4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze

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1 4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze Häufig in der Praxis: Man muss mehrere (n) ZV en gleichzeitig betrachten (vgl. Statistik I, Kapitel 6) Zunächst Vereinfachung: Betrachte n = 2 Zufallsvariablen (X und Y ) 220

2 Beispiele: Zufällig ausgewählter Haushalt: X = Haushaltsgröße Y = Anzahl Autos Tagesrenditen zweier Aktien: X = Rendite der VW-Aktie Y = Rendite der BASF-Aktie 2-facher Würfelwurf: X = Minimum der Augenzahlen Y = Maximum der Augenzahlen 221

3 4.1 Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen Situation: Betrachte zwei ZV en X und Y zu ein und demselben Zufallsexperiment, d.h. X : Ω R Y : Ω R 222

4 Definition 4.1: (Gemeinsame Verteilungsfunktion) Für die beiden ZV en X und Y heißt die Funktion F X,Y : R 2 [0, 1] mit F X,Y (x, y) = P ({ω X(ω) x und Y (ω) y}) = P (X x, Y y) die gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y. 223

5 Bemerkung: Die gemeinsame VF von X und Y ist die Wskt. dafür, dass sich gleichzeitig 1. X kleiner oder gleich dem Wert x und 2. Y kleiner oder gleich dem Wert y realisieren Einige Eigenschaften der gemeinsamen Verteilungsfunktion: F X,Y (x, y) ist monoton steigend in x und y lim x +,y + F X,Y (x, y) = 1 224

6 Jetzt: Unterscheidung zwischen 1. diskreten gemeinsamen Verteilungen 2. stetigen gemeinsamen Verteilungen 225

7 Definition 4.2: (Gemeinsam diskrete Zufallsvariablen) Die beiden ZV en X und Y heißen gemeinsam diskret verteilt, falls es endlich viele oder abzählbar unendlich viele Realisationen x 1, x 2,... und y 1, y 2,... gibt, so dass mit j=1 k=1 p jk P (X = x j, Y = y k ) > 0 p jk = j=1 k=1 P (X = x j, Y = y k ) = 1 gilt. Für die gemeinsam diskret verteilten ZV en X und Y heißt die Funktion f X,Y (x, y) = { pjk = P (X = x j, Y = y k ), für x = x j und y = y k 0, sonst die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten ZV en X und Y. 226

8 Bemerkung: Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion kann in einer Wahrscheinlichkeitstabelle dargestellt werden: X/Y y 1 y 2 y 3... x 1 p 11 p 12 p x 2. p 21. p 22. p

9 Beispiel: [I] X = Haushaltsgröße, Y = Anzahl Autos Wahrscheinlichkeitstabelle X/Y

10 Beispiel: [II] Berechnung der gemeinsamen Verteilungsfunktion: F X,Y (x, y) = p jk {j x j x} {k y k y} Z.B. gilt oder F X,Y (3, 1) = P (X 3, Y 1) = = 0.56 F X,Y (1.5, 3.2) = P (X 1.5, Y 3.2) = =

11 Jetzt: X = und Y seien beides stetige Zufallsvariablen Definition 4.3: (Gemeinsam stetige Zufallsvariablen) Die beiden ZV en X und Y heißen gemeinsam stetig verteilt, falls sich ihre gemeinsame Verteilungsfunktion F X,Y als Doppelintegral einer Funktion f X,Y : R 2 [0, ) schreiben lässt, d.h. wenn gilt F X,Y (x, y) = P (X x, Y y) = y x f X,Y (u, v) du dv für alle (x, y) R 2. Die Funktion f X,Y (x, y) heißt gemeinsame Dichtefunktion von X und Y. 230

12 Gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen X und Y 231

13 Bemerkungen: [I] Rechnen mit gemeinsamen stetigen Verteilungen erfordert Differential- und Integralrechnung mit Funktionen mehrerer Veränderlicher (partielles Differenzieren, Doppelintegrale) Bei partieller Differenzierbarkeit gilt f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y (x, y) (Zusammenhang: gemeinsame Dichte- und gemeinsame VF) 232

14 Bemerkungen: [II] Für alle (x, y) R 2 gilt f X,Y (x, y) 0 (gemeinsame Dichte ist überall positiv) Das Volumen unter der Dichte ist 1, d.h. + + f X,Y (x, y) dx dy = 1 Durch Doppelintegration der Dichte erhält man Intervallwahrscheinlichkeiten, z.b. P (x 1 X x 2, y 1 Y y 2 ) = y2 x2 y 1 x 1 f X,Y (x, y) dx dy (vgl. eindimensionalen stetigen Fall auf Folien 145, 146) 233

