2 Ähnlichkeit von Matrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren

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1 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN Mai Ähnlichkeit von Matrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation. Es seien: V ein K-Vektorraum mit dim V = n < und F End V, Φ, Ψ : K n V Koordinatensysteme für V, K n,n A = Φ 1 F Φ die darstellende Matrix von F bezüglich Φ, K n,n B = Ψ 1 F Ψ die darstellende Matrix von F bezüglich Ψ. Gesucht ist der Zusammenhang zwischen A und B! Es gilt F = Φ A Φ 1, also mit S = Ψ 1 Φ GL(n, K). B = Ψ 1 Φ A Φ 1 Ψ = S A S 1 Definition. Die Matrizen A, B K n,n heißen zueinander ähnlich, wenn es eine Matrix S GL(n, K) mit B = S A S 1 gibt. Bemerkungen. 1. Die Ähnlichkeit von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation. Reflexivität: Wegen A = E n A E n = E n A En 1 ist jede Matrix A zu sich selbst ähnlich. Symmetrie: B = S A S 1 A = S 1 B S = T B T 1 mit T = S 1 GL(n, K). Transitivität: B = S A S 1 C = T B T 1 C = T S A S 1 T 1 = (T S) A (T S) 1 mit T S GL(n, K). 2. Ähnliche Matrizen haben gleiche Determinante: det B = det(s A S 1 ) = det S det A det(s 1 ) = = det S (det S) 1 det A = det A. 3. Sind A und B ähnliche Matrizen, so gibt es einen Endomorphismus F von K n und Koordinatensysteme Φ, Ψ für K n, derart dass A und B die darstellenden Matrizen von F bezüglich Φ beziehungsweise Ψ sind: Ist B = S A S 1, so setzen wir F = B, Φ = S und Ψ = E n. Dann gilt tatsächlich Φ 1 F Φ = S 1 B S = A, Ψ 1 F Ψ = E 1 n B E n = B. Problem. Normalformen für die Ähnlichkeitsklassen von Matrizen. Definitionen. Es seien V ein Vektorraum und F End V. Ein Skalar λ K ist ein Eigenwert von F, wenn es einen Vektor v V \ {0} gibt, derart dass gilt: F (v) = λ v. Ein Vektor v V \ {0} ist ein Eigenvektor von F, wenn es einen Skalar λ K gibt, derart dass gilt: F (v) = λ v; man spricht dann auch von einem Eigenvektor zum Eigenwert λ.

2 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 2 Bemerkungen. 1. Die Vektoren in Kern F \ {0} sind Eigenvektoren, und zwar genau die Eigenvektoren zum Eigenwert 0. Eigenwerte können Null sein, Eigenvektoren nie! 2. Unter den Eigenwerten und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix versteht man die Eigenwerte und Eigenvektoren der zugehörigen linearen Abbildung. In diesem Sinn gilt: Ist A darstellende Matrix eines Endomorphismus F, so stimmen die Eigenwerte von A und F überein. Um das einzusehen, bezeichne Φ ein Koordinatensystem, bezüglich dessen A den Endomorphismus F darstellt; dann gilt: A = Φ 1 F Φ, Φ A = F Φ, A Φ 1 = Φ 1 F. Ist nun λ ein Eigenwert von A und w ein zugehöriger Eigenvektor, so ist Φ(w) 0 und es gilt F (Φ(w)) = Φ(A(w)) = Φ(λw) = λ Φ(w) ; das heißt, λ ist ein Eigenwert von F mit zugehörigem Eigenvektor Φ(w). Ist umgekehrt λ ein Eigenwert von F und v ein zugehöriger