Kapitel 6. Differentialrechnung. 6.1 Die Ableitung einer Funktion

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1 Kapitel 6 Differentialrechnung 6. Die Ableitung einer Funktion 6.2 Rechenregeln 6.3 Mittelwertsätze 6.4 Die Regeln von L Hospital 6.5 Konvexe Funktionen 6.6 Wichtige Ungleichungen und l p Normen 6. Die Ableitung einer Funktion Wir beginnen mit der für dieses Kapitel zentralen Definition. Definition 6. Seien D R und f : D R eine gegebene Funktion. Dann heißt f in einem Punkt x D differenzierbar, wenn x ein Häufungspunkt der Menge D ist und der Grenzwert f f(ξ) f(x) (x) : (6.) ξ x ξ x ξ D\{x} existiert (in R); in diesem Fall wird f (x) als die Ableitung von f in x bezeichnet. Die Funktion f heißt differenzierbar auf D, wenn sie in jedem Punkt x D differenzierbar ist. Wegen der großen Bedeutung des Begriffs der Differenzierbarkeit erinnern wir an dieser Stelle noch einmal daran, was das Symbol (6.) bedeutet: Die Funktion f ist demnach differenzierbar in x D, wenn für alle Folgen {x n } D mit x n x für alle n N und x n x der Grenzwert f(x n ) f(x) (6.2) n x n x existiert und dieser Grenzwert übereinstimmt mit jenem Grenzwert, den man für eine beliebige Folge {ξ n } D\{x} mit ξ n x erhalten würde. Demnach ist die Funktion f in einem Punkt x nicht differenzierbar, wenn wir entweder eine Folge {x n } D\{x} mit x n x finden können, so dass der Grenzwert (6.2) nicht existiert, oder wenn zwei gegen 67

2 68 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG x konvergente Folgen {x n }, {ξ n } D\{x} existieren, so dass die zugehörigen Grenzwerte (6.2) existieren, aber verschieden sind, also f(x n ) f(x) n x n x n f(ξ n ) f(x) ξ n x gilt. Dass überhaupt eine Folge {x n } D mit x n x existiert, liegt letztlich daran, dass x nach Voraussetzung ein Häufungspunkt von D ist. In den meisten Fällen wird der Definitionsbereich D der Funktion f später ein (eigentliches oder uneigentliches) Intervall sein. Dann sind alle Punkte des Intervalles natürlich Häufungspunkte. Handelt es sich bei x dabei um einen Randpunkt eines Intervalles, also beispielsweise x = a im Fall D = [a, b], so nennt man den Ausdruck (6.) auch den rechtsseitige Ableitung und schreibt hierfür f +(x), da nur Folgen ξ betrachtet werden können, die von rechts gegen x konvergieren. Entsprechend nennt man den Ausdruck (6.) die linksseitige Ableitung und schreibt dafür f (x), wenn etwa x = b im Fall D = [a, b] gilt. Die rechtsseitigen und linksseitigen Ableitungen werden beide auch als einseitige Ableitungen bezeichnet. Eine Funktion f : D R auf einem kompakten Intervall D = [a, b] ist somit genau dann differenzierbar auf D, wenn f in jedem Punkt x (a, b) differenzierbar ist und in den beiden Randpunkten x = a und x = b die jeweiligen einseitigen Ableitungen existieren. Das Problem der einseitigen Ableitungen existiert nicht, wenn der Definitionsbereich D etwa ein offenes (eigentliches oder uneigentliches) Intervall ist. Trotzdem kann man auch in einem solchen Fall einseitige Ableitungen definieren, was z.b. bei der Betragsfunktion f(x) := x sinnvoll ist. Ersetzt man ξ durch x + h, so lässt sich (6.) offenbar äquivalent schreiben als f (x) = h 0,h 0 x+h D f(x + h) f(x). (6.3) h Im Folgenden werden wir für die Limes Ausdrücke in (6.) und (6.3) meist nur f (x) ξ x f(ξ) f(x) ξ x und f (x) h 0 f(x + h) f(x) h schreiben. Statt f (x) schreibt man oft auch Df(x) oder df (x) (sprich: df nach dx). dx Zur geometrischen Interpretation der Ableitung betrachten wir zunächst den so genannten Differenzenquotienten f(ξ) f(x), ξ x vergleiche die Abbildung 6.. Dieser liefert die Steigung der Geraden durch die beiden Punkte ( x, f(x) ) und ( ξ, f(ξ) ), die auch als Sekante bezeichnet wird. Beim Grenzübergang ξ x geht diese Sekante in die Tangente im Punkt ( x, f(x) ) über. Also ist f (x) (sofern existent) die Steigung der Tangente im Punkt ( x, f(x) ). Da wir die Abbildung f (x) somit als Grenzwert der Differenzenquotienten erhalten, nennt man f (x) manchmal auch den Differentialquotienten von f in x. Wir betrachten als Nächstes einige Beispiele.

3 6.. DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 69 f(x + h) f Sekante f(x + h) f(x) f(x) x h x + h Abbildung 6.: Veranschaulichung des Differenzenquotienten Beispiel 6.2 (a) Die konstante Funktion f : R R, f(x) := c für ein c R, ist in allen Punkten x R differenzierbar mit der Ableitung f (x) ξ x f(ξ) f(x) ξ x c c ξ x ξ x 0 ξ x ξ x = 0. (b) Die Funktion f : R R mit f(x) := cx ist ebenfalls in allen Punkten x R differenzierbar mit der Ableitung f (x) ξ x f(ξ) f(x) ξ x ξ x c ξ c x ξ x ξ x c = c. (c) Die Abbildung f : R R, f(x) := x 2, ist auf ganz R differenzierbar und besitzt den Differentialquotienten f (x) h 0 f(x + h) f(x) h h 0 (x + h) 2 x 2 h h 0 x 2 + 2x + h 2 x 2 h h 0 (2x + h) = 2x. (d) Die Abbildung f : R\{0} R, f(x) :=, ist in allen Punkten x 0 differenzierbar x mit f (x) h 0 f(x + h) f(x) h

4 70 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG ( h 0 h x + h ) x x (x + h) h 0 h(x + h)x h 0 (x + h)x = x 2. (e) Die Exponentialfunktion exp : R R ist in jedem Punkt x R differenzierbar, denn unter Verwendung des Additionstheorems folgt Dabei haben wir benutzt, dass exp exp(x + h) exp(x) (x) h 0 h exp(x) exp(h) exp(x) h 0 h exp(h) = exp(x) h 0 h = exp(x). exp(h) h = + h 2! + h2 3! +... für h 0 aufgrund der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion gilt. (f) Der Sinus sin : R R und der Cosinus cos : R R sind in allen Punkten x R differenzierbar. Verwenden wir nämlich die beiden sich aus den Reihenentwicklungen vom Sinus und Cosinus ergebenden Grenzwerte sin(h) h 0 h cos(h) = und = 0, h 0 h so folgt aus den Additionstheoremen des Sinus und Cosinus unmittelbar sin sin(x + h) sin(x) (x) h 0 h sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h) sin(x) h 0 h cos(h) sin(h) = sin(x) + cos(x) h 0 h h 0 h = cos(x) sowie cos (x) h 0 cos(x + h) cos(x) h

5 6.. DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 7 cos(x) cos(h) sin(x) sin(h) cos(x) h 0 h cos(h) sin(h) = cos(x) sin(x) h 0 h h 0 h = sin(x). (g) Die Funktion f : [0, ) R, f(x) := x ist in jedem Punkt x > 0 differenzierbar mit f f(x + h) f(x) (x) h 0 h x + h x h 0 h ( x + h x)( x + h + x) h 0 h( x + h + x) x + h x h 0 h( x + h + x) h 0 x + h + x = 2 x. Hingegen ist die Wurzelfunktion in x = 0 nicht differenzierbar, denn der (einseitige) Grenzwert f(0 + h) f(0) h h 0 + h h 0 + h h = + h 0 + existiert nur im uneigentlichen Sinne. (h) Die Funktion f : R R, f(x) := x, ist im Nullpunkt x = 0 nicht differenzierbar, denn für die spezielle Folge h n := n 0 gilt f(0 + h n ) f(0) n h n n n n n =, während wir für die Folge h n := n 0 den hiervon verschiedenen Grenzwert erhalten. f(0 + h n ) f(0) n h n n n n n ( ) = Wir präsentieren in dem folgenden Resultat noch eine Charakterisierung für die Differenzierbarkeit einer Funktion f, die uns später helfen wird, den Ableitungsbegriff auf Funktionen mit mehreren Variablen zu verallgemeinern.

