(t, x ) (1.18) f(t, x + ɛ) f(t, x) = ɛ (1.19) folgt. Da ɛ nur von ɛ und v, nicht aber von x abhängt, ist f(t, x) eine in x lineare Funktion. Auf analoge Weise ergibt sich die Linearität von f bezüglich t. Die gesuchte Geschwindigkeitstransformation lässt sich daher in der Form t = α t + η x x = κ t + γ x (1.20) schreiben, wobei die Koeffizienten α, η, κ und γ von der Geschwindigkeit v nicht aber von den Koordinaten t und x abhängen. 8

8 Um die Rücktransformation von K nach K zu erhalten, definieren wir α(v) = α( v), η(v) = η( v), κ(v) = κ( v) und γ(v) = γ( v). (1.21) Aus der Sicht eines Beobachters in K bewegt sich das System K mit der Geschwindigkeit v, weshalb wir die Rücktransformation in der Form t = α t + η x x = κ t + γ x (1.22) schreiben können. Um die noch unbekannten Koeffizienten α, η, κ und γ zu bestimmen, betrachten wir vier Fälle: Sei E a ein Ereignis mit den Koordinaten t a und x a im System K, das die Bedingung x a = 0 erfüllt. Dieses Ereignis beschreibt die Position des Ursprungs von K zu einem willkürlich gewählten Zeitpunkt t a. Da sich der Ursprung von K aus der Sicht von K mit der Geschwindigkeit v längs der gemeinsamen x-x -Achse bewegt, gilt für die Koordinaten von E a im ungestrichenen System K x a = vt a. (1.23) Mit Hilfe der Transformationsgleichungen (1.20) folgt daraus 0 = κt a + γvt a, (1.24) wodurch wir κ = vγ (1.25) als erste Bestimmungsgleichung für die gesuchten Koeffizienten erhalten. Aus (1.20) und (1.23) erhalten wir t a = αt a + ηvt a (1.26) für die Zeitkoordinate von Ereignis E a im System K und mit Hilfe der Rücktransformation (1.22) die entsprechende Zeitkoordinate t a = αt a (1.27) im System K. Die Kombination von (1.26) und (1.27) liefert η = 1 ( ) 1 v α α (1.28) als zweite Bestimmungsgleichung. 9

9 Ein zweites Ereignis E b mit den Kooordinaten t b und x b im System K, das die Bedingung x b = 0 erfüllt, beschreibt die Position des Ursprungs von K zu einem willkürlich gewählten Zeitpunkt t b. Da sich der Ursprung von K aus der Sicht von K mit der Geschwindigkeit v längs der gemeinsamen x- x -Achse bewegt, gilt für die Koordinaten dieses Ereignisses im gestrichenen System K x b = vt b. (1.29) Aus den Transformationsgleichungen (1.20) erhalten wir für E b Zusammen mit (1.29) führt dies auf als dritte Bestimmungsgleichung. t b = αt b und x b = κt b. (1.30) κ = vα (1.31) Dreht man die Koordinatensystem K und K zum Zeitpunkt t = t = 0 um 180 die gemeinsame y-y -Achse, geht die Geschwindigkeit v in v über, und die räumlichen Koordinaten x und x gehen in x beziehungsweise x über, während die Zeitkoordinaten t und t unverändert bleiben. Wenden wir diese Ersetzungsregeln auf Gleichung (1.30) an, erhalten wir Der Vergleich von (1.30) und (1.32) führt auf t b = αt b und x b = κt b. (1.32) α = α und κ = κ. (1.33) Mit Hilfe der oben hergeleiteten Bestimmungsgleichungen können wir jetzt die Koeffizienten α, η und κ durch den Koeffizienten γ ausdrücken, so dass die Transformationsgleichungen nur noch von γ abhängen: t = γt + v 1 ( γ 1 γ ) x und x = γvt + γx. (1.34) 1.7 Galilei-Transformation Die Transformationsgleichungen (1.34) erhält ihre einfachste Form, wenn wir annehmen, dass γ eine Konstante ist, also nicht von v abhängt. Da sich die Gleichungen (1.34) für den Sonderfall v = 0 auf x = x und t = t reduzieren müssen, gibt es für ein konstantes γ nur die Möglichkeit γ = 1. Die so erhaltene Transformation t = t und x = vt + x (1.35) 10