Eigenvektor, so ist Φ 1 (v) 0 und es gilt A(Φ 1 (v)) = Φ 1 (F (v)) = Φ 1 (λv) = λ Φ 1 (v) ; das heißt, λ ist ein Eigenwert von A mit zugehörigem Eigenvektor Φ 1 (v). Lemma. Es seien V ein Vektorraum mit dim V = n < und F End V. Der Endomorphismus F ist genau dann durch eine Diagonalmatrix darstellbar, wenn V eine Basis aus Eigenvektoren von F besitzt. Beweis. : Es sei Φ ein Koordinatensystem für V, derart dass die darstellende Matrix A von F bezüglich Φ eine Diagonalmatrix ist, das heißt, die Form A = (λ 1 e 1,..., λ n e n ) mit Skalaren λ 1,..., λ n K besitzt. Nach Definition der darstellenden Matrix haben wir das heißt, A = Φ 1 F Φ, Φ A = F Φ. Wir setzen v j = Φ(e j ) für alle j {1,..., n}; da Φ ein Isomorphismus ist, ist {v 1,..., v n } eine Basis von V und wir berechnen F (v j ) = F Φ(e j ) = Φ A(e j ) = Φ(λ j e j ) = = λ j Φ(e j ) = λ j v j. Da eine Basis den Nullvektor nicht enthält, ergibt sich, dass jeder Basisvektor v j ein Eigenvektor zum Eigenwert λ j ist. : Es sei B = {v 1,..., v n } eine Basis von V, die aus Eigenvektoren von F besteht, und λ 1,..., λ n seien die zugehörigen Eigenwerte. Bezeichnet A die darstellende Matrix von F bezüglich B, so gilt in den Spalten stehen die Bilder der Einheitsvektoren für alle j {1,..., n}: A(e j ) = Φ 1 B F Φ B (ej ) = Φ 1 B F (v j) = = Φ 1 B (λ jv j ) = λ j Φ 1 B (v j) = λ j e j. Damit ergibt sich A = (λ 1 e 1,..., λ n e n ), das heißt, A ist eine Diagonalmatrix.

3 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 3 Definitionen. Ein Endomorphismus F eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V heißt diagonalisierbar, wenn V eine Basis aus Eigenvektoren von F besitzt. Eine quadratische Matrix heißt diagonalisierbar, wenn sie als lineare Abbildung diagonalisierbar, also ähnlich zu einer Diagonalmatrix, ist. 23. Mai 2000 Lemma. Es seien V ein Vektorraum und F End V. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von F sind linear unabhängig. Beweis. Es seien v 1,..., v k Eigenvektoren zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,..., λ k. Wir führen den Beweis durch Induktion nach k. Da ein Eigenvektor immer vom Nullvektor verschieden ist, ist der Induktionsanfang klar. k k + 1 : Es sei v k+1 = dann gilt: und λ k+1 v k+1 = k µ j v j ; k λ k+1 µ j v j λ k+1 v k+1 = F (v k+1 ) = F ( = k µ j F (v j ) = k µ j v j ) = k µ j λ j v j Aus der Induktionsannahme das ist die lineare Unabhängigkeit der Vektoren v 1,..., v k folgt nun λ k+1 µ j = µ j λ j für alle j {1,..., k} Wegen v k+1 0 finden wir einen Index j 0 {1,..., k} mit µ j0 0. Für diesen Index gilt dann λ k+1 = λ j0 im Widerspruch zur vorausgesetzten paareweisen Verschiedenheit der auftretenden Eigenwerte. Folgerung. Ein Endomorphismus eines n-dimensionalen Vektorraumes mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten ist diagonalisierbar. Bezeichnung und Definition. Es seien V ein Vektorraum und F End V. Die Teilmenge heißt Eigenraum von F bezüglich λ. Eig(F ; λ) = {v V : F (v) = λ v} Lemma. Es seien V ein Vektorraum und F End V. a) Eigenräume von F sind Untervektorräume von V. Für alle Skalare λ K gilt: b) Eig(F ; λ) = Kern(F λ Id V );