6 72 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Satz 6.3 ( Charakterisierung differenzierbarer Funktionen ) Sei f : D R eine gegebene Funktion und x D ein Häufungspunkt der Menge D. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) f ist differenzierbar in x mit Ableitung a = f (x). (b) Es gibt eine in x stetige Funktion q : D R mit In diesem Fall ist f (x) = q(x). f(ξ) = f(x) + q(ξ)(ξ x) für alle ξ D. (c) Es gibt ein a R und eine in x stetige Funktion ϕ mit ϕ(x) = 0 (also ϕ(ξ) 0 für ξ x) und In diesem Fall ist f (x) = a. (d) Es gibt ein a R mit In diesem Fall ist f (x) = a. f(ξ) = f(x) + a(ξ x) + ϕ(ξ)(ξ x) für alle ξ D. f(ξ) f(x) a(ξ x) ξ x ξ x Beweis: Wir führen einen Ringbeweis (a) = (b) = (c) = (d) = (a), womit dann die Äquivalenz aller vier Aussagen bewiesen ist. = 0. (a) = (b): Sei f differenzierbar in x mit Ableitung a = f (x). Wir definieren dann q : D R durch q(ξ) := { f(ξ) f(x) ξ x, falls ξ x, f (x), falls ξ = x. Gemäß Definition der Differenzierbarkeit ist q stetig in x, und es gilt q(ξ)(ξ x) = f(ξ) f(x) für alle ξ D. (b) = (c): Nach Voraussetzung (b) können wir mit a := f (x) f(ξ) = f(x) + a(ξ x) + ( q(ξ) a ) (ξ x) für alle ξ D schreiben. Mit ϕ(ξ) := q(ξ) a für ξ D folgt dann ϕ(x) = q(x) a = f (x) f (x) = 0 und daher auch ϕ(ξ) = q(x) a = ϕ(x) ξ x aufgrund der Stetigkeit von q in x. Damit ist auch die Stetigkeit von ϕ in x nachgewiesen.

7 6.. DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 73 (c) = (d): Nach Voraussetzung (c) gilt mit a = f (x): f(ξ) f(x) a(ξ x) ξ x = ϕ(ξ)(ξ x) ξ x = ϕ(ξ) für alle ξ D, ξ x. Hieraus folgt f(ξ) f(x) a(ξ x) ξ x ξ x aufgrund der Stetigkeit von ϕ in x. (d) = (a): Nach Teil (d) gilt f(ξ) f(x) ξ x ξ x ξ x a(ξ x) ξ x ξ x ϕ(ξ) = ϕ(x) = 0 = a = f (x), so dass f im Punkte x in der Tat differenzierbar ist. Achtung: Der Satz 6.3 besagt lediglich, dass die stetige Funktion q in dem Punkt ξ = x den Wert f (x) annimmt. In anderen Punkten ξ x wird im Allgemeinen q(ξ) f (ξ) sein. Dies ist schon deshalb der Fall, weil die Ableitung von f in ξ x gar nicht existieren muss. Aber auch im Falle der Existenz von f (ξ) ist dieser Wert von q(ξ) meist verschieden. Wir notieren noch eine einfache Folgerung aus dem Satz 6.3. Korollar 6.4 ( Stetigkeit differenzierbarer Funktionen ) Sei f : D R eine gegebene Funktion. Ist f differenzierbar in einem Punkt x D, so ist f auch stetig in x. Beweis: Sei {x n } D eine beliebige Folge mit x n x. Zu zeigen ist die Gültigkeit von f(x n ) f(x). Nun ist f in x differenzierbar. Nach Satz 6.3 existiert somit eine in x stetige Funktion q : D R mit Speziell für ξ = x n folgt daher f(ξ) = f(x) + q(ξ)(ξ x) für alle ξ D. f(x n ) = f(x) + q(x n )(x n x) f(x) + q(x)(x x) = f(x), was zu zeigen war. Wir wollen als Nächstes noch Ableitungen höherer Ordnung einführen. Sei f : D R dazu eine differenzierbare Funktion. Dann existiert die Ableitung f (x) in jedem Punkt x D. Auf diese Weise wird also eine Funktion f : D R, x f (x)

8 74 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG definiert. Ist diese Funktion f in einem Punkt x D selbst differenzierbar, so nennen wir f (x) := (f ) (x) die zweite Ableitung von f in x. Ist die Funktion f in jedem Punkt x D differenzierbar, so definieren wir analog f : D R, x f (x) mit f (x) := (f ) (x) und nennen f zweimal differenzierbar. Allgemein definiert man rekursiv die n te Ableitung f (n) von f als Ableitung von f (n ), falls f (n ) differenzierbar ist. Statt f (n) schreibt man oft auch D n f oder dn f. Existiert die n te Ableitung f (n) für alle n N dx n 0, so heißt f beliebig oft differenzierbar. Für n =, 2, 3 schreibt man statt f (n) meistens f, f und f. Definition 6.5 Eine Funktion f : D R heißt stetig differenzierbar, wenn f auf D differenzierbar ist und die Abbildung f stetig ist. Entsprechend heißt f : D R n mal stetig differenzierbar, wenn die Ableitungen f, f,...,f (n) existieren und stetig sind. Für die gerade definierten Begriffe hat sich eine eigene Schreibweise eingebürgert: Sei dazu D ein beliebiger Definitionsbereich (etwa ein eigentliches oder uneigentliches Intervall). Dann setzen wir C(D) := C 0 (D) := {f : D R f stetig auf D}, C n (D) := {f : D R f n-mal stetig differenzierbar auf D} C (D) := {f : D R f beliebig oft differenzierbar auf D}. n N Wir wollen durch das folgende Beispiel kurz andeuten, dass die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen eine echte Teilmenge der differenzierbaren Funktionen darstellt. Beispiel 6.6 Wir betrachten die Funktion f : R R, die durch { x f(x) := 2 sin( ) für x 0, x 0 für x = 0 definiert ist. Wir behaupten zunächst, dass diese auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist. Für jedes x 0 ist dies klar, und aus den üblichen (aus der Schule bekannten bzw. gleich zu beweisenden) Differentiationsregeln folgt f (x) = 2x sin ( x ) cos ( x ) für x 0. (6.4) Im Nullpunkt hingegen folgt die Differenzierbarkeit aus der Definition des Differentialquotienten: ( ) f f(h) f(0) (0) h sin = 0, (6.5) h 0 h 0 h 0 h denn sin ( h) ist dem Betrag nach durch Eins beschränkt. Wir zeigen nun, dass die Funktion f hingegen nicht stetig differenzierbar ist. Wäre dies nämlich der Fall, so müsste f insbesondere im Nullpunkt stetig sein, wegen (6.5) somit f (x) 0 für x 0 gelten. Aus (6.4) folgt aber sofort, dass der Grenzwert f (x) für x 0 im Allgemeinen gar nicht existiert.

