Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale

Transkript

1 Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Ziele des Applets Begriffe und ihre Drstellung mit dem Applet... 2 b 2.1 Bestimmtes Integrl I (b) = f(t)dt Integrlfunktion I () = f(t)dt (Flächenfunktion) Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Stmmfunktion, unbestimmtes Integrl Vorschläge für Übungen Sinusfunktion Cosinusfunktion Hyperbelfunktionen Polynome...5

2 Grundfunktionen und ihre Integrle 2 1 Ziele des Applets Dieses Applet stellt whlweise die Sinus- und Cosinusfunktion, die zugehörigen Hyperbelfunktionen, Polynome 1. bis 3. Grdes und die e-funktion jeweils zusmmen mit der zugehörigen Integrlfunktion I () = f(t)dt grfisch dr. Wichtige Prmeter können mit Schiebern verändert werden so erlebt der Nutzer interktiv, welche Bedeutung diese Prmeter hben. Ds Applet verfolgt zwei Ziele: es soll die wichtigsten Eigenschften der betrchteten Funktionen verdeutlichen und ein qulittives Verständnis für die Bedeutung der verschiedenen Prmeter wecken für Erläuterungen dzu wird uf ds Applet "Grundfunktionen und ihre Ableitungen" verwiesen es soll die Begriffe "bestimmtes Integrl", "Integrlfunktion" und "Stmmfunktion" visulisieren und Zusmmenhänge und Unterschiede verdeutlichen dies wird im Folgenden vertieft. 2 Begriffe und ihre Drstellung mit dem Applet Dieses Kpitel gibt einen Überblick über wichtige Begriffe der Integrlrechnung und erläutert, wie sie mit dem Applet visulisiert werden. Der obere Zeichenbereich zeigt jeweils die gewählte Grundfunktion (die Prmeter in dieser Grundfunktion sind mit Schiebern veränderbr), der untere Zeichenbereich die Visulisierung der hier beschriebenen Begriffe.

3 Grundfunktionen und ihre Integrle Bestimmtes Integrl I (b) = f(t)dt b Für <b stellt ds bestimmte Integrl die Fläche zwischen der t-achse und der Funktion f(t) zwischen t= und t=b dr. Flächen oberhlb der Achse (im oberen Zeichenbereich blu mrkiert) zählen dbei ls positiv, Flächen unterhlb der Achse (im oberen Zeichenbereich grün mrkiert) zählen ls negtiv. Enthält ds Intervll [, b] Bereiche mit positiven und negtiven Funktionswerten (d.h. blue und grüne Flächen), so stellt I(b) die Differenz der beiden Flächen dr (blu grün). Ds bestimmte Integrl ist ein Zhlenwert, er wird im unteren Zeichenbereich ngegeben. Für =b ist die Breite des Intervlls 0 und dmit uch die Fläche immer 0, d.h. I()=0. Für b< drehen sich die Vorzeichen um, uf die Frbmrkierung der Flächen im oberen Zeichenbereich wird verzichtet. 2.2 Integrlfunktion I () = f(t)dt (Flächenfunktion) Betrchtet mn die Fläche ls Funktion der Obergrenze (für eine feste Untergrenze ), so erhält mn die im unteren Zeichenbereich drgestellte Kurve. Sie wird ls Integrlfunktion oder Flächenfunktion bezeichnet. Es gilt immer I()=0, d.h. die Integrlfunktion schneidet oder berührt die -Achse immer bei =. Eine Veränderung der Untergrenze verschiebt I() prllel zur y-achse. Die Form bleibt unverändert, es wird nur eine Konstnte ddiert. 2.3 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Die Ableitung der Integrlfunktion ist die Ausgngsfunktion: d I() d = f() In diesem Sinn ist die Integrtion die Umkehrung der Differentition. Verwenden Sie I() ls Ausgngsfunktion im Applet "Grundfunktionen und ihre Ableitungen" und Sie erhlten