4 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 4 c) λ Eigenwert von F Eig(F ; λ) 0 det(a λe n ) = 0; d) Für alle Skalare λ 1, λ 2 K gilt: λ 1 λ 2 Eig(F ; λ 1 ) Eig(F ; λ 2 ) = 0. Beweis. a) Wegen F (0) = 0 = λ 0 ist Eig(F ; λ). Für v, w Eig(F ; λ) gilt: F (v + w) = F (v) + F (w) = λv + λw = λ(v + w), also v + w Eig(F ; λ). Für v Eig(F ; λ) und beliebiges µ K gilt: also µv Eig(F ; λ). b) Für alle v V gilt: F (µv) = µf (v) = µλv = λ(µv), v Eig(F ; λ) F (v) = λv = λid(v) F (v) (λid)(v) = 0 (F λid)(v) = 0 v Kern(F λid). c) Die erste Äquivalenz ist nach der Definition der Eigenwerte trivial. Ferner gilt: λ Eigenwert von A K n,n Eig(A; λ) 0 b) Kern(A λe n ) 0 det(a λe n ) = 0. d) Für v Eig(F ; λ 1 ) Eig(F ; λ 2 ) gilt: v = (λ 1 λ 2 ) 1 (λ 1 λ 2 )v = (λ 1 λ 2 ) 1 (λ 1 v λ 2 v) = = (λ 1 λ 2 ) 1 (F (v) F (v)) = 0. Bezeichnung und Definition. Es sei A K n,n. Das Polynom heißt charakteristisches Polynom von A. P A = det(a t E n ) K[t] Bemerkung. Die Eigenwerte einer Matrix sind gerade die Nullstellen oder Wurzeln des charakteristischen Polynoms (= Nullstellen der zugehörigen Polynomfunktion). Beispiele. 1. Drehungen in der Ebene (Zentrum im Ursprung, Drehwinkel α): ( ) cos α sin α A = sin α cos α charakteristisches Polynom: P A = (cos α t) 2 + sin 2 α Nullstellen existieren nur bei α = 0, π. Es gibt jeweils nur einen Eigenwert, entweder 1 oder 1. Im ersten Fall ist A als Abbildung die Identität, im zweiten die Punktspiegelung am Ursprung.

5 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 5 2. Achsenspiegelung an einer Achse mit der Steigung tan α: ( ) cos α sin α A = sin α cos α charakteristisches Polynom: P A = t 2 1 Eigenwerte 1, 1; Eigenvektor zum Eigenwert 1: (cos α 2, sin α 2 ); Eigenvektor zum Eigenwert 1: ( sin α 2, cos α 2 ). Bemerkung. Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom: Dazu muß man nur beachten, dass das Matrizenprodukt homogen in jeder Variablen ist. Wir zeigen: Sind A und B zueinander ähnliche Matrizen in K n,n, so sind auch die Matrizen A te n und B te n in K(t) n,n zueinander ähnlich. Zunächst eine Nebenrechnung: Für alle S GL(n, K) gilt: te n = t(s E n S 1 ) = S t(e n S 1 ) = S te n S 1. Ist nun B = S A S 1, so berechnen wir weiter B te n = S A S 1 S te n S 1 = = S (A te n ) S 1. Definition. Es seien V ein Vektorraum mit dim V = n < und F End V. Das charakteristische Polynom P F von F wird definiert als das charakterische Polynom einer darstellenden Matrix von F ; da alle darstellenden Matrizen von F zueinander ähnlich sind, ist diese Festsetzung unabhängig von der Auswahl der darstellenden Matrix. 