3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit
|
|
- Miriam Vogt
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53 a n b n a n + b n (mit a, b R n eine abelsche Gruppe (siehe Anhang A, mit der Nullspalte = (,..., T als neutralem Element und a = ( a,..., a n T als Inversem zu a, a + b = b + a, a + (b + c = (a + b + c, a + = + a = a, a + ( a = ( a + a =. (54 Die Multiplikation einer Spalte a R n mit einer reellen Zahl λ R wird erklärt durch a λa λ a λ. :=. R n. (55 a n λa n (Der Multiplikationspunkt wird meistens fortgelassen. Zusammen mit dieser äußeren Multiplikation R R n R n bildet die Gruppe (R n, + einen Vektorraum (siehe Anhang A über dem Körper R der reellen Zahlen, denn für λ, µ R und a, b R n gilt etwa λ(a + b = λa + λb, (λ + µa = λa + µa, etc. (56 Der Kürze halber sprechen wir vom Vektorraum R n. Bem.: In völlig analoger Weise bildet die Menge C n aller n-dimensionalen Spalten komplexer Zahlen einen Vektorraum über dem Körper C. Um Platz zu sparen, schreiben wir Spalten auch als Zeilen mit dem Transpositionszeichen T. 27
2 3.2 Lineare Unabhängigkeit Def.: Eine endliche Teilmenge b,..., b m } R n heißt linear abhängig, wenn sich durch eine Linearkombination x b x m b m ihrer Elemente auf nicht-triviale Weise (also so, daß die Koeffizienten x,..., x m R nicht alle gleich null sind die Null darstellen läßt, x b x m b m m x k b k = k= ( m k= x k >. (57 Ist dies nicht möglich, so heißt b,..., b m } linear unabhängig. Bsp. : Ein linear abhängiger Satz von Elementen des R 3 ist b =, b 2 =, b 3 = , (58 denn er ermöglicht eine nicht-triviale Darstellung der Null, Linear unabhängig dagegen ist der Satz b =, b 2 = 2b + 3b 2 + 4b 3 =. (59, b 3 = denn die Forderung x b + x 2 b 2 + x 3 b 3 = führt auf das Gleichungssystem x + x 2 + x 3 =, und dies ist nur lösbar durch x = x 2 = x 3 =., (6 x + x 2 =, (6 x =, (62 Satz : Der Satz b,..., b m } R n ist gewiß linear abhängig, wenn m > n ist. Bsp. 2: (, 2 T, (2, 3 T, (3, 4 T } R 2 ist linear abhängig. Tatsächlich gilt ( ( ( =. (
3 3.3 Dimension Def.: Unter der linearen Hülle des Satzes b,..., b m } R n versteht man die Menge aller Linearkombinationen seiner Elemente, also die unendliche Teilmenge [ b,..., b m ] := a = m k= x k b k x,..., x m R R n. (64 Satz 2: Die lineare Hülle jedes Satzes b,..., b m } R n ist ein Untervektorraum von R n. Bsp. 3: Die lineare Hülle U = [ ] b, b 2 R 3 des Satzes b, b 2 } =, (65 ist im Wesentlichen der Vektorraum R 2, denn es gilt [ ] x b, b 2 = a = x b + x 2 b 2 x 2 x, x 2 R. (66 Def.: Sei V R n ein Untervektorraum von R n. Der Satz b,..., b m } R n heißt ein Erzeugendensystem von V, wenn V = [ b,..., b m ]. Bsp. 4: In Bsp. 3 ist b, b 2 } ein Erzeugendensystem von U. Ein anderes Erzeugendensystem desselben Vektorraums U ist etwa a, a 2, a 3, a 4 } mit den Vektoren a = 2, 2 a 2 = 3, 3 a 3 = 4, 4 a 4 = 5. (67 Weitere Erzeugendensysteme von U sind a, a 2 }, a, a 3 },..., a 3, a 4 }. Wir betrachten das letzte Beispiel näher. Tatsächlich läßt sich jedes a = x b + x 2 b 2 U darstellen als x 3y + 4y 2 a x 2 = y a 3 + y 2 a 4 4y + 5y 2, (68 denn zu beliebig vorgegebenen Werten x und x 2 ist das Gleichungssystem x = 3y + 4y 2, x 2 = 4y + 5y 2 } (69 lösbar, mit den Lösungen y = 5x 4x 2 und y 2 = 4x 3x 2. 29