9 6.2. RECHENREGELN Rechenregeln Die Definition der Differenzierbarkeit wird nur selten benutzt, um explizit die Ableitung einer Funktion auszurechnen. Tatsächlich kennt man die Ableitungen von einigen wichtigen Funktionen. Daraus ergeben sich dann die Ableitungen komplizierter Abbildungen durch geeignete Anwendung von gewissen Rechenregeln, die wir in diesem Abschnitt zur Verfügung stellen wollen. Satz 6.7 ( Rechenregeln für differenzierbare Funktionen ) Seien f, g : D R zwei Funktionen und λ R gegeben. Sind f und g in einem Punkt x D differenzierbar, so gelten: (a) f + g : D R ist in x differenzierbar mit (f + g) (x) = f (x) + g (x). (b) λf : D R ist in x differenzierbar mit (λf) (x) = λf (x). (c) f g : D R ist in x differenzierbar mit (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (Produktregel). (d) f g : D R ist in x differenzierbar mit ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g(x) 2 (Quotientenregel), sofern g(x) 0 gilt. Beweis: (a) Aus der Definition der Differenzierbarkeit und den bekannten Sätzen über die Konvergenz von Folgen ergibt sich unmittelbar (f + g) (f + g)(ξ) (f + g)(x) (x) ξ x ξ x f(ξ) + g(ξ) f(x) g(x) ξ x ξ x f(ξ) f(x) g(ξ) g(x) + ξ x ξ x ξ x ξ x = f (x) + g (x), denn nach Voraussetzung existieren die beiden Grenzwerte für f (x) und g (x). (b) In weitgehender Analogie zum Teil (a) ergibt sich (λf) (λf)(ξ) (λf)(x) (x) ξ x ξ x λf(ξ) λf(x) ξ x ξ x

10 76 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG = λ ξ x f(ξ) f(x) ξ x = λf (x) aufgrund der vorausgesetzten Existenz von f (x). (c) Da f und g in x differenzierbar sind, ergibt sich (f g) (f g)(x + h) (f g)(x) (x) h 0 h f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) h 0 h 0 h h ( f(x + h) [ g(x + h) g(x) ] + [ f(x + h) f(x) ] g(x) g(x + h) g(x) f(x + h) f(x) f(x + h) + g(x) h 0 h h 0 h g(x + h) g(x) f(x + h) f(x) f(x + h) + h 0 h 0 h h 0 h g(x) h 0 = f(x)g (x) + f (x)g(x), wobei wir insbesondere die Stetigkeit von f in x ausgenutzt haben, vergleiche Korollar 6.4. ) (d) Wegen g(x) 0 und der Stetigkeit von g im Punkte x ist auch g(x + h) 0 für alle h mit h hinreichend klein. Hieraus folgt zunächst für den Spezialfall f : ( ) ( (x) g h 0 h g(x + h) ) g(x) ( ) g(x) g(x + h) h 0 g(x + h) g(x) h h 0 g(x + h)g(x) h 0 ( = g (x) ) g(x) 2 = g (x) g(x) 2. Durch Anwendung der Produktregel erhalten wir hieraus ( ) ( f (x) = f ) (x) = f (x) g g g(x) + (x) f(x) g g(x) 2 und daher gerade die Gültigkeit der Quotientenregel. g(x) g(x + h) h = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) 2 Die Aussagen (a) und (b) des Satzes 6.7 besagen, dass es sich bei der Differentiation um eine lineare Abbildung handelt. Wir betrachten als Nächstes einige Beispiele.

11 6.2. RECHENREGELN 77 Beispiel 6.8 (a) Für f(x) := x n (n N) gilt f (x) = nx n. Der Beweis erfolgt durch Induktion nach n. Für n = gilt die Behauptung gemäß Beispiel 6.2 (b), so dass der Induktionsanfang richtig ist. Die Aussage gelte nun für ein beliebiges n. Wir betrachten f(x) = x n+ = x x n und wenden die Produktregel an: f (x) = x n + x nx n = (n + )x n, womit der Induktionsschritt n n + ebenfalls bewiesen ist. (b) Für f(x) := (n N) gilt f (x) = nx n = n, wobei natürlich x 0 vorausgesetzt werden muss. Dies folgt durch Anwendung von Teil (a) und der x n x n+ Quotientenregel: f (x) = Wegen (a) und (b) gilt übrigens ( ) = 0 xn (nx n ) = nx n. x n (x n ) 2 d dx (xn ) = nx n für alle n Z, wobei wir für n < 0 nur Punkte x 0 betrachten dürfen. (c) Für die Funktion tan x = sin x cos x erhalten wir aus der Quotientenregel tan (x) = sin (x) cos(x) sin(x) cos (x) cos 2 (x) = cos2 (x) + sin 2 (x) cos 2 (x) = cos 2 (x), wobei wir bekannte Tatsachen über sin und cos verwendet haben. Wir zeigen in unserem nächsten Resultat, dass mit f auch die Umkehrfunktion f (sofern existent) differenzierbar ist und geben in diesem Zusammenhang auch eine Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion an. Satz 6.9 ( Ableitung der Umkehrfunktion ) Seien f : [a, b] R eine stetige und streng monotone Funktion sowie ϕ := f : D R die Umkehrfunktion, wobei wir D := f([a, b]) gesetzt haben. Ist f im Punkt x [a, b] differenzierbar mit f (x) 0, so ist ϕ im Punkt y := f(x) differenzierbar, und es gilt ( f ) (y) = ϕ (y) = f (x) = f ( ϕ(y) ) = f ( f (y) ). Beweis: Sei {η n } D\{y} eine beliebige Folge mit n η n = y. Wir setzen ξ n := ϕ(η n ). Da ϕ nach Satz 4.5 stetig ist, gilt n ξ n = ϕ(y) = x. Außerdem ist ξ n x für alle n N aufgrund der Bijektivität von ϕ : D [a, b]. Nun folgt ϕ (y) = ϕ(η n ) ϕ(y) n η n y

12 78 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG n ξ n x f(ξ n ) f(x) n f(ξ n) f(x) ξ n x = f (x), woraus sich die Behauptung unmittelbar ergibt. Der Satz 6.9 gilt auch dann, wenn f statt auf dem kompakten Intervall [a, b] auf einem uneigentlichen Intervall, insbesondere also auf ganz R, definiert ist. Dies folgt unmittelbar aus dem zugehörigen Beweis, wenn man dort statt des Satzes 4.5 den Satz 4.52 zu Hilfe nimmt. Wir betrachten einige Beispiele zur Ableitung von Umkehrfunktionen. Beispiel 6.0 (a) Der natürliche Logarithmus ln : (0, + ) R ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp : R R. Aufgrund des Satzes 6.9 folgt daher (wir schreiben hier x statt y) ln (x) = exp (ln(x)) = exp(ln(x)) = x. (b) arcsin : [, ] R ist die Umkehrfunktion von sin : [ π, π ] R. Für diese ergibt 2 2 sich aus dem Satz 6.9 arcsin (x) = sin (arcsin(x)) = cos(arcsin(x)) für alle x (, +). Setze y := arcsin(x). Dann ist sin y = x und cos(arcsin(x)) = cos(y) = + sin 2 (y) = + x 2 wegen y [ π, 2 +π ]. Also haben wir 2 d arcsin(x) dx = x 2 für alle x (, +). (c) arctan : R R ist die Umkehrfunktion von tan : ( π 2, +π 2) R. Daher folgt arctan (x) = tan (arctan(x)) = cos2 (arctan(x)) wegen Beispiel 6.8 (c). Setzen wir y := arctan(x), so folgt x 2 = tan 2 (y) = sin2 (y) cos 2 (y) = cos2 (y) = cos 2 (y) cos 2 (y),