15 Gemeinsame Dichte- und Verteilungsfunktion der ZV en X = Rendite VW-Aktie und Y = Rendite BASF-Aktie 234

16 Jetzt folgende Ausgangssituation: X und Y seien (diskret oder stetig) gemeinsam verteilt mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion F X,Y (x, y) Gesucht: Verteilung von X bzw. von Y, wenn man die jeweils andere Verteilung ignoriert (die sogenannten Randverteilungen) 235

17 Es gilt: [I] 1. Randverteilungsfunktionen F X bzw. F Y F X (x) = lim y + F X,Y (x, y) = P (X x, Y R) F Y (y) = lim x + F X,Y (x, y) = P (X R, Y y) 2. Randwahrscheinlichkeiten gemeinsam diskreter ZV en p j, P (X = x j ) = p,k P (Y = y k ) =... k=1... j=1 P (X = x j, Y = y k ) = P (X = x j, Y = y k ) =... p jk k=1... p jk j=1 236

18 Es gilt: [II] 3. Randdichten gemeinsam stetiger ZV en f X (x) = + f X,Y (x, y) dy f Y (y) = + f X,Y (x, y) dx Wichtig: Die Randverteilungen ergeben sich eindeutig aus der gemeinsamen Verteilung von X und Y ABER: Die gemeinsame Verteilung ist nicht eindeutig durch die Randverteilungen bestimmt 237

19 Relevanz der Randverteilungen: Mit den Randverteilungen einer gemeinsamen Verteilung definiert man den Begriff der Stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen (vgl. Definition 2.13, Folie 82) Definition 4.4: (Unabhängigkeit von Zufallsvariablen) Die ZV en X und Y heißen (stochastisch) unabhängig, falls ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskreter Fall) bzw. ihre gemeinsame Dichtefunktion (stetiger Fall) dem Produkt der Randverteilungen entspricht, d.h. falls f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) für alle x, y R. 238

20 Bemerkungen: Für gemeinsam diskret verteilte ZV en X und Y bedeutet die Definition 4.4: X und Y sind stochastisch unabhängig, wenn für alle j = 1, 2,... und k = 1, 2,... gilt: P (X = x j, Y = y k ) = P (X = x j ) P (Y = y k ) Alternativ drückt man die stochastische Unabhängigkeit über die gemeinsame Verteilungsfunktion aus: Satz 4.5: (Stochastische Unabhängigkeit) Die ZV en X und Y sind genau dann stochastisch unabhängig, falls sich ihre gemeinsame Verteilungsfunktion als Produkt der Randverteilungsfunktionen darstellen lässt, d.h. falls F X,Y (x, y) = F X (x) F Y (y) für alle x, y R. 239

21 Beispiel 1: (Diskreter Fall) [I] Es bezeichnen X die Haushaltsgröße Y die Anzahl Autos pro Haushalt 240

22 Beispiel 1: (Diskreter Fall) [II] Wahrscheinlichkeitstabelle: X/Y y 1 = 0 y 2 = 1 y 3 = 2 p j = P (X = x j ) x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = p k = P (Y = y k )

23 Beispiel 1: (Diskreter Fall) [III] X und Y sind stochastisch abhängig, denn P (X = 1, Y = 0) = 0.10 aber P (X = 1) P (Y = 0) = = 0.05 d.h. P (X = 1, Y = 0) = = P (X = 1) P (Y = 0) 242

24 Beispiel 2: (Stetiger Fall) [I] stetig verteilt mit gemeinsamer Dichte- Es seien X und Y funktion f X,Y (x, y) = { x + y, für 0 x 1, 0 y 1 0, sonst 243

25 Beispiel 2: (Stetiger Fall) [II] Die Randdichte von X ergibt sich als { + 10 f X (x) = f (x + y) dy, für 0 x 1 X,Y (x, y) dy = 0, sonst = [ x y y 2] 1 0 0, sonst, für 0 x 1 = { x (x ), für 0 x 1 0, sonst = { x + 1 2, für 0 x 1 0, sonst 244

