Summe Pflichtteil: 30

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1 Aufgaben Pflichtteil 214 VP P1 f(x) = Ü Ú Ü 1. Ableitung f (x) 2 P 2 Ü dx Bestimmtes Integral berechnen 2 P 3 x 4 = 4 + 3x 2 Löse Gleichung 3 P 4 f(x) = cos x u. g(x) = 2 cos á Ü - 2. Wie entsteht g aus f? Nullstellen von g P 5 2 Graphen: f(x) - Parabel u. g(x) - Gerade. P 6 E: x 1 + x 2 = 4 u. F: x 1 + x 2 +2x 3 = 4 f(g(3)) u. f(g(x)) = ; x?; h(x)=f(x) g(x); h (2) =? Zeichnung, Gl. Schnittgerade, G // x 1 -Achse u. gl. Spurgerade w. F: Gl. G P 7 P 8 P 9 A (1 1 1), B ( ), C (2 3 1), g A u. B Spielautomat P(v) = 2/3 P(A) = Geg: MP einer Kugel, die eine Ebene berührt Abstand C von g 4 a) Beschreibung Ereignis A b) P bei 4 Spielen genau 2x verlieren Ges: Kugelradius u.berührpunkt. 3 3 Summe Pflichtteil: 3 P 1 HT 214 (2 VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = Ü Ú Ü f(x) = Ü Ú Ü = Ü Ú Ü Produktregel: f (x) = u v + uv : f (x) = Ü + 2 u = x u = x = v = e v = 2e P 2 HT 214 (2 VP) Berechnen Sie das Integral Ü dx Ü dx = 42» 1 dx = [ » 1 2 = [ = =

2 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 2 von 18 P 3 HT 214 Lösen Sie die Gleichung x 4 = 4 + 3x 2 x 4 = 4 + 3x 2 x 4-3x 2 4 = Substitution: x 2 = u und x 4 = u 2 : u 2 3u 4 = u 1,2 = = u 1 = 4 und u 2 = - 1 Rücksubstitution: u 1 = 4 x² = 4 x 1,2 = ± 2 Lösungsmenge ò = { - 2; 2} u 2 = -1 x² = -1 x 3,4 = ± 1 Keine Lösung. P 4 HT 214 Gegeben sind zwei Funktionen f und g mit f(x) = cos x und g(x) = 2 cos» - 2. a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält. b) Bestimmen Sie die Nullstellen von g für x 4. g(x) = 2 cos» 2 a) Streckung in y- Richtung mit Faktor 2 (Amplitude a = 2). Streckung in x- Richtung mit Faktor á = Verschiebung in y-richtung um 2 (nach unten). (Periode p = = 4) b) Nullstellen von g: 2 cos» 2 = 2 cos» = 2 cos» = 1 cos (u) = 1 u 1 = x 1 = u 2 = 2Ê» = 2Ê x 2 = 4 Lösungsmenge ò = { ; 4} P 5 HT 214 Die Abbildung zeigt die Graphen K f und K g zweier Funktionen f und g. a) Bestimmen Sie f Ú. Bestimmen Sie einen Wert von x so, dass f ÚÜ = ist. b) Die Funktion h ist gegeben durch h(x) = f(x) g(x). Bestimmen Sie h (2) a) f g3: g(3) = - 1 f = f(- 1) = 5 f ¹» = : Es ist f() und f(4) =. Dann muss sein: g(x) = für x 1 = 2 und g(x) = 4 für x 2 = - 2 b) h(x) = f(x) g(x) Mit Produktregel: h (x) = f(x) g (x) + f (x) g(x) h (2) = f(2) g (2) + f (2) g(2) = (-4) (-1) + = 4