13 6.2. RECHENREGELN 79 also cos 2 (arctan(x)) = cos 2 (y) = + x 2. Zusammen ergibt sich die Ableitung für die Funktion arctan. d arctan(x) dx = + x 2 Wir betrachten als Konsequenz des obigen Beispiels einen interessanten Zusammenhang mit der Exponentialfunktion. Lemma 6. Für alle x R gilt n (+ x n )n = e x, insbesondere ist n (+ n )n = e. Beweis: Für x = 0 folgt die Behauptung unmittelbar aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion, so dass wir im Folgenden x 0 voraussetzen und daher durch x dividieren dürfen. Wegen Beispiel 6.0 (a) ist der natürliche Logarithmus differenzierbar mit ln () =. Unter Verwendung von ln() = 0 folgt daher n ( n ln ( + n) x ) (x n n x ln( + x ) ) n ln( + x = x ) ln() n n x = x ln () = x. Die Definition der allgemeinen Potenz und die Stetigkeit der Exponentialfunktion implizieren deshalb ( + x n ( exp n ln n n) ( + x ) ) n ( n ( ( x)) ) = exp n ln + n n = exp(x), n was zu beweisen war. Die Exponentialfunktion tritt auf ganz natürliche Weise in der Zinseszinsrechnung auf. Wir illustrieren dies in dem nachstehenden Beispiel. Beispiel 6.2 ( Kontinuierliche Verzinsung ) Sie legen zum Zeitpunkt t = 0 einen festen Betrag K 0 > 0 für eine gewisse Laufzeit T > 0 an und erhalten hierfür aufgrund eines Zinssatzes am Ende der Laufzeit mehr Geld

14 80 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG zurück. Der Zinssatz wird Ihnen meist in Form eines jährlichen Zinssatzes angeboten. In der Finanzwelt wird häufig jedoch anders vorgegangen: Man unterteilt die gesamte Laufzeit T > 0 in insgesamt n kleine Laufzeiten der Länge t (so dass natürlich T = n t gilt) und erhält für die Laufzeit t einen Zinssatz r > 0. Zur Zeit t = t erhöht sich das Kapital somit auf K = K 0 ( + r t). Nach der Laufzeit t 2 = 2 t bekommen sie nicht nur auf das Anfangskapital K 0, sondern auch auf die schon eingenommenen Zinsen weitere Zinsen ausgezahlt, so dass sich ihr Vermögen auf K 2 = K 0 ( + r t)( + r t) beläuft. So fortfahrend, erhalten sie am Ende der Laufzeit t n = n t = T das Kapital ( K n = K 0 ( + r t) n T ) n = K 0 + r. n Für n, also für t 0 (weshalb man von kontinuierlicher Verzinsung spricht) konvergiert der Ausdruck K n gegen K 0 e rt aufgrund des Lemmas 6.. Will man die Ableitung einer Funktion berechnen, die aus der Komposition von zwei (oder mehr) Abbildungen entsteht, so benötigt man die nachstehende Kettenregel. Satz 6.3 ( Kettenregel ) Seien f : [a, b] R und g : [c, d] R zwei gegebene Funktionen mit f([a, b]) [c, d]. Die Funktion f sei in x [a, b] differenzierbar und g sei in y := f(x) [c, d] differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Funktion in x differenzierbar, und es gilt g f : [a, b] R (g f) (x) = g ( f(x) ) f (x). Beweis: Nach Voraussetzung ist f in x differenzierbar. Wegen Satz 6.3 existiert daher eine in x stetige Funktion q mit f(ξ) = f(x) + q(ξ)(ξ x) ξ [a, b] und f (x) = q(x). Ferner ist g nach Voraussetzung in y = f(x) differenzierbar. Ebenfalls nach Satz 6.3 gibt es deshalb eine in y stetige Funktion r mit g(η) = g(y) + r(η)(η y) η [c, d] und g (y) = r(y). Hieraus folgt mit η := f(ξ) (g f)(ξ) = g ( f(ξ) )

15 6.2. RECHENREGELN 8 = g(η) = g(y) + r(η)(η y) = g ( f(x) ) + r ( f(ξ) )( f(ξ) f(x) ) = (g f)(x) + (r f)(ξ)q(ξ)(ξ x) = (g f)(x) + s(ξ)(ξ x) mit der aufgrund der Sätze 4.27 und 4.28 in x stetigen Funktion s(ξ) := (r f)(ξ) q(ξ). Speziell für ξ = x gilt hierbei s(x) = r ( f(x) ) q(x) = g ( f(x) ) f (x). Erneut wegen Satz 6.3 ist g f daher in x differenzierbar und besitzt dort die Ableitung (g f) (x) = g ( f(x) ) f (x). Mittels der Kettenregel lässt sich die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion sehr leicht herleiten: Durch beidseitige Differentiation der Identität ( f f ) (y) = y f ( f (y) ) = y ergibt sich mittels der Kettenregel nämlich also gerade die schon bekannte Darstellung f ( f (y) )( f ) (y) =, ( f ) (y) = f ( f (y) ). Man beachte allerdings, dass sich aus diesem Zugang nicht die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion ergibt. Es folgen einige Beispiele zur Kettenregel. Beispiel 6.4 (a) Sei f : R R differenzierbar und g : R R definiert durch g(x) := f(ax + b) (a, b R). Dann gilt g (x) = af (ax + b). (b) Seien α R und f : (0, + ) R definiert durch Aus der Kettenregel ergibt sich dann f(x) := x α := exp ( α ln(x) ). dx α dx = ( exp α ln(x) ) d ( ) ( )α α ln(x) = exp α ln(x) dx x = xα α x = αxα. Für ganzzahlige Exponenten erhalten wir somit insbesondere die Darstellungen aus dem Beispiel 6.8 (a), (b).

16 82 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG (c) Wir zeigen hier, wie sich die Quotientenregel auch aus der Kettenregel herleiten lässt. Sei dazu g : [a, b] R eine in x [a, b] differenzierbare Funktion mit g(x) 0. Wir setzen f : R\{0} R, f(x) :=. Dann gilt x g = f g. Nach Beispiel 6.8 (b) ist f (x) =. Hieraus folgt x 2 ( ) (x) = ( f g ) (x) = f (g(x) ) g (x) = g g(x) 2 g (x) = g (x) g(x). 2 Aus diesem Spezialfall ergibt sich nun die allgemeine Quotientenregel, vergleiche den Beweis des Satzes 6.7 (d). 6.3 Mittelwertsätze Dieser Abschnitt behandelt mit den so genannten Mittelwertsätzen einige Anwendungen der Differentialrechnung. Insbesondere wird sich zeigen, dass man mittels der Eigenschaften der Ableitung zum Teil auf das Verhalten der Funktion Rückschlüsse ziehen kann. Sei f : [a, b] R zunächst eine beliebige Funktion. Ein Punkt ξ [a, b] heißt dann ein lokales Minimum von f, wenn es ein ε > 0 gibt mit der Eigenschaft f(ξ) f(x) für alle x [a, b] mit x ξ < ε. Hingegen heißt ξ [a, b] ein lokales Maximum von f, wenn ein ε > 0 existiert mit f(ξ) f(x) für alle x [a, b] mit x ξ < ε. Wir nennen ξ ein lokales Extremum von f, wenn ξ ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum ist. Die Abbildung 6.2 illustriert die Begriffe eines lokalen Minimums bzw. Maximums. Ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extremums ist in dem folgenden Resultat enthalten. Satz 6.5 ( Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum ) Die Funktion f : [a, b] R besitze im Punkt ξ (a, b) ein lokales Extremum und sei in ξ differenzierbar. Dann ist f (ξ) = 0. Beweis: Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass es sich bei ξ um ein lokales Maximum handelt. Dann existiert ein ε > 0 mit f(x) f(ξ) für alle x [ξ ε, ξ + ε] [a, b]. Für alle diese x mit der zusätzlichen Eigenschaft x > ξ gilt dann f(x) f(ξ) x ξ 0,

