Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Michael Havbro Faber 1

2 Inhalte der heutigen Vorlesung Ziel: Daten Modellbildung Probabilistisches Modell Im ersten Schritt werden wir die Daten nur beschreiben: numerisch Wahrscheinlichkeit h hk it Konsequenzen von Ereignissen von Ereignissen Risiken grafisch Entscheidungsfindung 2

3 Inhalte der heutigen Vorlesung Überblick der beschreibenden Statistik Numerische Kennwerte Mit welchen einfachen Zahlen können Datenmengen charakterisiert werden? Grafische DarstellungvonDatenmengen Datenmengen Wie werden Datenmengen informativ in Grafiken umgesetzt? 3

4 Ziel der beschreibenden Statistik Beschreiben von Datenmengen Körpergrösse Kennwerte Grafiken 4

5 Ziel der beschreibenden Statistik Beschreiben von Datenmengen Körpergrösse Kennwerte Grafiken Keine Annahmen nur Beschreibung!!

6 Vorbemerkung Stichprobe und Grundgesamtheit Die statistischen Eigenschaften einer Grundgesamtheit werden anhand von Stichproben untersucht. Z.B.: Die Grundgesamtheit aller Studierenden, welche für Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeschrieben sind, ist m = 258. Stichprobe von letzter Woche, n =

7 Vorbemerkung Stichprobe und Grundgesamtheit Die statistischen Eigenschaften einer Grundgesamtheit werden anhand von Stichproben untersucht. Z.B.: Biegezähigkeit von Büroklammern, m =. Stichprobe, n = 202 7

8 Vorbemerkung Stichprobe und Grundgesamtheit Die statistischen Eigenschaften einer Grundgesamtheit werden anhand von Stichproben untersucht. Damit tdest die Stichprobe die degu Grundgesamtheit etrepräsentiert, e t, müssen die Stichproben zufällig aus der Grundgesamtheit entnommen werden. 8

9 Ziel der beschreibenden Statistik Beschreiben von Datenmengen Körpergrösse Kennwerte Grafiken Keine Annahmen nur Beschreibung!!

10 Datenbeschreibung Zusammenfassen zu nur einem Kennwert Arithmetisches Mittel: 1 x n x n i1 Für einen Datensatz: 1 2 x i x, x,..., x n T Um eine Stichprobe nur mit Hilfe eines Kennwertes zu beschreiben, wird normalerweise der Stichproben Mittelwert verwendet. 10

11 Datenbeschreibung Einfache graphische Darstellung von Stichproben Eindimensionales Streudiagramm: Körpergrösse ö [cm] männlich n = 149 weiblich n =

12 Datenbeschreibung Einfache graphische Darstellung von Stichproben Eindimensionales Streudiagramm: Körpergrösse ö [cm] männlich n = 149 weiblich n = Guter Datenüberblick (Maximum, Minimum). Vorsicht bei diskret verteilten Daten! 12

13 Datenbeschreibung Einfache graphische Darstellung von Stichproben Eindimensionales Streudiagramm: Körpergrösse ö [cm] männlich n = 149 weiblich n =

14 Datenbeschreibung Einfache graphische Darstellung von Stichproben Eindimensionales Streudiagramm: Körpergrösse ö [cm] männlich n = 149 weiblich n = n 1 Der Stichprobenmittelwert x x i entspricht dem Schwerpunkt Schwerpunkt der Daten. n i1 14

15 Datenbeschreibung Einfache graphische Darstellung von Stichproben Eindimensionales Streudiagramm: Körpergrösse [cm] Mittelwert Frauen = männlich n = 149 weiblich n = 53 Mittelwert ert Männer= n 1 Der Stichprobenmittelwert x x i entspricht dem Schwerpunkt Schwerpunkt der Daten. n i1 15

16 Datenbeschreibung Einfache graphische Darstellung von Stichproben Histogramm: Einteilung der Datenreihe inintervalle Intervalle. Darstellung der Grösse der Intervalle. z.b. die Körpergrösse 16

17 Datenbeschreibung Einfache graphische Darstellung von Stichproben Histogramm: Ab bsolute Häu ufigkeit Körpergrösse [cm] n = <x <x <x <x <x

18 Datenbeschreibung Einfache graphische Darstellung von Stichproben Histogramm: Ab bsolute Häu ufigkeit Körpergrösse [cm] n = <x <x <x <x <x