3 a Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 3 von 18 P 6 HT 214 Gegeben sind die beiden Ebenen E: x 1 + x 2 = 4 und F: x 1 + x 2 + 2x 3 = 4 a) Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F an. b) Die Ebene G ist parallel zur x 1 -Achse und schneidet die x 2 x 3 -Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene F. Geben Sie eine Gleichung der Ebene G an. Zur Ermittlung der Spurpunkte benutzt man die Achsenabschnittsform: E: x 1 + x 2 = 4 + Ü F: x 1 + x 2 + 2x 3 = 4 + Ü + Ü = 1 = 1 Ù (4 ) Ù ( 4 ) Ù (4 ) Ù ( 4 ) Ù ( 2) Gleichung der Schnittgeraden g: x ƒ OS ƒ t ƒ SS. 4 4 x ƒ» 4 = Ü Gleichung der Ebene G: x 2 + 2x 3 = 4 (5 VP) P 7 HT 214 Gegeben sind 3 Punkte A (1 1 1), B ( ) und C (2 3 1). Die Gerade g verläuft durch A und B. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes C von der Geraden g.. Gleichung der Geraden g durch A und B: x ƒ OA ƒ t AB ƒ = 1 t 13 1 = Abstand des Punktes C von der Geraden g mit der Methode des laufenden Punktes und Skalarprodukt (Orthogonalitätsbedingung): Der Punkt F (Lot-Fußpunkt) ist der Geradenpunkt mit kleinster Entfernung von C, wenn der Vektor ±² ƒ senkrecht auf dem Richtungsvektor ƒ der Geraden g steht. Dann muss gelten: ±² ƒ ƒ ; Der gesuchte Abstand d ist dann die Länge des Vektors ±² ƒ : d(±,g) = ±² ƒ C ƒ G ƒ af»ƒ g a Ein beliebiger Punkt G auf der Geraden g hat die Koordinaten: G ( 1 4t 1 + 3t 1 ) also: x 1 = 1 4t; x 2 = 1 + 3t; x 3 = 1 1 4t 2 1 4t CG ƒ 1 3t 3 7 3t 1 1 Spitze Schwanz

4 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 4 von 18 Läuft der Punkt G auf der Geraden g bis zum gesuchten Punkt F (G, dann wird CG ƒ zu CF ƒ und es muss gelten: CF ƒ ƒ : 1 4t 7 3t 1 4t 4 7 3t » 21 9» 25t 25 t = - 1 in g ergibt den Ortsvektor des Lotfußpunktes F : ƒ OF F (5 7 1 ) 2 CF ƒ 3 1 Der gesuchte Abstand d ist dann die Länge des Vektors CF ƒ : d(c,g) = CF ƒ = 3 4 = 9 16 = 5 P 8 HT 214 An einem Spielautomat verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele. a) Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt: P(A) = b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal?. a) Ereignis A: Man verliert von zehn Spielen mindestens acht. b) Die Variable X gibt die Anzahl der verlorenen Spiele an. X ist binomialverteilt mit n = 4 und p =. Dann gilt: P(X=2) = 4 2 = 6 = = Der Spieler verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von genau zwei von vier Spielen. P 9 HT 214 Gegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene. Die Kugel berührt diese Ebene. Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann. Lotgerade g Ebene E (Normalenvektor n ƒ) durch Kugelmittelpunkt M: x ƒ OM ƒ r ƒ n. g E = B (Berührpunkt). Kugelradius r = ƒ. Summe Pflichtteil: 3 VP

5 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 5 von 18 WT 214 Aufgabe Analysis A1 Aufgabe A 1.1 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1x e - 5x. Ihr Graph ist K. a) K besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt. Geben Sie deren Koordinaten an. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von K an. Skizzieren Sie K. b) Für jedes u > sind O( ), P(u ) und Q(u f(u)) die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie einen Wert für u so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat. Für welchen Wert von u ist das Dreieck OPQ gleichschenklig? c) Auf der x-achse gibt es lntervalle der Länge 3, auf denen die Funktion f den Mitteiwert 2,2 besitzt. Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen lntervalls. (15 VP) (11 VP) a) Für Extrempunkte gilt: f (x e ) = und f (x e ) (wenn f (x e ) > : TP; f (x e ) < : HP): f(x) = 1x e - 5x ; Produktregel: f (x) = u v + uv : u = 1x v = e - 5x u = 1 v = -,5 e - 5x f (x) = 1 e - 5x + 1x ( -,5 e - 5x ) = 1 e - 5x + 1x (-,5 e - 5x ) = 1 e - 5x 5x e - 5x ) = 5e - 5x (2-x) = S.v.NP.: 5e - 5x = keine Lösung; (2-x) = x = 2. Bei x = 2 hat f (x) einen VZW von + nach -, also ist der Extrempunkt ein Hochpunkt HP (2?) f(2) = 2 e - 1 = 7,36 HP (2 7,36). Alternativ mit GTR: Für Wendepunkte gilt: f (x W ) = und f (x W ) : Mit GTR: WP (4 5,41). Skizze von K:

6 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 6 von 18 b) Dreieck OPQ mit Flächeninhalt 8: Flächeninhalt A (u) =» ¹». Mit GTR: Für u 1 = 2,18 und für u 2 = 6,62 hat das Dreieck OPQ den Flächeninhalt 8, Wert von u, für den das Dreieck OPQ gleichschenklig ist: Es muss gelten: ²³ = ³³ : u = f(u). Mit GTR: Für u = 4,61 ist das Dreieck OPQ gleichschenklig c) lntervalle der Länge 3, auf denen die Funktion f den Mitteiwert 2,2 besitzt: Ü Es muss sein: Û = Ü ÚÜÚÜ, Mit GTR: Eine Lösung der Gleichung ist u = 5,5. Damit ist ein mögliches Intervall [5,5 ; 8,5].

7 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 7 von 18 Aufgabe A 1.2 Gegeben ist für jedes t > eine Funktion f t durch f t (x) = Ü Ü Ü. Bestimmen Sie t so, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von f t den Abstand 13 voneinander haben. Für Extrempunkte gilt: f (x e ) = und f (x e ) (wenn f (x e ) > : TP; f (x e ) < : HP): f t (x) = x t x. ; ft (x) = ; f t (x) = 2x (Anmerkung: der Nachweis, dass die hinreichende Bedingung f (xe) erfüllt wird, ist nicht notwendig, da in der Aufgabenstellung nach dem Abstand der beiden Extrempunkte gefragt wird). f (x e ) = : = x 1,2 = t f t (t) = t t t = EP 1 (t ) f t (-t) = t t t= EP 2 (-t ). Für den Abstand d der beiden Extrempunkte EP 1 und EP 2 gilt: d =»» =»» = 2» = Ü Ü = 13 Mit GTR: Für t =2,1 haben die beiden Extrempunkte den Abstand 13.

8 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 8 von 18 WT 214 Aufgabe Analysis A2 Aufgabe A 2.1 Die Anzahl ankommender Fahrzeuge vor einem Grenzübergang soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Ankunftsrate beschrieben durch die Funktion f mit ; t 3 (t in Stunden nach Beobachtungsbeginn; f(t) in Fahrzeuge pro Stunde). Anfangs befinden sich keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. a) Skizzieren Sie den Graphen von f. Wann ist die momentane Ankunftsrate maximal? Bestimmen Sie die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden ankommen. b) Am Grenzübergang werden die Fahrzeuge möglichst schnell abgefertigt, jedoch ist die momentane Abfertigungsrate durch 11 Fahrzeuge pro Stunde begrenzt. Wann beginnen sich die Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen? Wie viele Fahrzeuge stauen sich maximal vor dem Grenzübergang? Welches Ergebnis erhielte man, wenn die momentane Abfertigungsrate 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn auf konstant 22 Fahrzeuge pro Stunde erhöht würde? (15 VP) (11 VP) (6 VP) Skizze Graph f(x): Zeitpunkt maximale momentane Ankunftsrate : Mit GTR: Die momentane Ankunftsrate ist 1 h nach Beobachtungsbeginn maximal (und beträgt 325 Fahrzeuge pro Stunde). Anzahl A der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden ankommen: A = ¹»¹» 769 In den ersten 6 Stunden kommen ca. 77 Fahrzeuge an. b) Beginn des Staus: Die Fahrzeuge beginnen sich zu stauen, wenn die momentane Ankunftsrate die Abfertigungsrate von 11 Fahrzeuge übersteigt:

9 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 9 von 18 Es muss sein: f(t) = 11: Der für die Aufgabenstellung relevante Zeitpunkt ist t 1 2,54. (Bei t 2 21,86 nimmt die momentane Ankunftsrate ab). Ca. 2,5 h nach Beobachtungsbeginn beginnen die Fahrzeuge sich zu stauen. Maximale Anzahl Fahrzeuge im Stau vor dem Grenzübergang: Es gilt:, ¹» 11¹» 2324,97., Es stehen maximal Fahrzeuge im Stau vor der Grenze. Welches Ergebnis erhielte man, wenn die momentane Abfertigungsrate 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn auf konstant 22 Fahrzeuge pro Stunde erhöht würde? Zuerst muss ermittelt werden, wann die momentane Ankunftsrate unter 22 Fahrzeuge pro h fällt: Es muss sein: f(t) = 22: Nach t 3 15,9 h kommen weniger als 22 Fahrzeuge/h. Es gilt: ¹» 11¹», ¹» 22¹», 162,35 In diesen Fall stehen maximal 1.62 Fahrzeuge im Stau vor der Grenze.