17 6.3. MITTELWERTSÄTZE 83 ξ = lokales Minimum von f f ξ 2 = lokales Maximum von f ξ ξ 2 Abbildung 6.2: Veranschaulichung von lokalen Extrema während wir für alle diese x mit der Eigenschaft x < ξ die Ungleichung f(x) f(ξ) x ξ 0 erhalten. Durch Grenzübergang x ξ bekommen wir aus der vorausgesetzten Differenzierbarkeit von f in ξ somit einerseits f f(x) f(ξ) (ξ) 0 x ξ + x ξ und andererseits so dass letztlich nur f (ξ) = 0 übrig bleibt. f f(x) f(ξ) (ξ) 0, x ξ x ξ Man beachte, dass im Satz 6.5 das lokale Extremum ξ im Inneren des Intervalls [a, b] liegen musste. Sofern es sich bei dem lokalen Extremum um einen Randpunkt von [a, b] handelt, ist die Aussage des Satzes 6.5 im Allgemeinen nicht mehr richtig. Beispielsweise hat die differenzierbare Funktion f : [0, ] R, f(x) := x ein lokales Minimum in x = 0 und ein lokales Maximum in x =, aber an keiner dieser Stelle verschwindet die Ableitung. Wir formulieren als Nächstes einen Spezialfall des nachfolgenden Mittelwertsatzes. Satz 6.6 ( Satz von Rolle ) Sei f : [a, b] R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Gilt f(a) = f(b), so existiert ein ξ (a, b) mit f (ξ) = 0. Beweis: Falls f eine konstante Funktion ist, so ist die Behauptung natürlich richtig. Anderenfalls gibt es ein x (a, b) mit f(x) > f(a) oder f(x) < f(a). Dann wird das Maximum oder Minimum von f auf [a, b] in einem Punkt ξ (a, b) angenommen (die Existenz eines solchen Extremwertes folgt hierbei aus dem Satz 4.47, für dessen Anwendung wir auch die

18 84 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Stetigkeit von f auf [a, b] benötigen). Wegen Satz 6.5 gilt dabei f (ξ) = 0. Man beachte, dass der Satz 6.6 seine Gültigkeit im Allgemeinen verliert, wenn f auf [a, b] zwar stetig ist, aber die Ableitung von f nicht mehr auf dem gesamten Intervall (a, b) existiert. Dazu betrachte man die Betragsfunktion f(x) := x auf dem Intervall [a, b] := [, ]. Offenbar existiert kein ξ (, ) mit f (ξ) = 0. f(a) = f(b) f (ξ) = 0 f a ξ b Abbildung 6.3: Illustration des Satzes von Rolle In dem Spezialfall f(a) = f(b) = 0 besagt der Satz von Rolle insbesondere, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion stets eine Nullstelle der Ableitung liegt. Als einfache Konsequenz des Satzes von Rolle erhalten wir jetzt einen ersten Mittelwertsatz. Satz 6.7 ( Mittelwertsatz ) Sei f : [a, b] R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Dann existiert ein ξ (a, b) mit f(b) f(a) = f (ξ). b a Beweis: Wir definieren eine Hilfsfunktion F : [a, b] R durch F(x) := f(x) f(b) f(a) (x a). b a Offenbar ist F stetig auf [a, b] sowie differenzierbar auf (a, b). Ferner gilt F(a) = f(a) = F(b), so dass wir den Satz 6.6 von Rolle anwenden können: Es existiert ein ξ (a, b) mit F (ξ) = 0. Wegen F (ξ) = f f(b) f(b) (ξ) b a folgt hieraus die Behauptung.

19 6.3. MITTELWERTSÄTZE 85 Geometrisch bedeutet der Mittelwertsatz, dass die Steigung der Sekante durch die Punkte ( a, f(a) ) und ( b, f(b) ) gleich der Steigung der Tangente an den Graphen von f an einer gewissen Zwischenstelle ( ξ, f(ξ) ) ist, vergleiche hierzu die Abbildung 6.4. f a ξ b Abbildung 6.4: Geometrische Deutung des Mittelwertsatzes Als Folgerung aus dem Mittelwertsatz erhalten wir das nachstehende Kriterium für die Monotonie einer Funktion. Satz 6.8 ( Monotonie Kriterien bei differenzierbaren Funktionen ) Sei f : [a, b] R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Dann gelten die folgenden Aussagen: (a) Ist f (x) > 0 für alle x (a, b), so ist f streng monoton wachsend auf [a, b]. (b) Ist f (x) < 0 für alle x (a, b), so ist f streng monoton fallend auf [a, b]. (c) Genau dann ist f (x) 0 für alle x (a, b), wenn f auf (a, b) monoton wächst. (d) Genau dann ist f (x) 0 für alle x (a, b), wenn f auf (a, b) monoton fällt. Beweis: Für beliebige x, x 2 [a, b] mit x < x 2 existiert nach dem Mittelwertsatz 6.7 ein Zwischenpunkt ξ (x, x 2 ) mit f(x 2 ) f(x ) = (x 2 x )f (ξ). Hieraus ergeben sich unmittelbar die Aussagen (a) und (b) sowie die entsprechende Richtung in den Behauptungen (c) und (d). Die Umkehrungen in (c) und (d) folgen aus der Definition des Differentialquotienten: Ist f beispielsweise monoton wachsend, so ergibt sich für ein beliebiges x (a, b) wegen der Differenzierbarkeit von f in x sofort f (x) ξ x f(ξ) f(x) ξ x Analog verifiziert man die Rückrichtung für Teil (d). f(ξ) f(x) 0. ξ x + ξ x

20 86 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Man beachte, dass die Umkehrungen der Aussagen (a) und (b) im Satz 6.8 im Allgemeinen nicht gelten, beispielsweise ist die Funktion f(x) := x 3 auf jedem Intervall [a, b] streng monoton wachsend, jedoch gilt f (0) = 0, die Ableitung ist also nicht strikt positiv. Aus dem Satz 6.8 erhalten wir sofort das nachstehende Korollar. Korollar 6.9 Sei f : [a, b] R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b) mit f (x) = 0 für alle x (a, b). Dann ist f konstant auf [a, b]. Beweis: Wegen f (x) = 0 für alle x (a, b) ist f aufgrund des Satzes 6.8 sowohl monoton fallend als auch monoton wachsend auf (a, b). Also ist f konstant auf (a, b). Aus der Stetigkeit von f folgt dann bereits, dass f auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] konstant ist. Als weitere Folgerung aus dem Mittelwertsatz formulieren wir das nachstehende Resultat. Satz 6.20 ( Lipschitz Stetigkeit stetig differenzierbarer Funktionen ) Sei f : [a, b] R stetig differenzierbar auf [a, b]. Dann existiert eine Konstante L 0 mit f(x ) f(x 2 ) L x x 2 für alle x, x 2 [a, b]. (6.6) Beweis: Sei x, x 2 [a, b] beliebig gegeben. Dann existiert wegen Satz 6.7 ein Zwischenpunkt ξ = ξ x,x 2 (a, b) mit f(x ) f(x 2 ) = f (ξ)(x x 2 ). (6.7) Da f nach Voraussetzung noch stetig ist auf dem kompakten Intervall [a, b], existiert wegen Satz 4.47 das Maximum L := max f (ξ). Mit (6.7) ergibt sich somit ξ [a,b] f(x ) f(x 2 ) = f (ξ x,x 2 ) x x 2 max f (ξ) x x 2 ξ [a,b] = L x x 2 für alle x, x 2 [a, b]. Eine Funktion f mit der Eigenschaft (6.6) wird als Lipschitz stetig auf [a, b] bezeichnet, die Konstante L 0 heißt auch Lipschitz Konstante von f auf [a, b]. Für manche Zwecke benötigt man eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes, die wir in dem folgenden Resultat angeben.