26. Mai 2000 Lemma und Definition. Es sei A K n,n. Ist P A = det(a t E n ) = n k=0 α kt k, so gilt: α n = ( 1) n, n α n 1 = ( 1) n 1 α ii und α 0 = det A. Der Skalar n i=1 α ii K heißt Spur von A. Beweis. Wir setzen B = (β ij ) = A te n. Die Komponenten β ij von B sind Polynome in t vom Grad kleiner-gleich 1; der Grad 1 liegt genau dann vor, wenn i = j ist. Die zur Berechnung von det B benötigten Produkte n i=1 β iπ(i) sind dann Polynome vom Grad kleiner-gleich n (für alle π S n ). Ist π id, so haben mindestens zwei Faktoren β iπ(i) einen Grad kleiner-gleich 0, also hat das Produkt n i=1 β iπ(i) einen Grad kleiner-gleich n 2. Damit ergeben sich die beiden höchsten Koeffizienten von P A allein aus dem Produkt n i=1 β ii = n i=1 (α ii t), was unmittelbar auf α n = ( 1) n und α n 1 = ( 1) n 1 n i=1 α ii führt. Den niedrigsten Koeffizienten α 0 erhält man, in dem man t = 0 setzt; das liefert α 0 = det A. Folgerungen. 1. Das charakteristische Polynom einer n n-matrix hat den Grad n. 2. Ähnliche Matrizen haben gleiche Spur. i=1

6 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 6 Erinnerung an den Grad eines Polynoms: Es sei P = k=0 α kt k K[t]. Man setzt { max{i i N0 α Grad P = i 0 }, P 0,, P = 0. Dann gilt für alle P, Q K[t]: Grad(P Q) = Grad P + Grad Q, Grad(P ± Q) max{grad P, Grad Q}, wobei im zweiten Fall Gleichheit sicher dann auftritt, wenn Grad P Grad Q ist. Mit dieser Konvention ist P 0 Grad P 0 für alle P K[t]. Auch ergibt sich, dass Polynome vom Grad 0 keine Nullstellen haben; die zugehörigen Polynomfunktionen sind konstante Funktionen mit einem Wert ungleich Null. Polynomdivision. Satz von der Division mit Rest: Zu P 1, P 2 K[t] mit P 2 0 gibt es eindeutige bestimmte Polynome Q, R K[t] mit P 1 = P 2 Q + R und Grad R < Grad P 2. Beweis. Eindeutigkeit: Sei P 2 Q + R = P 2 Q + R mit Grad R, Grad R < Grad P 2. Umrechnung ergibt P 2 (Q Q) = R R. Wäre nun Q Q, also Q Q 0, so hätten wir einerseits und andererseits Grad(P 2 (Q Q)) = Grad P 2 + Grad(Q Q) Grad P 2 Grad( R R) max{grad R, Grad R} < Grad P 2. was aber nicht sein kann. Damit haben wir Q = Q und im Hinblick auf die eben angegebene Gleichung auch R = R. Existenz: Ist Grad P 1 < Grad P 2, so erfüllen Q = 0 und R = P 1 die gewünschten Bedingungen. Sei nun Grad P 2 = m und Grad P 1 = m + n mit n N 0, also P 1 = m+n i=0 α it i, P 2 = m i=0 β it i mit α m+n 0, β m 0. Der weitere Beweis wird durch Induktion nach n geführt. Induktionsanfang bei n = 0. Wir setzen Q = α m /β m und R = P 1 P 2 Q. Dann gilt zunächst Grad R max{grad P 1, Grad P 2 + Grad Q} = m und wir berechnen für den Koeffizienten von t m in R: α m β m αm β m = 0 ; also ist sicher Grad R < m = Grad P 2. Induktionsschluß für n > 0 unter der Annahme, dass die Behauptung für Grad P 1 Grad P 2 < n bereits als richtig erkannt ist. Wir setzen zunächst Q 1 = α m+n t n β m P 3 = P 1 P 2 Q 1.