10 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 1 von 18 Aufgabe A 2.2 Für jedes a > ist eine Funktion f a gegeben durch f a (x) = a cos(x) - a 2 ; - á < x < á. Der Graph von f a ist G a. a) G a besitzt einen Extrempunkt. Bestimmen Sie dessen Koordinaten. (2 VP) b) Durch welche Punkte der y-achse verläuft kein Graph G a? a) G a : f a (x) = a cos(x) - a 2 G a entsteht aus dem Graphen von f mit f(x) = cos(x) durch Streckung in y-richtung mit Faktor a (Amplitude a) und Verschiebung in y-richtung um - a 2. Damit ist die Extremstelle von f a (x) im angegebenen Intervall bei x =. Mit f a () = a cos() - a 2 = a - a 2 ergibt sich der Extrempunkt EP a ( a - a 2 ). b) Punkte der y-achse, durch die kein Graph G a verläuft: Der Schnittpunkt von G a mit der y-achse ist SP y = EP a ( a - a 2 ). Sein y-wert ist abhängig von a: y(a) = a - a 2. Diese Funktion ist eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel (Maximum) S (,5 2,5). Der maximale y-wert des Schnittpunktes mit der y-achse ist also y max = 2,5. Daraus folgt, dass kein Graph von G a die y-achse für y > 2,5 schneidet.

11 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 11 von 18 WT 214 Aufgabe Analytische Geometrie/Stochastik B 1 Aufgabe B Analytische Geometrie (15 VP) (8 VP) Aufgabe B 1.1 Gegeben sind die Punkte A (5-5 ), B (5 5 ), C (- 5 5 ) und D (- 5-5 ). Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S ( 12). a) Die Seitenfläche BCS liegt in der Ebene E. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Berechnen Sie den Winkel, der von der Seitenfläche BCS und der Grundfläche der Pyramide eingeschlossen wird. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BCS. b) Betrachtet werden nun Quader, die jeweils vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und vier Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben. Einer dieser Quader hat den Eckpunkt Q (2,5 2,5 ). Berechnen Sie sein Volumen. Bei einem anderen dieser Quader handelt es sich um einen Würfel. Welche Koordinaten hat dessen Eckpunkt auf der Kante BS? a) Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Seitenfläche BCS liegt: Parametergleichung 5 E: xƒ ƒ OB s BC ƒ t BS ƒ = 5 s t = 5 s t 5 = 5 s t Normalenvektor ºƒ von E mit Vektorprodukt: ºƒ =»ƒ x»ƒ = x 5 = = Ansatz: E : 12 x x 3 = b ; Punktprobe mit z.b. B (5 5 ) : = b b = 6 E : 12 x x 3 = 6. Winkel zwischen Seitenfläche BCS (Ebene E) und der Grundfläche der Pyramide (x 1 x 2 Ebene): Für den Winkel zwischen 2 Ebenen gilt: cos() =, dabei ist der Normalenvektor der Ebene E: º ƒ = 12 und der Normalenvektor x 1 x 2 Ebene: º ƒ =. 5 1 Damit ergibt sich: cos() = = Flächeninhalt des Dreiecks BCS: = = = 67,4. Das Dreieck BCS ist gleichschenklig, da es sich um eine senkrechte, quadratische Pyramide handelt