21 6.4. DIE REGELN VON L HOSPITAL 87 Satz 6.2 ( Verallgemeinerter Mittelwertsatz ) Seien f, g : [a, b] R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Sei ferner g (x) 0 für alle x (a, b). Dann ist g(a) g(b), und es gibt ein ξ (a, b) mit f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). Beweis: Wäre g(a) = g(b), so gäbe es nach dem Satz 6.6 von Rolle einen Zwischenpunkt ξ (a, b) mit g (ξ) = 0, was nach Voraussetzung aber nicht sein kann. Daher ist g(a) g(b) und der in der Behauptung auftretende Nenner somit von Null verschieden. In Analogie zum Beweis des Mittelwertsatzes 6.7 definieren wir eine Hilfsfunktion F : [a, b] R durch F(x) := f(x) f(b) f(a) ( ) g(x) g(a). g(b) g(a) Dann ist F(b) = F(a). Nach dem Satz 6.6 gibt es somit ein ξ (a, b) mit F (ξ) = 0. Wegen F (ξ) = f f(b) f(a) (ξ) g(b) g(a) g (ξ) folgt sofort die Behauptung. Der Spezialfall g(x) = x für alle x [a, b] zeigt übrigens, dass es sich beim Satz 6.2 tatsächlich um eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes 6.7 handelt. Ansonsten sei hier betont, dass im Satz 6.2 im Zähler und Nenner ein und derselbe Zwischenpunkt ξ auftritt. Würde man den Mittelwertsatz selbst zum einen auf die Funktion f und zum anderen auf die Funktion g anwenden, erhielte man hier zwei eventuell verschiedene Zwischenpunkte ξ und ζ. 6.4 Die Regeln von L Hospital Sind f, g : (a, b] R zwei gegebene Funktionen derart, dass die beiden Grenzwerte x a + f(x) und x a + g(x) existieren und der zweite Grenzwert von Null verschieden ist, so erhalten wir aus dem Satz 4.27 sofort den Grenzwert f(x) x a + g(x) f(x) x a+ x a + g(x). Gilt dagegen x a + g(x) = 0, so ist die Situation komplizierter. Falls x a + f(x) 0 ist, so hat f(x) keinen (eigentlichen) Grenzwert an der Stelle a. Damit bleibt zu klären, g(x) was im Fall x a + f(x) = 0 und x a + g(x) = 0 passiert. Diese Frage wird durch die nachstehende Regel von L Hospital beantwortet, die wir als wichtige und nützliche Anwendung des verallgemeinerten Mittelwertsatzes erhalten.

22 88 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Satz 6.22 ( Regel von L Hospital Fall 0 0 ) (a) Seien f, g : (a, b] R differenzierbar und g (x) 0 für alle x (a, b). Gilt dann x a und existiert der Grenzwert so existiert auch der Grenzwert und es gilt x a f(x) = 0 und g(x) = 0 (6.8) + + f (x) x a + g (x), f(x) x a + g(x), f(x) x a + g(x) f (x) x a + g (x). (b) Seien f, g : [a, + ) R differenzierbar und g (x) 0 für alle x (a, + ). Gilt dann f(x) = 0 und g(x) = 0 x + x + und existiert der Grenzwert so existiert auch der Grenzwert und es gilt f (x) x + g (x), f(x) x + g(x), f(x) x + g(x) f (x) x + g (x). Beweis: (a) Wegen (6.8) können wir f und g als stetige Funktionen in a mit f(a) = 0 und g(a) = 0 auffassen. Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz 6.2 gibt es zu jedem x (a, b) daher einen (von x abhängigen) Zwischenpunkt ξ = ξ x mit f(x) g(x) = f(x) f(a) g(x) g(a) = f (ξ) g (ξ). Wegen ξ a + für x a + folgt hieraus die Behauptung. (b) Der Fall x + kann durch die Transformation y = x auf den Fall y 0 + zurückgeführt werden, der durch den Teil (a) abgedeckt ist. Aus der Kettenregel der Differentialrechnung folgt dann f(x) x + g(x) f( ) y y 0 + g( ) y

23 6.4. DIE REGELN VON L HOSPITAL 89 (a) y 0 + d dy f() y d dy g() y y 0 + f ( ) y y 0 + g ( ) y y 2 f ( y ) y 2 g ( y ) f (x) x + g (x), womit Teil (b) vollständig bewiesen ist. Analog zum Satz 6.22 beweist man entsprechende Aussagen auch für den Fall sowie für den Fall f(x) = 0 und x b g(x) = 0 x b f(x) = 0 und g(x) = 0. x x Wir formulieren als Nächstes eine weitere Variante der Regel von L Hospital, bei der für zwei Funktionen f, g : (a, b] R die beiden einzelnen Grenzwerte uneigentlich sind, etwa x a + f(x) = + und x a + g(x) = +, so dass man über den Grenzwert des zugehörigen Quotienten f(x) x a + a priori nichts aussagen kann. g(x) Satz 6.23 ( Regel von L Hospital Fall ) (a) Seien f, g : (a, b] differenzierbar und g (x) 0 für alle x (a, b). Gilt dann x a und existiert der Grenzwert so existiert auch der Grenzwert und es gilt x a f(x) = + und g(x) = f (x) x a + g (x), f(x) x a + g(x), f(x) x a + g(x) f (x) x a + g (x). (b) Seien f, g : [a, + ) R differenzierbar und g (x) 0 für alle x (a, + ). Gilt dann f(x) = + und g(x) = + x + x +

24 90 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG und existiert der Grenzwert so existiert auch der Grenzwert und es gilt f (x) x + g (x), f(x) x + g(x), f(x) x + g(x) f (x) x + g (x). Beweis: (a) Nach Voraussetzung existiert der Grenzwert α : x a + f (x) g (x). Zu jedem ε > 0 existiert daher ein δ > 0 mit f (t) g (t) α < ε für alle t (a, a + δ ). Zu beliebigen x, y (a, a + δ ) mit (ohne Einschränkung) x < y existiert nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz (angewandt auf das Intervall [x, y], auf dem f und g stetig und differenzierbar sind) ein Zwischenpunkt ξ (x, y) mit f(y) f(x) g(y) g(x) = f (ξ) g (ξ), wobei die Nenner wegen g(x) + für x a + sowie g (x) 0 für alle x und der sich hieraus ergebenden Monotonie von g von Null verschieden sind. Für alle x, y (a, a + δ ) mit x y folgt somit f(x) f(y) g(x) g(y) α < ε. Nun ist f(x) g(x) g(y) g(x) f(x) f(y) = g(x) g(y). f(y) Hält man y fest und lässt x a + gehen, so konvergiert der zweite Faktor gegen wegen x a+ g(x) x a+ f(x) = +. Also existiert ein δ 2 > 0 mit f(x) f(x) f(y) g(x) g(x) g(y) < ε für alle x (a, a + δ 2). Für δ := min{δ, δ 2 } und alle x (a, a + δ) gilt daher f(x) g(x) α < 2ε. f(x)

25 6.5. KONVEXE FUNKTIONEN 9 Also ist was zu zeigen war. f(x) x a + g(x) = α f (x) x a + g (x), (b) Diese Aussage kann mittels der Substitution y = wie im Beweis des Satzes 6.22 (b) x auf den Fall (a) zurückgeführt werden. Aus dem Beweis des Satzes 6.23 folgt übrigens relativ leicht, dass die Aussagen auch dann gelten, wenn die Grenzwerte der vorkommenden Quotienten lediglich im uneigentlichen Sinne existieren. Ebenso lassen sich entsprechende Aussagen in den Fällen sowie x b x b f(x) = + und g(x) = + f(x) = + und g(x) = + x x beweisen. Auch die Möglichkeiten f(x) oder g(x) können mit dem Satz 6.23 abgedeckt werden, indem man zu den Funktionen f bzw. g übergeht. Wir betrachten kurz einige Beispiele zu den Regeln von L Hospital. Beispiel 6.24 (a) Es ist ln(x) x ln(x) x 0 + x 0 + x x 0 + x x = 0. x 2 x 0 + (b) Es ist (c) Es ist x 0 x sin(x) x 0 cos( x ) 2 x 0 cos(x) 2 sin(x) 2 x 0 sin(x) cos(x) = cos(0) =. 4 cos(x) 2 x 0 cos(x) = 4. Hier mussten wir die Regel von L Hospital also zweimal hintereinander anwenden. 6.5 Konvexe Funktionen Wir untersuchen in diesem Abschnitt die Klasse der konvexen Funktionen und leiten mit deren Hilfe eine Reihe von wichtigen Ungleichungen her. Definition 6.25 Seien I R ein beliebiges Intervall und f : I R eine gegebene Funktion. Dann heißt f konvex auf I, wenn für alle x, y I und alle λ (0, ) f ( λx + ( λ)y ) λf(x) + ( λ)f(y) gilt. f heißt dagegen konkav, wenn f konvex ist.