4 Def.: Das Erzeugendensystem b,..., b m } R n von V heißt eine Basis von V, wenn es linear unabhängig ist. Dann heißen die Vektoren b,..., b m Basisvektoren. Offenbar ist.,.,...,., (7 eine Basis des R n, die sog. Standardbasis. Satz 3/Def.: Jede Basis eines bestimmten Vektorraums V R n enthält dieselbe Zahl m von Basisvektoren. Diese Zahl heißt die Dimension von V, m = dim V. (7 Jeder linear unabhängige Satz aus m (= dim V Vektoren V ist eine Basis von V. Ist b,..., b m } eine Basis von V, so sind die Koeffizienten x k in der Darstellung a = m x k b k (72 k= eines gegebenen Vektors a V eindeutig bestimmt. Bsp. 5: R n selbst hat die Dimension n. In Bsp. 4 ist jedes der Erzeugendensysteme a, a 2 }, a, a 3 },..., a 3, a 4 } zugleich eine Basis von U, da in diesem Fall a i, a j } für i j jeweils linear unabhängig ist. Es gilt also dim U = 2 und das Erzeugendensystem a, a 2, a 3, a 4 } ist keine Basis von U. 3
5 3.4 Lineare Gleichungssysteme 3.4. Definition Ein System aus n linearen Gleichungen für m Unbekannte x,..., x m hat die Form a x + a 2 x a m x m = b, a 2 x + a 22 x a 2m x m = b 2,.... a n x + a n2 x a nm x m = b n. (73 Fassen wir die Koeffizienten a ik R der Variable x k (mit i =,..., n zur Spalte a k R n und die Koeffizienten b i zur Spalte b R n zusammen, so wird daraus m x k a k x a x m a m = b. (74 k= Das lineare Gleichungssystem heißt homogen, falls b =, andernfalls heißt es inhomogen. Unter der Lösungsmenge des Gleichungssystems versteht man die Menge L = (x,..., x m R m x a x m a m = b R m. (75 Das System (74 ist offenbar genau dann lösbar (d.h.: L, wenn gilt b [ a,..., a m ]. (76 Def.: Zwei lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen gleich sind Gaußscher Algorithmus Zur Bestimmung der vollständigen Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bemerken wir: Satz 4: Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ändert sich nicht durch: (a Vertauschen zweier Gleichungen; (b Multiplikation einer Gleichung mit einer reellen Zahl c ; (c Addition des c-fachen einer Gleichung zu einer anderen. Durch diese Operationen kann man jedes lineare Gleichungssystem auf eine Form bringen, aus der sich die Lösungsmenge direkt ablesen läßt. In dieser sog. Zeilenstufenform (ZSF gibt es in jeder Einzelgleichung ( Zeile mindestens eine Variable x k, die in allen nachfolgenden Gleichungen nicht mehr vorkommt. Dies sei an einem Beispiel erläutert. 3
6 Bsp. 6: Wir betrachten das Gleichungssystem x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5, ( 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 = 2, (2 3x + 4x 2 + 5x 3 + 9x 4 = 7. (3 (77 Durch die Ersetzungen (2 (2 = 2 ( (2 und (3 (3 = 3 ( (3 wird daraus x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5, ( x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 2, (2 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 2. (3 (78 Schließlich ersetzen wir (3 (3 = (3 2 (2, um ZSF zu erzielen, x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5, ( x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 2, (2 3x 4 = 2. (3 (79 Aus Gl. (3 folgt x 4 = 2 3, womit Gl. (2 lautet x 2 + 2x 3 =. (8 Es ist also etwa x 3 frei wählbar und x 2 = 2x 3 wird festgelegt. Mit Gl. ( ist dann auch x = x festgelegt, und wir erhalten die einparametrige Lösungsmenge 3 ( L = x , 2x 3 3, x 3, 3 2 x3 R R 4. (8 Die allgemeine Lösung des Gleichungssystems ist also 38 x = 3 + x 2 3. (82 2 Bem.: Offenbar ist die Zahl d der unabhängigen Parameter in der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (hier: d =, ein einziger Parameter x 3 gegeben durch d = m r, (83 wobei m die Anzahl der Unbekannten und r die Anzahl der in der ZSF verbleibenden Gleichungen ist. Jede dieser Gleichungen stellt nämlich eine unabhängige Bedingung an die Lösungsmenge dar, welche die Anzahl von deren Freiheitsgraden je um eins reduziert. 32
