Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

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1 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Betrachtet wird eine (n,n)-matrix A. Eine Zahl λ heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor v existiert, der nicht der Nullvektor ist und für den gilt: A v = λ v. () Ein solcher Vektor v ist dann ein zugehöriger Eigenvektor. Mit anderen Worten ist v ein Eigenvektor der Matrix A, wenn das Produkt A v ein Vielfaches von v ist. Es ist nicht schwer zu sehen, dass für jeden Vektor v, der die Gleichung () erfüllt, auch alle Vielfachen dieses Vektors dieser Gleichung genügen. Das heißt, zu jedem Eigenwert von A gehören stets unendlich viele Eigenvektoren. Wie bestimmt man nun alle Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren einer vorgegebenen Matrix A? Man beginnt mit der Berechnung der Eigenwerte. Die Gleichung () lässt sich umstellen zu (A λe) v = o, () wobei mit E die (n,n)-einheitsmatrix bezeichnet wird. Wir können also auch sagen, dass eine Zahl λ Eigenwert von A ist, wenn ein Vektor v existiert, der nicht der Nullvektor ist und der das homogene Gleichungssystem () mit der Koeffizientenmatrix A λe löst. Damit λ Eigenwert ist, muss das homogene System () also unendlich viele Lösungen besitzen. Wir wissen bereits, dass das bei einer quadratischen Koeffizientenmatrix nur möglich ist, wenn ihre Determinante gleich Null ist. Für die Eigenwerte der Matrix A muss also die sogenannte charakteristische Gleichung det(a λe) = (3) erfüllt sein. Hat man alle Lösungen dieser charakteristischen Gleichung und somit alle Eigenwerte von A bestimmt, kann man für jeden Eigenwert λ die zugehörigen Eigenvektoren bestimmen, indem man alle Lösungen v des homogenen Gleichungssystems () ermittelt (wobei für λ der konkrete Eigenwert eingesetzt wird). Wir fassen die Schritte zur Berechnung aller Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix noch einmal zusammen. S: Berechne (in Abhängigkeit von λ) die Determinante der Matrix A λe und bestimme alle λ, für die diese Determinante Null wird, bestimme also alle Lösungen λ der charakteristischen Gleichung (3). Die Matrix A λe entsteht dabei aus A, indem von allen Hauptdiagonalelementen λ abgezogen wird. S: Bestimme für jeden Eigenwert λ, der im Schritt S ermittelt wurde, alle Lösungen v des homogenen Gleichungssystems (). Alle diese Lösungen v sind zum Eigenwert λ gehörige Eigenvektoren. Bemerkungen:. Die charakteristische Gleichung (3) kann Lösungen der Vielfachheit (oder noch höher) besitzen, so wie im Beispiel (b) unten. In diesem Fall sagt man auch, dass der entsprechende Eigenwert der Matrix A die (algebraische) Vielfachheit besitzt. Es kann dann sein, dass man zu diesem Eigenwert auch zwei linear unabhängige Eigenvektoren findet. Es kann aber auch sein, dass es zu einem Eigenwert der algebraischen Vielfachheit trotzdem nur einen Eigenvektor gibt (bis auf Vielfache). Die Anzahl an linear unabhängigen

2 Eigenvektoren zu einem Eigenwert nennt man auch geometrische Vielfachheit dieses Eigenwertes. Sie kann niemals größer sein als die algebraische Vielfachheit, sie kann aber kleiner sein.. Ein Tipp für die Lösung der charakteristischen Gleichung: Wenn man die Determinante det(a λe) ausgerechnet hat, sollte man nicht gleich alles ausmultiplizieren, sondern erstmal prüfen, ob man einen gemeinsamen Faktor ausklammern kann. Falls ja, kann man nämlich die Nullstellen jedes Faktors unabhängig voneinander bestimmen, denn ein Produkt wird dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Dadurch spart man sich unter Umständen das Lösen einer Gleichung dritten Grades. Nur wenn sich herausstellt, dass kein gemeinsamer Faktor existiert, der ausgeklammert werden kann, sollte ausmultipliziert werden. Beispiele: (a) Es sind alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix zu bestimmen: 4 A = Wir stellen zunächst die charakteristische Gleichung auf, wozu wir insbesondere die Determinante von A λe berechnen müssen: λ 4 det(a λe) = 4 5 λ 3 λ = ( λ)(5 λ)(3 λ) 6(3 λ) =!. Es bietet sich hier an, den gemeinsamen Faktor (3 λ) auszuklammern: (3 λ) [( λ)(5 λ) 6] =. Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Aus dem ersten Faktor ergibt sich die erste Lösung der Gleichung und somit der erste Eigenwert von A: λ = 3. Die anderen beiden Eigenwerte bestimmen wir, indem wir den zweiten Faktor Null setzen und die Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden: Es folgt ( λ)(5 λ) 6 = λ 4λ! = λ /3 = ± 4+ = ±5. λ = 3 und λ 3 = 7. Zu jedem Eigenwert bestimmen wir nun die zugehörigen Eigenvektoren. Zu λ = 3. Wir müssen alle Lösungen v des homogenen Gleichungssystems (A 3E) v = o bestimmen, welches sich als Schema wie folgt schreiben lässt:

3 Um das System auf Zeilenstufenform zu bringen, führen wir die Umformung Z = Z + Z durch und erhalten Die Zeilenstufenform besitzt zwei Nichtnullzeilen bei drei Variablen. Das heißt, es gibt unendlich viele Lösungen (was auch so sein muss, sonst wäre λ = 3 kein Eigenwert). Wir setzen v 3 = t R. Aus der zweiten Zeile folgt 6v =, also v =. Setzen wir das in die erste Zeile ein, erhalten wir 4v =, also auch v =. Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = 3 lauten also v = t, t R. Zu λ = 3. Das homogene Gleichungssystem (A+3E) v = o lässt sich als Schema wie folgt schreiben: Um das System auf Zeilenstufenform zu bringen, führen wir die Umformung Z = Z Z durch und erhalten 4. 6 Aus der letzten Zeile ergibt sich 6v 3 = und somit v 3 =. Die zweite Zeile ist offenbar stets erfüllt, egal welche Werte v und v annehmen. Wir setzen nun v = t R. Dann folgt aus der ersten Zeile v +4t =, also v = t. Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = 3 lauten also v = t, t R. Zu λ 3 = 7. Das homogene Gleichungssystem (A 7E) v = o lässt sich als Schema wie folgt schreiben: Um das System auf Zeilenstufenform zu bringen, machen wir die Umformung Z = Z+Z und erhalten

4 Aus der letzten Zeile ergibt sich 4v 3 = und somit v 3 =. Die zweite Zeile ist offenbar stets erfüllt, egal welche Werte v und v annehmen. Wir setzen nun v = t R. Dann folgt aus der ersten Zeile 8v + 4t =, also v = t. Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ 3 = 7 lauten also / v 3 = t, t R. (b) Wir ändern die Matrix aus Beispiel (a) etwas ab und betrachten in diesem Beispiel die Matrix 4 A = Gesucht sind wieder alle Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren. Als erstes ist die charakteristische Gleichung aufzustellen: λ 4 det(a λe) = 4 5 λ 3 λ = ( λ)(5 λ)( 3 λ) 6( 3 λ) =!. Es bietet sich an, den Faktor ( 3 λ) auszuklammern, wodurch sich ergibt: ( 3 λ)[( λ)(5 λ) 6] =. Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Aus dem ersten Faktor ergibt sich die erste Lösung der Gleichung und somit der erste Eigenwert von A: λ = 3. Die anderen beiden Eigenwerte bestimmen wir, indem wir die Nullstellen des zweiten Faktors berechnen. Da wir dies schon im Beispiel (a) gemacht haben, geben wir hier nur das Ergebnis an: λ = 3 und λ 3 = 7. Die Matrix A besitzt also nur zwei unterschiedliche Eigenwerte, der Eigenwert λ = λ = 3 besitzt dabei die (algebraische) Vielfachheit. Zu jedem Eigenwert bestimmen wir nun die zugehörigen Eigenvektoren. Zu λ / = 3. Wir müssen alle Lösungen v des homogenen Gleichungssystems (A+ 3E) v = o ermitteln. Als Schema lässt sich dieses System wie folgt schreiben: Um das System auf Zeilenstufenform zu bringen, führen wir die Umformung Z = Z Z durch und erhalten 4. 4

5 Die Zeilenstufenform besitzt nur eine Nichtnullzeile bei drei Variablen. Die Differenz zwischen der Anzahl an Variablen und der Anzahl an Nichtnullzeilen ist also, sodass wir zwei Parameter einführen müssen, um die Lösungsmenge zu beschreiben. Wir setzen v 3 = t R und v = s R. Aus der ersten Zeile ergibt sich dann v +4s =, also v = s. Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ / = 3 lauten somit v / = s +t, s,t R. Insbesondere stellen wir fest, dass es zu diesem Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit auch zwei linear unabhängige Eigenvektoren gibt, sodass auch die geometrische Vielfachheit dieses Eigenwertes gleich ist. Zuλ 3 = 7. Wir müssen alle Lösungen des homogenen Gleichungssystems(A 7E) v = o ermitteln, welches sich wie folgt als Schema schreiben lässt: Um dieses System auf Zeilenstufenform zu bringen, machen wir die Umformung Z = Z+Z und erhalten 8 4. Aus der letzten Zeile lesen wir ab: v 3 = und somit v 3 =. Die zweite Gleichung ist immer erfüllt, egal welche Werte v und v annehmen. Wir setzen v = t und erhalten dann aus der ersten Zeile 8v +4t =, also v = t. Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ 3 = 7 lauten also / v 3 = t, t R. 5