Analysis II. Mehrdimensionale Differenzialund Integralrechnung

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Irmela Hase
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1 Übungen zur Vorlesung Analysis II Aufgaben Mehrdimensionale Differenzialund Integralrechnung gelesen von Prof. Dr. Heinrich Freistühler Martin Gubisch Konstanz, Sommersemester 28

2 Übungsaufgaben. Aufgabe 1 (Begriffe zur Differenziation Seien (, y R 2 und v = (v 1, v 2 S 1. Berechnen Sie zur Abbildung f : R 2 R, f(, y := sin(y das totale Differenzial f = df, die Jacobi-Matri J f (, y in (, y sowie die Richtungsableitung D v f(, y in Richtung v. Aufgabe 2 (Differenzierbarkeit Betrachten Sie die Funktion f : R 2 R, gegeben durch f(, y := y. Für welche Richtungen h = (h 1, h 2 R 2 eistiert die Richtungsableitung (h f(, im Punkt (, und für welche nicht? Ist f in (, partiell differenzierbar? Ist f in (, differenzierbar? Aufgabe 3 (Gradient und Höhenlinien Seien U R n offen, f : U R stetig differenzierbar, U und c := f(. Zeigen Sie, dass f( N f (c := {z U f(z = c}, d.h. dass für jedes stetig differenzierbare ϕ : ( ɛ, ɛ R n (ɛ > mit ϕ( = und Bild(ϕ N f (c gilt: ϕ (, f( =. Aufgabe 4 (Lösen einer partiellen Differenzialgleichung Zeigen Sie, dass die Funktion h : R R 2 R, gegeben durch h(t,, y := 1 ( 4πνt ep 2 + y 2 4νt eine Lösung der Diffusionsgleichung ist: t u(t,, y = ν( yu(t,, y (ν > Hintergrund: u gibt die Temperaturverteilung einer Platte mit Wärmeleitfähigkeit ν in Abwesenheit von Wärmequellen an. Aufgabe 5 (Taylorentwicklung Begründen Sie, dass zu der durch gegebenen Funktion genau ein Polynom der Form eistiert, mit dem für die Größe σ R := und geben Sie dieses Polynom an. f(, y := sin(ep(y 1 (, y R 2 p(, y = a + a 1 + a 2 y + a a 4 y + a 5 y 2 sup f(, y p(, y gilt: 2 +y 2 =R 2 lim R (R 2 σ R =, SS 28 2 Martin Gubisch

3 Aufgabe 6 (Gegenbeispiele 1. Zeigen Sie, dass die im Nullpunkt durch fortgesetzte Funktion f : R 2 R mit f(, y := 2 y 4 + y 2 ((, y R 2 \{(, } im Ursprung unstetig, aber in alle Richtungen differenzierbar ist. 2. Zeigen Sie, dass die Funktion f : R 2 R, definiert durch f(, y := 2 2 3y 2 + y 4 auf allen Geraden durch (, dort ein Minimum hat, aber f kein lokales Minimum in (, hat. Aufgabe 7 (lokale Etrema Bestimmen Sie die lokalen Etremstellen der Funktion f : R 2 R mit f(, y := (4 2 + y 2 ep( 2 4y 2. Aufgabe 8 (geometrische Optimierung Seien a, b, c, d Vektoren des R n mit b, d. Wir definieren zwei Geraden (s := a + sb; y(t := c + td; wobei s, t Parameter aus R. Gesucht sind die globalen Etremstellen der Abstandsfunktion Φ : R 2 R (s, t (s y(t 2 2. Aufgabe 9 (parameterabhängige Optimierung Gegeben sei für jedes c R die Funktion f c : R 2 R (, y ( 2 + y c. An welchen Punkten ist f c =? Wo hat f c sein globales Minimum? Aufgabe 1 (lokale Umkehrbarkeit Betrachten Sie die Abbildung f : Q f(q, Q := {(, y R 2 >, y > }, gegeben durch ( f(, y := 3 3y y y 3 ((, y Q. 1. Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt (, y Q lokal umkehrbar ist. 2. Tatsächlich hat f eine globale Umkehrabbildung g : f(q Q. Wie oft ist g differenzierbar? 3. Bestimmen Sie die Jacobi-Matri J g ( 2, 2 der Umkehrabbildung im Punkt ( 2, 2. Martin Gubisch 3 SS 28

4 Aufgabe 11 (Satz über implizite Funktionen 1. In welchen Punkten (, y, z R 3 ist das Gleichungssystem { 2 y 2 = y 2 z 2 = lokal auflösbar? 2. Zeigen Sie, dass das System bei (1, 1, 1 lokal nach (y, z aufgelöst werden kann. 3. Bestimmen Sie die Ableitung der Auflösungsfunktion (y(, z( durch implizites Differenzieren. Aufgabe 12 (Restringierte Optimierung Eine kreisförmige Platte trage die Temperaturverteilung D := {(, y R y 2 1 } T : D R (, y y + 1. Gesucht sind die Stellen höchster bzw. niedrigster Temperatur. Aufgabe 13 (Mannigfaltigkeiten Welche der folgenden Mengen ist eine eindimensionale / zweidimensionale / keine differenzierbare Mannigfaltigkeit? M 1 := {(, y, z R 3 cos(yz = }; M 2 := {(, y, z R 3 yz = }; M 3 := {(, y, z R y 2 + (z 1 2 = 4 und 2 + y 2 + (z = 4}. Begründen Sie Ihre Antworten. Aufgabe 14 (Berechnung von Kurvenlängen Berechnen Sie die Längen der folgenden Kurven: α(t := ( t sin(t, 1 cos(t t 2π, β(t := t 2 cos(t γ(t := t 2 sin(t, t 1, δ(t := t 3 /3 ( t cosh(t ( cos 3 (t sin 3 (t, 1 t 1,, t 2π. Aufgabe 15 (Integration via Transformation Berechnen Sie 1 min{y 4 1,π} 5 cos( 5 y d dy. 1 Hinweis: Benutzen Sie den Transformationssatz. SS 28 4 Martin Gubisch

5 Aufgabe 16 (Volumen eines Schnittkörpers Gegeben seien die beiden Paraboloide P 1 := {(, y, z R y 2 z = }; P 2 := {(, y, z R y 2 + z 8 = }. Berechnen Sie das Volumen der von P 1 und P 2 berandeten, offenen, beschränkten Menge B. Aufgabe 17 (Mantelfläche eines Kegels Bestimmen Sie für den Kegel { ( } K = K(h, R = (, y, z R y z h 1 2 R (h, R > den Flächeninhalt des Mantels M = {(, y, z K z (, h}. Aufgabe 18 (Längenmaß Sei I die Menge aller beschränkten Intervalle I R. Eine Funktion m : I [, habe folgende Eigenschaften: 1. I 1, I 2, I I, I 1 I 2 =, I 1 I 2 = I m(i = m(i 1 + m(i 2 (Additivität 2. I I, ξ R m(ξ + I = m(i (Translationsinvarianz 3. m([, 1] = 1 Zeigen Sie, dass dann für alle a < b gilt m([a, b] = b a. (Normiertheit Aufgabe 19 (Anwendung des Hauptsatzes der Analysis Sei f C 1 ([a, b] 2, R. Zeigen Sie, dass F : [a, b] R, F ( = f(, y dy stetig differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung von F. Aufgabe 2 (Satz über Parameterintegrale Zeigen Sie die Eistenz des uneigentlichen Riemann-Integrals d und berechnen Sie seinen Wert. Hinweis: Benutzen Sie die Ansätze lim t e t d = d & d dt e t d = e t d. Martin Gubisch 5 SS 28

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