26 92 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Anschaulich besagt die obige Definition, dass f eine konvexe Funktion ist, wenn der Graph von f in jedem Intervall [x, y] I (mit x < y) unterhalb (bzw. nicht oberhalb) der Sekante durch die Punkte ( x, f(x) ) und ( y, f(y) ) liegt, vergleiche hierzu die Abbildung??. f Sekante x y { λx + ( λ)y λ [0, ] } Abbildung 6.5: Veranschaulichung einer konvexen Funktion: Der Graph von f verläuft unterhalb einer jeden Sekante durch die Punkte ( x, f(x) ) und ( y, f(y) ) Eine einfache Verallgemeinerung der obigen Definition ist in dem nachstehenden Resultat enthalten. Lemma 6.26 ( Ungleichung von Jensen ) Seien I R ein Intervall und f : I R eine gegebene Funktion. Dann ist f genau dann konvex auf I, wenn f(λ x λ r x r ) λ f(x ) λ r f(x r ) (6.9) für beliebige λ,...,λ r 0 mit r i= λ i = und alle x,...,x r I gilt, wobei r N ebenfalls beliebig sein darf. Beweis: Aus der Gültigkeit von (6.9) folgt für r = 2 sofort die Konvexität von f. Sei f umgekehrt als konvex vorausgesetzt. Wir beweisen (6.9) durch Induktion nach r. Für r = ist nichts zu zeigen. Die Ungleichung (6.9) gelte daher für ein beliebiges r N. Für den Induktionsschluss r r + seien nichtnegative Zahlen λ,...,λ r+ mit r+ i= λ i = sowie x,...,x r+ I gegeben. Wir setzen dann λ := λ λ r und x := λ λ x λ r λ x r, wobei wir ohne Einschränkung davon ausgehen können, dass λ > 0 ist, da sonst λ r+ = und somit nichts zu zeigen wäre. Dann folgt x I und daher f(λ x λ r x r + λ r+ x r+ ) = f(λx + λ r+ x r+ )

27 6.5. KONVEXE FUNKTIONEN 93 λf(x) + λ r+ f(x r+ ) r λ i λ λ f(x i) + λ r+ f(x r+ ) i= = λ f(x ) λ r f(x r ) + λ r+ f(x r+ ), wobei sich die erste Ungleichung aus der Konvexität von f und die zweite Ungleichung aus der Induktionsvoraussetzung ergeben, denn die Zahlen µ i := λ i /λ genügen den beiden Bedingungen µ i 0 (i =,...,r) und r i= µ i =. Eine zum Lemma 6.26 entsprechende Ungleichung gilt natürlich auch für konkave Funktionen. Für eine differenzierbare konvexe Funktion gilt die folgende Charakterisierung, die ebenfalls ein Analogen für konkave Abbildungen besitzt. Satz 6.27 ( Charakterisierung differenzierbarer konvexer Funktionen ) Sei f : [a, b] R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Dann ist f genau dann konvex auf [a, b], wenn die Ableitung f auf (a, b) monoton wächst. Beweis: Sei f zunächst monoton wachsend auf (a, b). Seien x, x 2 [a, b] sowie λ (0, ) beliebig gegeben, wobei wir ohne Einschränkung x < x 2 voraussetzen können. Dann ist x := λx +( λ)x 2 (x, x 2 ), und nach dem Mittelwertsatz 6.7 existieren Zwischenstellen ξ (x, x) und ξ 2 (x, x 2 ) mit f(x) f(x ) x x = f (ξ ) f (ξ 2 ) = f(x 2) f(x) x 2 x wegen ξ ξ 2. Aus x x = ( λ)(x 2 x ) und x 2 x = λ(x 2 x ) folgt deshalb und daher f(x) f(x ) λ f(x 2) f(x) λ f(x) λf(x ) + ( λ)f(x 2 ), was gemäß Definition von x gerade bedeutet, dass f konvex ist. Sei f umgekehrt als konvex vorausgesetzt. Seien ferner x < x 2 beliebig gegeben. Dann gilt für jedes x mit x < x < x 2 offenbar f(x) x 2 x x 2 x f(x ) + x x x 2 x f(x 2 ), denn das gegebene x lässt sich mit λ := x 2 x x 2 x (0, ) gerade in der Gestalt x = λx +( λ)x 2 schreiben. Hieraus folgt f(x) f(x ) (x x ) ( f(x 2 ) f(x ) ) x 2 x

28 94 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG und daher Analog folgert man die Gültigkeit von f(x) f(x ) x x f(x 2) f(x ) x 2 x. (6.0) f(x 2 ) f(x ) x 2 x f(x 2) f(x). (6.) x 2 x Durch den Grenzübergang x x in (6.0) bzw. x x 2 in (6.) ergibt sich dann f (x ) x x f(x) f(x ) x x f(x 2) f(x ) x 2 x x x2 f(x 2 ) f(x) x 2 x = f (x 2 ), so dass f in der Tat monoton wächst. Die zweite Ableitung kann ebenfalls benutzt werden, um die Konvexität einer Funktion zu charakterisieren. Es gilt nämlich das nachfolgende Resultat. Satz 6.28 ( Charakterisierung zweimal differenzierbarer konvexer Funktionen ) Sei f : [a, b] R stetig auf [a, b] und zweimal differenzierbar auf (a, b). Dann ist f genau dann konvex auf [a, b], wenn f (x) 0 für alle x (a, b) gilt. Beweis: Nach Satz 6.27 ist f genau dann konvex auf [a, b], wenn die erste Ableitung f auf (a, b) monoton wächst. Diese Monotonie von f wiederum ist nach Satz 6.8 äquivalent dazu, dass die Ableitung dieser Funktion, also f, nichtnegativ auf (a, b) ist. Aus den beiden vorangehenden Resultaten erhält man eine ganze Reihe von Beispielen konvexer und konkaver Funktionen. Beispiel 6.29 (a) Jede affine Funktion f : R R mit f(x) := ax + b mit gegebenen a, b R ist konvex, denn f (x) = 0 für alle x R, so dass die Behauptung sofort aus dem Satz 6.28 folgt. (b) Die Funktion f : R R, f(x) := x 2, ist konvex auf dem R, denn f (x) = 2x ist offenbar monoton wachsend, so dass die Behauptung aus dem Satz 6.27 folgt. (c) Die Exponentialfunktion exp : R R ist ebenfalls konvex, denn exp (x) = exp(x), und die Exponentialfunktion ist wegen Satz 5.4 monoton wachsend. (d) Der natürliche Logarithmus ln : (0, ) R ist konkav, denn f (x) = 0 für x 2 alle x (0, ) bedeutet nach Satz 6.28, dass die Funktion f konvex und damit f selbst konkav ist.

