2. Kinematik. Inhalt. 2. Kinematik
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- Kirsten Beck
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1 2. Kinematik Inhalt 2. Kinematik 2.1 Arten der Bewegung 2.2 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional) 2.3 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional) 2.4 Beschleunigung (1-dimensional) 2.5 Bahnkurve 2.6 Bewegung in 3 Dimensionen 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung 2.8 Relativbewegungen Punktmasse
2 2. Kinematik Punktmasse Kinematik: Bewegung: Lehre von Bewegung (beschreibt nur) Änderung des Ortes (y) mit der Zeit (t), y = f(t) = y(t) Beispiele: y = k oder y = k` t (k, k` = Konstanten) Problem: Lösung: Physikalische Probleme sind meist kompliziert. (Hund, Katze, Maus,...) Idealisierung ausgedehnter Körper zur PUNKTMASSE Denkmodell Punktmasse: Körper, dessen Masse man sich in einem Punkt konzentriert denkt Punktmasse
3 Koordinatensystem 2. Kinematik Punktmasse Modell Punktmasse anwendbar, falls 1. der Körper nahezu punktförmig ist, z.b. e - in einem Fernsehröhre, 2. die Körperabmessungen klein gegenüber dem Abstand sind, z.b. Erde um Sonne, 3. man einen repräsentativen Punkt wählt. z.b. Schwerpunkt einer Kugel Punkt auf Autostoßstange Beschreibung von Bewegung in 1. Koordinatensystem 2. Bezugssystem r = Ortsvektor r = (x 0, y 0, z 0 ) Punkte sind durch Koordinatensystem und Koordinaten bestimmt.
4 2.1 Arten der Bewegung 2. Kinematik Koordinatensystem Wahl des Koordinatensystems bestimmt durch: Notwendigkeit, Zweckmäßigkeit Wahl des Bezugssystems bestimmt durch: Notwendigkeit, Zweckmäßigkeit Man unterscheidet ruhende, gleichförmig bewegte und beschleunigte Bezugssysteme. Bahnkurve ist beschrieben durch: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) Beispiel: r(t) = (0, 0, 0) m [Animation]
5 2. Kinematik 2.1 Arten der Bewegung 2.1 Arten der Bewegung Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten (für ausgedehnte Körper). 1. Translation Jeder Punkt des Körpers hat die gleiche Bahnkurve = Änderung der Position 2. Rotation (Drehung) [Animation] Punkte bewegen sich auf Kreisbögen = Änderung der Orientierung [Animation] 2.1 Arten der Bewegung
6 2.2 Mittlere Geschwindigkeit 2. Kinematik 2.1 Arten der Bewegung Allgemein gilt: Jede Bewegung ist eine Überlagerung von Translation und Rotation. [Animation] Beispiel: Bahnkurven von Punkten auf dem Rad eines Fahrzeugs [Animation] [Animation] Beachte: Bahnkurve = f (Bezugssystem)
7 2.2 Mittlere Geschwindigkeit 2. Kinematik 2.2 Mittlere Geschwindigkeit 2.2 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional) Annahme: Bewegung: 1-dimensional (z.b. x-achse) Modell: Punktmasse x [Animation] Def.: Mittlere Geschwindigkeit <v> Beispiel: [Animation]
8 2. Kinematik 2.2 Mittlere Geschwindigkeit Beispiele: negative Geschwindigkeit Typische mittlere Geschwindigkeiten: Schnecke 10-3 m/s Spaziergang 2 m/s Schnellste Mann 11 m/s Gasmoleküle 500 m/s Mond um Erde 1000 m/s e - in Fernsehröhre 10 7 m/s Lichtgeschwindigkeit (Vakuum) 3x10 8 m/s 2.3 Momentane Geschwindigkeit
9 2.3 Momentane Geschwindigkeit 2. Kinematik 2.3 Momentane Geschwindigkeit Problem: Keine Aussagen über v zu einem bestimmten Zeitpunkt über eine Bahnkurve 2.3 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional) Def.: momentane Geschwindigkeit
10 2.5 Bahnkurve 2. Kinematik 2.4 Beschleunigung 2.4 Beschleunigung Annahme: Bewegung ist 1-dimensional. Fragen: Wie schnell wird man schnell? Wie schnell wird man langsam? Def.: Mittlere Beschleunigung Def.: Momentane Beschleunigung
11 Beispiel: Der freie Fall 2. Kinematik 2.5 Bahnkurve 2.5 Bahnkurve aus v und a (1-dimensional) Es gilt: Beispiele: 1. v(t) = konst. = v 0 x(t) =? 2. a(t) = konst. = a 0 v(t) =?, x(t) =?