7 3.4.3 Allgemeines Lösungsverhalten Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (n Gleichungen für m Unbekannte, m x k a k x a x m a m = b R n, (84 k= wird bestimmt durch die Dimension r der linearen Hülle des Satzes a,..., a m } r = dim [ a,..., a m ] minm, n}. (85 Wir bezeichnen r als Rang des Gleichungssystems (genauer: der Koeffizientenmatrix. r ist gerade die Anzahl der Gleichungen in der ZSF des Systems (sofern diese keinen Widerspruch enthält und das System daher nicht lösbar ist. In homogenen Fall b = ist das System immer lösbar und es gilt der Satz 5: Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems, L = (x,..., x m R m x a x m a m = R m, (86 bildet einen d-dimensionalen Untervektorraum des R m, wobei d = m r. (87 Es gibt also einen linear unbhängigen Satz b,..., b d } R m, sodaß gilt L = x = c b c d b d c,..., c d R. (88 Im Fall r = m, also d =, ist der Satz a,..., a m } linear unabhängig. Dann gibt es nur die triviale Lösung x =, und der Lösungsraum ist -dimensional, L = }. Für inhomogene Systeme mit b gilt der Satz 6: Die Lösungsmenge L eines lösbaren inhomogenen linearen Gleichungssystems ergibt sich durch Addition einer beliebigen Einzellösung x spez zur allgemeinen Lösung des entsprechenden homogenen Systems, L = x = x spez + c b c d b d c,..., c d R. (89 Diese Menge bildet im Gegensatz zu L keinen Vektorraum, denn im Fall b gilt immer / L. Das System ist genau dann unlösbar, L =, wenn b / [ a,..., a m ]. (In diesem Fall führt die Erstellung der ZSF auf einen Widerspruch. 33
8 3.5 Matrizen 3.5. Definition Def.: Eine (n m-matrix A ist ein rechteckiges Zahlenschema mit n Zeilen und m Spalten, a a 2... a m a 2 a a 2m A =.... (9 a n a n2... a nm Die Zahlen a ij K (hier steht K wahlweise entweder für den Körper R der reellen oder C der komplexen Zahlen heißen die Elemente von A. Dabei steht a ij in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von A. Man schreibt auch kurz A = (a ij. Die Menge aller (n m-matrizen von Zahlen K wird mit M(n m, K bezeichnet. Bem.: Bezüglich der elementweisen Addition und der äußeren ( skalaren Multiplikation A + B (a ij + (b ij := (a ij + b ij (9 λ A λ (a ij := (λa ij (92 bildet M(n m, K einen Vektorraum über dem Körper K Rang Def.: Die m Spalten einer (n m-matrix A, aufgefaßt als Elemente des R n, spannen als ihre lineare Hülle einen Untervektorraum des R n auf, den Spaltenraum von A. Auf analoge Weise wird der Zeilenraum von A als Unterraum des R m definiert. Die Dimensionen dieser Räume heißen Zeilen- bzw. Spaltenrang von A. Bem.: Zeilen- und Spaltenrang einer Matrix ändern sich nicht durch: (a Vertauschen zweier Zeilen; (b Multiplikation einer Zeile mit einer reellen Zahl c ; (c Addition des c-fachen einer Zeile zu einer anderen. Jede Matrix A kann durch solche Operationen auf Zeilenstufenform gebracht werden. Es ist leicht einzusehen, daß bei der resultierenden Matrix A Zeilen- und Spaltenrang übereinstimmen. Es gilt also der Satz 7: Zeilen- und Spaltenrang einer (n m-matrix A sind identisch. Ihr gemeinsamer Wert heißt der Rang von A. 34
