Mathematik für Sozial- und Wirtschaftswissenschaftler

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1 Mathematik für Sozial- und Wirtschaftswissenschaftler Von Dr. Gerhard Marineil o. Universitätsprofessor Fünfte, erweiterte Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien

2 Inhalt Inhalt Vorwort V XIII I Mengenlehre und Aussagenlogik 1 1 Menge 1 2 Aussage 4 3 Konjunktion und Schnittmenge 6 4 Disjunktion und Vereinigungsmenge 8 5 Differenzmenge 10 6 Subjunktion und Bijunktion 11 7 Tautologie und Kontradiktion 14 8 Logische Äquivalenz und Implikation 14 9 Quantoren Potenzmenge Zahlenmengen Binäre Zahlen Maße Schaltalgebra Aufgaben und Lösungen 29 II Relationen und Funktionen 41 1 Produktmengen 41 2 Relationen 43 3 Funktionen 47 4 Inverse, implizite und zusammengesetzte Funktionen 52 5 Eigenschaften reeller Funktionen 54 6 Algebraische Funktionen 57 7 Transzendente Funktionen 59

3 VI 8 Polarkoordinaten 64 9 Nachfrage- und Angebotsfunktion Break-even-Analyse Logistisches Wachstum Aufgaben und Lösungen 71 III Differential- und Integralrechnung 83 1 Grenzwert 83 2 Stetigkeit 87 3 Differentialquotient 88 4 Unbestimmtes Integral 92 5 Differentiations- und Integrationsregeln 94 6 Kosten- und Erlösfunktion Grenzertrag Grenzneigung zum Konsum Höhere Ableitungen Funktion mit mehreren Variablen Partielle Ableitungen Unbestimmtes Mehrfachintegral Aufgaben und Lösungen 117 W Differentiale und Elastizitäten Differential Fehler Totales Differential Implizite Differentiation Grenzrate der Substitution 13f 6 Jakobische Determinante 13? 7 Elastizitäten 14( 8 Nachfrageelastizität 14! 9 Partielle Elastizitäten 14' 10 Homogene Funktionen Cobb-Douglas Produktionsfunktion Aufgaben und Lösungen 14 V Extremwerte 15 1 Steigung lü

4 VII 2 Krümmung Extremwerte für Funktionen mit einer unabhängigen Veränderlichen Monopol Lagerhaltungsmodell Extremwerte für mehrere unabhängige Veränderliche Maximaler Gewinn Nichtlineare Optimierung Nutzenfunktion Minimalkostenkombination Aufgaben und Lösungen 188 VI Bestimmte und uneigentliche Integrale Bestimmtes Integral Konsumenten- und Produzentenrente Kapitalstock Lorenzkurve Lernkurven Numerische Integration Uneigentliche Integrale Dichtefunktion und Erwartungswert Gammafunktion Betafunktion Bestimmte Mehrfachintegrale Transformation bei Mehrfachintegralen Aufgaben und Lösungen 223 VII Differentialgleichungen Definition Klassifikation Separable Differentialgleichung Homogene Differentialgleichung Exakte Differentialgleichung Lineare Differentialgleichung erster Ordnung Domar Modell Epidemiemodell Aufgaben und Lösungen 247

5 VIII VIII Folgen und Reihen Folgen Arithmetische und geometrische Folge Zinseszinsrechnung Reihen Endliche arithmetische und geometrische Reihe Rentenrechnung Investitionsrechnung Unendliche geometrische Reihe Taylorreihen Aufgaben und Lösungen 276 IX Differenzengleichungen Definition : Klassifikation Homogene lineare Differenzengleichung Harrod-Modell Inhomogene lineare Differenzengleichungen Cobweb-Modell Lösungsfolgen Aufgaben und Lösungen 296 X Matrizen Matrixdefintion Spezielle Matrizen Addition und Subtraktion Multiplikation Elementare Zeilenoperationen Kanonische Form Input-Output-Matrizen Netzwerk Matrizen Dominanzmodell Aufgaben und Lösungen 327 XI Inverse Matrix Definition ) Eliminationsregel 340

6 3 Determinante Determinantenregel Eigenschaften der Inversen Technische Koeffizientenmatrix Leontief Inverse Codieren Bayes-Theorem Aufgaben und Lösungen 354 XII Vektoren Geometrische Interpretation Betrag Distanz zwischen zwei Vektoren Orthogonalität Linearkombination Rang Vektorraum Aufgaben und Lösungen 381 XIII Lineare Gleichungssysteme Definition Lösungsvektor Kriterien für die Lösbarkeit Lösungsverfahren Inhomogene lineare Gleichungssysteme Homogene lineare Gleichungssysteme Marktgleichgewicht Aufgaben und Lösungen 403 XIVLineares Optimieren Problemformulierung Graphische Lösung Duales Problem Schlupfvariable Simplexmethode Gleichungen als Nebenbedingungen Transportmodell 434 IX

7 X 8 Zuordnungsmodell Aufgaben und Lösungen 438 XV Spieltheorie Matrixspiele Strategien Werte eines Spieles (n x m)-matrixspiele mit Sattelpunkt (2 x 2)-Matrixspiele ohne Sattelpunkt Dominante Zeilen und Spalten (n x m)-matrixspiele ohne Sattelpunkt Nichtkooperative Zweipersonen-Nichtnullsummen-Spiele Kooperative Zweipersonen-Nichtnullsummen-Spiele Aufgaben und Lösungen 475 XVI Markovketten Reguläre stochastische Matrix Markovketten 48 3 Höhere Übergangswahrscheinlichkeiten Fixpunkt 49^ 5 Reguläre Markovketten 49( 6 Absorbierende Markovketten Warteschlangenmodell 50l 8 Aufgaben und Lösungen 50 XVII Eigenwerte und quadratische Formen 51 1 Eigenwerte 51 2 Eigenvektoren 51 3 Eigenschaften 52 4 Diagonalisierung symmetrischer Matrizen 52 5 Faktorenanalyse 5S 6 Demographie 5< 7 Quadratische Formen 51 8 Orthogonale Transformation 5! 9 Ableitungen 5! 10 Methoden der kleinsten Quadrate 5 11 Aufgaben und Lösungen '.... 5

8 Literaturverzeichnis 559 Stichwortverzeichnis 563 XI

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