7 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 7 Dann gilt zunächst Grad P 3 max{grad P 1, Grad P 2 + Grad Q 1 } = m + n und wir berechnen für den Koeffizienten von t m+n in P 3 : α m+n β m αm+n β m = 0 ; also ist Grad P 3 < m + n. Ist sogar Grad P 3 < m, so setzen wir Q = Q 1, R = P 3 und sind fertig. Andernfalls finden wir nach Induktionsvoraussetzung Polynome Q 2 und R mit P 3 = P 2 Q 2 + R und Grad R < Grad P 2. Setzen wir Q = Q 1 + Q 2, so ergibt sich auch P 1 = P 2 Q 1 + P 3 = P 2 Q 1 + P 2 Q 2 + R = P 2 Q + R. Bemerkungen. P K[t] \ {0}, λ K, P (λ) = 0 Es gibt genau ein Q K[t] mit P = (t λ)q (mit Grad Q = Grad P 1). Beweis. Existenz: Durch Polynomdivision erhalten wir Q, R K[t] mit P = (t λ)q + R und Grad R < Grad(t λ) = 1. Setzen wir λ ein, so ergibt sich 0 = P (λ) = (λ λ)q(λ) + R(λ) = R(λ). Damit kann Grad R nicht 0 sein, also bleibt nur Grad R =, das heißt, R = 0 übrig. Eindeutigkeit: (t λ)(q Q) = 0 ist nur für Q = Q möglich (Nullteilerfreiheit des Polynomringes). 30. Mai 2000 Dies Ergebnis läßt sich auch so ausdrücken: Ist der Skalar λ K Wurzel des Polynoms P K[t], so ist die rationale Funktion (=Element des Körpers K(t)) P/(t λ) ein Polynom, dessen Grad um genau 1 kleiner ist als der Grad von P. Daraus folgern wir, dass ein Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen hat. Beweis. Es seien λ 1,..., λ k paarweise verschiedene Nullstellen von P K[t] mit Grad P = n. Wir setzen Q = P/(t λ 1 ) und finden für i {2,..., k} 0 = P (λ i ) = (λ i λ 1 )Q(λ i ) ; also wegen λ i λ 1 = 0 auch Q(λ i ) = 0. Wegen Grad Q = n 1 können wir nun die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten k 1 n 1, das heißt, k n, wie behauptet. Da also ein Polynom n-ten Grades höchstens n Nullstellen hat, hat eine n n-matrix auch aus diesem Grund höchstens n Eigenwerte. Bei der Existenz von n (paarweise verschiedenen) Eigenwerten ist wie schon festgestellt die Matrix diagonalisierbar. Lemma, Bezeichnung und Definition. Zu jedem Paar (P, λ), bestehend aus einem Polynom P K[t] \ {0} und einem Skalar λ K, gibt es ein eindeutig bestimmtes Paar (m, Q), bestehend aus einer natürlichen Zahl m N 0 und einem Polynom Q K[t], derart dass gilt: P = (t λ) m Q und Q(λ) 0. Die Zahl m wird im folgenden durch m(p ; λ) bezeichnet; sie heißt Vielfachheit (oder Multiplizität) von λ als Nullstelle von P. Beweis. Existenz: Wir setzen m = max{i i N 0 P ist Polynom } (t λ) i

8 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 8 und Q = P/(t λ) m. Wäre Q(λ) = 0, so gäbe es Q 1 K[t] mit Q = (t λ)q 1 und damit wäre P/(t λ) m+1 = Q/(t λ) = Q 1 auch ein Polynom, im Widerspruch zur Maximalität von m. Eindeutigkeit: (t λ) m Q = (t λ) m Q mit impliziert m < m impliziert Q = (t λ) m m Q und damit Q(λ) = (λ λ) m m Q = 0 ; also hat Q nicht die gewünschte Eigenschaft. Im Fall m > m ergibt sich analog, dass Q nicht die gewünschte Eigenschaft hat. Lemma. Es seien V ein Vektorraum mit dim V = n < und F End V. Dann gilt für alle λ K und F L(V, V ): m(p F ; λ) dim Eig(F ; λ). (In anderen Worten: die algebraische Vielfachheit eines Skalars in Bezug auf das charakteristische Polynom eines Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraumes ist größer-gleich der geometrischen Vielfachheit des Skalars, worunter die Dimension des zugehörigen Eigenraumes verstanden wird.) Beweis. Falls λ kein Eigenwert ist, sind beide Seiten der Ungleichung 0. Ist λ ein Eigenwert, so ist jedenfalls k = dim Eig(F ; λ) 1 und wir finden eine Basis {v 1,..., v k } von Eig(F ; λ). Diese ergänzen durch Vektoren v k+1,..., v n zu einer Basis B von V und setzen zur Abkürzung Φ = Φ B. Dann gilt für die ersten k Spalten der darstellenden Matrix A: A(e j ) = Φ 1 f Φ(e j ) = Φ 1 (λv j ) = λe j. Damit gilt: also erhalten wir Damit berechnen wir A = ( λek 0 B ) ; ( (λ t)ek A te n = 0 B te n k ). woraus k m(p F ; λ) folgt. P A = det(λ t)e k P B = (t λ) k ( 1) k P B, eine Familie von Untervek- Definitionen. Es seien V ein Vektorraum und W = (W j ) j J torräumen von V. a) V ist Summe der Familie W - symbolisch V = j J W j wenn sich jeder Vektor v V als Summe v = j J w j mit w j W j für alle j J und w j = 0 für fast alle j J darstellen läßt, das heißt, wenn gilt: V = Span( j J W j ).