9 3.5.3 Matrizenmultiplikation Def.: Unter dem Produkt A B der (n l-matrix A = (a ij mit der (l m-matrix B = (b jk versteht man die (n m-matrix C = (c ik mit den Elementen c ik := l a ij b jk. (93 j= Bsp. 7: ( = 2 ( = ( (94 Bem.: Das Produkt A B ist nur erklärt, wenn A ebensoviele Spalten wie B Zeilen hat! Insbesondere ist das Matrizenprodukt, selbst unter quadratischen (n n-matrizen (mit gleicher und einheitlicher Zeilen- und Spaltenzahl n nicht kommutativ. Bsp. 8: ( ( ( = ( 5 6 = 7 8 ( ( ( ( ( = ( 2 = 3 4 ( ( , (95. (96 Bem.: Die Spaltenvektoren x R n lassen sich natürlich als (n -Matrizen auffassen. Das lineares Gleichungssystem (74 läßt daher schreiben als A x = b. (97 Satz: Für A M(n k, K und B, C M(k m, K gilt das Distributivgesetz A ( ( ( λb + µc = λ A B + µ A C (λ, µ R. (98 Für A M(n k, K, B M(k l, K und C M(l m, K gilt das Assoziativgesetz A ( ( B C = A B C A B C. (99 35
10 3.5.4 Lineare Abbildungen Eine (n m-matrix A impliziert eine lineare Abbildung f : R n R m, x f(x := A x. (2 Diese ist tatsächlich linear, denn nach Gl. (98 gilt für beliebige λ, µ R und x, x 2 R n f(λx + µx 2 = A (λx + µx 2 = λ (A x + µ (A x 2 = λf(x + µf(x 2. (2 Def.: Bild bzw. Kern einer linearen Abbildung f : R n R m werden definiert als Bildf := y R m x R n : y = f(x R m, Kernf := x R n f(x = R n. (22 Bem.: Bildf ist die Menge aller y R m, für die das inhomogene Gleichungssystem A x = y (23 lösbar ist. Kernf ist die Lösungsmenge L des homogenen Systems A x =. Satz 8: Bildf und Kernf sind Untervektorräume von R m bzw. R n. Ihre Dimensionen, r = dim Bildf, s = dim Kernf, (24 auch Rang bzw. Defekt von f genannt, addieren sich zur Ausgangsdimension n, r ist der (Spalten- Rang der Matrix A. r + s = n. (25 Bsp. 9: Für die lineare Abbildung f : R 5 R 4, mit x 2 3 f(x = A x x 2 x 3 x ( a, a 2, a 3, a 4, a 5 x, (26 x 5 berechnen wir zunächst r. Es gilt Bildf = x a + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 x, x 2, x 3, x 4, x 5 R. (27 36
11 Wegen a 2 = a + a 4, a 3 = 2a a 4 und a 5 = 3a folgt also Bildf = y a + y 4 a 4 y, y 4 R (28 und, weil a, a 4 } offensichtlich linear unabhängig ist, schließlich Berechnung von s: Die Matrix A hat die ZSF A = r dim Bildf = 2. ( (2 Für die Lösungsmenge L des homogenen Gleichungssystems A x = gilt also s dim Kernf dim L = 5 2 = 3. (2 Tatsächlich finden wir r + s = dim R 5 = 5. Anmerkung: Das Ergebnis r = 2 hätten wir natürlich direkt aus der ZSF A ablesen können, da Zeilen- und Spaltenrang von A bzw. A gleich sind. 37
Mathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 15. April 2018 1/46 Die Dimension eines Vektorraums Satz 2.27 (Basisergänzungssatz) Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Weiter seien v 1,...,
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 5. April 2018 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 11. Übung: Woche vom
Übungsaufgaben 11. Übung: Woche vom 9. 1.-13. 1. 2017 (Numerik): Heft Ü 1: 12.28.a,b; 12.29.b,c (jeweils mit Fehlerabschätzung); 6.26; 6.27.a (auch mit Lagrange-Interpolationspolynom); 6.25; 6.28 (auch
Mehr2.1 Vektorräume. 1. für alle x, y U ist x + y U und. 2. für alle x U und alle λ R ist λx U. O V (= O U) U, und dass ( 1) x U, also x U.