19 Datenbeschreibung Nb Neben dem Mittelwert gibt es noch andere sog. Lageparameter: Der Median oder Zentralwert x x ist der mittlere Wert einer nach der Grösse geordneten Stichprobe o o o. x1 x2... x n x x n xn xn n ungerade n gerade Beispiele: [ ] [ ] 19

20 Datenbeschreibung Nb Neben dem Mittelwert gibt es noch andere sog. Lageparameter: Der Median oder Zentralwert x x ist der mittlere Wert einer nach der Grösse geordneten Stichprobe o o o. x1 x2... x n Ab bsolute Häu ufigkeit Körpergrösse [cm] n = <x <x <x <x <x Mittelwert = Median =

21 Datenbeschreibung Nb Neben dem Mittelwert gibt es noch andere sog. Lageparameter: Der Modus oder Modalwert ist der am häufigsten auftretende Wert bei kontinuierlichen Wertemengen u.a. aus Histogramm ersichtlich. 21

22 Datenbeschreibung Nb Neben dem Mittelwert gibt es noch andere sog. Lageparameter: Der Modus oder Modalwert ist der am häufigsten auftretende Wert bei kontinuierlichen Wertemengen u.a. aus Histogramm ersichtlich. Ab bsolute Häu ufigkeit Körpergrösse [cm] n = Modus 150<x <x <x <x <x Mittelwert = Median =

23 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Die Varianz der Stichprobe s ( xi x ) n 2 1 n i1 2 Die Standardabweichung der Stichprobe n 1 s ( x x) n i 1 i 2 Der Variationskoeffizient der Stichprobe (relative Streuung, COV) s x 23

24 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Varianz s n 2 1 n i1 ( xi x ) 2 2 Standardabweichung s ( x x) COV 1 n n i 1 i s x Beispiel Absolute Hä äufigkeit Körpergrösse [cm] n = 202 Gewicht [kg] x [cm] x [kg] n = s [cm ] s [kg ] s 7.96 [cm] s [kg] [-] [] [-] Absolute Häufigkeit

25 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Der Schiefekoeffizient der Stichprobe > Mass für die Asymmetrie 1 n n i1 ( x i s 3 x ) 3 25

26 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Der Schiefekoeffizient der Stichprobe > Mass für die Asymmetrie Beispiel 1 n n i1 ( x i s 3 x ) 3 Absolute Hä äufigkeit Körpergrösse [cm] Gewicht [kg] n = 202 n = 202 Absolute Häufigkeit

27 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Der Schiefekoeffizient der Stichprobe > Mass für die Asymmetrie Beispiel 1 n n i1 ( x i s 3 x ) 3 Absolute Hä äufigkeit Körpergrösse [cm] Linksschief Gewicht [kg] n = 202 n = 202 Absolute Häufigkeit Rechtsschief 27

28 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Kurtosis der Stichprobe: ( xi 1 i1 > Mass für die Spitzigkeit / Gipfligkeit 4 n s n x ) 4 28

29 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Kurtosis der Stichprobe: > Mass für die Spitzigkeit / Gipfligkeit Beispiel 1 n n i1 ( x i s 4 x ) 4 Absolute Hä äufigkeit Körpergrösse [cm] Gewicht [kg] n = 202 n = 202 Absolute Häufigkeit

30 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften x,,,..., x 1, x 2, x 3,, x n T y y, y, y,..., y n T 30

31 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften x,,,..., x 1, x 2, x 3,, x n T y y, y, y,..., y n T 31

32 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Das zweidimensionale Streudiagramm 130 Körpergrössevs vs. Gewicht 110 Gewicht [k kg] n= Körpergrösse [cm] 32

33 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Das zweidimensionale Streudiagramm Anzahl "g grosse" Kl lammern Büroklammerbiegetest n= Anzahl "kleine" Klammern 33

34 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Die Kovarianz: n 1 s ( x x) ( y y) XY i i n i 1 34

35 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Die Kovarianz: n 1 s ( x x) ( y y) XY i i n i 1 wicht [kg] Ge 130 Körpergrösse vs. Gewicht x Körpergrösse n= 202 x cm y Gewicht y 70.1 kg Körpergrösse [cm] 35

36 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Die Kovarianz: n 1 s ( x x) ( y y) XY i i n i 1 wicht [kg] Ge 130 Körpergrösse vs. Gewicht x Körpergrösse n= 202 x cm y Gewicht y 70.1 kg Körpergrösse [cm] 36