9 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 9 b) V ist direkte Summe der Familie W - symbolisch V = j J W j wenn sich jeder Vektor v V eindeutig als Summe v = j J w j mit w j W j für alle j J und w j = 0 für fast alle j J darstellen läßt. Im Falle J = {1,..., k} (k N) schreibt man auch V = k W j = W 1 W 2... W k. Sprechweise. Ein Polynom zerfällt in Linearfaktoren, wenn es ein Produkt von linearen Polynomen, das heißt, Polynomen mit dem Grad 1 ist. Satz. Es seien V ein Vektorraum mit dim V = n < und F End V. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: a) der Endomorphismus F ist diagonlisierbar; b) das charakteristische Polynom P F von F zerfällt in Linearfaktoren und es gilt für alle λ K: m(p F ; λ) = dim Eig(F ; λ) ; c) der Vektorraum V ist direkte Summe der nichttrivialen Eigenräume von F, das heißt, sind λ 1,..., λ k die Eigenwerte von F (paarweise verschieden), so ist V = Eig(F ; λ 1 )... Eig(F ; λ k ). Beweis. a) b): Es seien λ 1,..., λ k die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F. Wir wählen eine Basis B = {v 1,..., v n } aus Eigenvektoren von F. Für jedes j {1,..., k} bezeichne m j die Anzahl der Eigenvektoren zum Eigenwert λ j in B und m j = j m j. Dann gilt dim Eig(F ; λ j ) m j 1 für alle j {1,..., n}, sowie m 1 = m 1 und m k = n. Durch Umnumerieren der Basisvektoren können wir erreichen, dass die Vektoren v 1,..., v m1 Eigenvektoren zum Eigenwert λ 1 und für j {2,..., k} die Vektoren v mj 1 +1,..., v mj Eigenvektoren zum Eigenwert λ j sind. Die darstellende Matrix A von F bezüglich B hat dann die Form λ 1 E m λ 2 E m2 0 A =.....,. 0 0 λ k E mk woraus sich P F = (t λ 1 ) m1 (t λ 2 ) m2... (t λ k ) mk ( 1) n ergibt. Aus dieser Darstellung von P F lassen sich sofort die Vielfachheiten der Eigenwerte von F ablesen: für alle j {1,..., k} gilt: m(p F ; λ j ) = m j. Mit Hilfe des vorigen Lemmas und der eben angegebenen Abschätzung erhalten wir nun dim Eig(F ; λ j ) m(p F ; λ j ) = m j dim Eig(F ; λ j ),

10 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 10 woraus sich die behauptete Gleichung für die Eigenwerte von F ergibt; für die übrigen λ K ist sie trivial. b) c): Wir setzen zur Abkürzung m j = m(p F ; λ j ) = dim Eig(F ; λ j ) für alle j {1,..., k} und auch wieder m j = j m j. Weil P F in Linearfaktoren zerfällt, gilt m k = k m j = n. Wir wählen nun eine Basis {v 1,..., v m1 } von Eig(F ; λ 1 ) und für j {2,..., k} Basen {v mj 1 +1,..., v mj } von Eig(F ; λ j ). Dann behaupten wir, dass die n Vektoren v 1,..., v n linear unabhängig sind, also eine Basis von V bilden. Sei dazu n i=1 µ iv i = 0 angenommen. Wir setzen w 1 = m 1 i=1 µ iv i