12 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 12 von 18 (Die Spitze S ist senkrecht oberhalb der Quadrat-Mitte). M ( 5 ) ist die Mitte der Grundseite. Damit ist die Dreieckshöhe h = M ƒ. M ƒ = 5 = 5 h = M ƒ = 5 12 = = = 65 F.E. Flächeninhalt A des Dreiecks BCS : A = ¹ º = b) Betrachtet werden nun Quader, die jeweils vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und vier Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben. Einer dieser Quader hat den Eckpunkt Q (2,5 2,5 ). Berechnen Sie sein Volumen. Der gegebene Punkt Q liegt auf dem Ortsvektor des Punktes B. Dann muss der über Q liegende Quadereckpunkt R auf der Pyramidenkante BS liegen. 5 5 Gleichung der Geraden g durch B und S: xƒ ƒ OB s BS ƒ = 5 s Der Punkt R hat die Koordinaten R (2,5 2,5 h) und liegt auf g. Punktprobe mit R auf g: x 1 = 5 5s = 2,5 s =,5 ; x 2 = 5 5s = 2,5 s =,5 ; x 3 = 12s = h h = 12,5 = 6 Damit ergibt sich ein Quadervolumen von V = a b h = = 15 VE. Bei einem anderen dieser Quader handelt es sich um einen Würfel. Koordinaten des Würfel-Eckpunkt auf der Kante BS: Der Würfel-Eckpunkt R s liegt auf der Geraden g durch B und S. Ein beliebiger Punkte auf dieser Geraden hat die Koordinaten R s (5-5s 5-5s 12s). Damit ein Würfel vorliegt, muss gelten: 2 (5 5s) = 12s 1 1s = 12s Der gesuchte Würfel-Eckpunkt R s hat die Koordinaten Ù. s =

13 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 13 von 18 Aufgabe B Stochastik (7 VP) In einem Gefäß G1 sind 6 schwarze und 4 weiße Kugeln. In einem Gefäß G2 sind 3 schwarze und 7 weiße Kugeln a) Aus Gefäß G1 wird 2 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 Mal eine schwarze Kugel gezogen wird. Aus Gefäß G2 wird 8 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinander folgenden Zügen. b) Nun werden aus G1 zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz? a) Aus Gefäß G1 (6 schwarze und 4 weiße Kugeln) wird 2 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 Mal eine schwarze Kugel gezogen wird: Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln. X ist binomialverteilt mit n = 2 und p =,6. P(X 12) = 1 P(X 11),596 59,6 %. Aus Gefäß G1 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 59,6 % mindestens 12 Mal eine schwarze Kugel gezogen. Aus Gefäß G2 (3 schwarze und 7 weiße Kugeln) wird 8 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln (direkt hintereinander) gezogen werden: Bei 8 Zügen gibt es genau 7 Möglichkeiten, dass 2 schwarze Kugeln direkt hintereinander gezogen werden: Z.B. die erste und die zweite, die zweite und die dritte,. und die siebte und die achte Kugel). Jede dieser Möglichkeiten hat die Wahrscheinlichkeit,3 2,7 6. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P = 7,3 2,7 6,74 7,4 %.

14 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 14 von 18 b) Nun werden aus G1 zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz? Ziehen aus G1 ohne Zurücklegen: Anzahl gezogener schwarze Kugeln Wahrscheinlichkeit Anzahl Kugeln in G2 schwarz weiß Wahrscheinlichkeit P aus G2 eine schwarze Kugel zu ziehen: P = = =,35 = 35 %. = =

15 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 15 von 18 WT 214 Aufgabe Analytische Geometrie/Stochastik B 2 Aufgabe B Analytische Geometrie (15 VP) (9 VP) An einer rechteckigen Platte mit den Eckpunkten A (1 6 ), B ( 6 ), C ( 3) und D (1 3) ist im Punkt F (5 6 ) ein 2 m langer Stab befestigt, der in positive x 3 -Richtung zeigt. Eine punktförmige Lichtquelle befindet sich zunächst im Punkt L ( 8 1 2) (Koordinatenangaben in m). a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Platte liegt. Stellen Sie die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Stab und der Platte. (Teilergebnis: E: x 2 + 2x 3 = 6) b) Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte. Bestimmen Sie den Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes. Begründen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt. c) Die Lichtquelle bewegt sich von L aus auf einer zur x 1 x 2 -Ebene parallelen Kreisbahn, deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der Platte. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte Parametergleichung der Ebene E: xƒ OA ƒ s AB ƒ t AD ƒ = 6 s 6 6 t = 6 s 1 t Normalenvektor ºƒ von E mit Vektorprodukt: ºƒ =»ƒ x»ƒ = x 6 = 1 3 = = 1 2 Ansatz: E : x x 3 = b ; Punktprobe mit z.b. B ( 6 ) : = b b = 6 E : x x 3 = 6.