12 Beispiel: Der schiefe Wurf 2. Kinematik 2.6 Bewegung in 3 Dimensionen 2.6 Bewegung in 3 Dimensionen Ort einer Punktmasse durch Ortsvektor r = (x,y,z) = r r^ Mittlere Geschwindigkeit Momentane Geschwindigkeit Mittlere Beschleunigung Μomentane Beschleunigung
13 2. Kinematik Beispiel: Der schiefe Wurf Der schiefe Wurf Beispiel einer 2-dimensionalen Bewegung: Tennisball im Gravitationsfeld Annahmen: 1. Tennisball ist punktförmig 2. Ball hat Anfangsgeschwindigkeit v 0 3. Abwurfwinkel = α 4. Erdbeschleunigung a = g = konstant 5. Reibung wird vernachlässigt Frage: Wie sieht y = f(x) aus? Bahnkurve Beispiel: Der schiefe Wurf
14 2. Kinematik Beispiel: Der schiefe Wurf Zum Zeitpunkt t = 0 gilt: Für Bewegung in x-richtung gilt: Auflösen nach der Zeit ergibt: Beispiel: Der schiefe Wurf
15 2. Kinematik Beispiel: Der schiefe Wurf Für Bewegung in y-richtung gilt: mit y Parabel: y(x) = ax + bx 2 Beispiel: Parabelflug x
16 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung 2. Kinematik Achtung Achtung!!!! Ändert sich Geschwindigkeit in Betrag und /oder Richtung liegt beschleunigte Bewegung vor!!!! Beweis: mit folgt nach Produktregel!!!!!
17 2. Kinematik 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung ( v konst.) Im Punkt p gilt: Im Punkt q gilt: Für t von p q pq = Länge des Kreisbogens von p q 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
18 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung 2. Kinematik 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung x - Richtung Für mittlere Beschleunigung < a x > gilt: y Richtung Für mittlere Beschleunigung < a y > gilt:
19 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung 2. Kinematik 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung Wir haben: Frage: Momentane Beschleunigung in Punkt P =? Antwort: Man mache Grenzübergang q 0
20 2. Kinematik 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung Momentane Beschleunigung in P Betrag ) Zentripetalbeschleunigung F = m v 2 /r = Zentripetalkraft Ursache für Kreisbewegungen 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
21 2. Kinematik 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung Zentripetalbeschleunigung: ^ zur Tangentialgeschwindigkeit Richtung zum Kreismittelpunkt Ursache für Kreisbewegung Fragen: (gleichförmige Kreisbewegung) 1. Bleibt die Geschwindigkeit konstant? 2. Ist jede Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung? 3. Ist die Beschleunigung konstant? 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
22 2. Kinematik 2.8 Relativbewegungen 2.8 Relativbewegungen Es gilt: Die Bahnkurve eines Objektes nicht eindeutig. Die Geschwindigkeit eines Objektes ist nicht eindeutig. Sie sind Funktion des Bezugssystems. Beispiel: Ein Zug hat eine konstante Geschwindigkeit v Zg. Im Zug bewegt sich Fahrgast mit Geschwindigkeit v Fg. Frage: Wie groß ist v Fahrgast? Antwort: Das hängt vom Bezugssystem ab. 2.8 Relativbewegungen
23 2. Kinematik 2.8 Relativbewegungen Für den Beobachter, der im Zug ruht, gilt: v Fahrgast = v Fg Für den Beobachter, der am Bahndamm ruht, gilt: v Fahrgast = v Fg + v Zg v = f (Bezugssystem) 2.8 Relativbewegungen
24 2. Kinematik 2.8 Relativbewegungen Die Galilei-Transformation Allgemeine (abstrakte) Betrachtung (1-dimensional) Annahmen: 1. Man hat zwei Bezugssysteme A und B. 2. Bezugssystem A ruht. 3. Bezugssystem B bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v B/A relativ zu A entlang der positiven x-richtung. 4. In B ist Punktmasse P, die sich in x-richtung bewegt. 2.8 Relativbewegungen
25 2. Kinematik 2.8 Relativbewegungen Es gilt für Bahnkurve x P/A (t) von P in A: x P/A = x B/A + x P/B x P/B (t) = Bahnkurve von P in Bezugssystem B x B/A (t) = Bewegung von B relativ zu A Es gilt für Geschwindigkeit v P/A : Es gilt für Beschleunigung a P/A : 2.8 Relativbewegungen
26 3. Newtonsche Gesetze 2. Kinematik 2.8 Relativbewegungen Ein merkwürdiges Beispiel: Zug mit v Zg = 90 % der Lichtgeschwindigkeit c relativ zum Bahndamm: v Zg = 0,9 c = 0, m/s Fahrgast mit v Fg = 30 % der Lichtgeschwindigkeit relativ zum Zug: v Fg = 0,3 c = 0, m/s Am Bahndamm ruhender Beobachter sollte messen: v Fahrgast = (0,3 +0,9) c = 1,2 c > c Widerspruch zu tatsächlichen Beobachtungen! Es gilt: Lichtgeschwindigkeit c kann nicht überschritten werden. Obige Transformation der Geschwindigkeiten (Galilei-Transformation) ist nur gültig, falls v << c
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