Vektorräume Definition Eine nicht leere Menge V, für die eine Addition (dh eine Rechenvorschrift + derart, dass a + b V für alle a, b V ist und eine skalare Multiplikation (dh λa V für alle λ R (λ ist
Mehr05. Lineare Gleichungssysteme
05 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1,, x n von der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html
MehrTutorium: Analysis und Lineare Algebra
Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am 14052018 (Teil 1) 7 Mai 2018 Steven Köhler mathe@stevenkoehlerde mathestevenkoehlerde 2 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen
Mehr2 Vektorräume und Gleichungssysteme
2 Vektorräume und Gleichungssysteme 21 Der n-dimensionale K-Vektorraum 2 Vektorräume und Gleichungssysteme 21 Der n-dimensionale K-Vektorraum Definition 21 Seien K = (K, +, ) ein Körper, V eine Menge und
Mehr5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension
8 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von v,...,v n, nämlich { n
MehrDer Kern einer Matrix
Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis
Mehr9 Lineare Gleichungssysteme
9 Lineare Gleichungssysteme Eine der häufigsten mathematischen Aufgaben ist die Lösung linearer Gleichungssysteme In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns zunächst mit Lösbarkeitsbedingungen und mit der
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehr35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen
35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Motivation Wir haben gesehen, dass lineare Abbildungen sich durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren ausdrücken lassen Mithilfe von Matrizen können wir
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine Vektorräume (Teschl/Teschl 9 Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen: Eine
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 1 Einführung Lineare Gleichungen Definition
MehrGegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.
1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild
Mehr32 2 Lineare Algebra
3 Lineare Algebra Definition i Die Vektoren a,, a k R n, k N, heißen linear unabhängig genau dann, wenn für alle λ,, λ k R aus der Eigenschaft λ i a i λ a + + λ k a k folgt λ λ k Anderenfalls heißen die
Mehr10 Lineare Gleichungssysteme
ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 1 10 Lineare Gleichungssysteme (101) Bezeichnungen: Ein System a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 ( ) a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a
MehrMatrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
MehrVektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)
Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz
MehrGrundlegende Definitionen aus HM I
Grundlegende Definitionen aus HM I Lucas Kunz. März 206 Inhaltsverzeichnis Vektorraum 2 2 Untervektorraum 2 Lineare Abhängigkeit 2 4 Lineare Hülle und Basis 5 Skalarprodukt 6 Norm 7 Lineare Abbildungen
MehrTutorium: Analysis und Lineare Algebra
Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am 14.5.218 (Teil 2) 9. Mai 218 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 3 c 218
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2008/09 4 Einführung Vektoren und Translationen
MehrMATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER INFORMATIK UND WIRTSCHAFTSINFORMATIK (ANALYSIS UND LINEARE ALGEBRA) IM SOMMERSEMESTER Inhaltsverzeichnis
MATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER INFORMATIK UND WIRTSCHAFTSINFORMATIK (ANALYSIS UND LINEARE ALGEBRA) IM SOMMERSEMESTER 206 STEFAN GESCHKE Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Literatur 3. Lineare Gleichungssysteme
MehrMATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER INFORMATIK UND WIRTSCHAFTSINFORMATIK (ANALYSIS UND LINEARE ALGEBRA) IM SOMMERSEMESTER Inhaltsverzeichnis
MATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER INFORMATIK UND WIRTSCHAFTSINFORMATIK (ANALYSIS UND LINEARE ALGEBRA) IM SOMMERSEMESTER 208 STEFAN GESCHKE Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Literatur 3. Lineare Gleichungssysteme
MehrKapitel 3 Lineare Algebra
Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND
Mehr3 Systeme linearer Gleichungen
3 Systeme linearer Gleichungen Wir wenden uns nun dem Problem der Lösung linearer Gleichungssysteme zu. Beispiel 3.1: Wir betrachten etwa das folgende System linearer Gleichungen: y + 2z = 1 (1) x 2y +
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
MehrMatrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K).