10 wird als Galilei-Transformation bezeichnet. Eine wichtige Eigenschaft der Galilei- Transformation ist, dass die Beobachter in den Bezugssystemen K und K unabhängig vom Ort immer die gleiche Zeit messen. Wie wir sehen werden, ist die Galilei-Transformation die einzige der durch Gleichung (1.34) beschriebenen Transformationen, die diese Eigenschaft hat. Als Folge bleiben auch räumliche Abstände invariant unter einer Geschwindigkeitstransformation. Wenn wir im System K zur Zeit t den Abstand x 2 x 1 messen, erhalten wir im System K zur Zeit t = t den gleichen Abstand x 2 x 1 = ( vt + x 2 ) ( vt + x 1 ) = x 2 x 1. (1.36) Die Transformation von K in ein gegen K mit der Geschwindigkeit v gleichförmig bewegtes Koordinatensystem K lautet: t = t und x = v t + x. (1.37) Die Transformation von K nach K erhalten wir, indem wir die Transformationen (1.34) und (1.37) hintereinander ausführen: t = t und x = v t + ( vt + x) = (v + v)t + x. (1.38) Da (1.38) nach dem Relativitätsprinzip die gleiche Form wie (1.34) haben soll, folgern wir, dass sich K mit der Geschwindigkeit v + v relativ zu K bewegt. Mit anderen Worten: Die Galilei-Transformation führt auf folgendes Additionstheorem für Geschwindigkeiten: v = v + v, (1.39) wobei v die Geschwindigkeit ist, mit der sich K gegen K bewegt. Dieses trivial anmutende Gesetz hat die weitreichenden Folgen, dass sich Inertialsysteme gegeneinander mit beliebig hohen Geschwindigkeiten bewegen können, und dass es keine universellen Geschwindigkeiten geben kann. 1.8 Zusammenfassung Um die Bewegung von Körpern zu beschreiben, verwenden wir Bezugssysteme. Diese lassen sich zum Beispiel durch kartesische Koordinatensysteme darstellen. Im Allgemeinen hängt die Form der physikalischen Gesetze von der Wahl des Bezugssystems ab. Wir nehmen an, dass es besondere Bezugssysteme gibt, die wir Inertialsysteme nennen und die folgende Eigenschaften haben: Die physikalischen Gesetze haben eine besonders einfache Form, die in jedem Inertialsystem gleich ist, sie sind also forminvariant. Insbesondere treten keine Trägheitskräfte auf. Der dreidimensionale Raum wird durch die euklidische Geometrie beschrieben. 11

11 Der Raum ist homogen, das heißt, es gibt keinen Grund, irgendeinen Punkt im Raum als besonderen Punkt hervorzuheben. Der Raum ist isotrop, das heißt, es gibt keinen Grund, irgendeine Richtung als besonders hervorzuheben. Die Zeit ist homogen, das heißt, es gibt keinen Grund, irgendeinen Zeitpunkt im Raum als besonderen Zeitpunkt hervorzuheben. Es gibt keine Möglichkeit, eine absolute Geschwindigkeit des Inertialsystems zu bestimmen (Relativitätsprinzip von Galilei). Wenn es, wie wir annehmen, mindestens ein Inertialsystem gibt, dann können wir durch eine Translation in Raum oder Zeit, durch eine räumliche Drehung oder durch spezielle Geschwindigkeitstransformationen (konstante Geschwindigkeit v) beliebig viele weitere Inertialsysteme finden. Die Forminvarianz der Naturgesetze bedeutet nicht, dass die physikalischen Größen, die in diesen Gesetzen auftauchen, bei einem Wechsel des Inertialsystems unverändert bleiben; invariant bleibt nur die Art und Weise, wie diese Größen miteinander zusammenhängen (also die Form des Gesetzes). Im besonderen Fall der eindimensionalen Bewegung längs der x-achse muss eine Geschwindigkeitstransformation von einem Inertialsystem in ein anderes die Form t = γt + v 1 ( γ 1 γ ) x und x = γvt + γx (1.40) besitzen, wobei γ eine bisher unbestimmte Funktion der Geschwindigkeit v ist. Die einfachste Geschwindigkeitstransformation, die diese Bedingung erfüllt, ist die Galilei-Transformation t = t und x = vt + x. (1.41) 12