26 Beispiel 2: (Stetiger Fall) [III] Auf analoge Art errechnet sich die Randdichte von Y : f Y (y) = + f X,Y (x, y) dx = { y + 1 2, für 0 y 1 0, sonst X und Y sind stochastisch abhängig, denn f X (0.2) f Y (0.2) = ( ) ( ) = 0.49 aber f X,Y (0.2, 0.2) = = 0.4 d.h. f X,Y (0.2, 0.2) = = f X (x) f Y (y) 245

27 Weiteres wichtiges Konzept: Bedingte Verteilung (vgl. Abschnitt 2.3, Folie 67 ff.) Grundlegende Frage: Wie ist die ZV X verteilt, wenn der Wert der ZV en Y bekannt ist Hier: Beschränkung auf diskrete ZV en 246

28 Definition 4.6: (Bedingte Wahrscheinlichkeit) Es seien X und Y zwei gemeinsam diskret verteilte ZV en mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion f X,Y (x, y) = { pjk = P (X = x j, Y = y k ), für x = x j und y = y k 0, sonst Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für X = x j unter der Bedingung Y = y k definiert durch. P (X = x j Y = y k ) = P (X = x j, Y = y k ) P (Y = y k ) für alle Realisationen x 1, x 2,... der ZV en X. 247

29 Bemerkungen: [I] Die Definition 4.6 entspricht exakt der Definition 2.12 auf Folie 70 für die Ereignisse (Mengen) A und B Wenn die ZV en X und Y stochastisch unabhängig im Sinne der Definition 4.4 von Folie 238 sind, so gilt: P (X = x j Y = y k ) = P (X = x j, Y = y k ) P (Y = y k ) = P (X = x j) P (Y = y k ) P (Y = y k ) = P (X = x j ) Bei stochastischer Unabhängigkeit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten von X unter Y = y k gleich den unbedingten Wahrscheinlichkeiten von X 248

30 Bemerkungen: [III] Mit der bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktion aus Definition 4.6 definiert man die bedingte Verteilungsfunktion F X Y =yk (x) = {j x j x} den bedingten Erwartungswert E(X Y = y k ) = {x j T X } P (X = x j Y = y k ) x j P (X = x j Y = y k ) 249

31 Beispiel: [I] X = Haushaltsgröße, Y = Anzahl Autos pro Haushalt Wahrscheinlichkeitstabelle: X/Y y 1 = 0 y 2 = 1 y 3 = 2 p j = P (X = x j ) x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = p k = P (Y = y k )

32 Beispiel: [II] Bedingte Verteilung von Y unter der Bedingung X = 2: y k P (Y = y k X = 2) /0.30 = /0.30 = /0.30 = Bedingter Erwartungswert von Y unter der Bedingung X = 2: E(Y X = 2) = =

33 Jetzt: Definition des Erwartungswertes einer Funktion g : R 2 R (x, y) g(x, y) zweier gemeinsam verteilter Zufallsvariablen X und Y (d.h. E[g(X, Y )]) Bedeutung: Gewinnung diverser praktischer Ergebnisse und hilfreicher Rechenregeln 252

34 Definition 4.7: (E-Wert einer Funktion) Es seien X und Y zwei gemeinsam (diskret oder stetig) verteilte ZV en mit Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion f X,Y (x, y) und g(x, y) eine Funktion. Dann ist der Erwartungswert der Funktion definiert als E[g(X, Y )] = {x j T X } {y k T Y } falls X und Y gemeinsam diskret bzw. E[g(X, Y )] = + + g(x j, y k ) P (X = x j, Y = y k ), g(x, y) f X,Y (x, y) dx dy, falls X und Y gemeinsam stetig verteilt sind. 253

35 Beispiel 1: [I] Es seien X und Y gemeinsam stetig verteilte ZV en mit Dichtefunktion f X,Y (x, y) Für g(x, y) = y gilt: E[g(X, Y )] = + + g(x, y) f X,Y (x, y) dx dy = = y ( + y f X,Y (x, y) dx dy f X,Y (x, y) dx ) }{{} = f Y (y) (Randdichte) dy 254

36 Beispiel 1: [II] und somit E[g(X, Y )] = + y f Y (y) dy = E(Y ) Ebenso erhält man für g(x, y) = x: E[g(X, Y )] = E(X) Analoges Ergebnis für diskrete ZV en X und Y 255