Matrizen - I Definition. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = a 11 a 12...... a 1n a 21 a 22...... a 2n............ a m1 a m2...... a mn wobei j K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen
MehrLösungen der Aufgaben zu Abschnitt 5.4
A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 54 B ist linear unabhängig, wenn die Vektorgleichung ( ) ( ) ( ) ( ) 456 λ + λ + λ = bzw das LGS λ +4λ +λ
Mehr3. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Mirjam Dür Dipl. Math. Stefan Bundfuss. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker WS 5/6 6. Dezember 5 Gruppenübung Aufgabe G (Basis und Erzeugendensystem) Betrachte
Mehr1 Linearkombinationen
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch
Mehr6 Lineare Gleichungssysteme
6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3 6 Lineare Gleichungssysteme Unter einem linearen Gleichungssystem verstehen wir ein System von Gleichungen α ξ + + α n ξ n = β α m ξ + + α mn ξ n = β m mit Koeffizienten α
Mehr4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
MehrAusgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit
Mehr3 Lineare Algebra Vektorräume
3 Lineare Algebra Vektorräume (31) Sei K ein Körper Eine kommutative Gruppe V bzgl der Operation + ist ein Vektorraum über K, wenn eine Operation : K V V (λ, v) λv existiert mit i) v,w V λ,µ K: λ (v +
Mehr1 Matrizen und Vektoren
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Matrizen und Vektoren Definition 1.1 (Matrizen) Ein rechteckiges Zahlenschema aus m mal n Elementen eines Körpers
Mehr1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen
Technische Universität München Thomas Reifenberger Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Mittwoch WS 2008/09 1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Definition 11 Transponierte Matrix
Mehr6.5 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension
6.5. Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 123 6.5 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v 1,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 27/28 Definition (a ij ) 1 j n 1 i n heiÿt eine m n-matrix mit Komponenten a ij K Dabei bezeichnet i den Zeilenindex und j den Spaltenindex
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 1
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie. (Herbst 2005, Thema, Aufgabe ) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:.2
MehrMathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure
Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
Mehr6 Lineare Algebra. 6.1 Einführung
6 Lineare Algebra 6.1 Einführung Die lineare Algebra ist für die Wirtschaftswissenschaften von zentraler Bedeutung. Einerseits liefert sie die theoretischen und praktischen Grundlagen für das Lösen linearer
MehrLineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 18.10.2012 Alexander Lytchak 1 / 12 Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen nun allgemeiner Gleichungssysteme der
MehrDer Rangsatz für lineare Abbildungen
Der Rangsatz für lineare Abbildungen Satz Sei f : V W eine lineare Abbildung Dann gilt dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f), also gleichbedeutend dim Kern(f) = dim V rg(f) Da uns in der Regel bei gegebenem
MehrMischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.
Kapitel 5 Lineare Algebra 51 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra Dozentin: Wiebke Petersen 10. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 30 Einleitung Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen
Mehr, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure Wintersemester 8/9 Kapitel 4: Matrizen, lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Version vom 5. November 8 Page-Rank
MehrLineare Algebra. I. Vektorräume. U. Stammbach. Professor an der ETH-Zürich
Lineare Algebra U Stammbach Professor an der ETH-Zürich I Vektorräume Kapitel I Vektorräume 1 I1 Lineare Gleichungssysteme 1 I2 Beispiele von Vektorräumen 7 I3 Definition eines Vektorraumes 8 I4 Linearkombinationen,
MehrLINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER
LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders
MehrBeispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A
133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des
MehrD-MAVT Lineare Algebra I HS 2017 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen Serie 14: Ferienserie
D-MAVT Lineare Algebra I HS 7 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie 4: Ferienserie . Finden Sie ein Erzeugendensystem des Lösungsraums L R 5 des Systems x + x x 3 + 3x 4 x 5 = 3x x + 4x 3 x 4 + 5x 5
Mehr$Id: vektor.tex,v /01/15 13:36:04 hk Exp $
$Id: vektortex,v 35 28//5 3:36:4 hk Exp $ 9 Vektorräume Wir kommen jetzt zum wohl abstraktesten Kapitel dieses ganzen Semesters, der Theorie der sogenannten Vektorräume Normalerweise ist ein Vektor etwas
MehrBC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2
Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete
MehrLineare Algebra. Wintersemester 2017/2018. Skript zum Ferienkurs Tag Claudia Nagel Pablo Cova Fariña. Technische Universität München
Technische Universität München Wintersemester 27/28 Lineare Algebra Skript zum Ferienkurs Tag 2-2.3.28 Claudia Nagel Pablo Cova Fariña Wir danken Herrn Prof. Kemper vielmals für seine Unterstützung bei
MehrKapitel 15 Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 15 Lineare Gleichungssysteme Kapitel 15 Lineare Gleichungssysteme Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 27 Kapitel 15 Lineare Gleichungssysteme Definition 15.1 (Lineares Gleichungssystem
Mehr$Id: matrix.tex,v /12/02 21:08:55 hk Exp $ $Id: vektor.tex,v /12/05 11:27:45 hk Exp hk $
$Id: matrixtex,v 14 2008/12/02 21:08:55 hk Exp $ $Id: vektortex,v 12 2008/12/05 11:27:45 hk Exp hk $ II Lineare Algebra 6 Die Matrixmultiplikation 63 Inverse Matrizen und reguläre lineare Gleichungssysteme
MehrLineare Gleichungssysteme - Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion
MehrMischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.
