Bei Erreichen der Streckgrenze treten zu große Verformungen auf. Die Grenzspannung σrd muss deutlich im elastischen Bereich bleiben.

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Ella Schreiber
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1 TK 3 Spannungen und Dehnungen Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Sicherheitsabstnd ε=0,114% S235 ε=0,171% S355 ε=3% - 3,5% ε=20% - 25% Bei Erreichen der Streckgrenze treten zu große Verformungen auf. Die Grenzspannung σrd muss deutlich im elastischen Bereich bleiben. Sicherheitsabstände zum Erreichen der Streckgrenze müssen eingeführt werden. [1]

TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Das Semiprobabilistische Sicherheitskonzept nach DIN 1055 (Lastannahmen) bzw. nach Eurocode1 (Lastannahmen).

2 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Das Semiprobabilistische Sicherheitskonzept nach DIN 1055 (Lastannahmen) bzw. nach Eurocode1 (Lastannahmen). "Es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen, nicht das Besitzen, sondern das Erwerben, nicht das Dasein, sondern das Hinkommen, was den größten Genuss gewährt. Karl riedrich Gauß, , Mathematiker Lastannahmen und auch Materialeigenschaften beruhen auf statistischen Erhebungen und sind dementsprechend nicht sicher sonder nur wahrscheinlich. [23;24]

3 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Das Semiprobabilistische Sicherheitskonzept. mit dem Ziel, Versagensfälle unwahrscheinlich zu machen. [25]

anzusetzender Wert 5% 90% 5% Lastgröße (z. B.

4 Gauß`sche Normalverteilung auftretender Lasten TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Mittelwert a a Häufi igkeit Entsprechend der Normung anzusetzender Wert 5% 90% 5% Lastgröße (z. B. gemessene Schneelastwerte) Die nach DIN 1055 bzw. EC1 anzusetzende Last deckt 95% der älle der maximal auftretenden Lasten ab. [23]

5 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Gauß`sche Normalverteilung der Materialfestigkeiten Entsprechend der Normung anzusetzender Wert Mittelwert Häufi igkeit 5% 90% 5% Materialfestigkeit (z. B. gemessene Bruchspannung an Platten) Die nach DIN 1055 bzw. EC1 anzusetzenden estigkeitswerte decken 95% der Materialproben mindestens ab. [23]

6 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Überlagerung Lastannahmen Materialfestigkeit Häufi igkeit 2,5%0 In 5% der Belastungsfälle erreicht die auftretende Last den Wert der Lastannahme. Bei 5% der Tragglieder erreicht die Materialfestigkeit höchstens den angenommenen Wert. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Extreme gleichzeitig auftreten liegt bei 0,05 0,05= 0,0025 2,5 0 / 00 [23]

7 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Tragsicherheit Lastannahmen Materialfestigkeit Häufi igkeit z. B. Ständige Lasten : γ = 1,35 z. B. Stahl : γ = M 1,1 Damit nicht 2,5%o der Bauwerke versagen, werden zusätzlich Teilsicherheitsbeiwerte als aktoren für die Lastannahmen und als Quotienten für die Materialfestigkeiten eingeführt. Die Wahrscheinlichkeit, eines Versagens liegt damit praktisch bei 0! [23]

8 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Ansatz der Teilsicherheitsbeiwerte der Belastungen als aktoren im Tragsicherheitsnachweis Ständige Lasten: g γ = 1,35 γ = 1,35 bzw.0, 9 Wir interessieren uns beim Tragsicherheitsnachweis für die sogenannten Designwerte der Belastungen und Materialfestigkeiten. [70]

9 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Tragsicherheit Ständige Lasten + Verkehrslasten: γ = 1,50 = 1, 50 γ p g γ = 1,35 γ = 1,35 bzw.0, 9 [70]

10 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Tragsicherheit Ständige Lasten + Verkehrslasten: γ = 1,50 p g γ = 1,35 γ = 1,35 bzw.0, 9 [70]

11 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Tragsicherheit Ständige Lasten + Verkehrslasten: γ = 1,50 p g γ = 1,35 bzw.0,9 γ = 1,35 bzw.0, 9 [70]

12 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Tragsicherheit Ständige Lasten + Verkehrslasten: γ = 1,50 = 1, 50 γ p g γ γ γ = 1,5 = 1,35 = 0,90 γ = 1,35 bzw.0,9 γ = 1,35bzw.0, 9 für Verkehrslasten für ständige Lasten für ständige Lasten entlastender Elemente z.b. Kragarme zzgl. ggf. weiterer Kombinationsbeiwerte z. B. für mehrere veränderliche Verkehrslasten Näherungsvorschlag zur Vordimensionierung: γ = 1, 4 für Eigenlasten und Verkehrslasten liefert gute Ergebnisse. ψ

13 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Tragsicherheit Ständige Lasten + Verkehrslasten: γ = 1,50 = 1, 50 γ p g γ = 1,35 bzw.0,9 γ = 1,35bzw.0, 9 Der Nachweis der Tragsicherheit wird immer unter Ansatz von Designlasten geführt: Designlast = charakteristischelast = d k γ γ d k 1,4

14 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Gebrauchstauglichkeit Ständige Lasten: γ = 1,0 = 1, 0 γ g

15 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Gebrauchstauglichkeit Ständige Lasten + Verkehrslasten: γ = 1,0 = 1, 0 γ p g γ = 1,0 = 1, 0 γ

16 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Gebrauchstauglichkeit Ständige Lasten + Verkehrslasten: γ = 1,0 p g γ = 1,0 = 1, 0 γ