37 Beispiel 2: [I] Für g(x, y) = x + y gilt: E[g(X, Y )] = E(X + Y ) = + + (x + y) f X,Y (x, y) dx dy = + + [ x fx,y (x, y) + y f X,Y (x, y) ] dx dy = + + x f X,Y (x, y) dx dy y f X,Y (x, y) dx dy = + x f X(x) dx + + y f Y (y) dy = E(X) + E(Y ) 256

38 Bemerkung: Unter bestimmten (hier erfüllten) Voraussetzungen kann die Integrationsreihenfolge vertauscht werden Jetzt: Maßzahl zur Messung des Zusammenhangs zwischen zwei ZV en X und Y Konzept: [I] Betrachte Abweichung einer jeden ZV en vom jeweiligen Erwartungswert, d.h. X E(X) sowie Y E(Y ) 257

39 Konzept: [II] Das Produkt der Abweichungen, [X E(X)] [Y E(Y )] ist eine ZV und gibt Auskunft darüber, ob die beiden ZV en X und Y tendenziell in die gleiche oder in unterschiedliche Richtungen von ihren jeweiligen Erwartungswerten abweichen Der Erwartungswert dieser ZV en, d.h. E[(X E(X)) (Y E(Y ))] ist ein plausibles Maß für den Zusammenhang zwischen X und Y 258

40 Definition 4.8: (Kovarianz) Es seien X und Y zwei ZV en mit den jeweiligen Erwartungswerten E(X) und E(Y ). Dann heißt die Größe Cov(X, Y ) E[(X E(X)) (Y E(Y ))] die Kovarianz zwischen X und Y. Bemerkungen: [I] Die Kovarianz ist der Erwartungswert der Funktion g(x, Y ) = (X E(X)) (Y E(Y )) 259

41 Bemerkungen: [II] Gemäß Definition 4.7 (Folie 253) berechnet sich dieser Erwartungswert als Cov(X, Y ) = ( xj E(X) ) (y k E(Y )) p jk {x j T X } {y k T Y } mit p jk = P (X = x j, Y = y k ) falls X und Y gemeinsam diskret bzw. Cov(X, Y ) = + + (x E(X)) (y E(Y )) f X,Y (x, y) dx dy, falls X und Y gemeinsam stetig verteilt sind Nützliche Umformung: Cov(X, Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) 260

42 Zentrales Resultat: Zusammenhang zwischen stochastischer Unabhängigkeit der ZV en X und Y und deren Kovarianz Satz 4.9: (Unabhängigkeit und Kovarianz) Es seien X und Y zwei ZV en mit den jeweiligen Erwartungswerten E(X) und E(Y ). Sind X und Y stochastisch unabhängig, so folgt Cov(X, Y ) =

43 Beweis: (für stetige ZV en) [I] Zunächst gilt: E(X Y ) = + + x y f X,Y (x, y) dx dy = + + x y f X(x) f Y (y) dx dy = + y f Y (y) dy } {{ } =E(Y ) + x f X(x) dx } {{ } =E(X) = E(X) E(Y ) 262

44 Beweis: (für stetige ZV en) [II] Damit gilt: Cov(X, Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) = E(X) E(Y ) E(X) E(Y ) = 0 Vorsicht: Die Umkehrung gilt nicht, d.h. aus Cov(X, Y ) = 0 folgt nicht die Unabhängigkeit von X und Y 263

45 Aber: Aus Cov(X, Y ) = 0 folgt, dass X und Y stochastisch abhängig sind Nachteil der Kovarianz: Cov(X, Y ) ist nicht normiert Normierung der Kovarianz führt zum Korrelationskoeffizienten 264

46 Definition 4.10: (Korrelationkoeffizient) Es seien X und Y zwei ZV en mit den Erwartungswerten E(X), E(Y ) und den Varianzen V (X), V (Y ). Dann ist der Korrelationskoeffizient zwischen X und Y definiert durch Corr(X, Y ) = Cov(X, Y ). V (X) V (Y ) Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten: [I] Corr(X, Y ) ist dimensionslos Corr(X, Y ) ist symmetrisch, d.h. Corr(X, Y ) = Corr(Y, X) 265

47 Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten: [II] Sind X und X stochastisch unabhängig, so gilt Corr(X, Y ) = 0 (Vorsicht: Die Umkehrung gilt nicht) Der Korrelationskoeffizient ist normiert, d.h. es gilt stets 1 Corr(X, Y ) 1 Der Korrelationskoeffizient misst die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen den ZV en X und Y 266