37 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Die Kovarianz: n 1 s ( x x) ( y y) 58.8 XY i i n i 1 wicht [kg] Ge 130 Körpergrösse vs. Gewicht x Körpergrösse n= 202 x cm y Gewicht y 70.1 kg Körpergrösse [cm] 37

38 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Die Kovarianz: n 1 s ( x x) ( y y) XY i i n i 1 Der Korrelationskoeffizient: r XY 1 n n i1 ( x i x ) ( s X s Y y i y ) ist limitiert auf das Interval 1,1 38

39 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Der Korrelationskoeffizient: r XY n ( xi x ) ( yi y ) 1 i n s s X Y wicht [kg] Ge 130 Körpergrösse vs. Gewicht x Körpergrösse n= 202 x cm y Gewicht y 70.1 kg Körpergrösse [cm] 39

40 Nummerische Zusammenfassungen Lageparameter: Arithmetisches Mittel Median Modalwert Streuungsparameter: t Varianz / Standardabweichung Variationskoeffizient Andere Parameter: Schiefekoeffizient Kurtosis Schwerpunkt der Stichprobe mittlerer Wert einer Stichprobe am häufigsten vorkommender Wert Verteilung um den Mittelwert Variabilität relativ zum Mittelwert Schiefe relativ zum Mittelwert Spitzigkeit/Gipfligkeit um den Mittelwert Masse für Korrelation: Kovarianz Tendenz für paarweise beobachtete Eigenschaften Korrelationskoeffizient Normalisierter Koeffizient zwischen 1 und +1 40

41 Weitere graphische Darstellungsformen Histogramm Fortsetzung Quantil Plots TukeyBox Plots 41

42 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall 42

43 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Beispiel: Ihre Büroklammerdaten vom letzten Mal grosse Klammern, Stichprobenumfang n = 202, Maximalwert t301, Minimalwert i 9. Einteilung in 15 Intervalle; [0,20); );[20,40); );[40,60); ; [300,320) 43

44 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Beispiel: ufigkeit bsolute Hä a n = Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern 44

45 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Beispiel: abso lute Häufigk keit Intervalle Intervalle n = 202 n = 202 lute Häufigke eit absol Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern Anzahl Biegungen Anzahl der Biegungen "grosse" gr. Klammern 45

46 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Beispiel: lute Häufigk keit abso Aussageabhängigvon abhängig der Anzahlder Intervalle! 15 Intervalle Intervalle n = 202 n = 202 lute Häufigke eit absol Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern 46

47 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Faustregel für die Anzahl der Intervalle: k13.3log n 47

48 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Faustregel für die Anzahl der Intervalle: k13.3log n Beispiel: Büroklammerdaten grosse Klammern, Stichprobenumfang n = 202, Wertebereich [9, 301] k 13.3log Intervalle 48

49 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Faustregel für die Anzahl der Intervalle: k13.3log n Beispiel: Büroklammerdaten grosse Klammern, Stichprobenumfang n = 202, Wertebereich [9, 301] k 13.3log Intervalle [0,33); [33,66); [66,99); ; [297,330) oder [9,42); [42,75); [75,108); ; [306,339)? 49

50 Histogramm abs solute Häu ufigkeit Intervalle 9 Intervalle ufigkeit 120 n = 202 n = 202 ab bsolute Hä Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern 50

51 Histogramm Die Form des Histogramms hängt ab von der Anzahl der Intervalle. der Wahl des Startpunktes. absolu ute Häufigkeit n = 202 n = 202 n = 202 n = 202 absolu te Häufigkeit absolu te Häufigkeit absolu te Häufigkeit Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern 51

52 Histogramm Bisher betrachteten wir die absolute Häufigkeit. absolute Häufigkeit n = 202 Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern 52

53 absolute Häufigkeit Histogramm Bisher betrachteten wir die absolute Häufigkeit. Inder Regel wird die Häufigkeit relativ, also normiert betrachtet n = 202 n = 202 relative Hä äufigkeit Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern 53

54 Histogramm Eine Spielart des Histogramms ist das kumulative Häufigkeitsdiagramm. Histogramm kumulatives Häufigkeitsdiagramm n = 202 n = 202 igkeit re elative Häufi kumulati ive relative Häufigkeit Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern 54

55 Histogramm Eine Spielart des Histogramms ist das kumulative Häufigkeitsdiagramm. Hier kann die Intervalleinteilung beliebig klein sein! n = 202 n = kumulative relative e Häufigkeit kumulative relative Häufigkeit Anzahl hlbiegungen der "grosse" "Klammern Anzahl Biegungen der "grosse" Klammern 55