17 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Gebrauchstauglichkeit Ständige Lasten + Verkehrslasten: γ = 1,0 p g γ = 1,0 = 1, 0 γ

18 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Gebrauchstauglichkeit Ständige Lasten + Verkehrslasten: γ = 1,0 = 1, 0 γ p g γ = 1,0 = 1, 0 Zulässige Verformung i. d. R. im eld bis L L 300 in Kragarmen bis γ = 1, (gilt auch für die horizontale Verschiebung vertikaler Elemente wie Türme, Rahmenstützen etc.) für Eigenlasten γ = 1,0 γ für Verkehrslasten Wir interessieren uns im Gebrauchstauglichkeitsnachweis für die wahren, die sogenannten charakteristischen Werte der Verformungen. f k L L 500

19 Teilsicherheitsbeiwerte γ der Belastungen Tragsicherheit (Näherung zur Vordimensionierung) γ = 1,4 = 1, 4 γ TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas γ = 1,4 bzw.0,9 γ = 1,4 bzw.0, 9 p g Gebrauchstauglichkeit γ = 1,0 = 1, 0 γ p g γ = 1,0 = 1, 0 ür die computerunterstützte Berechnung bilden wir bezüglich beider Sicherheitsniveaus jeweils eine eigene Lastfallkombination. γ

20 TK 3 Sicherheitskonzept Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Teilsicherheitsbeiwerte γ M der Materialien Die zulässigen Grenzspannungen ergeben sich aus der um den Teilsicherheitsbeiwert verminderten charakteristischen estigkeit für ein Material. σ = R, d f γ k M : = 1,1 Stahl γ M : = 1,3 Holz γ M : = 1,5 Beton γ M : = 1,15 Betonstahl γ M : = 1,7 Mauerwerk γ M [26;27]

21 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Spannungsverteilung in biegebeanspruchten Bauteilen Bernoulli-Hypothese: Die Querschnitte, die im differentiell kleinen Abstand voneinander betrachtet werden, bleiben im verformten Zustand eben. Jakob Bernoulli, Mathematiker ( ) Gleichgewicht: Z = D Biegemoment (in Abhängigkeit der Belastung) M M = D e 2 + Z e 2 = Z e = D e e Resultierende Druck-/Zugkraft Z = D= M e [1]

22 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Biegebemessung von Balken aus Stahl [1]

23 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Spannungsverteilung rage zum Nachweis der Tragsicherheit: Wie groß ist die maximale Spannung am Querschnittsrand? [1]

24 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Das Widerstandsmoment W, die Biegespannung σ h b Biegemoment Randspannung = Widerstandsmoment M[ kncm] σ[ kn / cm²] = W[ cm³] mit W Schnittgröße am Statischen System Widerstand des Querschnitts = b h² 6 für den Rechteckquerschnitt [1]

25 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Tragfähigkeit von Brettschichtholzträgern Wa 2Wa 2Wa W = b h² 6 Wb = 2Wa Wc = 2Wa a: A = 100% b: A = 141% c: A = 200% Stahlbau: Rechteckvollquerschnitte i. d. R. nicht sinnvoll h b Widerstandsmomente werden den Tabellenwerken entnommen [1]

26 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Widerstandsmomente genormter Träger (aufgetragen über die läche) 2205cm³ Rechteck h/b=2/1 [2]

27 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Typische Querschnittsformen für Balken Rechteck: Der Holzbau gleicht die geringere Materialfestigkeit gegenüber dem Stahl durch vollflächige (Rechteck) Profile aus. [1]

28 Typische Querschnittsformen für Balken I-Querschnitte: TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas [1;64]

29 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Weitere Querschnittsformen für Balken T-Querschnitte: Halbiertes I-Profil Kreis-Querschnitte: [1]

30 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Materialkennwerte Stahl [4]

31 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Materialkennwerte Holz Kernholz Splintholz rühholz Spätholz Querschnitt Markröhre Radialschnitt Holzstrahl Tangentialschnitt Bast Borke Rinde Stützstruktur [4;12]

32 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Materialkennwerte Holz [4]

33 Tragsicherheitsnachweis y zvz Nachweis der Normalspannungen: z z y σ Mz Vy N My Normalspannung für Normalkräfte und Biegung um die y- und um die z-achse N [ ] M, [ kncm] M d kn y d σ d [ kn / cm²] = A[ cm ] W [ cm³] W Mx σ d[ kn / cm²] σ [ kn / cm²] max Rd TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas y 1 z, d [ kncm] z [ cm³] vorhandene max. Randspannung zulässige Normalspannung aus Tabelle z. B. [4] y z y σm,y σ σm,z + - Verteilung der Spannungen aus zweiachsiger Biegung und Normalkraft σ n = + max σm maxσ d - min σm minσ d größte Zugspannung größte Druckspannung

34 TK 3 Spannungsanalyse Prof. Dr.-Ing. Michael Maas Schubspannungen aus Querkräften Vz Vz i. d. R. hinreichend genaue Näherung für Rechteckquerschnitte: Vz, d[ kn] τ d[ kn / cm²] = 1,5 2 A[ cm ] i. d. R. hinreichend genaue Näherung für Querschnitte mit ausgeprägten lanschanteilen: τ d [ kn / cm ²] = V, [ kn] z d [ 2 ASteg[ cm Nachweis der Schubspannungen Aus Querkraft: ] (Asteg) τ d[ kn / cm²] τ [ kn / cm²] max Rd vorhandene max. Schubspannung 1 zulässige Schubspannung (aus Tabelle z. B. [4])

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