48 Bisher gezeigt: Sind X und Y zwei (diskrete oder stetige) ZV, so gilt: E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) (vgl. Folie 256) E(X Y ) = E(X) E(Y ) + Cov(X, Y ) (vgl. Folie 260) Jetzt: Varianz einer Summe von ZV en 267

49 Varianz einer Summe von ZV en: V (X + Y ) = E { [X + Y E (X + Y )] 2} = E { [(X E(X)) + (Y E(Y ))] 2} = E [X E(X)] 2 }{{} =V (X) + E [Y E(Y )] 2 }{{} =V (Y ) +2 E {[X E(X)] [Y E(Y )]} }{{} =Cov(X,Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov(X, Y ) 268

50 Satz 4.11: (Rechenregeln) Sind X und Y (diskrete oder stetige) ZV en mit Erwartungswerten E(X), E(Y ) und Varianzen V (X), V (Y ), so gilt: 1. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), 2. E(X Y ) = E(X) E(Y ) + Cov(X, Y ), 3. V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov(X, Y ). Sind X und Y zusätzlich stochastisch unabhängig, so folgt wegen Cov(X, Y ) = 0: E(X Y ) = E(X) E(Y ) V (X + Y ) = V (X) + V (Y ). 269

51 Bemerkung: Es seien X und Y (diskrete oder stetige) ZV en und a, b R reelle Zahlen a X + b Y ist ebenfalls eine ZV und es gilt: E (a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) V (a X + b Y ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2 a b Cov(X, Y ) 270

52 Beispiel: [I] In einem Portfolio befinden sich 2 Aktien X : Jahresrendite der Aktie A (in %) Y : Jahresrendite der Aktie B (in %) Bekannt seien E(X) = 7 σ(x) = V (X) = 25 E(Y ) = 15 σ(y ) = V (Y ) = 45 Corr(X, Y ) = 0.4 a = 70% des Vermögens wurden in Aktie A investiert b = 30% des Vermögens wurden in Aktie B investiert 271

53 Beispiel: [II] Die Jahresrendite des Portfolios ist Z = a X + b Y Für die erwartete Rendite des Portfolios folgt: E(Z) = E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) = =

54 Beispiel: [III] Für die Varianz des Portfolios gilt: V (Z) = V (a X + b Y ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2 a b Cov(X, Y ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2 a b σ(x) σ(y ) Corr(X, Y ) = ( 0.4) = Für die Standardabweichung folgt: σ(z) = V (Z) = =

55 Offensichtlich: Durch Diversifikation erreicht man σ(z) = < 25 = σ(x) < 45 = σ(y ), (Standardabweichung des Portfolios ist geringer als die Standardabweichungen der Einzelaktien) Nobelpreise für H. Markowitz (1990) J. Tobin (1981) 274

56 Jetzt: Erweiterung der Rechenregeln auf n ZV en Beachte zunächst: Es seien X 1, X 2,..., X n ZV en und a 1,..., a n R Es folgt: Z = n i=1 ist ebenfalls eine Zufallsvariable a i X i = a 1 X a n X n 275

57 Satz 4.12: (Rechenregeln für gewichtete Summen) Es seien X 1,..., X n (diskrete oder stetige) Zufallsvariablen und a 1,..., a n R reelle Zahlen. Dann gelten für den Erwartungswert bzw. die Varianz der gewichteten Summe: E V n i=1 n i=1 a i X i a i X i = = n i=1 n i=1 a i E(X i ) a 2 i V (X i) + n i=1 n j=1 j i a i a j Cov(X i, X j ). 276

58 Bemerkungen: [I] Für n = 2 gilt: V (X 1 + X 2 ) = 2 i=1 a 2 i V (X i) + 2 i=1 2 j=1 j i a i a j Cov(X i, X j ) = a 2 1 V (X 1) + a 2 2 V (X 2) +a 1 a 2 Cov(X 1, X 2 ) + a 2 a 1 Cov(X 2, X 1 ) = a 2 1 V (X 1) + a 2 2 V (X 2) + 2 a 1 a 2 Cov(X 1, X 2 ) 277

59 Bemerkungen: [I] Sind X 1,..., X n paarweise stochastisch unabhängig, so folgt Cov(X i, X j ) = 0 für alle i = j, und damit V n i=1 a i X i = n i=1 a 2 i V (X i) 278