29 6.6. WICHTIGE UNGLEICHUNGEN UND l P NORMEN Wichtige Ungleichungen und l p Normen Als relativ einfache Anwendung der Theorie konvexer Funktionen beweisen wir jetzt noch einige fundamentale Ungleichungen. Aus diesen erhalten wir insbesondere verschiedene Normen in dem K Vektorraum K n, von denen wir zwei schon im Beispiel 4.6 eingeführt hatten. Insbesondere werden wir hier zeigen, dass die Euklidische Norm aus dem Beispiel 4.6 (b) tatsächlich eine Norm ist. Als wichtiges Hilfsmittel benötigen wir dazu das nachstehende Resultat. Satz 6.30 ( Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel ) Für beliebige x,...,x r > 0 sowie λ,...,λ r > 0 mit λ λ r = gilt x λ xλ xλr r λ x + λ 2 x λ r x r. Beweis: Betrachte die Funktion f(x) := ln(x). Wegen Beispiel 6.29 (d) ist diese konvex auf ihrem Definitionsbereich (0, + ). Also gilt ln(λ x λ r x r ) λ ln(x ) λ r ln(x r ) nach der Ungleichung von Jensen aus dem Lemma Anwendung der monoton wachsenden Exponentialfunktion ergibt unter Beachtung des zugehörigen Additionstheorems sowie der Definition der allgemeinen Potenz gerade die Behauptung. Speziell für λ :=... := λ r := r folgt aus dem Satz 6.30 die Gültigkeit der Ungleichung r x x 2... x r x + x x r, r die ihrerseits ebenfalls als Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel bezeichnet wird. In Abgrenzung hiervon spricht man beim Satz 6.30 deshalb auch manchmal von der Ungleichung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel. Wir definieren auf dem Raum K n = { (x,...,x n ) xi K für alle x i K } als Nächstes gewisse Normen, und zwar die so genannten l p Normen z p := ( n i= z i p ) p für p < sowie die l Norm z := max i=,...,n z i, wobei die Namensgebung natürlich noch gerechtfertigt werden muss, da wir bislang noch nicht wissen, dass es sich tatsächlich um Normen auf dem Vektorraum K n handelt. Tatsächlich sieht man dies relativ leicht für und ein, so dass wir im Folgenden nur den

30 96 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Fall < p < näher untersuchen werden. Dieser beinhaltet für p = 2 insbesondere die sehr wichtige Euklidische Norm z 2 = n z i 2. Als Vorbereitung beweisen wir zunächst die nachstehende Ungleichung. Satz 6.3 ( Höldersche Ungleichung ) Seien p, q (, ) zwei Zahlen mit p + q für alle z, w K n. i= =. Dann gilt n z i w i z p w q i= Beweis: Für z = 0 oder w = 0 ist die Behauptung offenbar richtig, so dass wir z 0 und w 0 annehmen können. Die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel aus dem Satz 6.30, angewandt auf liefert unmittelbar r = 2, λ = p, λ 2 = q, x = z i p z p p und z i w i z p w q = x λ x λ 2 2 λ x + λ 2 x 2 = p x 2 = w i q w q, q z i p z p p + q w i q w q q (die Anwendung des Satzes 6.30 setzt z i 0, w i 0 voraus, aber die gerade hergeleitete Ungleichung gilt ganz offensichtlich auch, wenn z i = 0 oder w i = 0 gilt). Durch Summation ergibt sich z p w q n z i w i p i= n z p z i p + p q i= }{{} = z p p w q q n w i q = p + q = i= }{{} = w q q und damit die Behauptung. Ein oft benutzter Spezialfall der Hölderschen Ungleichung ist in dem nachstehenden Korollar enthalten. Korollar 6.32 ( Cauchy Schwarzsche Ungleichung ) Für alle z, w K n gilt die Ungleichung z T w z 2 w 2,

31 6.6. WICHTIGE UNGLEICHUNGEN UND l P NORMEN 97 wobei wir zur Abkürzung gesetzt haben. z T w := n z i w i i= Beweis: Aus der Dreiecksungleichung in K sowie der Hölderschen Ungleichung aus dem Satz 6.3 folgt für p = q = 2 sofort n n n z T w = z i w i z i w i = z i w i z 2 w 2 i= i= für alle z, w K n, wobei wir ausgenutzt haben, dass aus den bekannten Rechenregeln für den Betrag und die konjugiert komplexen Zahlen z i w i = z i w i = z i w i = z i w i für alle i =,...,n i= gilt. Aus der Hölderschen Ungleichung folgt außerdem das nachstehende Resultat. Satz 6.33 ( Minkowskische Ungleichung ) Sei p (, ) gegeben. Dann gilt z + w p z p + w p für alle z, w K n. Beweis: Wir definieren zunächst einen Vektor s := (s,...,s n ) T K n durch s i := z i + w i p und wählen q (, ) derart, dass + p q durch q := p ). Dann ist p = gilt (dieses q ist offenbar eindeutig gegeben und damit s q i = z i + w i q(p ) = z i + w i p s q = z + w p/q p. Durch Anwendung der Dreiecksungleichung in K sowie zweimalige Benutzung der Hölderschen Ungleichung aus dem Satz 6.3 folgt daher n z i + w i s i i= n z i s i + i= n w i s i i=

32 98 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Die Definition von s impliziert somit = n z i s i + i= n w i s i i= z p s q + w p s q = ( ) z p + w p s q. z + w p p ( z p + w p ) z + w p/q p. Wegen p p q = liefert dies gerade die Behauptung. Aus der Minkowskischen Ungleichung erhalten wir jetzt das folgende Korollar. Korollar 6.34 Die l p Normen sind für alle p Normen auf dem K n. Beweis: Mit Ausnahme der Dreiecksungleichung lassen sich alle definierenden Eigenschaften einer Norm sehr leicht überprüfen. Die Dreiecksungleichung hingegen ist gerade die Minkowskische Ungleichung aus dem Satz 6.33, wobei dort nur der Fall < p < betrachtet wurde. Die Gültigkeit der Dreiecksungleichung in den beiden Grenzfällen p = und p = lässt sich aber elementar verifizieren. Über das Korollar 6.34 hinaus gilt sogar das nachstehende Resultat. Satz 6.35 ( Vollständigkeit des K n ) Der normierte Raum K n ist mit jeder der l p Normen ( p + )) ein Banach Raum. Beweis: Wir betrachten zunächst den Spezialfall p =, für den wir das Resultat bereits im Satz 4.2 bewiesen haben. Dennoch soll hier ein alternativer Beweis angegeben werden. Sei also {z n } eine Cauchy Folge in dem normierten Raum (K n, ). Analog zum Beweis des Satzes 3.22 zeigt man, dass die Folge {z n } dann beschränkt ist. Nach dem Satz 4.3 von Bolzano Weierstraß besitzt {z n } dann eine gegen einen Häufungspunkt z konvergente Teilfolge. Wegen Satz 4.9 konvergiert dann bereits die gesamte Folge {z n } gegen z. Also ist jede Cauchy Folge in (K n, ) konvergent und dieser Raum somit vollständig. Die Vollständigkeit aller anderen Räume (K n, p ) mit p < ergibt sich nun aus dem Satz 4.53, wonach jede dieser Normen äquivalent ist zu der Norm. Die Mengen K (0) := { x R n x p } werden als Einheitskreise bezüglich der l p Norm bezeichnet. Dass es sich hierbei im Allgemeinen keineswegs um Kreis im üblichen Sinne handelt, wird durch die Abbildung 6.6 illustriert.

33 6.6. WICHTIGE UNGLEICHUNGEN UND l P NORMEN 99 Einheitskreis in der l Norm Einheitskreis in der l 2 Norm Einheitskreis in der l Norm Abbildung 6.6: Die Einheits kreise in der l, l 2 und l Norm im R 2

34 200 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG

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