4 Grundfunktionen und ihre Integrle 4 ls Ableitung wieder die Ausgngsfunktion für dieses Applet. Ableitung und Integrtion heben sich gegenseitig uf. 2.4 Stmmfunktion, unbestimmtes Integrl Jede Funktion F(), deren Ableitung f() ist, heißt Stmmfunktion von f(). Aufgrund des Huptstzes ist jede Integrlfunktion I() uch eine Stmmfunktion. Die Veränderung der Untergrenze verschiebt I() prllel zur y-achse. Bei mnchen Funktionen (z.b. Sinus und Cosinus) treten jedoch nur Verschiebungen in einem bestimmten Bereich uf. Bei der Stmmfunktion kümmert mn sich nicht drum, ob eine bestimmte Verschiebung ttsächlich uftreten knn oder nicht, jede Verschiebung ist möglich. f () d bezeichnet die Menge ller Stmmfunktionen von f() (eine Kurvenschr). Es gilt: f ()d = F() + C wobei F() irgendeine Stmmfunktion von f() ist und C lle reellen Werte durchläuft (unbestimmtes Integrl, keine Grenzen sind vorgegeben). 3 Vorschläge für Übungen Die folgenden Vorschläge sollen dbei helfen, die in Kpitel 2 beschriebenen Eigenschften zu "begreifen". Viele weitere Übungen sind möglich. 3.1 Sinusfunktion Die Sinusfunktion ist ungerde, die zugehörige Integrlfunktion gerde (Cosinus). Bei der Voreinstellung Untergrenze = 1 und Obergrenze b=1 sind grüne und blue Flächen gleich groß, dher ist I(1)=0. Verschieben Sie nun uf 0, I() wird in y-richtung verschoben, so dss nun I(0)=0. Es gilt: I()= cos()+1. Verschieben Sie nun b uf π 3,14. I(π)=2.

5 Grundfunktionen und ihre Integrle 5 Verschieben Sie nun uf π/2 1,57: I() wird in y-richtung verschoben, so dss nun I( π/2)=0. Es gilt: I()= cos(). I(π)=1. Die grüne Fläche kompensiert die Hälfte der bluen Fläche, ds obige Ergebnis wird hlbiert. Verschieben Sie nun uf π 3,14: I() wird in y-richtung verschoben, so dss nun I( π)=0. Es gilt: I()= cos() 1. I(π)=0. Die grüne Fläche kompensiert wieder die gesmte blue Fläche. Verschieben Sie nun kontinuierlich und beobchten Sie, wie I() zwischen den obigen Etremen hin und her wndert, den drgestellten Bereich ber nicht verlässt. Es gilt immer I()=0. Die Ableitung von I() ist immer sin(), lso die Ausgngsfunktion. Jede Funktion der Form cos()+c ist eine Stmmfunktion von sin(), ber nur C-Werte zwischen 1 und +1 treten ls Integrlfunktion uf. 3.2 Cosinusfunktion Die Cosinusfunktion ist gerde, die zugehörige Integrlfunktion ungerde (Sinus). Wiederholen Sie die bei der Sinusfunktion beschriebenen Verschiebungen und beobchten Sie, dss I() zwischen sin() 1 und sin()+1 liegt. Die Ableitung von I() ist immer cos(), lso die Ausgngsfunktion. 3.3 Hyperbelfunktionen Ähnliche Beobchtungen wie bei den Winkelfunktionen sind möglich. Der Wertebereich der Ausgngsfunktionen und Integrlfunktionen ist ber nicht begrenzt. 3.4 Polynome Ähnliche Beobchtungen sind möglich. Bei Polynomen 1. Grdes (Gerden) sind die uftretenden Flächen Dreiecke bzw. Trpeze, so dss die Flächen lterntiv mit Hilfe elementrer Geometrie berechnet werden können. Dher ist es hier möglich, sich direkt dvon zu überzeugen, dss ds bestimmte Integrl die frblich mrkierte Fläche wiedergibt. In der Strteinstellung erhält mn z.b. ein rechtwinkliges Dreieck mit Seitenlänge 2 und dmit Fläche 2*2/2=2 (unterschiedliche Sklierung der - und y-achse bechten).