60 4.2 Grenzwertsätze Situation: Gegeben sei eine unendliche Folge von ZV en X 1, X 2, X 3,..., die alle die gleiche Verteilung besitzen und alle paarweise stochastisch unabhängig sind (d.h. Cov(X i, X j ) = 0 für alle i j) Betrachte für gegebenes n das arithmetische Mittel sowie die Variablensumme X n = 1 n n i=1 X i S n = n X i i=1 279

61 Man beachte: X n und S n sind selbst ZV en Inhalt von Grenzwertsätzen: Was passiert mit der Verteilung von X n und S n für n? Wichtige Grenzwertsätze: Schwaches bzw. starkes Gesetz der großen Zahlen Glivenko-Cantelli-Grenzwertsätze Hier nur: Zentraler Grenzwertsatz 280

62 Satz 4.13: (E-Werte und Varianzen von X n und S n ) Angenommen, jede ZV der unendlichen Folge X 1, X 2,... (alle paarweise unabhängig) hat die gleiche Verteilung wie die ZV X, wobei E(X) = µ und V (X) = σ 2. Dann gilt: E(S n ) = E V (S n ) = V E(X n ) = E V (X n ) = V n n X i = i=1 i=1 n n X i = i=1 i=1 1 n n X i i=1 1 n n X i i=1 = 1 n = 1 n 2 E(X i ) = n µ, V (X i ) = n σ 2, n i=1 n i=1 E(X i ) = µ, V (X i ) = σ2 n. 281

63 Jetzt: Essenz des zentralen Grenzwertsatzes Begründung für die Wichtigkeit der Normalverteilung Dazu: Betrachte Folge von ZV en X 1, X 2,..., X n mit folgenden Eigenschaften: X 1, X 2,..., X n sind paarweise stochastisch unabhängig (d.h. Cov(X i, X j ) = 0 für alle i j) Jede der ZV en X i hat eine beliebige Verteilung mit Erwartungswert E(X i ) und Varianz V (X i ) 282

64 Bemerkung: Dieses Szenario ist allgemeiner als die dargestellte Situation auf Folie 279 Dort hatten alle X i die gleiche Verteilung und damit alle den gleichen Erwartungswert und alle die gleiche Varianz 283

65 Beispiel: (Vier unabhängige Gleichverteilungen) Betrachte die 4 ZV en X 1 U(0, 1) X 2 U(0, 2) X 3 U(0, 3) X 4 U(0, 4) Erzeuge je 1000 Realisationen der ZV en durch einen Zufallszahlengenerator (z.b. in Excel) Darstellung der Realisationen in Histogrammen 284

66 Histogramme der 4000 Realisationen Series: R1 Sample Observations 1000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Series: R2 Sample Observations 1000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Jarque-Bera Probability Series: R3 Sample Observations 1000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: R4 Sample Observations 1000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability

67 Offensichtlich: Histogramme ähneln den Dichtefunktionen Frage: Was passiert, wenn die ZV en sukzessive aufsummiert werden? Betrachte dazu S 1 = X 1, S 2 = 2 i=1 X i S 3 = 3 i=1 X i S 4 = 4 X i i=1 286

68 Histogramme der Summenrealisationen der ZV en S 1, S 2, S 3, S Series: R1 Sample Observations 1000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: R1_R2 Sample Observations 1000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: R1_R2_R3 Sample Observations 1000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: R1_R2_R3_R4 Sample Observations 1000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability

69 Offensichtlich: Histogramme der Summenrealisationen ähneln dem Histogramm einer Normalverteilung Erwartungswert der Summenverteilung S 4 : E(S 4 ) = E(X X 4 ) = = = i=1 E(X i ) 288

70 Varianz der Summenverteilung S 4 : V (S 4 ) = V (X X 4 ) Unabh. = = 4 i=1 = 2.5 V (X i ) = 5 2 Daraus ergibt sich die Standardabweichung σ(s 4 ) = 2.5 =

71 Ergebnis: Wird die Summe S n sehr groß (d.h. n ), so ist diese annähernd normalverteilt Dies ist die Essenz des zentralen Grenzwertsatzes Fazit: Setzt sich ein Zufallsvorgang additiv aus vielen kleinen unabhängigen Einflüssen zusammen, so ist der Zufallsvorgang annähernd normalverteilt Aus diesem Grund spielt die Normalverteilung in der Praxis eine entscheidende Rolle 290