56 Kleine Denkaufgabe Die Messreihe der jährlichen Durchschnittstemperaturen in Zürich für die letzten 20 Jahre ist gegeben. Das Histogramm ist im folgenden dargestellt. Welches ist der Modus der Daten? Häufigke eit der Beo obachtung (%) n = o C 35 % o o 9C,9.5C Jahresdurchschnittstemperatur in Zürich [ C]

57 Kleine Denkaufgabe Die Messreihe der jährlichen Durchschnittstemperaturen in Zürich für die letzten 20 Jahre ist gegeben. Das Histogramm ist im folgenden dargestellt. Welches ist der Modus der Daten? Häufigke eit der Beo obachtung (%) n = 100 o o 9C,9.5C Jahresdurchschnittstemperatur in Zürich [ C]

58 Weitere graphische Darstellungsformen HistogrammTeil II. Quantil Plots TukeyBox Plots 58

59 Quantil Plot Das Quantil ist für eine gegebene Anzahl an Beobachtungen wie folgt definiert: Das Quantil ist der Wert, der die unteren 100% der Messwerte von den oberen 100% 100% trennt. Beispiel: Das 0.75 Quantil wird von 100% % 25% der Daten überschritten. Die Quantile werden von der geordneten (sortierten) Stichprobe berechnet: o 1 o 2... o x x x n DerQuantilindex wird wie folgt berechnet: i ; n: Gesamt Anzahl der Beobachtungen, i =1,2..., n n 1 59

60 Quantil Plot Quantil Plots werden durch Auftragen der Daten und der Quantilindizes gebildet. Quantilind dex n = 202 Anzahl Biegungen gr. Klammern i i n 1 xi

61 Quantil Plot Quantil Plots werden durch Auftragen der Daten und der Quantilindizes gebildet. n = 202 oberes Quartil = 0.75 Quantil Quantilind dex unteres Quartil = 0.25 Quantil Anzahl Biegungen gr. Klammern 61

62 Quantil Plot Quantile Plots werden durch Auftragen der Daten und der Quantilindizes gebildet. n = 202 oberes Quartil = 75% Quantil Quantilind dex Und was ist das?? unteres Quartil = 25% Quantil Anzahl Biegungen gr. Klammern Median Mittelwert e Weiss nicht 62

63 Quantil Plot Quantile Plots werden durch Auftragen der Daten und der Quantilindizes gebildet. n = 202 oberes Quartil = 75% Quantil Quantilind dex Und was ist das?? unteres Quartil = 25% Quantil Median Anzahl Biegungen gr. Klammern 63

64 Tukey Box Plot Der Tukey Box Plot illustriert: Median untere und obere Quartilwerte unterer und oberer Nachbarschaftswert h t interquartile Differenz Ausreisser 64

65 Tukey Box Plot n =194 oberes Quartil = 075 Quantil 0.75 Median = 0.50 Quantil unteres Quartil = 0.25 Quantil 65

66 Tukey Box Plot n =194 r oberes Quartil = 075 Quantil 0.75 Median = 0.50 Quantil unteres Quartil = 0.25 Quantil r = interquartile Differenz 66

67 Tukey Box Plot n =194 oberer Nachbarschaftswert grösste Beobachtung kleiner/gleich oberes Quartil + 15* 1.5 r r oberes Quartil = 075 Quantil 0.75 Median = 0.50 Quantil unteres Quartil = 0.25 Quantil r = interquartile Differenz unterer Nachbarschaftswert kleinste Beobachtung grösser/gleich unteres Quartil 1.5 * r 67

68 Tukey Box Plot Ausreisser oberer Nachbarschaftswert grösste Beobachtung kleiner/gleich oberes Quartil + 15* 1.5 r r oberes Quartil = 075 Quantil 0.75 Median = 0.50 Quantil unteres Quartil = 0.25 Quantil r = interquartile Differenz unterer Nachbarschaftswert kleinste Beobachtung grösser/gleich unteres Quartil 1.5 * r 68

69 Tukey Box Plot Büroklammern n=194 69

70 Tukey Box Plot n=142 Körpergrösse n=52 n=194 70

71 Kleine Denkaufgabe 42c 4.2 Zusehen itd ist der Tk Tukey Box Plot tder jährlichen h Durchschnittstemperatur h t t in Zürich: Welches ist das 0.75 Quantil? Jahresdur rchschnitts stemperatu urin Zürich [ C] Zwischen 9.68 o C und 9.14 o C Gleich 9.68 o C Unter o C

