I. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen:
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- Hede Dunkle
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1 I. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen: 1. Definitionslücken bestimmen: Nenner wird gleich 0 gesetzt! 2. Prüfung ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt: Eine hebbare Definitionslücke liegt vor, falls gilt, dass die Definitionslücke (aus dem Nenner) sich im Zähler, in der faktorisierten Form rauskürzt. Tipp: Definitionslücke in den Zähler einsetzen, wenn es 0 ergibt, kann eine hebbare Definitionslücke vorliegen, sonst ist sicher eine Polstelle vorhanden. 3. Nullstellen bestimmen: Zähler gleich 0 setzen! 4. Asymptoten: a) Senkrecht Definitionslücke b) waagerecht x geht bei Limes gegen +/- Unendlich; Trick: 1. Grad (G) Zähler (Z) kleiner G Nenner (N): y 0; 2. G Z G N : waagerechte Asymptote muss berechnet werden; 3. G Z G N + 1: Schiefe Asymptote, Polynom Division; 4. G Z > G N + 1: keine Asymptote; 5. Limes der Definitionslücken: "x kommt von oben oder von unten" 6. Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-achse: f(-x) f(x); Punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) -f(x);
2 II. Differentialrechnung 1. Differenzialquotient Berechnung der Steigung einer Sekante durch die Punkte P(a f(a)) und Q(b f(b)): m s f(b) f(a) b a Das ist der Differenzialquotient oder die mittlere Änderungsrate im Intervall I [a;b], wobei gilt [a; b] D f ; Berechnung der Sekanten Gleichung: Steigung in y m x + t einsetzen, dann P oder Q einsetzen und nach t auflösen. 2. Differenzierbare Funktionen Existiert für eine Funktion f undx 0 D f, folgender Grenzwert: f f(x) f(x (x 0 ) 0 ) m x x 0 x x T 0 So heißt f differenzierbar in x 0 ; f'(x 0) ist die Steigung der Tangente an G f durch P(x 0 f(x 0)). Anschließend muss x aus dem Nenner gekürzt werden. Ein Beispiel findet sich im Anhang als Anhang 1. Gilt für eine Funktion f f(x) f(x 0 ) x x 0 so ist f in x0 nicht differenzierbar. 3. Schnittwinkel a) Steigungswinkel tan(α) m b) Schnittwinkel φ α 1 α 2 4. Normale Eine Normale steht senkrecht zu einer anderen Gerade. Sie selbst ist eine Gerade. m 1 1 m 2 5. Ableitungsfunktion Sei f(x) eine aus einer Menge I differenzierbare Funktion. Die Funktion f x f (x) heißt Ableitungsfunktion von f. Df I
3 Mögliche Rechnung hierzu: Beispiel: f(x) x² f (x) h 0 f(x+h) f(x) 2hx+h² h (x + h)² x² h(2x+h) 2x + h 2x h 0 x2 + 2hx + h2 x² Das heißt: Die Funktion f (x) 2x ordnet jedem x 0 ε D f, die Tangentensteigung an den Graphen von f (G f) zu. 6. Die Ableitungsfunktion von x n Sei f(x) x n F (x) D f R und n N f(x+h) f(x) (x+h)n xn (x+h) (x+h) (x+h) (x+h) x n h 0 h nx n 1 h+h 2 R(h) h 0 nxn 1 + h R(h) nx n 1 h(nxn 1 +h R(h)) xn +nxn 1h+h2 R(h) xn Die allgemeine Ableitungsfunktion f (x) nx n-1 gilt für n Z! Des Weiteren gelten folgende Regeln: - Faktorregel: f(x) c g(x) c R f (x) c g (x) - Summenregel: f(x) g(x) + h(x) f (x) g (x) + h (x) - Die Produktregel: f(x) u(x) v(x) f (x) u (x) v(x) + u(x) v (x) - Die Quotientenregel: f(x) u(x) v(x) f (x) u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2 7. Graphischer Zusammenhang zwischen f(x) und f (x) - Steigt G f, so ist f positiv - Fällt G f, so ist f negativ - Ist f (0)0, so hat der Graph eine waagerechte Asymptote
4 III. Anwendung der Differenzialrechnung 1. Monotonie Sei f eine Funktion mit der Definitionsmenge D und sei I ein Intervall mit I c D. F heißt monoton steigend auf I, falls für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2, f(x 1) f(x 2) gilt. F heißt streng monoton steigend auf I, falls für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2, f(x 1) < f(x 2) gilt. F heißt monoton fallend auf I, falls für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2, f(x 1) f(x 2) gilt. F heißt streng monoton fallend auf I, falls für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2, f(x 1) > f(x 2) gilt. Ableitung und Monotonie: Sei eine Funktion f(x) in einem Intervall I [a;b] differenzierbar. Gilt dann f (x) > 0 für x ]a;b[, so ist f(x) auf I streng monoton steigend. Gilt f (x) < 0 für x ]a;b[, so ist f(x) auf I streng monoton fallend! Die Ableitung kann das Vorzeichen an Nullstellen und an Polstellen von f(x) ändern. 2. Extremwerte Sei f(x) eine Funktion mit der Definitionsmenge D. Ein Funktionswert f(x 0) heißt lokales Maximum von f, falls es ein ε > 0 gibt, so dass f(x 0) f(x) für alle x I mit I [x 0 - ε; x 0 + ε]. Gilt sogar f(x 0) f(x) für alle x D, so heißt f(x 0) globales Maximum von f! Den Punkt H(x 0 f(x 0)) nennet man Hochpunkt. Analog dazu das Minimum und der Tiefpunkt T! Randextrema: Sei f(x) eine Funktion mit der Definitionsmenge D. Sei x 0 D ein Rand des Definitionsbereiches. So ist f(x 0) entweder ein Randminimum oder ein Randmaximum. Extrema und Ableitung: Sei eine Funktion f(x) in einem Intervall I ]a;b[ differenzierbar und sei f(x 0) ein Extremum, so gilt: f (x 0) 0 Allerdings ist nicht jedes f(x 0) mit f (x 0) 0 ein Extremum! Bsp.: f(x) x³ f (x) 3x² f(0) 0 Der Punkt P(0 0) heißt Terrassenpunkt! Zusammenfassend gilt: 1. Vorzeichenwechsel von f an x 0 von + - Maximum bei x o 2. Vorzeichenwechsel von f an x 0 von - +
5 Minimum bei x o 3. Kein Vorzeichenwechsel von f an x 0 Terrassenpunkt
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