Kapitel 5 Lineare Algebra 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF 07.03.2016-11.03.2016 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 2 1.1 Grundlagen..................................................
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Lineare Algebra und analytische Geometrie 1
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Lineare Algebra und analytische Geometrie. (Herbst 2005, Thema, Aufgabe ) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:.2
MehrBeispiele 1. Gegeben ist das lineare System. x+4y +3z = 1 2x+5y +9z = 14 x 3y 2z = 5. Die erweiterte Matrix ist
127 Die Schritte des Gauß-Algorithmus sind nun die Folgenden: 1. Wir bestimmen die am weitesten links stehende Spalte, die Einträge 0 enthält. 2. Ist die oberste Zahl der in Schritt 1 gefundenen Spalte
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 31 1 2 3 4 2 / 31 Transponierte einer Matrix 1 Transponierte
Mehrbzw. eine obere Dreiecksmatrix die Gestalt (U: upper)
bzw. eine obere Dreiecksmatrix die Gestalt (U: upper) U = u 11 u 12 u 1n 1 u nn 0 u 22 u 2n 1 u 2n 0......... 0 0 u n 1n 1 u n 1n 0 0 0 u nn Eine nicht notwendig quadratische Matrix A = (a ij ) heißt obere
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 71 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 1 / 31 1 2 3 4 Prof Dr Erich
MehrLineare Algebra I Zusammenfassung
Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition
Mehr5 Vektorräume. (V1) für alle x, y V : x + y = y + x; (V2) für alle x, y, z V : (x + y) + z = x + (y + z);
5 Vektorräume Was wir in den vorangegangenen Kapiteln an Matrizen und Vektoren gesehen haben, wollen wir nun mathematisch abstrahieren. Das führt auf den Begriff des Vektorraumes, den zentralen Begriff
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen
MehrBeweis. Bei (a) handelt es sich um eine Umformulierung des ersten Teils von Satz 6.2, während (b) aus dem zweiten Teil des genannten Satzes folgt.
82 Kapitel III: Vektorräume und Lineare Abbildungen Beweis. Bei (a) handelt es sich um eine Umformulierung des ersten Teils von Satz 6.2, während (b) aus dem zweiten Teil des genannten Satzes folgt. Wir
Mehr2 Lineare Gleichungssysteme
2 Lineare Gleichungssysteme Betrachte ein beliebiges System von m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x,,x n : a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 () a m x + a m2 x
MehrKapitel II. Vektoren und Matrizen
Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft
MehrFür die Matrikelnummer M = Dann sind durch A =
Musterlösung zum. Blatt 9. Aufgabe: Gegeben seien m 3 + 2 m m 3 m 2 m 4 + m 7 m 3 A := m m 2 m 2 + 2 m 2 m 4 + m 5 und b := m 6 m 4 + a) Finden Sie eine Lösung x R 7 für die Gleichung Ax =. b) Finden Sie
Mehrm 2 m 3 m 5, m m 2
Musterlösung zum 8. Blatt 7. Aufgabe: Seien die folgenden Vektoren im R 4 gegeben: 2m 5 + 2 2m 2 2m 7 + m 2 m 3 m 5 v = m 5, v 2 = m 2, v 3 = m 7 m 2 m 3 m 5 m 2 m 3 m 5, m 5 + m 2 m 7 2m + m 2 m 4 2m
Mehr$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $
Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit
MehrMathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen
Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 32 8 Lineare Algebra: 1 Reelle Matrizen Grundbegriffe Definition
MehrKapitel 1. Matrizen und lineare Gleichungssysteme. 1.1 Matrizenkalkül (Vektorraum M(n,m); Matrixmultiplikation;
Kapitel 1 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 11 Matrizenkalkül (Vektorraum M(n,m; Matrixmultiplikation; Transposition; Spalten- und Zeilenvektoren Matrizen sind im Prinzip schon bei der schematischen
MehrMusterlösung. 1 Relationen. 2 Abbildungen. TUM Ferienkurs Lineare Algebra 1 WiSe 08/09 Dipl.-Math. Konrad Waldherr
TUM Ferienkurs Lineare Algebra WiSe 8/9 Dipl.-Math. Konrad Waldherr Musterlösung Relationen Aufgabe Auf R sei die Relation σ gegeben durch (a, b)σ(c, d) : a + b c + d. Ist σ reflexiv, symmetrisch, transitiv,
Mehr4 Vektorräume. 4.1 Definition. 4 Vektorräume Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 48. Sei K ein Körper.