und w j = m j i= m j 1 +1 µ iv i für j {2,..., k}, dann gilt k w j = 0. Wären nun gewisse dieser w j von Null verschieden, so handelte es sich um Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten; also wären sie linear unabhängig und damit könnte ihre Summe nicht Null sein. Also gilt w j = 0 für alle j {1,..., k}. Die Vektoren, die zur Bildung eines w j herangezogen werden, sind Basis eines Eigenraums, also linear unabhängig; damit kann durch diese Vektoren der Nullvektor nur trivial dargestellt werden, das heißt, es gilt µ i = 0 für alle i {1,..., n}. Damit ist die behauptete lineare Unabhängigkeit bewiesen und {v 1,..., v n } ist eine Basis von V. 2. Juni 2000 Nun kann jeder beliebige Vektor v V als Linearkombination v = n i=1 µ iv i dargestellt werden. Wir setzen wieder w 1 = m 1 i=1 µ iv i und w j = m j i= m j 1 +1 µ iv i für j {2,..., k}, dann gilt v = k w j mit w j Eig(F ; λ j ). Also ist V Summe der nichttrivialen Eigenräume von F. Es bleibt zu zeigen, dass die Summe direkt, das heißt, die angegebene Zerlegung des Vektors v eindeutig ist. Dazu sei v = k w j eine weitere Zerlegung von v mit w j Eig(F ; λ j ). Dann haben wir Skalare µ 1,..., µ n derart, dass gilt: w 1 = m 1 i=1 µ iv i und w j = m j i= m j 1 +1 µ iv i für j {2,..., k}, also v = n i=1 µ iv i. Da aber v nur eine Darstellung als Linearkombination der v i besitzt, folgt µ i = µ i für alle i {1,..., n}, und damit w j = w j für alle j {1,..., k}. c) a): Wir wählen für jedes j {1,..., k} eine Basis B j von Eig(F ; λ j ). Da sich jedes v V in der Form v = k w j mit w j Eig(F ; λ j ) zerlegen läßt und jeder Vektor w j eine Linearkombination aus B j ist, ist k B j ein Erzeugendensystem von V. Nach Konstruktion besteht dieses Erzeugendensystem nur aus Eigenvektoren von F. Wenn es nicht linear unabhängig ist, können wir es zu einer Basis verkleinern. Damit haben wir auf jeden Fall eine Basis aus Eigenvektoren von F. Den möglichen Nachweis, dass die Menge k B j bereits selbst linear unabhängig ist, können wir uns deshalb sparen. Definitionen. Es sei V ein Vektorraum mit dim V = n < : 1. Ein (n + 1)-tupel (V 0,..., V n ) von Untervektorräumen eines n-dimensionalen Vektorraumes V heißt Fahne in V, wenn gilt: V i 1 V i für i = 1,..., n ( dim V i = i für i = 0,..., n, V 0 = 0, V n = V ). 2. Ist ein Endomorphismus F End(V ) gegeben, so heißt eine Fahne (V 0,..., V n ) in V F -invariant, wenn für alle i {0,..., n} gilt: F (V i ) V i. 3. Ein Endomorphismus F End(V ) heißt trigonalisierbar, wenn es eine F -invariante Fahne gibt. 4. Eine quadratische Matrix heißt trigonalisierbar, wenn der zugehörige Endomorphismus trigonalisierbar ist.