72 Kleine Denkaufgabe 42c 4.2 Zu sehen itd ist der Tukey Tk Box Plot der jährlichen h Durchschnittstemperatur h t t in Zürich: Welches ist das 0.75 Quantil? Jahresdur rchschnitts stemperatu urin Zürich [ C] Gleich 9.68 o C

73 Kleine Denkaufgabe 42d 4.2 Zusehen itd ist der Tk Tukey Box Plot tder jährlichen h Durchschnittstemperatur h t t in Zürich: Welches ist der interquartile Bereich? Jahresdur rchschnitts stemperatu urin Zürich [ C] = 0.54 o C = 2.08 o C = o C

74 Kleine Denkaufgabe 42d 4.2 Zu sehen itd ist der Tukey Tk Box Plot der jährlichen h Durchschnittstemperatur h t t in Zürich: Welches ist der interquartile Bereich? Jahresdur rchschnitts stemperatu urin Zürich [ C] = 0.54 o C

75 Q Q Plots Q Q plots dienen zur Darstellung und dem Vergleich von 2 Datenreihen. Datenpunkte der beiden Datenreihen mit demselben Quantilwert werden aufgetragen. Anzahl gros sse Klamme ern Anzahl kleine Klammern 75

76 Mittelwert Differenz Plot Mittelwert Differenz Plotsdienen zur Darstellung und dem Vergleich von zwei Datenreihen. y = grosse Klammern, x = kleine Klammern Das Mittel ( yi xi)/2 wird über die Differenz y x aufgetragen. i x i 76

77 Zusammenfassung Graphische Darstellung Eindimensionales Streudiagramm Zweidimensionales Streudiagramm Histogramm Quantil Plot Tukey Box Plot Q Q Plot Mittelwert Differenz Plot Veranschaulicht den Bereich und die Verteilung von Datenreihen entlang einer Achse, und zeigt Symmetrie. Veranschaulicht den paarweisen Zusammenhang von Daten. Stellt die Verteilung von Daten über einem Bereich von Datenreihen dar, zeigt Modalwert und Symmetrie. Stellt Median, Verteilung und Symmetrie dar. Stellt Median, obere/untere Quartile, Symmetrie und Verteilung dar. Vergleicht zwei Datenreihen, relatives Bild. Vergleichtzwei Datenreihen, relativesbild Bild. 77

78 Kleine Denkaufgabe Das folgende Histogramm repräsentiert die Messdaten des Verkehrsflusses im Gotthardtunnel: Die Verteilung der Messreihe ist.?? lative Häufigk keit (% %) Re rechtsschief linksschief symmetrisch Anzahl Autos x 10 2

79 Kleine Denkaufgabe Das folgende Histogramm repräsentiert die Messdaten des Verkehrsflusses im Gotthardtunnel: Die Verteilung der Messreihe ist.?? lative Häufigk keit (% %) rechtsschief Re Anzahl Autos x 10 2

80 Kleine Denkaufgabe 42a 4.2a Gegebensei derquantil Plot t derjährlichen h Durchschnittstemperatur h t t in Zürich: Welches ist der Median der Durchschnittstemperatur? = 0.8 o C = 9.46 o C ile Quant = 9 o C Jahresdurchschnittstemperatur in Zürich [ C]

81 Kleine Denkaufgabe 42a 4.2a Gegeben sei der Quantil Plot t der jährlichen h Durchschnittstemperatur h t t in Zürich: Welches ist der Median der Durchschnittstemperatur? = o C Quant ile Jahresdurchschnittstemperatur in Zürich [ C]

82 Kleine Denkaufgabe 42b 4.2 Gegebensei derquantil Plot t derjährlichen h Durchschnittstemperatur h t t in Zürich: 60% der Daten liegen...? über 9.5 o C ile Quant unter o C zwischen 9 o C und 9.5 o C Jahresdurchschnittstemperatur in Zürich [ C]

83 Kleine Denkaufgabe 42b 4.2 Gegeben sei der Quantil Plot t der jährlichen h Durchschnittstemperatur h t t in Zürich: 60% der Daten liegen...? unter o C Quant ile Jahresdurchschnittstemperatur in Zürich [ C]