16 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 16 von 18 Winkel zwischen dem Stab und der Platte: Der Winkel α zwischen einer Geraden g und einer Ebene E, die sich schneiden, lässt sich mit folgender Formel berechnen: Ü ƒ Ûƒ sin α = Ü ƒ Ûƒ Dabei ist Ü ƒ der Richtungsvektor der Geraden g und Ûƒ der Normalenvektor der Ebene E Mit u ƒ = und nƒ = 1 u ƒ nƒ = 1 = = 2 ; Ü ƒ = 1 ; ºƒ = 1 2 = sin α = ; α 63,4. b) Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte. Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes: Man erstellt eine Gerade g durch die Lichtquelle L ( 8 1 2) und die Stabspitze T ( 5 6 2): xƒ OL ƒ r ƒ LT = 1 r 6 1 = 1 r Den Schattenpunkt T* der Stabspitze T erhält man als Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E: g E = : (1 4r) + 2(2) = 6 r = 2 in g: ƒ = 1 4 = 2 T * ( 2 2 2) 2 2 Begründen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt. Der Schattenendpunkt T * liegt in der Ebene E. Die x 1 -Koordinate (2) liegt zwischen den x 1 -Koordinaten der Platteneckpunkte A (1) und B (). Die x 2 -Koordinate (2) liegt zwischen den x 2 -Koordinaten der Platteneckpunkte B (6) und C (). Damit liegt T * auf der Platte. Da auch der Schattenanfang F auf der Platte liegt, ist der komplette Schatten auf der Platte. c) Die Lichtquelle bewegt sich von L aus auf einer zur x 1 x 2 -Ebene parallelen Kreisbahn, deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der Platte. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte. Die zur x 1 x 2 -Ebene parallele Kreisbahn liegt in der Ebene H: x 3 = 2. Die beiden Kollisionspunkte liegen auf der Schnittgeraden s der beiden Ebenen E und H: E H =» : E : x x 3 = 6 [1] H: x 3 = 2 [2] in [1] : x = 6 x 2 = 2 x 1 = t s: ƒ Ein allgemeiner Punkt von s hat die Koordinaten P s ( t 2 2). 3 Der Kreisradius r ist: r = TL ƒ = 4 = 3 4 = 5. Dann muss gelten: TP ƒ =» =» 5 16 = 5 MIT GTR: Lösungen: t 1 = 2 und t 2 = 8. Damit ergeben sich folgende Kollisionspunkte: K 1 ( 2 2 2) und K 2 ( 8 2 2).

17 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 17 von 18 Aufgabe B Stochastik (6 VP) Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß 5 %. a) Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 8 Bleistifte. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe. Berechnen Sie P(X 3). Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von X um weniger als 1 vom Erwartungswert von X ab? b) Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens 2 % der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese H soll mithilfe eines Tests an 8 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden. Bel welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die lrrtumswahrscheinlichkeit maximal 5 % betragen soll? Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 8 und p =,5. P(X 3),57 5,7 %. Mit GTR Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von X um weniger als 1 vom Erwartungswert von X ab? Erwartungswert E(X) = n p = 8,5 = 4. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P (E 9 X E + 9) ; P (31 X 49) = P (X 49) - P (X 3) Mit GTR : P,878 87,8 %.

18 Mathematik-Abi AG BW PA (L) Komplette Prüfungssätze HT S. 18 von 18 b) Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens 2% der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese H soll mithilfe eines Tests an 8 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden. Bel welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die lrrtumswahrscheinlichkeit maximal 5% betragen soll? Die Zufallsvariable Y beschreibt die Anzahl fehlerhafter Stifte. Gilt die Nullhypothese H : p,2, dann ist Y binomialverteilt mit n = 8 und p =,2. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Der Ablehnungsbereich ist w = {g,, 8}. Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl g mit P(Y g),5 Mit GTR: Es ist P (Y 23),56 5,6 % > 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit und P (Y 24),35 3,5 % < 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit. Bei mindestens 24 fehlerhaften Stiften wird die Nullhypothese verworfen.