4 Vektorräume Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 48 4 Vektorräume 4.1 Definition Sei K ein Körper. Definition: Ein Vektorraum über K, oder kurz ein K-Vektorraum, ist ein Tupel (V,+,, 0 V ) bestehend aus
Mehr$Id: vektor.tex,v /01/21 14:35:13 hk Exp $
Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 $Id: vektortex,v 5 2//2 4:35:3 hk Exp $ Vektorräume 2 Untervektorräume und Erzeugendensysteme Am Ende der letzten Sitzung hatten wir wieder einmal den Lösungsraum
Mehr5.4 Basis, Lineare Abhängigkeit
die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Wieder ist 2 0 L i = L h + 0 1 Wir fassen noch einmal zusammen: Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbekannten hat n Rang(A)
Mehr(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.
() In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.
MehrLineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Bernhard Hanke Universität Augsburg 17.10.2012 Bernhard Hanke 1 / 9 Wir beschreiben den folgenden Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das sogenannte Gaußsche
MehrProf. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1
Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis
MehrLineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18.
18. November 2011 Wozu das alles? Bedeutung von Termen Vektoren in R n Ähnlichkeiten zwischen Termbedeutungen Skalarprodukt/Norm/Metrik in R n Komposition von Termbedeutungen Operationen auf/abbildungen
MehrLineare Algebra I für Mathematiker Lösungen
Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen Anonymous 24. April 2016 Aufgabe 1 Beantworten Sie bitte die folgenden Fragen. Jeder Vektorraum hat mindestens ein Element. Q ist ein R-Vektorraum (mit der Multiplikation
MehrHM II Tutorium 5. Lucas Kunz. 22. Mai 2018
HM II Tutorium 5 Lucas Kunz 22. Mai 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Wiederholung Lineare Gleichungsysteme................... 2 1.2 Wiederholung: Kern einer Abbildung..................... 3 1.3
MehrH. Stichtenoth WS 2005/06
H. Stichtenoth WS 25/6 Lösungsvorschlag für das. Übungsblatt Aufgabe : Der gesuchte Unterraum U ist die lineare Hülle von v und v 2 (siehe Def. 5. und Bsp. 5.5b), d. h. U : Spanv,v 2 } v R : v λ v + λ
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra Dozentin: Wiebke Petersen 10. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Einleitung Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen
MehrAffine Hülle. x x 1 ist lineare Kombination der Vektoren x 2 x 1,x 3 x 1,...,x k x 1. Tatsächlich, in diesem Fall ist λ 1 = 1 λ 2 λ 3...
Affine Hülle Wiederholung. Der Vektor x K n ist eine lineare Kombination der Vektoren x,...,x k K n, wenn es Zahlen λ,...,λ k K gibt mit x = λ x +... + λ k x k. Def. Gibt es solche Zahlen λ,...,λ k K mit
Mehr$Id: det.tex,v /01/13 14:27:14 hk Exp $ $Id: vektor.tex,v /01/16 12:23:17 hk Exp $
Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 $Id: dettex,v 26 27//3 4:27:4 hk Exp $ $Id: vektortex,v 3 27//6 2:23:7 hk Exp $ 8 Determinanten 83 Laplace Entwicklung In der letzten Sitzung haben wir die
MehrMathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 12
Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 12 Die Lösungshinweise dienen
Mehr