11 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 11 Bemerkung. Ein Endomorphismus ist genau dann trigonalisierbar, wenn er durch eine Dreiecksmatrix dargestellt werden kann. Damit ist eine quadratische Matrix genau dann trigonalisierbar, wenn sie zu einer Dreiecksmatrix ähnlich ist. Beweis. : Es seien F End V und (V 0,..., V n ) in V eine F -invariante Fahne. Wir wählen der Reihe nach Vektoren v 1, v 2,..., v n V derart, dass für jedes j {1,..., n} die Familie (v 1,..., v j ) eine Basis von V j ist. Aus der F -Invarianz folgt dann F (v j ) Span(v 1,..., v j ), das heißt, j F (v j ) = α ij v i mit eindeutig bestimmten α ij K. Setzen wir noch α ij = 0 für 1 j < i n, so ist A = (α ij ) die darstellende Matrix von F bezüglich der Basis (v 1,..., v n ) von V und dabei handelt es sich um eine obere Dreiecksmatrix. : trivial. Satz. Ein Endomorphismus F eines endlich-dimensionalen Vektorraumes ist genau dann trigonalisierbar, wenn P F in Linearfaktoren zerfällt. Beweis. : Ist A = (α ij ) eine Dreiecksmatrix, so ist auch A te eine Dreiecksmatrix und damit ist P A das Produkt der Diagonalelemente von A te, das heißt, P A = i=1 n (α jj t). : Wir führen den Beweis durch Induktion nach n = dim V. Im Fall n = 1 haben wir ein Polynom vom Grad 1, also ein lineares Polynom und damit ist nichts weiter zu beweisen. n n + 1 : Es seien V ein Vektorraum mit dim V = n + 1 und F End V mit P F = n+1 (λ j t) für gewisse λ 1,..., λ n, λ n+1. Die λ j sind die Eigenwerte von F. Wir wählen zunächst einen Eigenvektor v 1 zum Eigenwert λ 1 und dann Vektoren v 2,..., v n+1 derart, dass B = {v 1,..., v n+1 } eine Basis von V ist. Die darstellende Matrix A von F bezüglich B hat die Form ( ) λ1 A =. 0 à Es sei nun Ṽ = Span(v 2,..., v n+1 ) ; damit ist Ṽ ein Vektorraum mit dim Ṽ = n und Basis B = {v 2,..., v n+1 }. Weiter sei F der Endomorphismus von Ṽ, der bezüglich B durch die Matrix à dargestellt wird. Aus ( ) λ1 t A te n+1 = 0 à te n erhalten wir n+1 ( λ1 t (λ j t) = P F = det 0 à te n = (λ 1 t) P F ; ) = Division durch (λ 1 t) (im Körper K(t)) liefert dann n+1 P F = (λ j t), j=2

12 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 12 das heißt, P F zerfällt in Linearfaktoren. Damit können wir auf F die Induktionsvoraussetzung anwenden und finden eine F -invariante Fahne (Ṽ0,..., Ṽn) in Ṽ. Da Ṽ ein Untervektorraum von V ist, ist auch jedes Ṽj ein Untervektorraum von V. Wir setzen nun V 0 = Ṽ0 = 0, V 1 = Span(v 1 ) und V j = V 1 +Ṽj 1 für alle j {2,..., n+1}. Um einzusehen, dass (V 0,..., V n+1 ) eine Fahne ist, genügt es, dim V j = j für alle j {0,..., n} nachzuweisen. Für j = 0, 1 ergibt sich das unmittelbar aus der Konstruktion. Für größere j beachten wir, dass wegen V 1 Ṽ = 0 auch V 1 Ṽj 1 = 0 für alle j {2,..., n+1} gilt. Damit ergibt sich aus der Dimensionsformel für Untervektorräume wie gewünscht: dim V j = dim V 1 + dim Ṽj 1 = 1 + j 1 = j. Nun ist noch die F -Invarianz dieser Fahne nachzuweisen. Wir betrachten v V j \ {0} und zerlegen zunächst in der Form v = ( µv 1 ) + ṽ mit ṽ Ṽj 1. Bezeichnet w den Koordinatenvektor von ṽ bezüglich B, µ so ist der Koordinatenvektor von v bezüglich B. w Für den Koordinatenvektor von F (v) erhalten wir damit die Form ( ) ( ) ( ) ( ) µ λ1 µ A = =. w 0 Ã w νãw Nach Definition von F ist Ãw der Koordinatenvektor von F (ṽ); wegen der F -Invarianz von Ṽj 1 ist F (ṽ) Ṽj 1. Damit gilt F (v) = νv 1 + F (ṽ) V 1 + V j 1 = V j. 6. Juni 2000 Bemerkung. Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom mit Koeffizienten aus K in Linearfaktoren zerfällt. Der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der Körper C der komplexen Zahlen ein Beispiel für einen algebraisch abgeschlossenen Körper ist. Nach dem eben bewiesen Satz ist jede quadratische Matrix über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, also insbesondere jede quadratische Matrix mit komplexen Komponenten, ähnlich zu einer Dreiecksmatrix.

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